17. Приращение функции 55

18. Определение производной 56

19. Правила вычисления производных 60

20. Сложная функция 65

21. Производная сложной функции 66

• 5. Применения производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике

22. Главная часть приращения функции 67

23. Касательная к графику функции 69

24. Скорость и ускорение 74

• 6. Применения производной к исследованию функций

25. Достаточное условие возрастания (убывания) функции 77

26. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы 81

27. Схема исследования функции 86

28. Наибольшее и наименьшее значения функции 89

29. Сведения из истории 93

Дополнительные упражнения к главе 2. 94

Глава III.

Тригонометрические функции

• 7. Тригонометрические функции числового аргумента

30. Радианное измерение угловых величин. 99

31. Синус и косинус числового аргумента 103

32. Тангенс и котангенс числового аргумента 105

• 8. Основные свойства тригонометрических функций

33. Знаки значений тригонометрических функций. 108

34. Четные и нечетные функции 111

35. Периодичность тригонометрических функций 113

• 9. Формулы сложения и их следствия

36. Косинус и синус суммы и разности 116

37. Тангенс суммы 119

38. Тригонометрические функции двойного аргумента 120

39. Тригонометрические функции половинного аргумента 121

40. Формулы суммы и разности косинусов (синусов) 124

41. Формулы приведения 125

• 10. Производные тригонометрических функций

42. Производная синуса 128

43. Производные косинуса, тангенса и котангенса 130

44. Непрерывность тригонометрических функций 131

45. Предел отношения длины хорды к длине стягиваемой ею дуги 133

• 11. Исследование тригонометрических функций

46. Свойства и график функции синус 136

47. Свойства и график функции. косинус 139

48. Свойства и график функции тангенс 141

49. Свойства и график функции. котангенс 143

50. Гармонические колебания 146

51. Обратная функция к непрерывной возрастающей (убывающей) функции 148

• 12. Тригонометрические уравнения и неравенства

52. Решение простейших тригонометрических уравнений 153

53. Решение простейших тригонометрических неравенств 159

54. Примеры решения тригонометрических уравнений 163

55. Сведения из истории 165

Дополнительные упражнения к главе JII. 166

Глава IV.

Первообразная и интеграл

• 13. Первообразная функции

56. Первообразная 172

57. Основное свойство первообразной 175

58. Три правила нахождения первообразных 178

• 14. Интеграл

59. Площадь криволинейной трапеции 179

60. Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница. 182

61. Работа переменной силы 187

62. Сведения из истории 190

Дополнительные упражнения к главе IV 192

Глава V.

Показательная, логарифмическая и степенная функции

• 15. Основные свойства показательной и логарифмической функций

63. Показательная функция 195

64. Логарифмическая функция 198

• 16. Производная показательной н логарифмической функций

65. Производная показательной функции 200

66. Дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания 203

67. Производная логарифмической функции 208

• 17. Степенная функция

68. Степенная функция и ее производная 211

69. Иррациональные уравнения 212

70. Сравнение роста логарифмической, степенной и показательной функций 214

71. Сведения из истории 216

Дополнительные упражнения к главе V 217

Глава VI.

Системы уравнений и неравенств

• 18. Системы уравнений

72. Равносильные уравнения и системы уравнений. 220

73. Решение систем линейных уравнений 224

74. Нелинейные уравнения и системы уравнений 228

• 19. Системы неравенств

75. Системы неравенств 235

76. Понятие о линейном программировании 239

77. Сведения из истории 244

Дополнительные упражнения к главе VI 244

Задачи повышенной трудности 246

Материал для повторения 255

Справочный материал 279

Задачи на повторение всего курса. 283

Ответы и указания к упражнениям. 294

Глава

ФУНКЦИЯ

• 1.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1. Вводные замечания

Числа вы изучаете с первых классов. Сначала — натуральные, потом — положительные рациональные, затем — отрицательные числа. В VII классе вы познакомились с иррациональными числами (в качестве примеров таких чисел приводились /2 и л). В VII же классе вы узнали, что объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называют множеством действительных чисел и обозначают R.

С множеством действительных чисел (хотя об этом явно и не было сказано) вы сталкивались и на уроках геометрии, когда говорилось о расстоянии между точками.

Для обозначения действительных чисел применялись разные формы записи. Так, рациональные числа записывались в виде —, я где р £ Z, q £ N. Но их можно было записывать и при помощи десятичных дробей (конечных или бесконечных). Например,

1 = 0,5; - = 0,6; — = 0,3333333. -

2 5 3 ^{1 2 * * 5}

Кроме того, употреблялись и специальные обозначения: У2, ]/Т, log₂ 13, л и т. п.

Для построения теории действительных чисел удобно установить единообразную запись чисел. Такой записью являются бесконечные десятичные дроби, с которыми вы встречались еще в V классе.

Целые числа и конечные десятичные дроби также можно записывать в виде бесконечных десятичных дробей, дополняя их справа бесконечной последовательностью нулей:

17 = 17,00000.; 0,5 = 0,50000.; —3,71 = —3,7100000.

При записи отрицательных чисел в таком виде знак минус перед отрицательной целой частью удобно писать сверху:

—2 = 2,00000., —3,715 = —4 + 0,285 = 4,285000.

Упражнения

Представьте в виде бесконечной десятичной дроби:

1.-. 2.2—. 3.--. 4.—. 5.——. 6.-7,935.

4 5 16 3 7

Выполните действие и запишите ответ в виде бесконечной десятичной дроби:

⁷-Т ⁺ 7- 9. 1 + 0,3. 10. |-0,4.

12.

\ 5/3

Сравните числа:

13. 17,586631 и 17,586897. 14. —2,37561 и —2,37571.

15. —9,786 и 0,687. 16. 0,2444444. и 0,244. 17. 0,428571 и -.

7

18. 0,461538 и -.

13

2. Действительные числа

Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. С давних пор числа употреблялись при счете и измерении величин.

Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» всегда выражается либо натуральным числом, либо числом нуль. Следовательно, множество

Z_o= {0; 1; 2; 3; }

всех неотрицательных целых чисел обслуживает все потребности счета.

Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние между двумя селениями может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратного метра и т. п.

Все практические измерения величин имеют лишь приближенный характер. Их результат с требуемой точностью можно выразить при помощи рациональных дробей или более специальным образом при помощи конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной в один метр с точностью до одного сантиметра, мы обнаружим, что ее длина приближенно равна 1,41 м. При измерении с точностью до одного миллиметра получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м.

Но в математике часто отвлекаются от приближенного характера практических измерений. В частности, в геометрии доказывают, что отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны должно равняться числу, квадрат которого равен 2, т. е. числу 2. Из курса алгебры VII класса вы знаете, что такого рационального

числа не существует. Говорят, что это число иррационально. Вам знаком и способ получения любого числа десятичных знаков }/2?

/2 = 1,41421356.

В качестве другого примера иррационального числа можно привести число «пи» — отношение длины окружности к ее диаметру: л = 3,14159265358.

или число 1g 3:

1g 3 = 0,47712.

Все числа, представимые бесконечными десятичными дробями, образуют множество действительных чисел. Полная теория действительных чисел довольно сложна и не входит в программу средней школы. Но с одним из способов ее построения мы познакомимся в общих чертах.

1. Принимают: а) каждому действительному числу а соответствует (в качестве его записи) бесконечная десятичная дробь:

ОС — 6Z(j, •••

б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

Но при этом естественно считать десятичную дробь, заканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь второй записью числа, выражающегося десятичной дробью, заканчивающейся бесконечной последовательностью нулей:

0,99999. = 1,00000.; 12,76599999. = 12,76600000.

Такое соглашение поясним примером:

0,(9) = 3 • 0,(3) =3-1=1.

Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей.

2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел х и у.

Если целая часть числа х меньше целой части числа у, то само число х меньше числа у. Для сравнения двух чисел, целые части которых равны, приходится обращаться к их дробным частям. Например,

15,30405. 15,30410.,

так как у этих чисел равны целые части и три первых десятичных знака после запятой, а четвертый знак после запятой у числа в левой части меньше: 0 1.

Правило сравнения действительных чисел, записанных в виде бесконечных десятичных дробей, можно сформулировать так:

если a_k b_k и = b_t при всех i k.

5,374 х 5,374 4- 0,001 = 5,375;

5,3741 х 5,3741 4- 0,0001 = 5,3742;

5,37419 х 5,37419 + 0,00001 = 5,37420.

С помощью десятичных приближений определяются операции сложения и умножения действительных чисел. Эти определения даются, исходя из следующих соображений.

Если х и у — рациональные числа, то сумма х 4- у уже определена, причем для любого п выполнены неравенства

х_п 4- У_п х 4- У х'_п+ у’_п.

Это свойство суммы должно быть сохранено и для произвольных действительных чисел (хотя бы для того, чтобы их сумму можно было находить приближенно). В курсах математического анализа доказывается, что для любой пары действительных чисел х и у существует единственное число г такое, что при любом п Z.N выполнено неравенство

х_п + Уп г х'_п 4- у’_п.

Это число г называют суммой чисел х и у (обозначают х 4- у).

Пример 2. Найдем первые четыре десятичных знака суммы х 4- У, где

х = 1,23001. и у = 0,78044.

Здесь многоточием отмечены следующие десятичные знаки, которые для решения не нужны. Для заданных чисел выпишем десятичные приближения с точностью до пяти знаков. Тогда

х_ь 4~ Уб = 2,01045 х 4- У ^х5 + У5 ⁼ 2,01047.

Вы видите, что слева и справа совпадают четыре десятичных знака. Следовательно, х 4- У — 2,0104.

Ответ, х 4- У = 2,0104.

Произведение неотрицательных действительных чисел определяется аналогично. Можно доказать, что для любой пары неотрицательных действительных чисел х и у существует единственное действительное число г, такое, что при любом п выполнено неравенство

х_пУ_а 2 х'_пу'_п.

Это число г называют произведением чисел х и у и обозначают ху. Для действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел |х| и | у | уже определено, полагают: ху — —|х| |у|; в остальных случаях ху — |х| |у|.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, деление — как действие, обратное умножению.

Пользуясь определениями арифметических операций, получаем основные свойства модуля:

1 х | — | У | | х 4- у | | х 14- | у |; 1 ху | - | х | • | у |;

- =1*1, У IУI ’

Напомним также (см. VII класс), что если |х — п| h, то число х называют приближенным значением числа а с точностью до h. Говорят, что х « а с точностью до h, и пишут: а — х ± h.

ПримерЗ. 1- ~ 0,33 с точностью до 0,01; V2 « 1,4142 с

точностью до 0,0001; л « 3,14159 с точностью до 0,00001.

Вообще десятичное приближение действительного числа х с точностью до 10^-п является приближенным значением числа х с точностью до 10~", т. е. х та х_п и х « х' с точностью до 10^-п.

Упражнения

Найдите десятичные приближения по недостатку и по избытку с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001 для числа:

33.0,2664. 34.-1,27. 35.-. 36. —

6 7

37. Проверьте, что числа 2,6 и 2,7 являются десятичными приближениями числа 7 с точностью до 0,1 по недостатку и избытку соответственно.

38. Проверьте, что 2,23 « с точностью до 0,01.

39. Известно, что х = 0,5638413., у = 1,34114825

Найдите пять первых десятичных знаков х + у.

Найдите с точностью до 0,001:

40. -+-. 41.- + К7. 42. КЗ+К5? 43. КТО — ]/2 ,

3 7 5

4. Координатная прямая и координатная плоскость

Как вам уже известно, действительные числа удобно представлять точками координатной прямой. Напомним, как вводятся координаты на произвольной прямой /.

Выберем на этой прямой две точки О, Е (рис. 1) и примем длину отрезка ОЕ за единицу измерения длин. Тогда расстояние между любыми двумя точками выражается неотрицательным действительным числом. Поставим в соответствие точке О число 0, произвольной точке Р луча ОЕ — положительное число | ОР\, а каждой точке N луча ОК — отрицательное число — | ON\. Тем самым каждой точке М прямой I поставлено в соответствие действительное число, которое называют координатой точки М и обозначают х_м\ при этом прямую I называют координатной прямой.

Это соответствие взаимно однозначно. Действительно, для любого числа х найдется единственная точка прямой I, имеющая координату х. Покажем это, например, для отрицательного числа х₀ (случай лг_о = О очевиден, случай х₀ > 0 рассматривается аналогично).