Алгебра и начала анализа 9 класс (Колмогоров, Вейц, Демидов, Ивашев-мусатов, Шварцбурд) 1975 год - старые учебники

8.Рекуррентная формула для вычисления числа сочетаний. 27

§ 4.Натуральная степень бинома (формула Ньютона)

9.Формула Ньютона. Основные следствия 29

10.Сведения из истории. Применение комбинаторики к теории вероятностей 32

11.Примеры более сложных задач из теории вероятностей . .34

Дополнительные упражнения к главе II 37

Глава III.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, БЕСКОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

§ 5.Действительные числа

12.Вводные замечания 40

13.Периодические десятичныедроби 42

14.Действительные числа 44

15.Десятичные приближения к действительному числу по недостатку и по избытку и арифметические действия с действительными числами . 46

16.Изображение чисел точками координатной прямой 43

17.Числовая прямая и числовая плоскость 5!

18.Некоторые свойства множества действительных чисел 54

§ 6.Бесконечные числовые последовательности. Предел последовательности

19.Бесконечные числовые последовательности 55

20.Геометрическое изображение последовательности и наглядные представления о пределе последовательности.57

21.Определение предела последовательности 60

22.Единственность предела. Сходящиеся и расходящиеся последовательности 63

23. 64

24.Сумма бесконечной геометрической прогрессиипри165

25.Понятие числового ряда 67

§ 7.Существование пределов и их вычисление

26.Необходимое условие сходимости 70

27.Теоремы о пределах 72

28.Бесконечно малые последовательности 73

29.Примеры вычисления пределов 75

30.Сравнение роста арифметической и геометрической прогрессий 76

31.Монотонные последовательности 79

32.Существование предела монотонной и ограниченной последовательности 81

33.Число л и длина окружности 84

Дополнительные упражнения к главе111 87

Глава IV.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНАЯ

§ 8.Первоначальные представления о производной и пределе функции 34. Числовые функции 93

35.Изменение функции, ее возрастание и убывание 97

36.Приращение функции 99

37.Производная как скорость изменения функции 103

38.Непрерывные и разрывные функции. Предел функции 107

39.Теорема о единственности предела 111

40.Теоремы о пределах 113

41.Непрерывность рациональных функций 114

§ 9.Производная

42.Определение производной 118

43.Примеры вычисления производных119

44.Производнаясуммы функций .122

45.Производнаяпроизведения функций123

46.Производнаямногочлена 125

47.Производнаячастного 126

48.Производнаядробно-рациональной функции . .127

49.Сложная функция 128

50.Производная сложной функции . .129

Дополнительные упражнения к главе IV 131

Глава V.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

§ 10.Применение производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике

51.Главная часть приращения функции 135

52.Касательная к графику функции 138

53.Скорость и ускорение 141

§11.Применение производной к исследованию функций

54.Возрастание и убывание функции 144

55.Критические точки функции, ее максимумы и минимумы . .146

56.Исследование квадратичной функции 150

57.Решение квадратичных неравенств 153

58.Общая схема исследования функций 155

59.Наибольшие и наименьшие значения функций 157

60.Сведения из истории . .161

Дополнительные упражнения к главе V 162

Глава VI.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ИХ ГРАФИКИ И ПРОИЗВОДНЫЕ

§ 12.Тригонометрические функции числового аргумента

61.Радианное измерение угловых величин 165

62.Длина дуги и площадь сектора .171

63.Синус и косинус числового аргумента .172

64.Графики синуса и косинуса 175

65.Тангенс и котангенс числового аргумента 177

66.Таблицы значений тригонометрических функций числового аргумента 179

§ 13.Основные свойства тригонометрических функций 67. Знаки значений тригонометрических функций 181

68.Четные и нечетные тригонометрические функции184

69.Периодичность тригонометрических функций 185

§ 14.Формулы сложения и следствия из них

70.Координаты вектора 188

7k Косинус и синус суммы 189

72.Тангенс суммы 193

73.Тригонометрические функции двойного аргумента .194

74.Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций 196

Дополнительные упражнения к главе VI .197

Ответы и указания к упражнениям 200

Обозначения, встречающиеся в учебном пособии 221

Глава

ПРИНЦИП

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

§ 1.

ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ИНДУКЦИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

1. Понятия полной и неполной индукций

Индукцией* называют метод рассуждений, ведущий от частных примеров к некоторому общему выводу. Например, складывая нечетные числа 1, 3, 5, 7, , 2м— 1 при различных значениях переменной п = 1, 2, 3, , получим**:

1 = 1 = I2;

1 + з = 4 = 22;

1 + з + 5 = 9 = З2;

14-3 + 5 + 7= 16 = 42;

1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52.

Легко заметить, что во всех приведенных примерах сумма первых нечетных натуральных чисел равна квадрату числа слагаемых. Напрашивается вывод, что это свойство имеет место при любом числе слагаемых. Наше предположение (гипотезу) можно сформулировать следующим образом: «Для всех натуральных п справедливо равенство:

1 + 3 + 5 + + (2п — 1) = п2».(1)

Таким образом, 5 рассмотренных примеров «навели» нас на гипотезу, которая, как будет показано ниже, справедлива.

* inductio — латинское слово, означающее «наведение».

** В первой строке стоит «сумма, состоящая из одного слагаемого». Такое понимание слова «сумма», при котором не исключаются и суммы, состоящие из одного слагаемого, иногда полезно в математике.

Рассмотрим еще один пример. Подставляя п квадратный трехчлен

Р (х) = х2 + х 4- 41

вместо х натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, найдем:

Р(1) = 43; Р(2) = 47; Р(3) = 53; Р(4) = 61; Р(5) = 71.

Все полученные значения данного трехчлена являются просты- м и числами. Подставляя вместо х числа 0, —1, —2, —3, —4, получим: Р (0) = 41; Р (— 1) = 41; Р (—2) = 43; Р(—3) = 47; Р (—4) = — 53. Значения данного трехчлена при указанных значениях переменной х также являются простыми числами.

Возникает гипотеза, что значение трехчлена Р(х) является простым числом при любом целом значении х. Однако высказанная гипотеза ошибочна, так как, например,

Р(41) - 413 4- 41 4- 41 = 41 • 43.

Таким образом, один и тот же метод рассуждений приводит в некоторых случаях к правильному выводу (в первом примере), а в других—к ошибочному выводу (во втором примере). Так как при этом методе вывод делается после разбора нескольких примеров, не охватывающих всех возможных случаев, то этот метод называется неполной индукцией.

Метод неполной индукции, как мы видим, не приводит к вполне надежным выводам, но он полезен тем, что позволяет сформулировать гипотезу, которую потом можно доказать или опровергнуть.

Если же вывод делается на основании разбора всех случаев, то такой метод рассуждений называют полной индукцией. Ясно, что такой метод применим, когда число случаев конечно (и не «слишком велико»).

Приведем несколько примеров применения метода полной индукции.

Пример 1. Доказать, что каждое натуральное число п, удовлетворяющее неравенству 2 п 15, либо является простым, либо представляется в виде произведения не более чем трех простых множителей.

Для доказательства рассматриваем каждое из натуральных чисел от 2 до 15. Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 простые. Числа 4, 6, 9, 10, 14, 15 представляются в виде произведения двух простых множителей, наконец, числа 8 и 12—в виде произведения трех простых множителей.

Пример 2. Доказать, что при любых а и b верно неравенство

| а 4- М < I а | 4- I b |.(1)

Для доказательства надо вспомнить, как в разных случаях определяется модуль суммы, и в каждом из этих случаев установить справедливость неравенства (1).

1)Числа а и b одного знака (оба положительны или оба отрицательны). В этом случае

|а + д|=|а| + р|,

и (не строгое!) неравенство (1) выполнено.

2)Числа а и b разных знаков (одно положительно, а другое отрицательно). В этом случае модуль суммы равен разности модулей слагаемых (естественно, что из двух разностей | а | — | b | и I b | — | а | выбирается неотрицательная). Так как модули сла-гаемых положительны, то их разность меньше их суммы. Поэтому и во втором случае

| а + b | < | а | + | b I,

и неравенство (1) тоже выполнено.

3)Если одно из чисел равно нулю, то обе части неравенства (1) равны модулю второго числа (независимо от того, является ли второе число нулем или нет). Поэтому неравенство (1) также выполнено.

Мы разобрали все возможные случаи и установили, что в каждом из них неравенство (1) верно.

Упражнения

1.Докажите, что каждое четное натуральное число п, большее двух, но меньшее 40, можно представить в виде суммы двух простых чисел*.

2.Посмотрите в учебнике алгебры VIII класса, как доказывается, что ах > 0 при а > 0 и х С Z. Можно ли сказать, что доказательство проведено методом полной индукции?

2.Принцип математической индукции

Вернемся к равенству

1 + 3 + 5 + + (2n— 1) = п2.

(1)

Для удобства обозначим через А(п) равенство (1) для натурального числа л. Тогда истинность Л(1), Л(2), Л(3), Л(4), Л(5) означает, что равенство (1) истинно при п = 1, п = 2, п = 3, п = 4, п = 5 (как было показано в начале пункта 1).

Поскольку высказывание Л(5) истинно: 1+3 + 54-7 + 9 = = 52, то

1+3 + 5 + 7 + 9+ 11 = 52 + 11 = 52 + 2- 5+1 = = (5 + I)2 = 62, т. е. истинно высказывание Л (6).

♦ Математики до сих пор не знают, будет ли это верно для любого четного натурального числа, большего двух.

Таким образом, доказано, что из истинности 4(5) следует истинность 4(6).

Предложение «из 4(5) следует 4(6)» записывают короче, используя вместо слова «следует» знак ==>: 4(5) => 4(6).

Докажем, что A(k) => A(k + 1). Это означает, что из равенства

1 + 3 + 5 + + (2/г — 1) = /г2 следует равенство

1 4- 3 + 5 + + (2k + 1) = (k + I)2.

В самом деле,

1 + 3 + 5 + + (2k — 1) + (2/г + 1) = = [14-3 + 54- + (2k — 1)] 4- (2k + 1) =

= k2 + 2k + 1 = (k + I)2.

Теперь уже ясно, что из 4(6) следует 4(7).

Точно так же из 4(7) следует 4(8), из 4(8) — 4(9) и так далее. Представляется очевидным, что таким образом можно добраться до любого натурального числа п и доказать для него высказывание А(п). Иначе говоря, представляется очевидным, что предложение 4(п), — о котором известно, что оно верно при п = 1 и что при любом k из A(k) вытекает A(k + 1), — верно при всех натуральных п. Но при всей наглядности и убедительности сказанного мы имеем здесь дело с новым математическим принципом, который принято называть принципом математической индукции.

Сформулируем его:

Если предложение 4(п), в котором п—натуральное число, истинно для п = 1 и из того, что оно истинно для п = k (где k — любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа п = k + 1, то предложение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Принцип математической индукции является одной из а к с и о м арифметики натуральных чисел, имеющей много применений в математике. На этом принципе основан метод доказательства, называемый методом математической индукции.

Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей: в первой части доказывают (проверяют) истинность высказывания 4(1); во второй части предполагают, что 4(п) верно для п = k, и доказывают справедливость предложения 4(п) для п = k + 1, т. е. A(k) A(k + 1).

Если обе части доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции предложение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Теперь мы можем считать, что равенство (1) справедливо для любого натурального числа п, так как оно справедливо для п — 1 и из A(k) следует A(k + 1).

ю

Пример 1. Вычислить сумму

— + — + — + 4!

1-33-55-7(2п —1)(2п 4-1)

для любого натурального значения п.

Обозначим эту сумму через Sn. Чтобы догадаться, какова формула для Snt вычислим несколько первых значений этой суммы Si, S2, S9, S4, . Рассмотрев эти числа, сформулируем гипотезу, а для ее доказательства воспользуемся методом математической индукции.

S =_L =1-

11-3 з’

S. = — + —=5,+ - = - + — = 1-33.5*3-533-55

S3=—+ — + -L = s2+-L=i+-L=3;

31.33.55.725•755-77

Si =-L + -!- + -L.+ -!-= S3+-L-=’+ -!-= l.

1.33.55.77.937 • 977-99

Рассматривая эти суммы,замечаем, чтов числителе стоитномер

искомой суммы, а в знаменателе — второй множитель знаменателя последнего слагаемого.

Таким образом, возникает гипотеза, что

— + — + —+••• Н= —— •(2)

1.33-55-7(2п — 1) (2п + 1) 2п + 1

Чтобы доказать истинность равенства (2), воспользуемся методом математической индукции.

Обозначим через А(п) равенство (2) для натурального числа п.

1.Д(1) имеет место, так как S, = — =.

2.Докажем, что A(k) A(k + 1):

=S 4! = _L_ 4.1 =

A (2fe 4-1) (2fe 4-3)2* 4- 1(2k 4- 1) (2k 4- 3)

= fe (2fe + 3) 4-1= (k 4-1) (2k 4-1) _*4-1

(2*4-1) (2*4-3) — (2*4-1) (2k 4-3)2(*4-1)4-1'

Обе части доказательства методом математической индукции проведены. Значит, равенство (2) доказано и

_L 4-+ _1_ +4_1=

1-33-55.7(2п—1) (2n 4-1) 2п 4-1

при любом натуральном значении п.

Пример 2. Доказать, что сумма п3 4- 5п делится на 6 при любом натуральном п.

Обозначим через А (п) предложение «хп — п3 + 5п делится на 6».

Так как = 1 4- 5 = 6, то при п = 1 сумма хп делится на 6, т. е. Л(1) имеет место. Докажем: A(k) => A(k 4- 1), т. е. из «хЛ делится на 6» следует: «хА+1 делится на 6».

Действительно,

*л+1= (k 4- I)3 4- 5(fe 4- 1) = £3 + 3/г2 4- 36 4- 1 4- 56 4- 5 = = (k3 4- 5й) 4- 3k(k 4- 1) 4- 6 = xk 4- 3k(k 4- 1) 4- 6.

Как видим, xh+1 состоит из трех слагаемых. Первое слагаемое этой суммы делится на 6 в силу A(k), второе слагаемое также делится на 6, так как произведение k{k 4-1) — число четное (объясните почему). Следовательно, каждое из трех слагаемых в выражении для хд+1 делится на 6. Значит, и xft+1 делится на 6. Утверждение доказано.

Пример 3. Доказать, что при h >—1 неравенство

(1 4- h)n >14- nh

(3)

верно для любого натурального п*.

1.При п = 1 имеем: 1 4- h = 1 4- h. Одно из соотношений «>» или «=» имеет место, значит, Л(1) истинно.

2.Докажем, что A(k) => A(k + 1).

Умножим обе части неравенства (1 4- h)k 1 4- kh на 14-^. Знак неравенства не изменится, так как 1 4- h > 0 ввиду условия h >— 1. Поэтому имеем:

(1 4- Я)Л+1-> (1 4- kh) (1 4- h) = 1 4- kh 4- h 4- kh3.

Так как kh2 0, то последнее слагаемое можно отбросить. Получим:

(1 4- h)k+l > 1 4- (А: 4- l)h.

Обе части доказательства методом математической индукции проведены, и, следовательно, неравенство Бернулли доказано.

Вы познакомились с тремя способами обоснования общих выводов. Первые два из них имеют широкое применение и за пределами математики.

1)Полная индукция приводит к общему выводу на основе рассмотрения каждого из конечного числа возможных частных случаев. Это вполне надежный метод рассуждений.

2)Неполная индукция приводит лишь к правдоподобному выводу на основе рассмотрения достаточно большого числа случаев. В математике неполная индукция служит лишь для

* Неравенство (3) называется неравенством Бернулли, в честь известного швейцарского математика Якоба Бернулли (1654—1705).

того, чтобы формулировать гипотезы, нуждающиеся затем в настоящем доказательстве или поддающиеся опровержению.

3)Математическая индукция — это специальный метод доказательства общих высказываний, верных для каждого натурального числа, т. е. высказываний вида: «Для каждого натурального числа п верно Л (л)». Этот метод, как и метод полной индукции, приводит к вполне надежным выводам.

Упражнения

3.Пользуясь методом математической индукции, докажите, что при любом натуральном значении п истинно равенство:

а) 1+2 + 3+ +л= »<п+1);

£

4.Последовательность (ап) — арифметическая прогрессия. Методом математической индукции докажите, что

a„ = «l + (n-l)d и S„=+

5.Последовательность (Ь„) — геометрическая прогрессия. Методом математической индукции докажите, что

и S„ =(Q¥,l).

q — 1

6.Вычислите сумму

_L + _L + _±. _i_ J

1-22 • 33-4 ' ’ " ‘ n(n + 1) '

7.Методом математической индукции докажите, что при любом натуральном п верно равенство:

а)1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + + п(п + 1) = М1±Ш1±2);

б)1 • 4 + 2 • 7 + 3 • 10 + + п (Зп + 1) = п\п + I)2.

8.Докажите, что при любом натуральном п значение выражения п3 4- 11 есть число, кратное 6.

9.Докажите, что при любом натуральном п значение выражения 7п— 1 кратно 6.

3*. Обобщение принципа математической индукции

Иногда предложение А (п) с переменной п при некоторых на» туральных значениях п ложно или не имеет смысла, но удается доказать, что предложение А (п) имеет, место для всех натураль» ных п, начиная с п = т. С другой стороны, иногда А (п) удается

доказать не только для натуральных значении п, но и для целых п, например, начиная с нуля или с какого-нибудь целого отрицательного значения п. В подобных случаях помогает такое обобщение принципа математической индукции:

Если предложение А(п), в котором п— целое число, истинно при п = пг и из того, что оно истинно для числа n — k, где k— любое целое число, большее или равное пг, вытекает, что оно истинно для следующего числа п — k-{- I, то предложение А (п) истинно для любого целого значения п^пг.

Пример. Найти все натуральные значения п, для которых выполняется неравенство 2" >п2.

При п = 1 это неравенство выполняется, но при п = 2, 3, 4 получаем соответственно: 22 = 22, 23<32, 24 = 42. Но при п, большем 4, данное неравенство справедливо. Докажем это.

Если п = 5, то 25 > 52. Докажем, что при k 5 из истинности высказывания A (k): 2А >№ — следует истинность высказывания Л(^4~1): 2/г+1 >(&+1)2. Так как k^.5, то /г>1 и k—2>1. Перемножая почленно последние два неравенства, получаем:

k (k — 2) > 1, k2 — 2k > 1, k2 > 2k 4- 1.

Поэтому

2л+1 = 2 • 2* > 2k2 = k2 + k2 > k2 + 2k + 1 = (k 4- I)2.

Следовательно, 2ft+1> (A-f-l)2.

Упражнения *

10.Пользуясь методом математической индукции, докажите, что верно неравенство:

а)2п > п при п 0 (п С Z);

б)2" > 2п 4- 1 при п > 3 (n £ Z).

11.Докажите, что при п^2 верно неравенство

|4- а2 + 4- ап || | 4-1 а214- 4" [ ап |.

Дополнительные упражнения к главе I

12.Докажите, что при любом значении х верно неравенство х+|х|^0. Объясните, в каком месте доказательства применяется полная индукция.

13.Докажите, что значением выражения х2+у2, где x€Z и у С Z, не может служить число, которое при делении на 4 дает в остатке 3. (Указание. Рассмотрите случаи, когда значения х и у — четные числа, нечетные числа, одно четное, а другое нечетное).