Алгебра учебник для 6-8 классов (Барсуков) 1961 год - старые учебники
Скачать Советский учебник
Назначение: Учебник для 6-8 классов
Шестое издание алгебры А. Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включённых в программу восьмилетней школы, выполнены С. И. Новоселовым.
Главу «Счётная (логарифмическая) линейка», возвышение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 г. Москвы И. Б. Вейцман.
© ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва 1961
Авторство: Александр Николаевич Барсуков
Формат: PDF Размер файла: 14.1 MB
СОДЕРЖАНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава первая. Алгебраические выражения.
§ 1. Употребление букв 3
§ 2. Алгебраические выражения 5
§ 3. Допустимые значения букв . * 7
§ 4. Порядок действий 9
§ 5. Основные законы сложения и умножения 11
§ 6. Краткие исторические сведения 15
Г лава вторая. Рациональные числа.
§ 7. Положительные и отрицательные числа 16
§ 8. Числовая ось 18
§ 9. Противоположные числа • 19
§ 10. Абсолютная величина числа 20
§ 11. Сравнение рациональных чисел 22
§ 12. Сложение рациональных чисел 23
§ 13. Сложение нескольких чисел 27
§ 14. Законы сложения —
§ 15. Вычитание рациональных чисел 29
§ 16. Алгебраическая сумма 32
§ 17. Умножение 33
$ 18. Умножение нескольких чисел 35
§ 19. Законы умножения З7
§ 20. Деление 40
§ 21. Свойства деления 43
§ 22. Возведение в степень —
§ 23. Порядок выполнения действий 4/
§ 24. Уравнения 48
§ 25. Решение задач с помощью уравнений 50
§ 26. Графики . 53
§ 27. Краткие исторические сведения 58
Глава третья. Действия нал целыми алгебраическими выражениями.
§ 28. Одночлен и многочлен 60
§ 29. Тождества и тождественные преобразования 63
§ 30. Коэффициент ........ 66
§ 31 Расположенные многочлен । 67
§ 32. Приведение подобных членов 69
$ 33. Сложение одночленов и многочленов 70
§ 34. Противоположные многочлены 73
35. Вычитание одночленов и многочленов 74
§ 36 Умножение одночленов 77
§ 37. Умножение многочлена на одночлен 78
§ 38. Умножение многочленов 79
§ 39. Умножение расположенных многочленов 80
§ 40. Возведение одночленов в степень 82
§ 41. Формулы сокращённого умножения 83
§ 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выра* жен ий 87
§ 43. Деление одночленов 89
§ 44. Деление многочлена на одночлен 91
$ 45. Примеры решения уравнений 92
Глава четвёртая. Уравнения первой степени с одним неизвестным.
§ 46. Общие сведения 94
§ 47. Равносильные уравнения 98
§ 48. Два основных свойства уравнений 100
§ 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях . . . 103
§ 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным 105
$ 51. Общие указания к решению уравнений 106
§ 52. Решение задач с помощью уравнений 109
§ 53. Краткие исторические сведения 112
Глава пятая. Разложение многочленов на множители.
§ 54. Понятие о разложении на множители 114
§ 55. Вынесение за скобки общего множителя 115
$ 56. Способ группировки 117
§ 57. Применение формул сокращённого умножения 119
§ 58. Применение нескольких способов 121
§ 59. Деление многочленов при помощи разложения на множи тели 122
Глава шестая. Алгебраические дроби.
§ 60. Понятие об алгебраической дроби 125
§ 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей 126
§ 62. Перемена знака у членов дроби 128
§ 63. Целая отрицательная и нулевая степень числа 130
§ 64. Приведение дробей к общему знаменателю 131
§ 65. Сложение дробей 134
§ 66. Вычитание дробей 135
§ 67. Умножение дробей 136
§ 68. Деление дробей 137
§ 69. Возведение дроби в натуральную степень —
§ 70. Дробные уравнения 138
§ 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами 141
Глава седьмая. Координаты и простейшие графики.
§ 72. Координаты точки на плоскости 144
§ 73. Прямо пропорциональная зависимость 146
§ 74. График прямо пропорциональной зависимости 148
§ 75. Линейная зависимость 151
$ 76. Обратно пропорциональная зависимость 153
Глава восьмая. Система уравнений первой степени с двумя неизвестными.
§ 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными .... 158
$ 78. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 162
§ 79. Равносильные системы 163
$ 80. Решение систем уравнений 164
§ 81. Графическое решение систем двух уравнений 167
§ 82. Решение задач 170
§ 83. Уравнения с тремя неизвестными 172
$ 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными 173
Глава девятая. Счетная (логарифмическая) линейка.
§ 85. Равномерные и неравномерные шкалы 175
$ 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки 17/
§ 87. Основная шкала 179
$ 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки . . . 182
Глава десятая. Квадратный корень.
§ 89. Построение графика зависимости у — х* 185
§ 90. Вычисление квадратов чисел по таблицам и при помощи счётной линейки 187
§ 91. Понятие об извлечении корня 192
92. Арифметический корень 194
$ 93 . Приближённый квадратный корень из положительного числа 196
§ 94. График зависимости у = Ух 199
§ 95. Извлечение квадратного корня из целых чисел 201
§ 96. Извлечение корня с точностью до 0,1; 0,01, и т. д. . . 205
$ 97. Квадратный корень из произведения, дроби и степени . 208
§ 98. Простейшие преобразования .211
§ 99. Извлечение квадратного корня по таблицам и при помощи счётной линейки 216
§ 100. Краткие исторические сведения 219
Г лава одиннадцатая. Квадратные уравнения.
§ 101. Квадратные уравнения 222
§ 102. Уравнения вида ах* + 5х = 0 223
$ 103. Уравнения вида ах* 4- с = 0 224
$ 104. Приведённое квадратное уравнение 227
§ 105. Квадратное уравнение общего вида 231
§ 106. Дискриминант 234
§ 107. Графическое решение квадратного уравнения 235
§ 108. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям . 237
§ 109. Теорема Виета 239
§ 110. Исследование корней квадратного уравнения 243
§ 111. Разложение квадратного трёхчлена на множители . . . 245
§ 112. Система двух уравнений, из которых одно второй и одно первой степени 249
§ 113. Краткие исторические сведения 251
Глава двенадцатая. Функции и графики.
§ 114. Переменные величины 253
§ 115. Понятие о функциональной зависимости. . * 254
§ 116. Аргумент и функция 255
§ 117. Способы задания функции 257
§ 118. Функция у — кх 259
§ 119. Линейная функция 263
§ 120. Трёхчлен второй степени 265
§ 121. График функции у = х*-|"п 267
§ 122 График функции у = (х-]~ т)9............. 269
§ 123. График трёхчлена у = х*-}-рх-|-у 271
§ 124. График трёхчлена у = ах9 Ьх с 274
§ 125 Возрастание и убывание квадратного трёхчлена .... 280
§ 126. Функция у = х’ и её график 283
§ 127. Понятие о кубическом корне 286
§ 128. Приближённое извлечение кубического корня —
§ 129. График функции у= гх 289
§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений
Скачать бесплатный учебник СССР -Алгебра учебник для VI-VIII классов (Барсуков) 1961 года
СКАЧАТЬ PDF
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
§ 1. Употребление букв.
В алгебре числа обозначаются часто не цифрами, а буквами. Приведём примеры.
Пример 1. Из арифметики известно, что сложение чисел обладает переместительным законом: сумма не изменяется от перестановки слагаемых.
Например:
5 + 7 = 74-5 = 12;
11 +20 = 20+ 11 =31 и т. д.
Как записать, что этот закон верен не только для чисел 5 и 7 или 11 и 20, а для любых чисел? Поступим так: обозначим одно из слагаемых буквой а, а другое — буквой Ь. Сумму этих чисел запишем, как обычно: а + Ь. Тогда переместительный закон сложения запишется так:
а + Ь = Ь + а.
Эта запись показывает, что какие бы два числа а и Ь мы ни взяли, всегда получим в сумме одно и то же число, прибавим ли Ь к а или а к Ь.
Пример 2. Решим три сходные задачи: Брат старше сестры на 3 года. Сколько лет брату, если сестре: 1) 5 лет? 2) 11 лет? 3) 24-^- года?
Получим следующие решения:
1) 5 + 3 = 8; 2) 11 + 3= 14;
3) 241 + 3 = 27 1. м
Вообще, каков бы ни был возраст сестры, к нему надо прибавить 3 года, чтобы получить возраст брата. Сформулируем поэтому задачу так: Брат старше сестры на 3 года. Сколько лет брату, если сестре т лет?
Здесь буквой т обозначен возраст сестры. Значит, возраст брата будет равен (т + 3) годам.
В нашей первой задаче т = 5, во второй т=11, в третьей т = 24 .
Мы решили задачу в общем виде. Запись т + 3 даёт общую формулу решения множества сходных, или, как говорят, однородных, задач, которые получим, заменяя т различными числами.
Пример 3. В задачниках по арифметике встречаются упражнения, например, такого вида:
х-ЬЗ= 11.
Требуется найти х.
Здесь буквой х (икс) обозначено неизвестное число — слагаемое. Зная, что каждое из двух слагаемых равно их сумме минус другое слагаемое, найдём х:
х = 11 — 3, то есть х = 8.
Здесь буква х означает число, которое было сначала для нас неизвестным и которое мы определили, пользуясь правилами арифметики.
В первом примере буквы а и Ь означали любые числа. Говорят, что в этом случае буквы а и Ь могут принимать любые числовые значения.
Во втором примере буква т тоже может принимать различные значения, но уже не любые. Например, бессмысленно было бы дать букве т значение т = 500, так как до такого возраста люди не доживают.
Наконец, в третьем примере, для того чтобы равенство было верным, буква х может принимать только единственное значение 8.
Обычно в алгебре для обозначения чисел употребляются буквы латинского алфавита.
§ 2. Алгебраические выражения.
Решим задачу.
Ученик купил п тетрадей по 2 коп. за тетрадь и учебник за 8 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?
Чтобы узнать стоимость всех тетрадей, надо цену одной тетради умножить на число тетрадей. Значит, стоимость тетрадей будет равна 2 • п копейкам.
Стоимость же всей покупки будет равна
(2 • п 4- 8) копейкам.
Заметим, что перед множителем, выраженным буквой, знак умножения принято опускать, он просто подразумевается. Поэтому предыдущую запись можно представить в таком виде:
2л 4-8.
Получили формулу решения задачи. Она показывает, что для решения задачи надо цену тетради умножить на число купленных тетрадей и к произведению прибавить стоимость учебника.
Вместо слова «формула» для подобных записей употребляют также название «алгебраическое выражение».
Алгебраическим выражением называется запись, состоящая из чисел, обозначенных цифрами или буквами и соединённых знаками действий.
Для краткости вместо «алгебраическое выражение» говорят иногда просто «выражение».
Приведём ещё примеры алгебраических выражений:
3/лл; 9(р4-7); а; (34-8)-7; 4,5.
Из этих примеров видим, что алгебраическое выражение может состоять только из одной буквы, а может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами (два последних примера). В этом последнем случае выражение называется также арифметическим выражением.
Дадим в полученном нами алгебраическом выражении 2л 4- 8 букве п значение 5 (значит, ученик купил 5 тетрадей). Подставив вместо п число 5, получим:
2-5 + 8.
что равно 18 (то есть 18 коп.).
Число 18 является значением данного алгебраического выражения при л = 5.
Значением алгебраического выражения называется число, которое получится, если в это выражение подставить вместо букв данные их значения и произвести над числами указанные действия.
Например, мы можем сказать: значение выражения 2л + 8 при л = 2 равно 12 (12 коп.).
Значение этого же выражения при л = 3 равно 14 (14 коп.) и т. д.
Мы видим, что значение алгебраического выражения зависит от того, какие значения мы дадим входящим в него буквам. Правда, иногда бывает, что значение выражения не зависит от значений входящих в него букв. Например, выражение 2(а + 3)— 2а равно 6 при любых значениях а.
Найдём в виде примера числовые значения выражения За + 26 при различных значениях букв а и Ь.
Пусть а = 4 и 6 = 2.
Подставим в данное выражение вместо а число 4, а вместо 6 число 2 и вычислим полученное выражение:
За + 26 = 3 • 4 + 2 - 2 = 12 + 4 = 16.
Итак, при а = 4 и 6 = 2 значение выражения За + 26 равно 16.
Таким же образом найдём, что при а = 5 и 6 = 7 значение выражения равно 29, при а = 0 и 6 = 1 оно равно 2 и т. д.
Результаты вычислений можно записать в виде таблицы, которая наглядно покажет, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения значений входящих в него букв.
Составим таблицу из трёх строк. В первой строке будем записывать значения а, во второй — значения 6 и
в третьей — значения выражения За 4- 26. Получим такую таблицу:
а 4 5 0 3 3
ь 2 7 1 5 1
3^4-26 16 29 2 19 11
В § 1, говоря о переместительном законе сложения, мы записали, что два выражения а 4- Ь и Ь-\-а равны: а 4- Ь = Ь 4- а.
Такая запись называется равенством.
Два алгебраических выражения, соединённые знаком «равно», образуют равенство.
Как известно из арифметики, кроме знака равенства, употребляются ещё знаки неравенства:
— этот знак означает больше, — этот знак означает меньше.
Например:
52 — читается: пять больше двух;
37 — читается: три меньше семи.
Следует запомнить, что знак неравенства всегда обращён остриём к меньшему числу.
Два выражения, соединённые знаком «больше» или «меньше», образуют неравенство.
Пример. Измерив отрезок, получили, что его длина д. больше 5 сл, но меньше 6 см. Результат измерения можно записать в виде двойного неравенства:
5 см (1 6 см.
§ 3. Допустимые значения букв.
Из примеров, приведённых в § 1, заключаем, что буквы, входящие в какое-либо алгебраическое выражение, могут принимать иногда любые значения (первый
пример), иногда лишь некоторые, но не любые значения (второй пример).
Определение. Значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, называются допустимыми значениями для этих букв.
Если выражение получилось в результате решения задачи, то совокупность, или, как принято говорить, множество, допустимых значений для букв определяется по смыслу самой задачи.
Так, в выражении 2п 4- 8, полученном в § 2, множеством допустимых значений для п является только множество натуральных чисел, так как количество тетрадей может выражаться лишь натуральным числом.
Если о значениях букв в данном выражении ничего не сказано, то для такого выражения допустимыми считаются все те значения букв, при которых выражение имеет смысл.
Пусть дано выражение:
2х— 15 2 ’
Найдём его значение при х = 2. Подставив в него вместо х число 2, получим:
2-2—15 4-15
2 — 2 ’
Получили в числителе уменьшаемое, которое меньше вычитаемого. Выражение при х = 2 потеряло смысл. Значит, число 2 не является допустимым значением для х. Легко видеть, что х в этом выражении может принимать 15
значения только большие или равные . При всех значениях х, меньших выражение теряет смысл. Коротко эти допустимые значения для х можно записать 15
так: х -и- . л*
Знак означает «больше или равно».
в 2
В выражении допустимыми значениями для а будут только числа, большие 3, так как при а = 3, в зна- 8
менателе получается нуль, а (как известно из арифметики) на нуль делить нельзя; если же а меньше, чем 3, то нельзя из а вычесть 3. Множество допустимых значений для а можно записать так: а3.
§ 4. Порядок действий.
Когда в арифметике над числами нужно было произвести различные действия, то мы производили их в порядке, установленном особыми правилами. Эти же правила остаются и в алгебре.
Напомним, что
сложение и вычитание называются действиями первой ступени;
умножение и деление называются действиями второй Ступени.
Напомним теперь правила о порядке действий.
Правило 1. Действия одной и той же ступени производятся в том порядке, в каком они записаны.
Пример 1.
17—Ц 4-8 = 64-8= 14;
8:2 3 = 4-3= 12.
Правило 2. Если выражение содержит действия различных ступеней, то сначала производят действия высшей ступени, затем низшей ступени.
Поясним это правило на примерах.
Пример 1.
3 4- 5 • 7 = 3 4- 35 = 38.
Первым произведено умножение (действие второй ступени), затем — сложение.
Пример 2.
2,5 3,7 4-5,9-6,1—2,4-3,2 = = 9,25 4- 35,99 — 7,68 = 37,56.
И в этом примере мы сначала выполнили все умножения (действие второй ступени), а затем (в порядке записи)
произвели сложение и вычитание (действия первой ступени).
Но иногда приходится отступать от порядка, указанного в правиле 2. Покажем это на задаче.
Задача. Из двух пунктов одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного а км в час, другого Ь км в час. Каково расстояние между пунктами, если велосипедисты встретились через ( часов?
Решим задачу по вопросам.
1) Какое расстояние проходили за час оба велосипедиста вместе?
а 4- Ь (км).
2) Чему равно расстояние между двумя пунктами?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо полученное расстояние а + Ь умножить на /. Если мы запишем это действие в виде
а 4 Ы (км),
то ответ будет неверен, так как по правилу 2 мы должны в этом выражении Ь умножить на / и результат прибавить к а. Нам надо показать, что здесь сначала следует произвести сложение (действие первой ступени), а затем умножение (действие второй ступени). Показывается это при помощи скобок, и выражение записывается так:
(а + Ь) I (км).
Правило 3. Если нужно произвести раньше действия низшей ступени, то применяются скобки. Действия над числами, заключёнными в скобки, производятся первыми.
Приведём примеры.
1) 11—2-4= II—8 = 3, но (11—2)-4 = 9-4 = 36.
2) (54-3). (8 —2) = 8-6 = 48, но 54-3-8 — 2 = 5 + 24 — 2 = 27.
Алгебра - 6-7-8 КЛАССЫ
Автор - Барсуков А.Н., ★Все➙ Учебники 6 класс, ★Все➙ Учебники 7 класс, ★Все➙ Учебники 8 класс, Все - Для учащихся старших классов, Для учащихся средних классов, Алгебра - 6 класс, Алгебра - 7 класс, Алгебра - 8 класс, Алгебра - Для учащихся старших классов, Алгебра - для средних классов