Гл. IV. Положительные и отрицательные числа

• 27. Числовая прямая (ось) 73
• 28. Сложение положительных и отрицательных чисел. 77
• 29. Вычитание положительных и отрицательных чисел. 80
• 30 Упражнения в сложении и вычитании 85
• 31. Умножение положительных и отрицательных чисел. 88
• 32. Деление положительных и отрицательных чисел 93
• 33. Упражнения во всех действиях. Буквенные подстановки . 95
• 34. Координатная плоскость. 99

Гл. V. Решение линейных уравнений § 35. Дальнейшие свойства равенств. 102

• 36. Основные приемы решения уравнений 103
• 37. Решение текстовых задач посредством уравнений 114
• 38. Особенные случаи решения уравнений 120

Гл. VI. Тождественные преобразования целых алгебраич. выражений § 39. Общее понятие о преобразованиях 122

• 40. Умножение одночленов и многочленов на одночлен. Вынесение множителя за скобку 125
• 41. Умножение многочленов на многочлены 127
• 42. Основные формулы умножения 1о0

ГЛАВА I

БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

• 1. Употребление букв. Составление формул

Когда хотят сказать о человеке, не называя его имени или фамилии, говорят иногда «кто-то», «кто-нибудь», «некто» или пользуются другими выражениями, показывающими, что неизвестно или безразлично, о ком именно идет речь.

Когда хотят сказать о числе, не указывая, о каком именно, то обозначают его буквой. Так делают по разным причинам: например, потому, что упоминаемое число неизвестно или потому, что безразлично, чему именно оно равняется.

При решении задач приходится встречаться с различными величинами, определяемыми условиями задачи. Каждая величина может иметь то или иное числовое значение, т. е. выражаться тем или иным числом. Очень часто, обозначив величину буквой, в случае надобности, вместо буквы подставляют числа.

Предположим, например, что величина, которую мы рассматриваем, есть числа уроков в классе: обозначим эту величину буквой а. Если сегодня было, допустим, пять уроков, то а равно 5; если завтра будет четыре урока, то можно будет написать: а = 4; в воскресенье совсем нет уроков и потому а = 0.

Различные величины, чтобы избежать смешения, обозначают различными буквами. Так, если одной буквой обозначено число уроков сегодня в классе, то полученную отметку за письменную работу (число баллов) нужно обозначить другой буквой, хотя числовые значения этих величин могут оказаться и равными между собой.

Выражения «кто-то», «кто-нибудь», «некто», любое место- имение — употребляются вместо имени человека. Буквы в математике употребляются вместо чисел: они заменяют числа и, напротив, число в любой момент может быть подставлено вместо буквы.

Поэтому с буквами обращаются, как с числами: их можно сравнивать по величине, а также складывать, вычитать, умножать и делить. Нередко числа и буквы встречаются одновременно.

Знаки действий с буквами — те же, что и с числами. Нужно только обратить внимание на две особенности:

1) В качестве знака умножения принята точка, а не косой крест; но ради краткости точка большею частью вовсе опускается.

2) Двоеточие как знак деления мало употребительно: результат деления обыкновенно записывается в виде дроби.

Таким образом сумма, разность, произведение и частное (отношение, величин, обозначенных буквами а и Ь, записываются следующим образом:

а-j-ft, а—Ь, а-b или ab, ~ (реже а:Ь).

Необходимо ясно понимать, что если, например, величине а придается значение 5, а величине b — значение 3 (т. е. а = 5, 6 = 3), то сумма а 4- b имеет уже не иное значение как5-|-3, так что а b = 8; точно так же в этом случае а — Ь — Ч, ab = \b, -r = -q-. U О

Записи, составленные из математических знаков, чисел, букв и знаков действий, а также знаков равенств или неравенств, носят название формул.

Формулы, составленные из чисел, букв и знаков действий, называются также алгебраическими (буквенными) выражениями. Вот примеры алгебраических выражений:

II о I г- Р и — V

х-ку-Рг, За4-5, —, —i—,

I л • > 1> _rst u + v'

Если в данном выражении нет вовсе букв, то его называют также арифметическим (числовым); таковы выражения:

1+2 + 3 ₇ ,1 iq 0.27

3 ’ 1,19 —1,12-

Арифметика учит обращаться с числами, алгебра — с буквами и формулами.

Упражнение 1.

1. Карандаш стоит 10 коп., а перочинный нож 75 коп. Скажите, сколько копеек стоят: 1) карандаш и нож, 2) три карандаша, 3) два ножа, 4) три карандаша и два ножа, 5) двенадцать карандашей и один нож, 6) десять карандашей, 7) пятьдесят карандашей, 8) т карандашей, 9) пять ножей, 10) семь ножей, 11) п ножей, 12) т карандашей и л ножей.

Обозначая через z стоимость т карандашей и л ножей, напишите, чему равняется z. По этой формуле, посредством числовых подстановок, вычислите стоимость: 1) трех карандашей и двух ножей, 2) двенадцати карандашей и одного ножа, 3) ста карандашей и четырех ножей. Можно ли по этой же формуле вычислить стоимость: 1) десяти карандашей? 2) семи ножей?

2. Куплено 15 карандашей. Скажите, сколько нужно заплатить за покупку, если карандаш стоит: 1) 10 коп., 2) 12 коп., 3) 20 коп., 4) р коп.

Куплено 4 перочинных ножа. Скажите, сколько нужно заплатить за покупку, если один нож стоит: 1) 75 коп., 2) 9) коп., 3) q коп.

Куплено 15 карандашей и 4 перочинных ножа. Сколько придется заплатить за покупку, если карандаш стоит 12 коп., а нож 75 коп.? Если карандаш стоцт р коп., а нож q коп.?

Обозначая через z стоимость покупки 15 карандашей и 4 перочинных ножей и предполагая, что карандаш стоит р коп., а нож q коп., составьте формулу для х. По этой формуле подсчитайте, какова будет стоимость покупки, если: 1) карандаш стоит 10 коп., а нож — 75 коп., 2) карандаш стоит 5 коп., а нож — 95 коп. Можно ли в этой же формуле положить р = 0, и что это будет обозначать?

3. Карандаш стоит р коп., а перочинный нож а коп. Установите, сколько стоят: 1) карандаш и нож, 2) три карандаша, 3) два ножа, 4) три карандаша и два ножа, 5) двенадцать карандашей и один нож, 6) десять карандашей, 7) пятьдесят карандашей, 8) т карандашей, 9) пять ножей, 10) семь ножей, 11) л ножей, 12) т карандашей.

Напишите формулу для х, где х — стоимость т карандашей и п ножей, если известно, что карандаш стоит р коп., а нож q коп. Вычислите ио этой формуле стоимость покупки при следующих данных:

1) т = 15, п = 4, р = 10, q = 75,

2) т — 25, п = 3, р = 12, q = 103.

Скажите условия тех арифметических задач, которые вы только что решили.

Упражнение 2.

1. Я продвигаюсь со скоростью 12 км в час верхом и со скоростью 5 км в час пешком. Какой путь я сделаю, если: 1) проеду один час верхом и затем пройду один час пешком, 2) проеду верхом три часа, 3) пройду пешком два часа, 4) проеду верхом три часа и затем пройду пешком два часа, 5) проеду верхом 8 часов, 6) проеду верхом Л часов, 7) пройду пешком 7 часов, 8) пройду пешком k часов, 9) проеду верхом А часов и затем пройду пешком k часов?

Обозначая через $ весь сделанный путь (в километрах), напишите формулу для s, предполагая, что я буду ехать верхом Л часов и затем итти пешком k часов. По этой формуле посредством числовой подстановки вычислите длину пути, сделанного после: 1) трех часов верховой езды и двух часов пешей ходьбы, 2) восьми часов верховой езды и семи часов пешей ходьбы, можно ли по этой формуле вычислить путь, сделанный после: 1) пяти часов езды, 2) пяти с половиной часов езды, 3) 4 часов ходьбы, 4) 4’/₃ часов ходьбы?

2. Я буду ехать верхом 3 часа и затем итти пешком 2 часа. Какой путь я сделаю при условии, что 1) скорость верховой езды равна 15 км в час, а скорость ходьбы — 4 км в час, 2) скорость езды равна и км в час, а скорость ходьбы — v км в час? Обозначив через $ сделанный путь, через и и v — скорости езды и ходьбы, напишите формулу для s. Вычислите по этой формуле значение 5 при данных:!) «=12, v = 5, 2) и = 15, 0 = 4, 3) « = 2и, г> = 6. Можно ли в этой формуле положить: 1) «=50, 2) 0 = 2, 3) « = 0 и что это будет обозначать? Можно ли положить ц=10,5; 0 = 5,3?

Напишите формулу для сделанного пути s после Л часов верховой езды и k часов ходьбы, если известна скорость езды и км в час и скорость ходьбы — 0 км в час. Вычислите по этой формуле длину пути s при данных.