Сборник задач по геометрии ЧАСТЬ 2. СТЕРЕОМЕТРИЯ ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ (Рыбкин) 1936

§ 12. Поверхность усечённой пирамиды  30

§ 13. Цилиндр (прямой круговой)  31

§ 14. Конус (прямой круговой)  34

§ 15. Усечённый конус    37

§ J6. Объём параллелепипеда, призмы и цилиндра  39

§ 17. Объём пирамиды н конуса  47

§ 18. Объём усечённой пирамиды и усечённого конуса .... 52

§ 19. Объём призматоида (клина) и усечённой призмы .... 56

§ 20. Шар и его свойства    58

§ 21. Объём шара и его частей  60

§ 22. Поверхность шара и его частей  63

§ 23. Вписанный и описанный шары  65

§ 24. Тела вращения  68

§ 25. Смешанный отдел  72

Ответы.....   76

2) Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды Q и боковая поверхность S. Определить объём (Q = 12; 5 = 24). 

б. 1) (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Ь. Найти объём пирамиды. 

2) Определить объём правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, боковые же рёбра взаимно перпендикулярны. 

6. По ребру а правильного тетраэдра определить его поверхность и объём. 

7. По ребру а правильного октаэдра определить его поверхность и объём. 

8. Соединив последовательно середины рёбер правильного тетраэдра прямыми, получим рёбра правильного октаэдра. Ребро тетраэдра а. Найти объем октаэдра и сравнить его с объёмом тетраэдра. 

9. 1) Центры граней куба служат вершинами правильного октаэдра. Найти отношение объёмов куба и октаэдра. 

2) Центры граней правильного октаэдра служат вершинами куба. Найти отношение объёмов октаэдра и куба. 

10. 1) Сторона основания правильной треугольной пирамиды а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45°. Определить объём пирамиды. 

2) Высота правильной треугольной пирамиды h, а боковая грань образует с плоскостью основания угол в 60°. Определить объём пирамиды. 

11. 1) Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Определить объём пирамиды. 

2) В данной правильной шестиугольной пирамиде, имеющей объём V, боковое ребро вдвое более стороны основания. Определить сторону основания и угол бокового ребра с плоскостью основания. 

12. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами в 9 л и 12 л; каждое из боковых рёбер равно 12,5 м. Найти объем пирамиды. 

13. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами в 6 см и 15 см, высота проходит через точку пересечения диагоналей основания, и боковая поверхность равна 126 см2. Определить объём этой пирамиды. 

14. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 6 см, а третья сторона 8 см. Боковые рёбра равны между собой, и каждое содержит 9 см. Определить объём этой пирамиды. 

15. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q; боковые рёбра образуют с плоскостью основания углы в 45°. Определить объём этой пирамиды. 

16. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 39 см, 17 сл и 28 см; боковые рёбра равны каждое 22,9 см. Определить объём этой пирамиды. 

17. 1) Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 39 см, а третья сторона 30 см. Двугранные углы при основании равны между собой, и каждый содержит 45°. Определить объем этой пирамиды. 

2) Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 7 см, а третья сторона 6 см; вершина пирамиды удалена от всех сторон основания на одинаковое расстояние, которое относится к высоте пирамиды, как 5: 4. Определить объём этой пирамиды. 

18. В данной треугольной пирамиде двугранные углы при основании равны между собой; стороны основания: 7 см, 8 см и 9 см; объём пирамиды 40 см2. Определить её боковую поверхность. 

19. Ромб со стороной в 15 см служит основанием пирамиды, каждая грань которой наклонена к основанию под углом в 45°. S6oK — 3 дм2. Найти объём пирамиды. 

20. (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды а, Ъ и с взаимно перпендикулярны. Найти объём пирамиды. 

21. 1) Две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольники со стороной в 4 см. Найти объем пирамиды. 

2) Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, площади их равны 6 м2, 4 ж2 и 3 м2. Найти объемы пирамиды. 

22. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4; каждое из остальных равно 3. Найти объём пирамиды. 

23. Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC, в котором АВ = \Ъсм, ВС — 27 см и АС = 18 см. Грани 5ЛБи5ЛС перпендикулярны к плоскости ABC, а грань SBC составляет с ней угол в 45°. Определить объём пирамиды и площадь грани BSC. 

24. Основание пирамиды — прямоугольник, площадь которого равна 1 ж2, две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углами в 30° и 60°. Найти объем. 

25. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, у-ч которой параллельные стороны равны 3 см и 5 см, а боковая сторона 7 см. Высота пирамиды проходит через точку 

пересечения диагоналей основания, и большее боковое ребро равно 10 см. Определим объём этой пирамиды. 

26. В треугольной пирамиде одна из сторон основания равна 16 см; противоположное ей боковое ребро 18 см; каждое из четырёх остальных рёбер равно 17 см. Определить объём этой пирамиды. 

27. (Устно). 1) Какую часть объёма пирамиды отсекает среднее сечение? 

2) Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины пирамиды находится сечение, параллельное основанию и делящее её объём пополам? 

28. Плоскостями, параллельными основанию пирамиды, её высота разделена на пять равных частей. В каком отношении разделился объём пирамиды? 

29. Пирамида разделена на три равновеликие части плоскостями, параллельными основанию. В каком отношении разделилась высота? 

30. Площадь сечения, параллельного основанию пирамиды, составляет 0,36 её основания. В каком отношении сечение делит объём пирамиды? 

31. Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами нового правильного тетраэдра. Найти отношение их поверхностей я объёмов. 

32. (Устно). Высота конуса 3, образующая 5. Найти объём. 

33. 122-миллиметровая бомба даёт при взрыве воронку диаметром в 4 м и глубиной в 1,5 я. Какое количество земли (по весу) выбрасывает эта бомба? 1 м3 земли весит 1650 кг. 

34. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м и образующая 3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень, уложенный в десяти таких кучах? 1 м3 щебня весит 3 т. На один воз грузят 0,5 т. 

35. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причём цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Удельный вес сена 0,03. Определить вес стога. 

36. Жидкость, налитая в конический сосуд, имеющий 0,18 я высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,10 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде? 

37. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник; площадь его 9 м2. Найти объём конуса. 

38. Площадь основания конуса 9 тс см2; полная поверхность его 24 тс см2. Найти объём конуса. 

39. Высота и образующая конуса относятся, как 4:5, а объём конуса 96 тс смл. Найти его полную поверхность. 

40. Длина образующей конуса равна I, а длина окружности основания С. Определить объём. 

41. Определить объём конуса по данной площади Q основания и боковой поверхности S. 

42. Высота конуса равна 15 м, а объём равен 320 тс ма. Определить полную поверхность. 

43. Высота конуса равна 6 см, а боковая поверхность 24 тс см2. Определить объём конуса. 

44. Образующая конуса равна I и составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определить объём конуса. 

45. Объём конуса V. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объём средней части. 

46. 1) Как относятся объёмы равностороннего конуса и равностороннего цилиндра, если их полные поверхности равновелики? 

2) Как относятся полные поверхности равностороннего конуса и равностороннего цилиндра, если их объёмы равны? 

47. 1) Объём конуса V, а радиус основания равен R. Чему равна площадь осевого сечения конуса? 

2) В конусе площадь основания равна Q и площадь осевого сечения М. Определить объём и боковую поверхность. 

48. На одном основании построены конус и равновеликий ему цилиндр. Параллельно основанию проведена плоскость через середину высоты цилиндра. Как относятся площади полученных сечений конуса и цилиндра? 

49. Из жести вырезан сектор радиуса в 20 см с центральным углом в 250а и свёрнут в конус. Найти объём конуса. 

50. По радиусу R основания конуса определить радиус сечения, параллельного основанию, делящего пополам объём конуса. 

51. Определить объём и боковую поверхность конуса, вписанного в правильный тетраэдр с ребром а. 

52. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найти поверхность и объём тела вращения. 

53. Основание треугольника Ь, высота его А. Найти объём тела, полученного при вращении его вокруг основания. 

54. Прямоугольный треугольник с катетами а и А вращается около