Алгебра для самообразования (Фаддеев, Соминский) 1964 год - старые учебники

Глава II. Положительные и отрицательные числа 45

§ 1. Определение отрицательного числа45

§ 2. Вычитание из меньшего положительного числа большего 48

§ 3. Применение отрицательных чисел при описании изменения переменной величины 49

§ 4. Применение отрицательных чисел к измерению величин, изменяющихся в двух противоположных направлениях 51

§ 5. Изображение чисел в виде точек на прямой линии 52

§ 6. Сложение положительных и отрицательных чисел 53

§ 7. Свойства сложения 55

§ 8. Вычитание 57

§ 9. Алгебраическая сумма 58

§ 10. Употребление знаков неравенства 59

§ 11. Направленные отрезки 61

§ 12. Умножение положительных и отрицательных чисел 63

§ 13. Основное свойство нуля 66

§ 14. Умножение нескольких чисел и возведение отрицательного

числа в степень 67

§ Деление 68

§ 16. Истолкование отрицательного ответа при решении задач 70

§ 17. Графическое изображение зависимости между двумя переменными величинами 71

Глава III. Преобразования целых алгебраических выражений 79

§ 1. Цель алгебраических преобразований 79

§ 2. Типы алгебраических выражений 79

§ 3.Приведение подобных членов 81

§ 4. Сложение и вычитание многочленов 82

§ 5. Умножение степеней одной буквы и возведение степени в степень84

§ 6. Умножение одночленов 85

§ 7. Возведение одночлена в степень 85

§ 8. Умножение многочлена на одночлен 86

§ 9. Умножение многочлена на многочлен 87

§ 10. Умножение нескольких многочленов 88

§ 11. Умножение многочленов, содержащих одну букву 89

§ 12. Сокращенное умножение по формулам 91

§ 13. Применение формул сокращенного умножения к устным вычислениям 94

§ 14. Некоторые выводы 95

Глава IV. Разложение многочленов на множители 98

§ 1. Понятие о. разложении на множители 98

§ 2. Вынесение за скобку 99

§ 3. Применение вынесения за скобку к расположению многочлена

по степеням одной буквы 101

§4. Способ группировки 102

§ 5. Разложение отдельных членов многочлена на подобные слагаемые 103

§ 6. Применение формул сокращенного умножения 104

§ 7. Более сложные примеры 105

§ 8. Разложение квадратного 107

Глава V. Преобразование дробных алгебраических выражений 110

§ 1. Особенность дробных выражений 110

§2. Основное свойство дроби 112

§3. Деление целых алгебраических выражений 114

§4. Деление степеней с одинаковыми основаниями 114

§5. Деление одночленов 116

§6. Деление многочлена на одночлен 117

§ 7. Применение формул сокращенного умножения к делению многочлена на многочлен 120

§ 8. Общие замечания о делении многочлена на многочлен 122

§ 9. Деление многочленов, зависящих от одной буквы 123

§ 10. Сокращение алгебраических дробей 126

§ И. Упрощение алгебраической дроби с дробными коэффициентами 127

§12. Сложение и вычитание алгебраических дробей 128

§13. Умножение алгебраических дробей 130

§14. Деление алгебраических дробей 131

§ 15. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются

алгебраическими суммами дробей 132

§16. Общие выводы 133

Глава VI. Пропорции и пропорциональная зависимость 135

§1.Определения 135

§2.  Главное свойство пропорции 1 35

§3. Определение неизвестного члена пропорции 136

§4. Перестановка членов пропорции 137

§5. Производные проверни» •138

§6. Ряд равных отношений 139

§7. Пропорциональная зависимость 140

Глава VII. Уравнения и неравенства первой степени с одним неизвестным 143

§1. Два свойства уравнений 143

§2. Понятие о равносильности уравнений 147

§ 3.0 некоторых преобразованиях уравнения, которые могут привести к потере или приобретению решений 148

§4. Решение уравнений 150

§5.0 числе решений уравнения первой степени с одним неизвестным. 152

§ 6. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе 153

§ 7. Решение задач при помощи уравнений. Понятие об исследовании задачи 154

§ 8. Применение уравнений к решению задач в общем виде 161

§ 9. Понятие о неравенстве 162

§ 10. Свойства неравенств 164

§ 11. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным 166

Глава VIII. Системы уравнений 169

§ 1. Понятие о системе двух уравнений первой степени с двумя

неизвестными 169

§2. Одно уравнение первой степени с двумя неизвестными 171

§3. Решение систем уравнений при помощи графиков 174

§ 4.0 числе решений системы двух уравнений первой степени с

двумя неизвестными 176

§5. Способ сравнения 177

§6. Свойство выводных уравнений 182

§7. Способ сложения и вычитания 185

§8. Способ подстановки 188

§ 9. Решение систем уравнений первой степени с двумя неизвестными с буквенными коэффициентами 191

§ 10. Решение задач при помощи системы двух уравнений первой

степени с двумя неизвестными 192

§ 11. Системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 193 § 12. Решение системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 195

§ 13. О числе решений системы трех уравнений первой степени с

тремя неизвестными 201

Глава IX. Извлечение квадратного корня 202

§1. Определение действия извлечения корня 202

§2.Арифметическое значение квадратного корня 202

§3. Постановка вопроса о приближенном вычислении корня 204

§4. Извлечение квадратного корня при помощи графика 206

§ 5. Извлечение квадратного корня из числа, заключенного между

1 и 100, с точностью до 0,1208

§ 6. Извлечение квадратного корня из числа, заключенного между

1 и 100, с точностью до 0,01 212

§ 7. Извлечение квадратного корня из любого данного числа с любым заданным числом десятичных знаков 213

§ 8. Применение графиков для приближенного решения уравнений

и систем двух уравнений с двумя неизвестными 215

ЧАСТЬ II

Глава I. Степень, корни и иррациональные числа 218

§1. Свойства степени с целым показателем 218

§2. Квадрат суммы нескольких слагаемых 220

§3. Некоторые свойства степени. 221

§ 4. Корень любой степени из числа 224

§ 5. Недостаточность совокупности рациональных чисел для извлечения корня из любого, рационального положительного числа 226

§ 6. Приближенное извлечение корня 227

§ 7. Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков 229

§ 8. Измерение отрезков. Определение иррационального и действительного числа 230

§ 9. Изображение действительных чисел на числовой оси. Неравенства 234

§10. Приближения к действительным числам 236

§И.Свойство непрерывности совокупности действительных чисел, 239

§12. Сложение и вычитание действительных чисел 241

§13. Умножение и деление действительных чисел 245

§14. Возведение в степень и извлечение корня 247

§15.Извлечение корня из произведения, дроби и степени 250

§16. Умножение и деление корней 252

§17. Возведение корнав степень и извлечение корня из корня.253

§ 18. Вынесение рационального множителя из-под знака корня и введение его под знак корня. 254

§ 19. Подобные радикалы и их сложение• 256

§ 20. Исключение иррациональности в знаменателе 257

Глава II. Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к

квадратным 260

§ 1. Целые алгебраические уравнения и их классификация 260

§ 2. Неполные квадратные уравнения 261

§ 3. Приведенное квадратное уравнение 263

§ 4. Общее квадратное уравнение 266

§ 5. Некоторые задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям 269

§ 6. Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения 272

§ 7. Разложение квадратного трехчлена на множители 273

§ 8. Составление квадратного уравнения по данным корням 275

§ 9. Примеры и приложения 275

§ 10. Исследование корней квадратного уравнения по коэффициенту

и дискриминанту 278

§ 11. Биквадратные уравнения 279

§ 12. Некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным посредством

введения нового неизвестного 280

§ 13. Возвратные уравнения 282

§ 14. Второй способ решения биквадратного уравнения 284

§ 15. Преобразование уравнений 286

§ 16. Дробные алгебраические уравнения 289

§ 17. Иррациональные уравнения 293

Глава III. Функции и их графики 298

§ 1. Функциональная зависимость 298

§ 2. Прямоугольная система координат на плоскости 301

§ 3. График функции- 302

§ 4. Прямо пропорциональная зависимость 306

§ 5. Линейная функция 309

§ 6. Геометрический смысл уравнения первой степени с двумя неизвестными 311

§ 7. Квадратичная функция 312

§ 8. Исследование графика квадратичной функции 317

§ 9. Обратно пропорциональная зависимость 319

Глава IV. Системы уравнений высших степеней 323

§ 1. Система двух уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными 323

§ 2. Некоторые системы уравнений, решаемые особыми приемами 325 § 3. Системы двух уравнений второй степени, не содержащие линейных членов 327

§ 4. Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней 329

§ 5. Графическое решение уравнений с одним неизвестным 333

§ 6. Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными 335

§ 7. Уточнение корня уравнения или решения системы нелинейных

уравнений, исходя из грубого приближения 339

Глава V. Последовательности чисел 341

§ 1. Основные определения 341

| 2. Арифметическая прогрессия 344

§ 3. Геометрическая прогрессия 348

§ 4. Геометрическое представление числовой последовательности 351

§ 5. Предел числовой последовательности 352

§ 6. Теоремы о пределах 356

§ 7. Арифметические операции над последовательностями 36J

§ 8. Монотонные последовательности 366

§ 9. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии 368

§ 10. Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную. 371

Глава VI. Обобщение понятия о показателе степени 373

§ 1.Введение 373

§ 2. Понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем 373

§ 3. Понятие о степени с дробным показателем 375

§ 4. Понятие о степени с дробным отрицательным показателем 376

§ 5. Действия над степенями с рациональными показателями 377

§ 6. Степень с рациональным показателем 382

§ 7. Понятие о степени с иррациональным показателем 384

§ 8. Некоторые свойства степени с любым вещественным показателем 386

Глава VII. Показательные функции и логарифмы 388

§ 1. Определение показательной функции 388

§ 2. Свойства функции ах 388

§ 3. График показательной функции 391

§ 4. Определение логарифма 393

§ 5. Логарифмическая функция 393

§ 6. Свойства логарифмов чисел 395

§ 7. Теоремы о логарифмах 396

§ 8. Логарифмирование и потенцирование выражений 398

§ 9. Десятичные логарифмы 399

§ 10. Характеристика и мантисса 401

§ 11. Понятие о вычислении логарифмов 402

§ 12. Интерполирование 404

§ 13. Употребление четырехзначных логарифмических таблиц 404

§ 14. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками 405

§ 15. Понятие об устройстве логарифмической линейки 407

§ 16. Решение некоторых трансцендентных уравнений 409

Г лава VIII. Соединения и бином Ньютона 412

§1. Размещения 412

§2. Перестановки 414

§3. Сочетания 415

§4. Некоторые суммы и их свойства 417

§ 5.0 произведении двучленов, первые члены которых одинаковы. 418

§6. Натуральная степень бинома (формула Ньютона)419

§7. Свойства разложения по формуле Ньютона 419

Глава IX. Комплексные числа 423

§1. Развитие понятия числа 423

§2. Определение комплексного числа 428

§3. Свойства комплексных чисел4 29

§4. Свойства нуля 431

§5. Геометрическое представление комплексных чисел 431

§6. Комплексные числа в тригонометрической форме 432

§7. Формула Муавра 434

§8. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа 435

§9. Извлечение корня я-й степени из комплексного числа 435

§10. Некоторые приложения комплексных чисел 437

Глава X. Неравенства 440

§1. Основные свойства неравенств 440

§2. Доказательство неравенств 443

§3. Равносильные неравенства 449

§ 4. Решение неравенств и систем неравенств первой степени с

одним неизвестным 452

§ 5. Цель исследования уравнений 456

§ 6. Исследование уравнения первой степени с одним неизвестным. 456 § 7. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя

неизвестными458

§ 8. Исследование квадратного трехчлена 467

§ 9. Решение неравенства второй степени с одним неизвестным. 471

Глава XI. Уравнения высших степеней 473

§1. Уравнения л-й степени с одним неизвестным 473

§2. Деление многочлена относительно х на х — а 473

§3. Составление уравнения я-й степени по его корням 475

§4. Основная теорема алгебры и некоторые следствия из нее 476

§ 5. Теорема Виета 480

§6.0 решении уравнений высших степеней 481

§ 7. Вычисление рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами 482

§ 8. Решение двучленных уравнений 3-й, 4-й и 6-й степени 485

§ 9. Решение трехчленных уравнений 487

Дополнение 489

Ответы и решения 501

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая книга охватывает все вопросы, включенные в программу курса алгебры средней школы.

С целью использования книги как пособия для самообразования i в ней приведено большое количество упражнений и задач, снабженных ответами, указаниями и иногда решениями.

Мы считаем необходимым разъяснить читателю, самостоятельно работающему над изучением алгебры, что изучение каждого вопроса i курса алгебры нужно обязательно закрепить решением упражнений. Надо тщательно выполнить упражнения, помещенные в конце каждого параграфа, прежде чем переходить к следующему параграфу, Впрочем, при первом чтении книги можно выполнить только часть упражнений и перейти к изучению следующего параграфа, но тогда уж при повторении материала нужно выполнить все упражнения. i

Разумеется, примеры и задачи книги не могут заменить систематического сборника задач и упражнений по алгебре. Мы стара- i лись привести лишь примеры и упражнения от типовых до более i сложных.

При подборе упражнений по пропедевтическому курсу уравнений и задач на доказательство были частично использованы методические i работы А. Ф. Галкиной (Бедриной) и О. Я. Лихачевой. Кроме того, частично использованы сборники тренировочных упражнений для проведения математических олимпиад в г. Ленинграде.

Книга отличается следующими особенностями, которые мы отметим в i порядке, соответствующем ее построению:

1. В самом начале курса вводится понятие уравнения, и уравнения используются как аппарат для выражения зависимости между величинами.

2. При рассмотрении вопроса о порядке действий вводятся скобки для обозначения а: (Ь» с) и (а: Ь): с.

3.С самого начала курса используются таблицы для иллюстрации функциональной зависимости.

4. Введен специальный параграф для рассмотрения обратных действий, Здесь уделено особое внимание «делению на нуль».

5. Несколько параграфов гл. I посвящены вопросу о решении задач при помощи уравнений.

Читатель должен позаботиться о том, чтобы к тому времени, когда будет изучаться гл. VII ч. I, был бы уже приобретен навык по решению задач при помощи уравнений. Для этого необходимо на протяжении всего курса решать задачи на составление уравнений.

6. Решение уравнений с буквенными коэффициентами не отрывается от решения уравнений с числовыми коэффициентами. С самого начала курса ведется работа по исследованию уравнений и задач. Потребность в исследовании, а также необходимые для этого навыки воспитываются у учащихся постепенно.

7.В книге дается следующее определение отрицательного числа: каждому положительному числу сопоставляется число, называемое отрицательным. При этом считается, что добавление к какому-либо числу отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного (ч. I, гл. И, § 1).

Это определение занимает промежуточное положение между чисто внешним и полным аксиоматическим, в состав которого включаются правила действий. Оно наиболее близко к определению того понятия «вычитаемого числа>, которое было впервые введено в математику еще в античные времена. Вместе с тем в данном определении, помимо внешнего описания (первая часть формулировки), содержится самое существенное—возможность естественного обоснования действия вычитания из меньшего числа большего, что по мнению "авторов является наиболее существенным поводом для введения отрицательных чисел в математику. Именно эта возможность делает алгебру простым и совершенным аппаратом, имеющим огромную силу в приложениях, в то время как без этой возможности алгебра была бы совершенно беспомощной.

8.Гл. II ч. I заканчивается § 17, посвященным графическому изображению зависимости между двумя переменными величинами. Предполагается, что, начиная с этого времени, учащиеся будут систематически обращаться к графикам для изучения зависимостей между величинами. Это окажет большую помощь им как в овладении идеей функциональной зависимости, так и в использовании графиков для разрешения различных вопросов.

9.В параграфах, посвященных тождественным преобразованиям, не только выводятся и формулируются общие правила, но и показывается, как при решении конкретных вопросов следует пользоваться частными особенностями задачи, как следует вырабатывать у учащихся уменье подчинить выбор правил и приемов поставленной цели.

10.Деление целых алгебраических выражений отнесено в главу о преобразованиях дробных алгебраических выражений.

11.Основные свойства уравнений (ч. I, гл. VII, § 1) излагаются сначала без употребления термина «равносильность уравнений. Соответствующие теоремы не доказываются в общем виде. Вместо этого разъясняется на примерах, почему при таком-то преобразовании уравнения оно не теряет и не приобретает решений. Позднее (§ 2) вводится термин «равносильность уравнений^ и установленные свойства заново формулируются с помощью этого термина.

Объяснение сути дела здесь полезнее формального заучивания доказательств. Если учащийся сможет объяснить, почему при данном конкретном преобразовании уравнение не может потерять или приобрести решение, или, наоборот, может потерять или приобрести его, то цель можно считать достигнутой.

12.В книге разобран ряд задач на составление уравнений и при этом не только иллюстрируются обычные приемы составления уравнений, но и приводятся задачи, требующие оценки их решения по смыслу (ч. I, гл. VII, § 7).

13.Решение системы двух уравнений первой степени с "двумя неизвестными (гл. VIII) органически связано с таблицами и графиками. В связи с эт им в первую очередь излагается способ сравнения (§ 5). Он естественно вытекает из принятого изложения.

Решению систем способом сложения и вычитания (§ 7) предпосылается параграф о свойствах выводных уравнений (§ 6).

14.В гл. I ч. II, в которой рассматривается понятие иррационального числа, мы позволили себе некоторое отступление от традиционного изложения. Мы считаем, что понятие иррационального числа необходимо вводи исходя из потребностей алгебры (действие извлечения корня) и из потребностей геометрии (измерение отрезков). Изложение должно быть построено так, чтобы была ясна связь между этими двумя источниками происхождения понятия иррационального числа.

Иррациональное число мы определяем как длину> отрезка несоизмеримого с единицей масштаба, т. е. отождествляем понятие иррационального числа с эвклидовым «отношением» длин отрезков, называя такое отношение числом, если оно и не является рациональным числом.

Такое определение иррационального числа весьма наглядно и определенно и, как нам кажется, вполне отвечает тому уровню строгости, какой должен быть выдержан в школьном курсе элементарной алгебры. Более того, последовательное проведение теории иррационального числа на основе этого определения 4 и аксиом Гильберта (включая аксиому непрерывности) может быть выполнено совершенно строго, если отвлечься от вопроса о непротиворечивости аксиом геометрии.

Бесконечная десятичная дробь появляется как определенная форма записи иррационального числа. Возможность извлечения корня любой степени из положительного вещественного числа геометрически означает возможность измерения ординаты точки на графике степенной функции, имеющей заданную абсциссу.

15.В гл, II ч. II мы рассматриваем, кроме материала программы, некоторые типы уравнений четвертой степени, приводящиеся к квадратным, причем отмечаем метод введения вспомогательной неизвестной, который может быть использован во многих других случаях. В этой же главе рассматривается вопрос о равносильности уравнений и уясняется смысл высказывания о том, что одно уравнение есть следствие другого.

16.В гл. III ч. II мы рассматриваем графики простейших зависимостей— линейной функции, квадратной функции и обратной пропорциональности, но вместе с тем приводим ряд примеров графиков более сложных. Это облегчает усвоение темы, так как рассмотрение только простейших графиков чрезвычайно скучно для учащихся и, кроме того, на простейших примерах у учащихся не воспитывается ощущения графической наглядности алгебраической формулы, а потому и цель введения графиков остается не вполне уясненной.

17.В гл. IV ч. II рассматриваются системы уравнений высших степеней. Кроме простейших типов систем, мы приводим несколько более сложных примеров, демонстрируя на них, в частности, метод вспомогательного неизвестного. Наконец, при рассмотрении графического решения уравнений и систем мы позволили себе изложить в доступной форме метод Ньютона как средство уточнения решения уравнения или системы, снятого с графика.

18.Теория пределов изложена для последовательностей. Для большей наглядности применяются геометрические доказательства.

19.В гл. VI ч. II почти все теоремы о действиях над степенями с рациональными показателями даны петитом. Предполагается, что большинство из этих теорем будет изучено без доказательства. Теоремы § 6 и 8 нужны для изучения показательной функции.

20.В гл. VII ч. II особое значение имеет шестое свойство показательной функции (§ 2), выражающее теорему о существовании логарифма. В § 9 доказывается, что логарифмы рациональных чисел вообще иррациональны. Этот пункт § 9, а также § 11 «Понятие о вычислении логарифмов» можно опустить. Параграф об устройстве логарифмической линейки имеет целью сообщить только первые необходимые сведения.

21.Теория соединения и бином Ньютона изложены с доказательством всех относящихся сюда теорем,

22.При изложении теории комплексных чисел наибольшее затруднение вызывает вопрос о целесообразности введения в математику комплексных чисел. Здесь не удается указать такую практическую задачу, которая могла бы быть решена элементарно и из рассмотрения которой выяснилось бы, что

комплексные числа ввести целесообразно и что действия над ними нужно определить именно соответствующим образом. Поэтому о практической значимости введения комплексного числа # приходится только рассказать и ограничиться обоснованием целесообразности введения комплексного числа потребностями математики. Несколько позднее показывается, что введение комплексного числа облегчает решение некоторых математических задач. В истории математики понятие комплексного числа сложилось именно из потребностей самой математики, а приложения комплексных чисел к задачам механики, физики и т. д. были найдены значительно позднее.

23.В гл. X ч. И дается два изложения теории систем двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Второе из этих изложений дано петитом. Оно короче первого, но зато формальнее. Читатель может выбрать любое из этих изложений.

24.Гл. XI ч. II содержит основную теорему алгебры и некоторые следствия из нее.

25.В конце книги приложено «Дополнение». В этой главе разъясняются некоторые элементы логики, имеющие приложение в математике, и помещены примерные упражнения применительно к некоторым разделам курса. Само собой разумеется, что эта маленькая глава не претендует на полное освещение вопроса.