• 3. Тождественные преобразования 151
• 4. Тригонометрические уравнения. 156

Заключительная беседа 164

Задачи к главе III. 170

Глава IV. Показательная и логарифмическая функции^ 185

Вводная беседа —

• 1. Показательная функция 189
• 2. Логарифмическая функция 192
• 3. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 200 Заключительная беседа. 207

Задачи к главе IV 217

Глава V. Интеграл и его применение 231

Вводная беседа —

• 1. Вычисление интеграла 238
• 2. Приложения интеграла. 244

Заключительная беседа 253

Задачи к главе V 260

Глава VI. Уравнения и неравенства. 270

Вводная беседа —

$ 1. Уравнения с одним неизвестным 283

• 2. Неравенства с одним неизвестным 289
• 3. Системы уравнений. 292

Заключительная беседа 297

Задачи к главе VI 303

Задачи на повторение свойств функций 313

Лабораторные работы 322

Справочный материал 329

Ответы 343

ПРЕДИСЛОВИЕ

Перед вами учебник по математике.

Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель академик А. Н. Крылов, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть».

Учебник научит вас обращаться с такими математическими инструментами, как функции и их графики, производная и интеграл, уравнения и неравенства. Хотя первое ознакомление с большинством из этих понятий состоялось у вас раньше, книга представляет их вам заново. Это удобно для тех, кто забыл изучавшийся ранее материал, и полезно всем, так как даже в знакомых вещах обнаруживаются новые стороны и явления.

Аналогия математических понятий и результатов с рабочими инструментами не будет полной, если мы ничего не скажем о математических рассуждениях и доказательствах, которые играют роль инструкций и описаний. Не стоило бы так много усилий тратить на изучение математики, если бы ее применение сводилось бы к использованию справочника. Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создает общие приемы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.

Так же как кисть художника, его краски и правила пользования ими еще далеко не определяют то многообразие живописных полотен, которые он может создать, так и математические формулы и теоремы вместе с их доказательствами не дают представления о множестве задач, которые можно с их помощью решить. Большинство задач, решаемых при изучении математики, носят тренировочный характер. Без тренировки в проведении простых операций невозможно совершенствование ни в каком серьезном деле. Тем большую радость доставит вам решение интересных и трудных задач, которые вы найдете в предлагаемом учебнике.

Сведения по истории математики, как правило, включены в заключительную беседу. Кроме того, в книге приведены высказывания знаменитых математиков и краткие справки об их жизни.

А для низкой жизни были числа, Как домашний подъяремный скот, Потому что все оттенки смысла Умное число передает.

Н. Гумилев

Глава I

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

ВВОДНАЯ БЕСЕДА

1. Переменные

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем».

Эти слова, принадлежащие Ф. Энгельсу, ярко характеризуют новый этап в развитии математики, который связан с именами великих ученых XVII в.: Декарта, Ньютона и Лейбница. На основе их работ сформировалось понятие функции, были разработаны методы исследования функций, которые в течение трехсот лет остаются основным инструментом изучения окружающего мира с помощью математики.

Математика всегда была связана с вычислениями и формулами. Особенно много формул было получено при решении задач измерения — тысячелетия назад люди овладели формулами вычисления длин, площадей и объемов простейших фигур.

С помощью формул выражаются соотношения между различными величинами. Приведем примеры некоторых известных формул.

французский философ и математик. Одновременно с П. Ферма заложил основы аналитической геометрии и разработал теорию алгебраических уравнений. Историк математики Д. Я. Стройк написал о нем: «Заслуги Декарта прежде всего в том, что он применил хорошо развитую алгебру начала семнадцатого века к геометрическому анализу древних».

«И чем труднее доказательство, тем больше будет удовольствия тому, кто доказательство найдет».

Р. Декарт

При работе с формулами и при вычислениях по ним приходится совершать преобразования выражений. Эта сторона математики вам уже хорошо знакома. Она будет продолжена и в нашем курсе. В названии курса слово «алгебра» как раз и отражает выполнение различных преобразований, или, как говорят, операционную сторону математики.

Математический анализ, начала которого мы будем изучать в этом курсе, рассматривает формулу как соотношение между меняющимися, переменными величинами. Как изменится точность вычисления объема шара, если точность измерения его радиуса изменить на одну сотую? Это типичный вопрос математического анализа. Ответ на него можно получить с помощью преобразований, так как формула объема шара не слишком сложна. Однако ответ на аналогичный вопрос, связанный с формулой Герона, получить алгебраическими средствами трудно. Математический анализ создал методы, с помощью которых можно следить за характером изменения связанных между собой величин.

В первой из приведенных выше формул участвуют буквы V, R, л, где V — это объем шара, R — его радиус, л — отношение длины окружности к диаметру. Ясно, что величины V и R могут меняться, а л является постоянной. Приближенное значение константы л равно 3,14159 (с точностью до 0,00001). Во второй формуле встречаются буквы s, /, g, где s — это длина пути, t — время движения, a g — ускорение свободного падения. Величины s и t могут меняться, а величина g в этой формуле считается постоянной.

Переменная — это общий термин для обозначения различных меняющихся величин.

Например, рассматривая поведение газа в замкнутом объеме, можно измерить его температуру Т, его объем V, оказываемое им давление р.

Наблюдая за свободно падающим телом, можно измерить длину пути s, пройденного телом за время t, его скорость v в момент времени t, его кинетическую энергию Е в момент времени t и т. д.

В этих примерах участвуют различные переменные величины, или просто переменные.

2. Зависимость между переменными

Переменные, появляющиеся при описании какого-либо процесса, обычно бывают связаны между собой. Одной из основных задач экспериментальных наук является изучение этих связей. Например, закон Клапейрона — Менделеева утверждает, что давление р, объем V и температура Т идеального газа связаны соотношением.

Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. В то же время можно отвлечься от каких-то частных деталей, сосредоточив свое внимание лишь на некоторых сторонах процесса, идеализировав условия, в которых он протекает. Тогда удается построить математическую модель процесса, состоящую в перечислении основных характеристик и тех связей, которые между ними имеются.

Например, физики, вводя понятие идеального газа, пренебрегают взаимодействием между молекулами газа и их размером и получают газовые законы в виде соотношений между переменными р, V и Г.

При изучении падения материального тела можно пренебречь сопротивлением воздуха, изменением силы тяжести и т. п. и считать, что движение происходит по прямой с постоянным ускорением g. Тогда положение тела в любой момент времени t можно найти, зная его начальное положение и начальную скорость.

Какие значения могут принимать переменные? Во всех приведенных выше примерах переменные величины были скалярными, т. е. их значения задаются числами. И в дальнейшем мы будем изучать в основном переменные, принимающие числовые значения.

Границы, в которых могут меняться числовые значения переменных, обычно определяются физическими условиями. Так, закон Клапейрона — Менделеева верен лишь при значениях р, V и Т, лежащих в определенных промежутках.

Изучение различных зависимостей между переменными является нашей главной задачей.