Алгебра: Пособие для самообразования (Никольский, Потапов) 1990 год - старые учебники

§ 5.Одночлены 59

1.Числовые выражения (59). 2. Буквенные выражения (60). 3. Понятие одночлена (62).4. Произведение одночленов (63).

5.Стандартный вид одночлена ( 65 ). 6. Подобные одночлены (67).

§ 6.Многочлены 69

1.Понятие многочлена (69).2. Свойства многочленов (70).

3. Многочлены стандартного вида (72). 4. Сумма и разность многочленов (74). 5. Произведение одночлена на многочлен (75).

6. Произведение многочленов (76). 7. Целые выражения (78).

8. Числовое значение целого выражения (79). 9. Тождественное равенство целых выражений (80).

§7.Формулы сокращенного умножения 82

1.Квадрат суммы (82). 2. Квадрат разности ( 83 ). 3. Выделение полного квадрата (83). 4. Куб суммы (85). 5. Куб разности (85). 6. Разность квадратов (86). 7. Сумма кубов (86). 8. Разность кубов (87). 9. Применение формул сокращенного умножения (88). 10. Разложение многочлена на множители (89).

§ 8.Алгебраические дроби 92

1.Понятие алгебраической дроби (92). 2. Арифметические действия над алгебраическими дробями (94). 3. Свойства алгебраических дробей (97). 4. Способы упрощения действий над алгебраическими дробями (98). 5. Рациональные выражения (100). 6. Числовое значение рационального выражения (103). 7. Тождественное равенство рациональных выражений (105).

§ 9.Линейные уравнения с одним неизвестным 106

1.Уравнения первой степени с одним неизвестным (106). 2. Линейные уравнения с одним неизвестным (108). 3. Решение линейных уравнений с одним неизвестным (111). 4. Решение задач с помощью линейных уравнений (112).

Исторические сведения  113

Глава 3. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ 116

§ 10.Понятие функции и ее графика 116

1.Декартова система координат на плоскости (116). 2. Понятие функции (119). 3. Понятие графика функции (122). 4. График функции = х (123).

§ 11.Функция у = х2 125

1.Основные свойства функции у = х2 (125). 2. График функции у=х2 (127).

1

§ 12.Функция у =—129

X

1.Основные свойства функции у = — (129). 2. График функции

У=- (131). х

§ 13.Квадратные корни 135

1.Понятие квадратного корня (135). 2. Арифметический квадратный корень (137). 3. Квадратный корень из натурального числа (138).

4.Приближенное вычисление квадратных корней (139). 5. Свойства арифметических квадратных корней (141).

Исторические сведения 143

Глава 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 145

§ 14.Квадратные уравнения 145

1.Квадратный трехчлен (145). 2. Понятие квадратного уравнения (148). 3. Неполные квадратные уравнения (149). 4. Решение общего квадратного уравнения (152). 5. Приведенное квадратное уравнение (155). 6. Теорема Виета (157). 7. Применение квадратных уравнений к решению задач (159) . 8. Комплексные числа (160).

§ 15.Рациональные уравнения 163

1.Понятие рационального уравнения (163). 2. Биквадратное уравнение (164). 3. Уравнения, решение которых сводится к решению

квадратных уравнений (167). 4. Распадающиеся уравнения (169). 5. Уравнение, левая часть которого алгебраическая дробь, а правая равна нулю (171). 6. Рациональные уравнения (173). 7. Искусственный способ решения рациональных уравнений (176). 8. Задачи (178).

§ 16.Системы линейных уравнений

1.Уравнение первой степени с двумя неизвестными (180). 2. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (182).

3.Способ подстановки (184) . 4. Способ уравнивания коэффициентов (186). 5. Равносильность уравнений и систем уравнений (188). 6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (192). 7. Задачи (195).

§ 17.Лилейная функция и системы двух уравнений с двумя неизвестными. 1. Прямая пропорциональная зависимость (197). 2. График прямой пропорциональной зависимости (197). 3. Линейная функция (202). 4. Равномерное движение (205). 5. Графический способ решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (206). 6. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (210).

§ 18.Системы рациональных уравнений

1.Понятие системы рациональных уравнений (214). 2. Системы уравнений первой степени (216). 3. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени (219). 4. Системы уравнений первой и второй степеней (220). 5. Решение задач при помощи систем уравнений первой и второй степеней (223). 6. Решение задач при помощи систем рациональных уравнений (225).

Исторические сведения

Глава 5. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕРАВЕНСТВА

§ 19.Квадратичная функция и ее график

1.Функция у = ах2 (233). 2. Парабола у = а (х - х0)2 + у0 (237). 3. График квадратичной функции (240). 4. Способы построения графика квадратичной функции (242). 5. Пример движения тела в ноле земного тяготения (243).

§ 20.Производные линейной и квадратичной функций

1.Мгновенная скорость (245). 2. Производные линейной и квадратичной функций (247). 3. Первообразная для линейной функции (250).

§ 21.Линейные неравенства с одним неизвестным

I.Неравенства первой степени (252). 2. Применение графиков к решению неравенств первой степени (253). 3. Линейные неравенства (256). 4. Системы линейных неравенств с одним неизвестным (258).

§ 22.Неравенства второй степени с одним неизвестным

1.Понятие неравенства второй степени с одним неизвестным (260). 2. Неравенства второй степени с положительным дискриминантом (262). 3. Неравенства второй степени с дискриминантом, равным нулю (265). 4. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом (267). 5. Неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени (269).

§23. Рациональные неравенства

1. Метод интервалов (272). 2. Решение рациональных неравенств (274). 3. Системы рациональных неравенств (276). 4. Нестрогие рациональные неравенства (278).

Исторические сведения

Глгва 6. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА 282

§ 24. Степенные функции 282

1. Некоторые свойства натуральных степеней (282). 2. Принцип полной индукции (284). 3. Функция у = хп (286). 4. График функции у = х (288). 5. Функция у =(290). 6. Функция у =— (292).

хпх

§25.Корень л-й степени 294

1.Понятие корня и-й степени (294). 2. Корни четной и нечетной степеней (296). 3. Арифметический корень (299) .4. Свойства корней п-й степени (302). 5. Корень п-й степени из натурального числа (304).

6.Функция у = \/х (306).

§26.Степень с рациональным показателем 309

1.Понятие степени с рациональным показателем (309). 2. Свойства степени с рациональным показателем (310).

§ 27.Показательная и логарифмическая функции 315

1.Показательная функция (315). 2. Понятие степени положительного числа (318). 3. Логарифмы (319). 4. Функция у =(322).

§ 28.Десятичные логарифмы 325

1.Понятие десятичного логарифма (325). 2. Вычисление десятичных логарифмов на микрокалькуляторах (325). 3. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (326). 4. Таблица десятичных логарифмов (328).5. Логарифмическая линейка (330).

Исторические сведения  332

Глава 7. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ334

§ 29.Арифметическая прогрессия 334

§ 30.Геометрическая прогрессия 336

1.Свойства геометрической профессии (336). 2. Убывающая геометрическая прогрессия (338). 3. Задача (339)-

Исторические сведения 341

Глава 8. ТРИГОНОМЕТРИЯ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ  343

§ 31.Синус, косинус, тангенс и котангенс угла 343

1.Понятие угла (343). 2. Определение синуса и косинуса угла (348). 3. Основные формулы для йпа и соз а (353). 4. Тангенс и котангенс угла (355).

§ 32.Формулы сложения 359

1.косинус разности и косинус суммы двух углов (359). 2. Формулы для дополнительных углов. Синус суммы и синус разности двух углов (362) . 3. Сумма и разность синусов и косинусов (364). 4. Формулы для двойных и половинных углов (366).

Исторические сведения 369

Глава 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 370

§ 33.Приближения чисел 370

1.Абсолютная величина числа (370). 2. Абсолютная погрешность приближения (372). 3. Относительная погрешность приближения (375). 4. Приближения суммы, разности, произведения и частного двух чисел (378). 5. Микрокалькуляторы (380).

§ 34.Оценки приближения суммы, разности, произведения и частного чисел 381

1.Абсолютная погрешность приближения суммы и разности (381).

2.Приближение произведения (383). 3. Приближение частного (385).

§ 35.Двоичное счисление 387

1.Понятие двоичного счисления (387). 2. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную (390). 3. Понятие о действиях в двоичной системе счисления (393).

§ 36.Начала программирования 395

1.Электронные вычислительные машины (395). 2. Ввод программы в ЭВМ (397). 3. Что происходит в ЭВМ? (400). 4. Условные команды (402).

Исторические сведения 404

Ответы 406

>ПРЕДИСЛОВИЕ

Авторы думают, что данная книга будет полезна для самообразования. Она может быть также учебным пособием для школьников, лиц, готовящихся к поступлению в вузы и техникумы, и учителей. Ее содержание соответствует программе 7—9-х классов средней школы.

Весьма трудным вопросом с методической точки зрения является изложение эволюции понятия числа. Каким образом и когда должно вводиться понятие действительного числа?

Все согласны, что действительное число надо вводить как десятичную дробь, вообще говоря, бесконечную. Но на какой стадии обучения это понятие должно быть введено и каким образом - здесь уже имеются разные точки зрения.

Мы считаем, что чем раньше сказать, что действительное число есть бесконечная десятичная дробь, тем лучше, потому что при изучении математики рано приходится оперировать с длиной отрезка, числовой осью, системой координат, графиками, квадратными корнями. Разговоры об иррациональности и несоизмеримости с единицей значительно упрощаются, если у изучающего математику есть представление (пусть самое элементарное) о числе как бесконечной десятичной дроби.

С изложения этого вопроса мы и начинаем нашу книгу. Сначала напоминаем те сведения из арифметики, которые, надо полагать, уже знакомы и которые нам понадобятся. Дополняя эти сведения, получаем, что рациональное число представимо в виде десятичной периодической дроби и, обратно, любая периодическая дробь есть представление некоторого рационального числа.

Отметим, что нет необходимости при этом вводить понятие сходящегося ряда. Приводятся примеры непериодических дробей, которые и называются иррациональными числами.

Бесконечные десятичные дроби сравниваются так же, как конечные десятичные дроби. Что же касается арифметических действий над ними, 8

то здесь уже приходится обращаться к приближенным методам, тем более что надо изучать элементы приближенных вычислений.

Понятия многочлена, в частности многочлена стандартного вида, и ненулевого многочлена вводятся, как обычно. Однако мы придерживаемся алгебраической точки зрения: буквы у нас не обязательно числа, обозначенные буквами. Методическая выгода этой точки зрения сказывается в особенности при рассмотрении алгебраических дробей. Алгебраическая дробь определяется как отношение одного многочлена к другому, отличному от нулевого. Перечисляются правила, которым подчиняются многочлены и алгебраические дроби. В частности, одно из правил гласит, что алгебраическую дробь можно сокращать на ненулевой многочлен.

Например, выражение есть алгебраическая дробь, потому что

а - Ь

его числитель и знаменатель - многочлены и при этом а - Ь есть ненулевой многочлен.аг _ ^2

Эту дробь можно сократить на ненулевой многочлен а - Ъ:  -

(а - Ъ) (а + Ъ) а + Ь_а Ь

=  =  = а + Ь. На этой стадии объясняется также, что

а - Ь1

если вместо букв в подобных алгебраических равенствах подставить числа, то получатся верные числовые равенства, если только их части (правая и левая) имеют смысл. К этой теме мы еще возвратимся, когда придется решать уравнения.

Длина отрезка определяется как число а =, где а0 —

длина его с точностью до 1 с недостатком; а0,а1 - длина его с точностью до 0,1 с недостатком; а0,а!а2 — Длина его с точностью до 0,01 с недостатком и т.д. Мы только формулируем.', но не считаем возможным объяснить, почему надо считать, что и, обратно, всякое число а0,• • •

есть длина некоторого отрезка.

Большое внимание уделяется графикам, особенно графикам линейной функции и функции у = х2. Ведь с помощью графиков линейной функции решаются уравнения и системы уравнений первой степени, а график у = х2 помогает понять, почему корней квадратных из положительного числа два - один положительный, а другой отрицательный.

Чтобы убедиться в существовании указанных квадратных корней из положительного числа у, появляется необходимость объяснить, почему график функции у = х2 есть непрерывная кривая.

Приходится, таким образом, говорить о переменных, стремящихся к нулю, и их свойствах. Но этот разговор носит чисто описательный, интуитивный характер.

Мы вводим также понятие производной и первообразной для многочлена. Это полезно при изучении равноускоренного движения на уроках физики в 9 классе.

В книге кратко излагаются основы двоичной системы счисления и имеется глава, посвященная приближенным вычислениям.

Отметим далее, что в книге много внимания уделено решению линейных, квадратных и вообще рациональных уравнений и неравенств, а также систем таких уравнений и неравенств.

По идеям данной книги был написан учебник, прошедший экспериментальную проверку в ряде школ.

При подготовке второго издания сделаны улучшения в сторону большей элементарности введения понятия действительного числа, улучшено изложение темы квадратных уравнений (§ 14), добавлены параграфы (§ 27, 28), посвященные степени с действительным (не только рациональным) показателем, а также показательной и логарифмической функциям.

С добавлением главы ” Тригонометрические формулы” наша книга полностью исчерпывает существующую школьную программу алгебры 7—9 классов. К более старшим классам средней школы (или к техникуму, или ПТУ) относятся § 20, 27, 28. § 36 "Начала программирования”, написанный Н.С. Бахваловым, с небольшими изменениями заимствован из пробного учебника для восьмого класса средней школы С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова. В конце глав введены исторические сведения.

Таким образом, главы этой книги при добавлении к ним достаточного количества упражнений составляют учебник алгебры 7-9-х классов средней школы.

ГЛАВА 1

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Натуральные числа

1. Простые и составные числа. Числа

1; 2; 3; 4; 5; . . .

называются натуральными или целыми положительными числами.

Мы знаем, что сумма и произведение натуральных чисел суть числа натуральные. Разность же натуральных чисел есть натуральное число только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого. Частное двух натуральных чисел тоже не всегда есть натуральное число.

Если при делении одного натурального числа на другое в частном получается натуральное число, то говорят, что первое число делится на второе нацело. Если же при делении одного натурального числа на другое в частном получилось не целое (дробное) число, то говорят, что первое число не делится на второе нацело.

Например, 25 делится на 5 нацело, а 7 не делится на 3 нацело. Слово "нацело” обычно в этих предложениях опускают. Таким образом, говорят, например, что

6 делится на 3; 30 делится на 5; 37 не делится на 4;

40 не делится на 6; 5 делится на 1.

Натуральные числа мы будем обозначать малыми латинскими буквами р, ц, . . .

Каждое натуральное число р делится на единицу:

Р : 1 = Р

и само на себя:

Р -Р = 1-

Среди натуральных чисел особое место занимают те, которые больше 1 и делятся только на 1 и на самих себя. Такие числа называют простыми.

Ниже приводится список первых 15 простых чисел:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47.