Алгебра учебник для VI-VIII классов (Барсуков) 1961 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Алгебра учебник для VI-VIII классов (Барсуков) 1961

Назначение: Учебник для 6-8 классов 

Шестое издание алгебры А. Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включённых в программу восьмилетней школы, выполнены С. И. Новоселовым.

Главу «Счётная (логарифмическая) линейка», возвышение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 г. Москвы И. Б. Вейцман.

© ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР  Москва 1961 

Авторство: Александр Николаевич Барсуков 

Формат: PDF Размер файла: 14.1 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава первая. Алгебраические выражения.

§ 1. Употребление букв 3

§ 2. Алгебраические выражения 5

§ 3. Допустимые значения букв . * 7

§ 4. Порядок действий 9

§ 5. Основные законы сложения и умножения 11

§ 6. Краткие исторические сведения 15

Г лава вторая. Рациональные числа.

§ 7. Положительные и отрицательные числа 16

§ 8. Числовая ось 18

§ 9. Противоположные числа •    19

§ 10. Абсолютная величина числа 20

§ 11. Сравнение рациональных чисел 22

§ 12. Сложение рациональных чисел 23

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

§ 13. Сложение нескольких чисел 27

§ 14. Законы сложения

§ 15. Вычитание рациональных чисел * . . . . 29

§ 16. Алгебраическая сумма 32

§ 17. Умножение 33

$ 18. Умножение нескольких чисел 35

§ 19. Законы умножения З7

§ 20. Деление 40

§ 21. Свойства деления 43

§ 22. Возведение в степень

§ 23. Порядок выполнения действий 4/

§ 24. Уравнения 48

§ 25. Решение задач с помощью уравнений 50

§ 26. Графики .   53

§ 27. Краткие исторические сведения 58

Глава третья. Действия нал целыми алгебраическими выражениями.

§ 28. Одночлен и многочлен 60

§ 29. Тождества и тождественные преобразования 63

§ 30. Коэффициент ........ 66

§ 31 Расположенные многочлен । 67

§ 32. Приведение подобных членов 69

$ 33. Сложение одночленов и многочленов . 70

§ 34. Противоположные многочлены 73

> 35. Вычитание одночленов и многочленов 74

§ 36 Умножение одночленов 77

§ 37. Умножение многочлена на одночлен 78

§ 38. Умножение многочленов 79

§ 39. Умножение расположенных многочленов 80

§ 40. Возведение одночленов в степень 82

§ 41. Формулы сокращённого умножения 83

§ 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выра* жен ий 87

§ 43. Деление одночленов 89

§ 44. Деление многочлена на одночлен 91

$ 45. Примеры решения уравнений 92

Глава четвёртая. Уравнения первой степени с одним неизвестным.

§ 46. Общие сведения 94

§ 47. Равносильные уравнения 98

§ 48. Два основных свойства уравнений 100

§ 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях . . . 103

§ 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным 105

$ 51. Общие указания к решению уравнений 106

§ 52. Решение задач с помощью уравнений 109

§ 53. Краткие исторические сведения 112

Глава пятая. Разложение многочленов на множители.

§ 54. Понятие о разложении на множители 114

§ 55. Вынесение за скобки общего множителя 115

$ 56. Способ группировки 117

§ 57. Применение формул сокращённого умножения 119

§ 58. Применение нескольких способов 121

§ 59. Деление многочленов при помощи разложения на множи тели 122

Глава шестая. Алгебраические дроби.

§ 60. Понятие об алгебраической дроби 125

§ 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей 126

§ 62. Перемена знака у членов дроби 128

§ 63. Целая отрицательная и нулевая степень числа 130

§ 64. Приведение дробей к общему знаменателю 131

§ 65. Сложение дробей 134

§ 66. Вычитание дробей 135

§ 67. Умножение дробей 136

§ 68. Деление дробей 137

§ 69. Возведение дроби в натуральную степень

§ 70. Дробные уравнения 138

§ 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами 141

Глава седьмая. Координаты и простейшие графики.

§ 72. Координаты точки на плоскости 144

§ 73. Прямо пропорциональная зависимость 146

§ 74. График прямо пропорциональной зависимости 148

§ 75. Линейная зависимость 151

$ 76. Обратно пропорциональная зависимость 153

Глава восьмая. Система уравнений первой степени с двумя неизвестными.

§ 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными .... 158

$ 78. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 162

§ 79. Равносильные системы 163

$ 80. Решение систем уравнений 164

§ 81. Графическое решение систем двух уравнений 167

§ 82. Решение задач 170

§ 83. Уравнения с тремя неизвестными 172

$ 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными 173

Глава девятая. Счетная (логарифмическая) линейка.

§ 85. Равномерные и неравномерные шкалы 175

$ 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки 17/

§ 87. Основная шкала 179

$ 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки . . . 182

Глава десятая. Квадратный корень.

§ 89. Построение графика зависимости у — х* 185

§ 90. Вычисление квадратов чисел по таблицам и при помощи счётной линейки 187

§ 91. Понятие об извлечении корня 192

92. Арифметический корень 194

$ 93 . Приближённый квадратный корень из положительного числа 196

§ 94. График зависимости у = Ух 199

§ 95. Извлечение квадратного корня из целых чисел 201

§ 96. Извлечение корня с точностью до 0,1; 0,01, и т. д. . . 205

$ 97. Квадратный корень из произведения, дроби и степени . 208

§ 98. Простейшие преобразования .211

§ 99. Извлечение квадратного корня по таблицам и при помощи счётной линейки 216

§ 100. Краткие исторические сведения 219

Г лава одиннадцатая. Квадратные уравнения.

§ 101. Квадратные уравнения 222

§ 102. Уравнения вида ах* + 5х = 0 223

$ 103. Уравнения вида ах* 4- с = 0 224

$ 104. Приведённое квадратное уравнение 227

§ 105. Квадратное уравнение общего вида 231

§ 106. Дискриминант 234

§ 107. Графическое решение квадратного уравнения 235

§ 108. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям . 237

§ 109. Теорема Виета 239

§ 110. Исследование корней квадратного уравнения 243

§ 111. Разложение квадратного трёхчлена на множители . . . 245

§ 112. Система двух уравнений, из которых одно второй и одно первой степени 249

§ 113. Краткие исторические сведения 251

Глава двенадцатая. Функции и графики.

§ 114. Переменные величины 253

§ 115. Понятие о функциональной зависимости. . * 254

§ 116. Аргумент и функция 255

§ 117. Способы задания функции 257

§ 118. Функция у — кх 259

§ 119. Линейная функция 263

§ 120. Трёхчлен второй степени 265

§ 121. График функции у = х*-|"п 267

§ 122 График функции у = (х-]~ т)9............. 269

§ 123. График трёхчлена у = х*-}-рх-|-у 271

§ 124. График трёхчлена у = ах9 Ьх с 274

§ 125 Возрастание и убывание квадратного трёхчлена .... 280

§ 126. Функция у = х’ и её график 283

§ 127. Понятие о кубическом корне 286

§ 128. Приближённое извлечение кубического корня

§ 129. График функции у= гх 289

§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений 

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Алгебра учебник для VI-VIII классов (Барсуков) 1961 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ГЛАВА ПЕРВАЯ.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.

§ 1. Употребление букв.

В алгебре числа обозначаются часто не цифрами, а буквами. Приведём примеры.

Пример 1. Из арифметики известно, что сложение чисел обладает переместительным законом: сумма не изменяется от перестановки слагаемых.

Например:

5 + 7 = 74-5 = 12;

11 +20 = 20+ 11 =31 и т. д.

Как записать, что этот закон верен не только для чисел 5 и 7 или 11 и 20, а для любых чисел? Поступим так: обозначим одно из слагаемых буквой а, а другое — буквой Ь. Сумму этих чисел запишем, как обычно: а + Ь. Тогда переместительный закон сложения запишется так:

а + Ь = Ь + а.

Эта запись показывает, что какие бы два числа а и Ь мы ни взяли, всегда получим в сумме одно и то же число, прибавим ли Ь к а или а к Ь.

Пример 2. Решим три сходные задачи: Брат старше сестры на 3 года. Сколько лет брату, если сестре: 1) 5 лет? 2) 11 лет? 3) 24-^- года?

Получим следующие решения:

1) 5 + 3 = 8; 2) 11 + 3= 14;

3) 241 + 3 = 27 1. м &

Вообще, каков бы ни был возраст сестры, к нему надо прибавить 3 года, чтобы получить возраст брата. Сформулируем поэтому задачу так: Брат старше сестры на 3 года. Сколько лет брату, если сестре т лет?

Здесь буквой т обозначен возраст сестры. Значит, возраст брата будет равен (т + 3) годам.

В нашей первой задаче т = 5, во второй т=11, в третьей т = 24 .

Мы решили задачу в общем виде. Запись т + 3 даёт общую формулу решения множества сходных, или, как говорят, однородных, задач, которые получим, заменяя т различными числами.

Пример 3. В задачниках по арифметике встречаются упражнения, например, такого вида:

х-ЬЗ= 11.

Требуется найти х.

Здесь буквой х (икс) обозначено неизвестное число — слагаемое. Зная, что каждое из двух слагаемых равно их сумме минус другое слагаемое, найдём х:

х = 11 — 3, то есть х = 8.

Здесь буква х означает число, которое было сначала для нас неизвестным и которое мы определили, пользуясь правилами арифметики.

В первом примере буквы а и Ь означали любые числа. Говорят, что в этом случае буквы а и Ь могут принимать любые числовые значения.

Во втором примере буква т тоже может принимать различные значения, но уже не любые. Например, бессмысленно было бы дать букве т значение т = 500, так как до такого возраста люди не доживают.

Наконец, в третьем примере, для того чтобы равенство было верным, буква х может принимать только единственное значение 8.

Обычно в алгебре для обозначения чисел употребляются буквы латинского алфавита.

§ 2. Алгебраические выражения.

Решим задачу.

Ученик купил п тетрадей по 2 коп. за тетрадь и учебник за 8 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?

Чтобы узнать стоимость всех тетрадей, надо цену одной тетради умножить на число тетрадей. Значит, стоимость тетрадей будет равна 2 • п копейкам.

Стоимость же всей покупки будет равна

(2 • п 4- 8) копейкам.

Заметим, что перед множителем, выраженным буквой, знак умножения принято опускать, он просто подразумевается. Поэтому предыдущую запись можно предста-вить в таком виде:

2л 4-8.

Получили формулу решения задачи. Она показывает, что для решения задачи надо цену тетради умножить на число купленных тетрадей и к произведению прибавить стоимость учебника.

Вместо слова «формула» для подобных записей употребляют также название «алгебраическое выражение».

Алгебраическим выражением называется запись, состоящая из чисел, обозначенных цифрами или буквами и соединённых знаками действий.

Для краткости вместо «алгебраическое выражение» говорят иногда просто «выражение».

Приведём ещё примеры алгебраических выражений:

3/лл; 9(р4-<7); а; (34-8)-7; 4,5.

Из этих примеров видим, что алгебраическое выражение может состоять только из одной буквы, а может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами (два последних примера). В этом последнем случае выражение называется также арифметическим выражением.

Дадим в полученном нами алгебраическом выражении 2л 4- 8 букве п значение 5 (значит, ученик купил 5 тетрадей). Подставив вместо п число 5, получим:

2-5 + 8.

что равно 18 (то есть 18 коп.).

Число 18 является значением данного алгебраического выражения при л = 5.

Значением алгебраического выражения называется число, которое получится, если в это выражение подставить вместо букв данные их значения и произвести над числами указанные действия.

Например, мы можем сказать: значение выражения 2л + 8 при л = 2 равно 12 (12 коп.).

Значение этого же выражения при л = 3 равно 14 (14 коп.) и т. д.

Мы видим, что значение алгебраического выражения зависит от того, какие значения мы дадим входящим в него буквам. Правда, иногда бывает, что значение выражения не зависит от значений входящих в него букв. Например, выражение 2(а + 3)— 2а равно 6 при любых значениях а.

Найдём в виде примера числовые значения выражения За + 26 при различных значениях букв а и Ь.

Пусть а = 4 и 6 = 2.

Подставим в данное выражение вместо а число 4, а вместо 6 число 2 и вычислим полученное выражение:

За + 26 = 3 • 4 + 2 - 2 = 12 + 4 = 16.

Итак, при а = 4 и 6 = 2 значение выражения За + 26 равно 16.

Таким же образом найдём, что при а = 5 и 6 = 7 значение выражения равно 29, при а = 0 и 6 = 1 оно равно 2 и т. д.

Результаты вычислений можно записать в виде таблицы, которая наглядно покажет, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения значений входящих в него букв.

Составим таблицу из трёх строк. В первой строке будем записывать значения а, во второй — значения 6 и

в третьей — значения выражения За 4- 26. Получим такую таблицу:

а 4 5 0 3 3

ь 2 7 1 5 1

3^4-26 16 29 2 19 11

В § 1, говоря о переместительном законе сложения, мы записали, что два выражения а 4- Ь и Ь-\-а равны: а 4- Ь = Ь 4- а.

Такая запись называется равенством.

Два алгебраических выражения, соединённые знаком «равно», образуют равенство.

Как известно из арифметики, кроме знака равенства, употребляются ещё знаки неравенства:

> — этот знак означает больше, < — этот знак означает меньше.

Например:

5>2 — читается: пять больше двух;

3<7 — читается: три меньше семи.

Следует запомнить, что знак неравенства всегда обращён остриём к меньшему числу.

Два выражения, соединённые знаком «больше» или «меньше», образуют неравенство.

Пример. Измерив отрезок, получили, что его длина д. больше 5 сл<, но меньше 6 см. Результат измерения можно записать в виде двойного неравенства:

5 см < (1 < 6 см.

§ 3. Допустимые значения букв.

Из примеров, приведённых в § 1, заключаем, что буквы, входящие в какое-либо алгебраическое выражение, могут принимать иногда любые значения (первый

пример), иногда лишь некоторые, но не любые значения (второй пример).

Определение. Значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, называются допустимыми значениями для этих букв.

Если выражение получилось в результате решения задачи, то совокупность, или, как принято говорить, множество, допустимых значений для букв определяется по смыслу самой задачи.

Так, в выражении 2п 4- 8, полученном в § 2, множеством допустимых значений для п является только множество натуральных чисел, так как количество тетрадей может выражаться лишь натуральным числом.

Если о значениях букв в данном выражении ничего не сказано, то для такого выражения допустимыми считаются все те значения букв, при которых выражение имеет смысл.

Пусть дано выражение:

2х— 15 2

Найдём его значение при х = 2. Подставив в него вместо х число 2, получим:

2-2—15 4-15

2 2

Получили в числителе уменьшаемое, которое меньше вычитаемого. Выражение при х = 2 потеряло смысл. Значит, число 2 не является допустимым значением для х. Легко видеть, что х в этом выражении может принимать 15

значения только большие или равные . При всех значениях х, меньших выражение теряет смысл. Коротко эти допустимые значения для х можно записать 15

так: х > -и- . л*

Знак > означает «больше или равно».

в 2

В выражении допустимыми значениями для а будут только числа, большие 3, так как при а = 3, в зна- 8

менателе получается нуль, а (как известно из арифметики) на нуль делить нельзя; если же а меньше, чем 3, то нельзя из а вычесть 3. Множество допустимых значений для а можно записать так: а>3.

§ 4. Порядок действий.

Когда в арифметике над числами нужно было произвести различные действия, то мы производили их в порядке, установленном особыми правилами. Эти же правила остаются и в алгебре.

Напомним, что

сложение и вычитание называются действиями первой ступени;

умножение и деление называются действиями второй Ступени.

Напомним теперь правила о порядке действий.

Правило 1. Действия одной и той же ступени производятся в том порядке, в каком они записаны.

Пример 1.

17—Ц 4-8 = 64-8= 14;

8:2 3 = 4-3= 12.

Правило 2. Если выражение содержит действия различных ступеней, то сначала производят действия высшей ступени, затем низшей ступени.

Поясним это правило на примерах.

Пример 1.

3 4- 5 • 7 = 3 4- 35 = 38.

Первым произведено умножение (действие второй ступени), затем — сложение.

Пример 2.

2,5 3,7 4-5,9-6,1—2,4-3,2 = = 9,25 4- 35,99 — 7,68 = 37,56.

И в этом примере мы сначала выполнили все умножения (действие второй ступени), а затем (в порядке записи)

произвели сложение и вычитание (действия первой ступени).

Но иногда приходится отступать от порядка, указанного в правиле 2. Покажем это на задаче.

Задача. Из двух пунктов одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного а км в час, другого Ь км в час. Каково расстояние между пунктами, если велосипедисты встретились через ( часов?

Решим задачу по вопросам.

1) Какое расстояние проходили за час оба велосипедиста вместе?

а 4- Ь (км).

2) Чему равно расстояние между двумя пунктами?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо полученное расстояние а + Ь умножить на /. Если мы запишем это действие в виде

а 4 Ы (км),

то ответ будет неверен, так как по правилу 2 мы должны в этом выражении Ь умножить на / и результат прибавить к а. Нам надо показать, что здесь сначала следует произвести сложение (действие первой ступени), а затем умножение (действие второй ступени). Показывается это при помощи скобок, и выражение записывается так:

(а + Ь) I (км).

Правило 3. Если нужно произвести раньше действия низшей ступени, то применяются скобки. Действия над числами, заключёнными в скобки, производятся первыми.

Приведём примеры.

1) 11—2-4= II—8 = 3, но (11—2)-4 = 9-4 = 36.

2) (54-3). (8 —2) = 8-6 = 48, но 54-3-8 — 2 = 5 + 24 — 2 = 27.

 

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика