20. Освобождение знаменателя дроби от радикалов. Упражнения.

V. Иррациональные уравнения 22

21. Задача. 22. Посторонние решения. 23. Освобождение уравнения

от двух квадратных радикалов. Упражнения.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

I. Функциональная зависимость 21

24. Постоянные и переменные величины. 25.Аргумент и функция.

26. Три способа выражения функциональной зависимости. 27. Метод координат. 28. Определение положения точки на плоскости. Упражнения .

II. Прямая и обратная пропорциональность 30

29. Прямая пропорциональная зависимость. 30. Общее определение пропорциональной зависимости. 31. Обратная пропорциональная зависимость. 32. Общее определение обратной пропорциональной зависимости. Упражнения. 33. График прямой пропорциональной зависимости. 34. Изменение положения прямой при изменении коэффициента пропорциональности. 35. График обратной пропорциональности. Упражнения.

III. Линейная функция 37

36. Двучлен первой степени. Задача. 37. График двучлена первой степени. 38. Изменение двучлена y=kx+b с изменением х. 39. Замечания. 40. Построение прямой y=kx+b по двум точкам. Упражнения.

отдел третий. КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ.

I. Дополнительные сведения о квадратных уравнениях. . . 43

41. Формула корней квадратного уравнения. 42. Дискриминант.

43. Свойства корней квадратного уравнения (теорема Виета). Упражнения. 44. Трёхчлен второй степени. 45. Разложение трёхчлена второй степени. Упражнения.

П. График квадратной функции 48

46. График функции у=х². 47. График функции у=ах². 48. График функции у=ах²+Ь. Упражнения. 49. График трёхчлена второй степени. 50. Графический способ решения квадратного уравнения.

Упражнения. 51. Биквадратное уравнение. Упражнения. 52. Уравнения, левая часть которых разлагается на множители, а правая есть нуль. 53. Двучленное уравнение. 54. Решение двучленных уравнений третьей степени. 55. Различные значения корня. 56. Трёхчленное уравнение. Упражнения.

Ill. Системы уравнений второй степени. 60

57. Степень уравнения с несколькими неизвестными. 58. Общий вид полного уравнения второй степени с двумя неизвестными. 59. Системы двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое—второй. 60. Искусственные приёмы. 61. Система двух уравнений, из которых каждое второй степени. 62. Графический способ решения систем уравнений второй степени. Упражнения.

отдел четвёртый. НЕРАВЕНСТВА.

I. Неравенства первой степени 67

63. Предварительное замечание. 64. Основные свойства неравенств.

66. Равносильные неравенства. 67. Теорема 1. 68. Теорема 2.

69. Теорема 3. 70. Доказательство неравенства. 71. Решение неравенства первой степени с одним неизвестным. 72. Два неравенства первой степени с одним неизвестным. Упражнения.

ОТДЕЛ П Я т ы й. ПРОГРЕССИИ.

I. Арифметическая прогрессия. 74

73. Задача. 74. Определение. 75. Формула любого члена арифметической прогрессии. 76. Формула суммы членов арифметической прогрессии. 77. Замечание. 78. Формула суммы квадратов чисел натурального ряда. Упражнения.

II. Геометрическая прогрессия. 79

79. Задача. 80. Определение. 81. Сравнение геометрической прогрессии с арифметической прогрессией. 82. Формула любого члена геометрической прогрессии. 83. Формула суммы членов геометрической прогрессии. 84. Пример на геометрическую прогрессию.

У пражнения.

III. Бесконечные прогрессии. 84

85. Некоторые свойства бесконечных прогрессий. 86. Понятие о пределе. 87. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 88. Применение геометрической прогрессии к десятичным периодическим дробям. Упражнения.

отдел шестой. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЯХ.

I. Целые показатели 91

89. Свойства целых положительных показателей. 90. Нулевой показатель. 91. Отрицательные целые показатели. 92. Действия над степенями с отрицательными показателями. Упражнения.

II. Дробные показатели 94

93. В каком смысле употребляются дробные показатели. 94. Основное свойство дробного показателя. 95. Действия над степенями с дробными показателями. 96. Примеры на действия с дробными и отрицательными показателями. Упражнения.

III. Понятие об иррациональном показателе. 97

97. Смысл степени с иррациональным показателем.

IV. Показательная функция 98

98. Определение. 99. Свойства показательной функции. 100. График показательной функции. Упражнения.

отдел седьмой. ЛОГАРИФМЫ.

I. Общие свойства логарифмов 103

101. Два действия, обратные возвышению в степень. 102. Определение. 103. Логарифмическая функция и её график. 104. Основные свойства логарифмов. Упражнения. 105. Практическое значение логарифмических таблиц. 106. Логарифм произведения, частного, степени и корня. 107. Логарифмирование алгебраического выражения.

108. Замечания. Упражнения.

II. Свойства десятичных логарифмов. 112

109. Свойства десятичных логарифмов. ПО. Следствия. Упражнения.

III. Устройство и употребление таблиц. 116

111. Система логарифмов. 112. Преобразование отрицательного логарифма. 113. Описание четырёхзначных таблиц и пользование ими.

114. Интерполирование. 115. Таблицы антилогарифмов. 116. Замечание об интерполировании. 117. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками. 118. Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми. 119. Примеры вычислений с помощью логарифмов. Упражнения. 120. Употребление пятизначных таблиц.

IV. Показательные и логарифмические уравнения 126

121. Примеры уравнений. 122. Формула сложных процентов. Задача. Упражнения.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ.

I. Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным 130 123. Что значит исследовать уравнение. 124. Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным. 125. Положительное решение. 126. Отрицательное решение. 127. Нулевое решение. 128. Случай, когда уравнение не имеет корня. 129. Как надо понимать равенство

±оо. 131. Неопределённое решение. 132. Графическое истолкование решения уравнения ах=Ь. Упражнения.

II. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными . 136

133. Общие формулы. 134. Исследование.

III. Исследование квадратного уравнения. 137

135. Исследование формул. 136. Задача о двух источниках света.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ. МНИМЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 142

137. Мнимые числа. 138. Комплексные числа. 139. Действия над комплексными числами. Упражнения. 140. Геометрическое изображение комплексного числа. 140а. Тригонометрическая форма комплексного числа. Упражнения. 1406. Действия с комплексными числами, выраженными в тригонометрической форме.

ОТДЕЛ ДЕСЯТЫЙ. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ.

I. Делимость многочлена 159

141. Делимость многочлена, целого относительно х, на разность х—а. Теорема Безу. 142. Делимость двучлена х^т^а^т на х+а.

143. Частные, получаемые при делении х^т^а^т на х^а. Упражнения. 144. Общий вид алгебраического уравнения. 145. Некоторые свойства алгебраического уравнения.

отдел ОДИННАДЦАТЫЙ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 164

146. Вводные замечания. 147. Признак невозможности решения уравнения в целых числах. 148. Признак невозможности решения уравнения в положительных числах. 149. Общая формула корней неопределённого уравнения. 150. Способ подстановки. 151. Частный вид неопределённого уравнения. 152. Общее решение неопределённого уравнения. 153. Упрощение решения уравнения. 154. Положительные решения. Упражнения.

ОТДЕЛ двенадцатый. СОЕДИНЕНИЯ и БИНОМ НЬЮТОНА.

I. Соединения. 177

155. Определение. 156. Размещения. 157. Задачи. 158. Перестановки

159. Задачи. 160. Сочетания. 161. Другой вид формулы числа сочетаний. 162. Свойство сочетаний. Упражнения.

II. Бином Ньютона 182

163. Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами.

164. Формула бинома Ньютона. 165. Свойства формулы бинома Ньютона. 166. Применение формулы бинома к многочлену. Упражнения.

ДОПОЛНЕНИЯ.

I. Непрерывные дроби 188

167. Определение непрерывной дроби. 168. Обращение непрерывной дроби в обыкновенную. 169. Обращение обыкновенной дроби в непрерывную. 170. Подходящие дроби. 171. Закон составления подходящих дробей. 172. Теорема 1. 173. Теорема 2. 174. Теорема 3.

175. Приближённые значения данной арифметической дроби.

176. Извлечение квадратного корня. 177. Нахождение решения неопределённого уравнения. 178. Вычисление логарифма.

II. О пределах . 201

179. Определения. 180. Некоторые свойства бесконечно малых величин. 181. Свойства пределов. Упражнения.

111. Исследование квадратного трёхчлена. Неравенства второй степени . 208

182. Задача. 183. Квадратный трёхчлен, имеющий действительные различные корни. Упражнения. 184. Квадратный трёхчлен, имеющий равные корни. 185. Квадратный трёхчлен, имеющий мнимые корни. Упражнения. 186. Общий вывод. Упражнения. 187. Неравенства второй степени. Упражнения.

Ответы к упражнениям 228

III. Понятие об иррациональных числах.

6. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Как известно из геометрии, общей мерой двух отрезков прямой называется такой отрезок, который в каждом из них содержится целое число раз без остатка. В геометрии разъясняется, что могут быть такие два отрезка, которые не имеют общей меры (например, сторона квадрата и его диагональ).

Два отрезка называются соизмеримыми или несоизмеримыми между собой, смотря по тому, имеют ли они общую меру или не имеют.

7. Понятие об измерении. Пусть требуется измерить длину отрезка АВ (черт. 1) при помощи единицы длины CD. Для этого узнаем, сколько раз единица CD содер- _{с 0} жится в АВ. Пусть окажется, что она

. содержится в АВ 3 раза с некоторым

А £ О'

।----- 1 । . .

Черт. 1.

остатком ЕВ (меньшим CD). Тогда число 3 будет приближённым результатом измерения с точностью do 1, и притом с недостатком, так как АВ больше 3CD,

но меньше 4CD (число 4 тоже можно назвать приближённым резуль

татом измерения с точностью до 1, но с избытком). Желая получить более точный результат, узнаем, сколько раз в остатке ЕВ содер

жится -до единицы CD. Положим, что эта доля содержится в ЕВ

более 8, но менее 9 раз. Тогда числа 3,8 и 3,9 будут приближёнными результатами измерения отрезка АВ с точностью до , первое

число с недостатком, второе — с избытком. Желая получить ещё более точный результат измерения, узнаем, сколько раз в последнем остатке содержится у— доля единицы CD. Пусть эта доля содержится

в остатке более 5 раз, но менее 6 раз. Тогда числа 3,85 и 3,86 будут приближёнными результатами измерения отрезка АВ с точ-

1 м

ностью до единицы. Можно продолжать такое измерение всё далее

и далее. При этом возможны два случая:

1) может случиться, что при последовательных измерениях с точностью до 0,1, 0,01, 0,001, . рано или поздно не получится никакого остатка;

2) может случиться, что с какой бы точностью до 0,1, 0,01, 0,001,. мы ни измеряли, остаток всегда будет получаться.

В первом случае в результате измерения получится конечная десятичная дробь. Во втором случае в результате измерения получится бесконечная десятичная дробь.

Конечная десятичная дробь получается лишь в том случае, если какая-нибудь десятичная доля единицы (одна десятая, или одна сотая, или одна тысячная и т. д.) является общей мерой измеряемого отрезка и единицы длины.

Если же измеряемый отрезок соизмерим с единицей длины, но ни

, ни , ни , вообще никакая десятичная доля единицы не является общей мерой измеряемого отрезка и единицы длины, то в результате измерения получается бесконечная периодическая¹) десятичная дробь. Наконец, если измеряемый отрезок несоизмерим с единицей длины, то в результате измерения получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.

8. Иррациональные числа и их приближённые значения. Числа целые и дробные носят общее название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби; десятичные бесконечные непериодические дроби называются иррациональными числами. Рациональные числа служат мерой величин, соизмеримых с единицей, иррациональные числа — мерой величин, несоизмеримых с единицей²).

Иррациональное число считается известным (или данным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков.

Обрывая на каком-нибудь десятичном знаке бесконечную десятичную дробь, выражающую данное (рациональное или иррациональное) число, получаем приближённое значение этого числа с точностью до 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. с недостатком. Увеличивая на 1 последний сохранённый десятичный знак, получим приближённое значение данного числа с той же точностью, но с избытком.

Примеры.

1) Записывая число в виде бесконечной периодической дроби, 0,33333. и сохраняя первые четыре десятичных знака этой дроби, получим приближённое значение числа -у с точностью до 0,0001 с недостатком: 0,3333.

Приближённое значение этого числа с точностью до 0,0001 с избытком есть 0,3334.

^г) Действительно, в случае соизмеримости мы всегда могли бы получить точный результат измерения в виде обыкновенной дроби. Обратив эту обыкновенную дробь в десятичную, мы выразили бы результат измерения в виде десятичной дроби. Но обыкновенная дробь, обращаясь в бесконечную десятичную, даёт всегда периодическую дробь. В случае же несоизмеримости измеряемого отрезка бесконечная десятичная дробь не может оказаться периодической, так как, если бы она была такой, то её можно было бы обратить в обыкновенную, тогда бы эта обыкновенная дробь была бы точным результатом измерения, а такого результата не может быть в случае несоизмеримости. Значит, в этом случае бесконечная десятичная дробь должна быть непериодической.

²) Латинское слово ratio означает отношение. Рациональные числа — те, которые могут быть представлены в виде отношения двух целых чисел, иррациональные — те, которые в таком виде представлены быть не могут.

2) Иррациональное число к, выражающее отношение длины окруж,- ности к диаметру, записывается в виде бесконечной десятичной дроби, первые 25 знаков которой суть: 3,1415926535897932384626433.

Приближённые значения числа тг с точностью до 0,00001 суть 3,14159 (с недостатком) и 3,14160 (с избытком).

3) Возьмём иррациональное число, выражающееся следующей бесконечной непериодической десятичной дробью: 123,1010010001000010000010000001 . (между двумя последовательными единицами стоит один нуль, потом два нуля, потом три нуля и т. д.).

Приближённые значения этого иррационального числа с точностью до 0,000000000001 (т. е. до y-Jia) суть 123,101001000100 (с недостатком) и 123,101001000101 (с избытком).

9. Равенство и неравенство между иррациональными числами. Вещественные числа. Два иррациональных числа считаются равными, если они выражены десятичными дробями с соответственно одинаковыми цифрами^х). Из двух положительных иррациональных чисел больше то, которое при разложении в десятичную дробь содержит в себе большее число целых, или — при равенстве целых — большее число десятых, или — при равенстве целых и десятых — большее число сотых, и т. д. Например, число 2,745037. больше числа 2,745029 ., так как в первом 6-я цифра выражает число большее, чем 6-я цифра во втором при тождественности всех предыдущих цифр.

Это определение годится также и для сравнения иррационального числа с рациональным, если рациональное число разложено в десятичную дробь. Оно пригодно и для сравнения двух рациональных чисел, разложенных в десятичные дроби, если только десятичные дроби с периодом 9 заменять десятичными дробями, кончающимися нулями: например, надо вместо 2,39999 . брать 2,400000

Заметим, что из приведённого определения неравенств следует:

Если а — какое-нибудь иррациональное число, а — какое нибудь приближённое значение числа а с недостатком, Ь— какое-нибудь приближённое значение числа а с избытком, то

а<а<&.

Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, сообразно со смыслом измеряемой величины. Как и в случае рациональных чисел, из двух отрицательных' вещественных чисел большим считают то, у которого абсолютная величина ^{* 2}) меньше;

²) Два равных рациональных числа могут иногда выражаться неодинаковыми цифрами, именно тогда, когда одно из них есть периодическая дробь с периодом 9. Так, 0,999. = 1, или 2,3999. = 2,4.

²) Для иррациональных чисел абсолютная величина определяется так же, как для рациональных.

Мы примем без доказательства, что такое число существует, и притом только одно.

в) Возвысить иррациональное число а во вторую, третью, четвёртую и т. д. степень — значит найти произведение, составленное из двух, трёх, четырёх и т. д. сомножителей, равных а.

г) Обратные действия определяются для иррациональных чисел •гак же, как и для рациональных; так, вычесть из числа а число р — значит найти такое число х, чтобы сумма 04-х равнялась а и т. п.

Если одно из чисел а или £ — рациональное и выражается конечной десятичной дробью, то в указанных определениях вместо приближённых значений такого числа надо брать его точное значение.

Произведение иррационального числа на нуль принимается, как и для рационального числа, равным нулю.

Действия над отрицательными иррациональными числами производятся согласно правилам, данным для рациональных отрицательных чисел.

При более обстоятельном рассмотрении можно установить, что действия над иррациональными числами обладают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными', например, сложение и умножение обладают свойствами переместительным и сочетательным; умножение и деление, кроме того, обладают ещё распределительным свойством. Свойства, выражаемые неравенствами, также сохраняются для чисел иррациональных; так, если а>3, то + (если ^>0) и (если

Ч<Х)) и т. п.

11. Извлечение корня. Определение. Корнем п-й степени из числа а называется такое число, которое, будучи возвышено в степень п, даёт а.

Корень n-й степени из числа а обозначается так: а. Из самого определения следует, что (у^/Га)^п=а.

Это равенство может служить для проверки правильности произведённого действия извлечения корня. Пусть, например, мы нашли, что ¹ '/2048 =2. Для проверки возвысим 2 в одиннадцатую степень, получим 2¹¹—2048. Значит, корень найден правильно. Точно так же У 39,0625 =2,6, так как 2,5⁴=39,0625.

12. Приближённые корни любой степени. Мы уже говорили (см. часть 1, § 115—117), что такое приближённые квадратные корни с точностью до 1, до и т. д. Сказанное тогда о квадратном корне может быть применено к корню всякой другой степени. Например, приближённым значением У 2 с точностью до называется такая десятичная дробь, состоящая из целых, десятых и сотых, куб которой не больше 2, но если увеличим её на и возвысим в куб, то получим больше 2. Мы не будем выводить правила для нахождения точных и приближённых корней кубичных и других степеней, ограни- 10

чимся только указанием следующего простого приёма для нахождения таких корней.

Пусть требуется найти Приближённые корни с точностью до 1 будут, очевидно, числа 1 (с недостатком), 2 (с избытком). Чтобы найти цифру десятых долей искомого корня, найдём в ряду: 1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9 два таких рядом стоящих числа, чтобы куб левого числа был меньше 2, а куб правого — больше 2. Для этого возьмём из чисел нашего ряда среднее 1,5 и возвысим его в куб. Мы найдём: 1,5³ ==3,375, что больше 2. Так как числа, стоящие направо от 1,5, при возвышении в куб дают результат ещё больший, то мы можем отбросить всю правую половину ряда и испытать только числа: 1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4.

Возьмём среднее из них 1,2 и возвысим в куб. Получим 1,728, что меньше 2. Значит, испытанию подлежат теперь только числа 1,3 и 1,4. Возвысив в куб число 1,3, получим 2,197, что больше 2. Мы получили, таким образом, два числа: 1,2 и 1,3, которые разнятся между собой на 0,1 и между кубами которых заключается число 2. Это и будут приближённые кубичные корни из 2 с точностью до -~ с недостатком и с избытком.

Если желаем найти цифру сотых, мы должны испытать следующие числа: 1,21; 1,22; 1,23; . ; 1,29. Взяв в этом ряду среднее число 1,25 и возвысив его в куб, найдём 1,25’= 1,953125, что меньше 2. Значит, теперь надо испытать только числа: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. Так как 1,25⁸ очень мало разнится от 2, то естественно попробовать, не будет ли 1,26³ больше 2. И действительно, возвысив 1,26 в куб, получим 2,000376. Значит, искомый кубический корень из 2 с точностью до yig будет 1,25 (с недостатком) или 1,26 (с избытком). Если бы мы желали далее найти цифру тысячных, то должны были бы подобным же путём испытать числа ряда: 1,251; 1,252; 1,253; . ; 1,259.

Конечно, приём этот утомителен (существуют более удобные способы)¹), но из него ясно видно, что десятичные цифры приближённых корней любой степени могут быть найдены в каком угодно большом числе.

Для jZ 2 мы получили приближённые значения с недостатком: 1; 1,2; 1,25; 1,259;

Составим бесконечную десятичную дробь 1,259 Эта бесконечная десятичная дробь выражает собой некоторое иррациональное число а, а числа: 1; 1,2; 1,25; 1,259; . . . представляют собой приближённые значения иррационального числа л, взятые с недостатком.

Куб иррационального числа а есть 2. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что называется кубом иррационального числа а; а³ —это число, удовлетворяющее двум условиям: оно больше куба любого

^х) Корни любых степеней весьма просто вычисляются, как мы увидим позже, посредством логарифмических таблиц.

приближённого значения л, взятого с недостатком, и меньше куба любого приближённого значения а, взятого с избытком. Но число 2 этим условиям удовлетворяет, так как

I³ < 2, (1,2)³<2, (1,25)³<2, (1,259)³<2, . 2³>2, (1,3)³>2, (1,26)³> 2, (1,260)³>2, .

Значит, иррациональное число 1,259 . есть кубический корень 2.

Итак, после введения иррациональных чисел задача извлечения арифметического корня любой степени из любого положительного числа во всех случаях разрешима: такой корень всегда существует, и притом только один.

Замечание. Действие извлечения корня является источником многочисленных примеров иррациональных чисел, которые приходится рассматривать в курсе элементарной алгебры. Однако было бы грубой ошибкой думать, что все иррациональные числа являются корнями из рациональных чисел или сводятся к этим корням при помощи алгебраических действий: существует бесконечно много иррациональных чисел, которые не являются корнями никакой степени ни из какого рационального числа и которые вообще не могут быть получены посредством алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня) над рациональными числами, в каком бы числе, в каком бы порядке и над какими бы рациональными числами мы эти действия ни совершали. Примером такого иррационального числа может служить число п.

IV. Преобразование иррациональных выражений.

13. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Алгебраическое выражение называется рациональным относительно какой-нибудь буквы, входящей в это выражение, если эта буква не находится под знаком радикала; в противном случае выражение называется иррациональным относительно этой буквы. Например, выражение За-^-Я^х есть рациональное относительно а и иррациональное относительно х.

Если говорят—„рациональное алгебраическое выражение", не добавляя относительно каких букв, то предполагается, что оно рационально относительно всех букв, входящих в выражение.

14. Основное свойство радикала. Заметим, что корни (радикалы), о которых мы будем говорить в этой главе, разумеются только арифметические. Возьмём какой-нибудь радикал, например Уа, и возвысим подкоренное число в какую-нибудь степень, например в квадрат; вместе с тем умножим показатель радикала на показатель той степени, в какую мы возвысили подкоренное число, т. е. в нашем случае умножим на 2. Тогда получим новый радикал Докажем, что от этих двух операций величина радикала не изменилась.