Элементарная алгебра ПОСОБИЕ ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ (Туманов) 1970 год скачать Советский учебник

§ 6. Вычитание 33;

§ 7. Умножение 36;

§ 8. Деление 40;

§ 9. Особенности чисел 0 и 1 41;

§ 10. Понятие «больше» и «меньше» применительно к положительным и отрицательным числам 42;

Упражнения 44;

Глава II. Алгебраические выражения и формулы;

§ 1. Употребление букв для обозначения чисел 46;

§ 2. Степень 50;

§ 3. Коэффициент 51;

§ 4. Алгебраическое выражение и его числовое значение 53;

§ 5. Допустимые значения букв 54;

§ 6. Краткое название и полная словесная формулировка алгебраического выражения 55;

§ 7. Алгебраическая сумма 57;

§ 8. Одночлены и многочлены 59;

§ 9. Формулы 60;

§ 10. Предложения, связанные с понятием абсолютной величины 62;

Упражнения 66;

Глава III. Действия над алгебраическими выражениями и правила простейших преобразований;

§ 1. Понятие о действиях над алгебраическими (буквенными) выражениями 69;

§ 2. Понятие о преобразовании алгебраического выражения 70;

§ 3. Подобные одночлены и их приведение 72;

§ 4. Сложение, вычитание и умножение одночленов 74;

§ 5. Сложение, вычитание и умножение многочленов 75;

§ 6. Раскрытие скобок и заключение в скобки 79;

§ 7. Преобразование квадрата суммы и квадрата разности 81;

§ 8. Решение задач с помощью преобразований 82;

Упражнения 88;

§ 9. Простейший способ решения уравнений 90;

Упражнения 94;

Глава IV. Последующие правила преобразований и понятие о тождестве;

§ 1. Действия над степенями 96;

§ 2. Основные формулы умножения 98;

§ 3. Тождества и тождественные преобразования 101;

§ 4. Деление степеней и одночленов 104;

§ 5. Наибольший общий делитель 105;

§ 6. Деление многочлена на одночлен 106;

§ 7. Разложение многочлена на множители 107;

Упражнения 112;

Глава V. Алгебраические дроби;

§ 1. Первоначальные понятия и положения 114;

§ 2. Наименьшее общее кратное 117;

§ 3. Сложение и вычитание дробей 119;

§ 4. Умножение и деление дробей 123;

§ 5. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей 124;

§ 6. Общее преобразование рациональных выражений 125;

§ 7. О символах ... 126;

Упражнения 128;

Глава VI. Пропорции. Ряд равных отношений.;

§ 1. Пропорции 131;

§ 2. Производные пропорции 132;

§ 3. Определение неизвестного члена пропорции 134;

§ 4. Ряд равных отношений 135;

Упражнения 136;

Глава VII. Прямая и обратная пропорциональность;

§ 1. Прямая пропорциональность 137;

§ 2. Обратная пропорциональность 140;

§ 3. Пропорциональное деление 142;

Упражнения 143;

§ 4. Пропорциональность квадрату или кубу;

Упражнения 144;

Глава VIII. Начала теории уравнений;

§ 1. Уравнение как математическое выражение условия задачи 146;

§ 2. Общие понятия 147;

§ 3. Классификация уравнений 150;

§ 4. Равносильные уравнения 152;

Упражнения 158;

Глава IX. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным;

§ 1. Показ на примерах 159;

§ 2. Правило решения уравнений первой степени с одним неизвестным 162;

§ 3. Особые случаи уравнений с числовыми коэффициентами 163;

§ 4. Дробные уравнения 164;

§ 5. Уравнения, у которых правая часть есть нуль, а левая—произведение выражений, зависящих от неизвестного 167;

§ 6. Уравнения, у которых левая и правая части представляют собой произведения, имеющие общий множитель, зависящий от неизвестного;

Упражнения 168;

Глава X. Системы линейных уравнений;

§ 1. Система уравнений как математическое выражение нескольких условий задачи 170;

§ 2. Одно уравнение с двумя неизвестными 173;

§ 3. Одно уравнение с тремя неизвестными 174;

§ 4. Способы решения линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными, заданной в нормальной форме 175;

§ 5. Дополнение к вопросу о решении системы 178;

§ 6. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, заданной в нормальной форме 179;

§ 7. Системы уравнений, решение которых удобно выполнить с помощью искусственных приемов 180;

§ 8. Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей 184;

§ 9. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей 187;

Упражнения 189;

Глаза XI. Решение задач при помощи уравнений;

§ 1. Общие сведения 191;

§ 2. Решение задач при помощи одного уравнения с одним неизвестным 194;

§ 3. Решение задач при помощи систем уравнений 196;

§ 4. Дополнительные задачи на составление уравнений 197;

Упражнения 203;

Глава XII. Арифметический квадратный корень и несоизмеримые отрезки;

§ 1. Арифметический квадратный корень 205;

§ 2. Теорема о квадратном корне из двух 212;

§ 3. Несоизмеримые отрезки 213;

§ 4. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков 214;

§ 5. О длине отрезка, несоизмеримого с отрезком, принятым за единицу длины 215;

Глава XIII. Рациональные числа и их основные свойства;

§ 1. Некоторые предварительные замечания 217;

§ 2. Рациональная числовая область 218;

§ 3. Конечные и бесконечные десятичные дроби;

§ 4. О возможности изображения всякого рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби 219;

§ 5. Основная теорема о рациональных числах;

§ 6. Рациональные точки числовой оси 220;

Глава XIV. Иррациональные числа и их основные свойства;

§ 1. О необходимости расширения рациональной числовой области 221;

§ 2. Существование на числовой оси точек, не являющихся рациональными 222;

§ 3. Понятие об иррациональном числе 223;

§ 4. Сравнение иррациональных чисел 229;

§ 5. Сложение и умножение иррациональных чисел 230;

Упражнения 233;

Глава XV. Арифметические корни и действия над ними;

§ 1. Первоначальные сведения о корнях 234;

§ 2. Основное свойство арифметического корня 236;

§ 3. Действия над арифметическими корнями 238;

§ 4. Некоторые важные преобразования 240;

§ 5. Нормальный вид корня 243;

§ 6. Подобные корни и их приведение 244;

§ 7. Преобразование сложного корня 245;

§ 8. О возможности нахождения арифметического корня с любой степенью точности 246;

Упражнения 248;

Глава XVI. Квадратные уравнения;

§ 1. Возникновение квадратного уравнения из практической задачи 253;

§ 2. Полные и неполные квадратные уравнения 255;

§ 3. Приведенное квадратное уравнение;

§ 4. Вывод формулы корней общего квадратного уравнения;

§ 5. Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению;

§ 6. Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени;

§ 7. Свойства корней квадратного уравнения;

§ 8. Корень многочлена;

§ 9. Разложение на множители многочлена ...;

§ 10. Составление квадратного уравнения по его корням;

§ 11. Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции;

§ 12. Наименьшее или наибольшее значение квадратной функции;

§ 13. Понятие о кратных корнях;

Упражнения;

Глава XVII. Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным;

§ 1. Биквадратное уравнение;

§ 2. Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное;

§ 3. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени;

Упражнения;

Глава XVIII. Иррациональные уравнения;

§ 1. Основные сведения;

§ 2. Иррациональные уравнения, содержащие один радикал;

§ 3. Уравнения, содержащие два квадратных радикала;

§ 4. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений;

§ 5. Способ решения иррационального уравнения с помощью системы;

рациональных уравнений;

Упражнения;

Глава XIX. Функции и их графики;

§ 1. Переменные величины;

§ 2. Функция одного аргумента;

§ 3. Графическое изображение функции одного аргумента;

§ 4. Прямоугольная система координат на плоскости;

§ 5. Примеры построения графиков функций;

§ 6. Графики функций ...;

§ 7. График функции ...;

§ 8. Уравнение равномерного движения;

§ 9. График равномерного движения;

§ 10. График движения поездов;

§ 11. График многочлена 2-й степени;

§ 12. Способы задания функции;

§ 13. Функциональный знак;

§ 14. Понятие о четных и нечетных функциях;

§ 15. Понятие о промежутках возрастания и убывания функции одного аргумента;

§ 16. Дополнительное разъяснение о способах задания функций;

§ 17. Графический способ отыскания приближенных значений корней уравнения;

§ 18. Понятие о геометрическом образе уравнения;

§ 19. Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;

Упражнения;

Глава XX. Алгебраический и графический способы решения системы уравнений выше первой степени;

§ 1. Общие замечания 333;

§ 2. Решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащей одно уравнение первой степени и одно — второй степени 334;

§ 3. Системы двух уравнений, в которых оба уравнения второй степени 336;

§ 4. Графический способ решения систем уравнений с двумя неизвестными 340;

§ 5. Отыскание точек пересечения простейших линий алгебраическим способом 344;

§ 6. Системы трех уравнений с тремя неизвестными 351;

Упражнения 355;

ЧАСТЬ ВТОРАЯ;

Глава XXI. Неравенства;

§ 1. Основные положения 357;

§ 2. Доказательство неравенств 359;

§ 3. Неравенства с одним неизвестным 363;

§ 4. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным 364;

§ 5. Решение систем неравенств первой степени 365;

§ 6. Решение неравенств второй степени 369;

§ 7. Примеры на неравенства 2-й степени 374;

Упражнения 377;

Глава XXII. Пределы;

§ 1. Задачи, приводящие к возникновению понятия предела 380;

§ 2. Определение понятия предела 386;

§ 3. Различные типы стремления к пределу 388;

§ 4. Признак Вейерштрасса 389;

§ 5. Бесконечно малые 391;

§ 6. Свойства бесконечно малых 392;

§ 7. Свойства пределов 393;

§ 8. Бесконечно большие 395;

§ 9. Примеры вычисления пределов 396;

§ 10. Теоремы ...;

Упражнения 401;

Глава XXIII. Последовательности;

§ 1. Примеры и определения 403;

§ 2. Арифметическая прогрессия 405;

§ 3. Геометрическая прогрессия 409;

§ 4. Понятие предела последовательности чисел 415;

Упражнения 416;

Глава XXIV. Ряды сходящиеся и расходящиеся;

§ 1. Задачи, приводящие к возникновению понятия ряда 417;

§ 2. Понятие ряда 418;

§ 3. Примеры вычисления сумм сходящихся рядов 419;

§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма 420;

§ 5. Примеры расходящихся рядов 423;

Упражнения;

Глава XXV. Обобщенная степень, показательная функция и показательные уравнения;

§ 1. Обобщенная степень 425;

§ 2. Измерение одночлена и однородные многочлены 428;

§ 3. Показательная функция 429;

§ 4. Показательные уравнения 433;

Упражнения 437;

Глава XXVI. Логарифмы;

§ 1. Понятие логарифма 438;

§ 2. Общие свойства логарифмов 442;

§ 3 Основные теоремы;

§ 4. Логарифмирование произведения, частного степени и корня 444;

§ 5. Практическое значение логарифмов 445;

§ 6. Свойства десятичных логарифмов 446;

§ 7. Таблица четырехзначных десятичных логарифмов Брадиса 450;

§ 8. Таблица четырехзначных антилогарифмов 453;

§ 9. Примеры вычислений с помощью таблиц логарифмов 454;

§ 10. Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратный переход 455;

§ 11. Некоторые употребительные формулы 456;

§ 12. Потенцирование 457;

§ 13. Логарифмические уравнения 458;

§ 14. Графики логарифмических функций 463;

Упражнения 466;

Глава XXVII. Тригонометрические функции произвольного угла и первые три группы основных формул;

§ 1. Обобщение понятия угла 468;

§ 2. Синус 469;

§ 3. Таблица значений sin а с точностью до 0,001 для углов от 1 до 89° 472;

§ 4. Косинус 474;

§ 6. Функции углов 478;

Упражнения 479;

§ 7. Радианное измерение углов;

§ 8. Тригонометрические функции отвлеченного числа 481;

§ 9. Первые три группы формул 482;

Упражнения 488;

Глава XXVIII. Последующие группы основных тригонометрических формул;

§ 1. Формулы сложения (четвертая группа) 490;

§ 2. Формулы умножения (пятая группа) 495;

§ 3. Формулы деления (шестая группа) 497;

§ 4. Формулы, выражающие тригонометрические функции угла через;

тангенс половинного угла (седьмая группа) 499;

§ 5. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических;

функций в произведение (восьмая группа) 500;

§ 6. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций (девятая группа) 501;

Упражнения 507;

§ 7. Периодичность тригонометрических функций и их графики 509;

§ 8. Тригонометрические уравнения 512;

§ 9.0 косекансе, секансе и котангенсе 527;

§ 10. Простое гармоническое колебание 528;

Упражнения 533;

Глава XXIX. Обратные тригонометрические функции;

§ 1. Общее определение 534;

§ 2. Свойства однозначных обратных тригонометрических функций 535;

§ 3. Выражения многозначных обратных тригонометрических функций 539;

§ 4. О знаках математических действий;

§ 5. Примеры преобразований и вычислений, связанных с однозначными обратными тригонометрическими функциями 541;

§ 6. Взаимно обратные функции и связь между их графиками 547;

Упражнения 549;

Глава XXX. Комплексные числа;

§ 1. Задачи, приводящие к возникновению выражений вида ...;

§ 2. Алгебраическая форма комплексного числа 552;

§ 3. Основные понятия 553;

§ 4. Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме 555;

§ 5. Комплексные числа как аффиксы точек 558;

§ 6. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел 557;

§ 7. Модуль и аргумент комплексного числа 558;

§ 8. Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих и выражение составляющих в зависимости от;

модуля и аргумента 562;

§ 9. Тригонометрическая форма комплексного числа;

§ 10. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме 563;

§ 11. Возведение в степень 564;

§ 12. Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа 565;

§ 13. Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов 570;

§ 14. Задачи 573;

§ 15. Комплексные числа как изображения физических величин 575;

Упражнения 579;

Глава XXXI. Умножение и деление расположенных многочленов;

§ 1. Многочлен п-й степени 582;

§ 2. Умножение расположенных многочленов 584;

§ 3. Деление расположенных многочленов 585;

§ 4. Нахождение наибольшего общего делителя многочленов с помощью их разложения на неприводимые множители 591;

§ 5. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов 592;

Упражнения 595;

§ 6. Выделение целой части неправильной рациональной дроби 596;

Упражнения 597;

Глава XXXII. Теорема Безу и ее применения;

§ 1. Иллюстрация теоремы Безу на примерах 598;

§ 2. Формулировка и доказательство теоремы Безу 599;

§ 3. Применения теоремы Безу 601;

Упражнения 603;

Глава ХХХШ. Теорема Гаусса и свойства целой рациональной функции;

§ 1. Теорема Гаусса 605;

§ 2. Свойства целой рациональной функции 606;

§ 3. Примеры разложения целой рациональной функции с действительными коэффициентами степени выше второй на действительные неприводимые множители 608;

§ 4. Формулы Виета 612;

Глава XXXIV. Уравнения высших степеней с одним неизвестным;

§ 1. Биквадратное уравнение 616;

Упражнения 617;

§ 2. Возвратное уравнение 4-й степени;

§ 3. Двучленные уравнения 618;

§ 4. Трехчленные уравнении 623;

§ 5. Целое алгебраическое уравнение;

§ 6. Отыскание рациональных корней целого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами 624;

§ 7. О решении уравнений 3-й и 4-й степени 628;

Упражнения 630;

Глава XXXV. Некоторые системы уравнений высших степеней, решаемые искусственным путем 631;

Глава XXXVI. Математическая индукция;

§ 1. Теоретические сведения 635;

§ 2. Применение метода математической индукции 637;

§ 3. Неравенство Коши 640;

Упражнения 644;

Глава XXXVII. Соединения (комбинаторика);

§ 1. Размещения 646;

§ 2. Перестановки 650;

§ 3. Сочетания 651;

§ 4. Соединения с повторениями 654;

Упражнения 661;

Глава XXXVIII. Бином Ньютона;

§ 1. Вывод формулы бинома Ньютона 663;

§ 2. Свойства разложения Бинома 664;

§ 3. Свойства биномиальных коэффициентов 665;

§ 4. Арифметический треугольник или треугольник Паскаля.667;

§ 5. Примеры на бином Ньютона 668;

Упражнения 669;

Глава XXXIX. Начальные сведения из теории вероятностей;

§ 1. Вероятность события 670;

Упражнения 672;

§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 673;

Упражнения 674;

§ 3. Теорема умножения вероятностей независимых событий 676;

Упражнения 677;

§ 4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий;

Упражнения 678;

§ 5. Вероятность повторения события 679;

§ 6. Геометрические вероятности 682;

Упражнения 687;

§ 7. Понятие о случайных величинах 689;

Глава XL. Число е и его простейшие применения;

§ 1. Возникновение числа е 691;

§ 2. Простейшие применения числа е 694;

§ 3. Формула Эйлера ebi = cos b i sin b 698;

§ 4. Следствия из формулы Эйлера 699;

Упражнения 701;

§ 1. Производная 702;

§ 2. Общие правила составления производных 706;

§ 3. Производная сложной функции и техника дифференцирования 709;

Упражнения 712;

§ 4. Механическая интерпретация производной;

§ 5. Геометрическая интерпретация производной 714;

§ 6. О выражениях ... 717;

§ 7. Максимум и минимум функции 718;

§ 8. Примеры исследования функций на экстремум 720;

§ 9. Задачи на максимум и минимум 722;

Упражнения 725;

§ 10. Вывод формул с помощью дифференцирования;

§ 11. Непрерывность функции 728;

§ 12. Дифференциал 737;

§ 13. Инвариантность формулы дифференциала 739;

Глава XLII. Интеграл;

§ 1. Неопределенный интеграл 740;

§ 2. Интегральная сумма 743;

§ 3. Определенный интеграл и его связь с неопределенным интегралом 745;

§ 4. Вычисление площадей с помощью интегрирования 747;

§ 5. Вычисление объемов с помощью интегрирования 749;

Глава XLIII. Некоторые понятия и предложения элементарной теории множеств;

§ 1. Множества и эквивалентные множества 754;

§ 2. Счетные множества и множества мощности континуума 756;

§ 3. О сравнении мощностей бесконечных множеств 757;

Позиционные системы счисления 759;

Об условиях необходимых и достаточных 778;

О расширении понятия числа 781;

Краткие исторические сведения 790;

Ответы и указания 819;

О решениях восьми задач, помещенных в разделе «Учащимся о математике» 855

УЧАЩИМСЯ О МАТЕМАТИКЕ;

1. МАТЕМАТИКА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ;

В обычный школьный курс математики входят следующие математические предметы: арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия. Содержание этих четырех предметов в основном соответствует тому уровню математических познаний, который был достигнут человечеством к началу XVII века. Математические же познания, достигнутые в последующее время, изучаются в соответствующих высших учебных; заведениях и научных институтах.;

Арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия относятся к так называемой «элементарной математике». Математические же дисциплины, изучаемые в высших учебных заведениях, относятся к высшей математике.;

Однако современный школьный курс математики не изолирован от идей высшей математики. Например, в нем имеются сведения о функциях, пределах, координатах, графическом методе и даже производной, т. е. сведения, относящиеся к началам высшей математики.;

Математика, так же как и другие науки, возникла, становилась и развивается на основе производственно-практической деятельности людей. Так, начала арифметики и геометрии возникли в связи с самыми простейшими запросами хозяйственной жизни. Счет предметов, потребность измерять количество продуктов и производить расчеты при их обмене, знать протяженность дорог, площади земельных участков, размеры и вместимость сосудов, исчислять время — все это и приводило к возникновению и развитию первоначальных понятий арифметики и геометрии. Вопросы астрономии привели к появлению зачатков тригонометрии еще в Вавилонии (Месопотамия) за много веков до нашей эры.;

Слово «математика» происходит от греческого слова ..., что означает «познание», «наука».;

Содержание и происхождение математики как науки точно и полно характеризуется следующими словами Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, х и у, постоянные и переменные величины... Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей "земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики». (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., Госполитиздат, 1S66, стр. 33.);

Глубина и богатство этого классического определения будут раскрываться перед учащимся все полнее по мере расширения его математических познаний.;

Остановимся сначала на том, что математика есть наука о количественных отношениях.;

Для определения объемов некоторых тел или площадей некоторых плоских фигур бывает необходимым вычислять суммы, подобные следующей: (...);

В качестве других количественных отношений, изучаемых с помощью математики, приведем, например, взаимосвязь между атмосферным давлением и высотой над уровнем моря или, скажем, количественные отношения между силой притяжения двух тел друг к другу, массами этих тел и расстоянием между их центрами тяжести.;

Теперь приведем для иллюстрации примеры применения математики к изучению пространственных форм.;

С помощью математики определяются орбиты планет, движущихся вокруг Солнца.;

С помощью математики определяются площади поверхностей и объемы тел любой формы, длины кривых линий, изучается кривизна таких линий и кривизна кривых поверхностей и т. д. и т. п.;

Без математики и ее методов нельзя изучить достаточно полно физику, механику, электротехнику, радиотехнику и прочие инженерные науки. Математика нужна при проектировании сколько-нибудь сложных сооружений. Начала арифметики нужны каждому человеку, а элементарные знания по геометрии и умение пользоваться буквенными формулами и графиками необходимы каждому квалифицированному рабочему и служащему. В целом же математика, как и всякая другая наука, является одним из средств познания закономерностей окружающего мира и раскрытия путей использования этих закономерностей в практической деятельности людей.;

Но математика изучает не все содержание окружающих нас предметов и явлений. Например, с помощью только одной математики нельзя определить химический состав воды или изучить процессы, происходящие в живом организме. Математика изучает лишь количественные отношения и пространственные формы предметов и явлений. Другие же стороны явлений изучают иные науки (физика, химия, аэродинамика, радиотехника и т. д.). Сложные технические вопросы разрешаются совместными усилиями ученых и практиков различных специальностей, т. е. путем применения не одной науки, а одновременно нескольких соответствующих наук. Поэтому, зная только математику, нельзя построить, например, мост через Волгу. Вместе с тем такой мост нельзя построить и без математических расчетов. Следовательно, для сооружения крупного моста математические знания являются необходимыми, но не достаточными. Кроме математики, нужны еще строительная механика, материаловедение и многое другое.;

Из сказанного выше ясно, что математика, выделяя количественные отношения и пространственные формы, оставляет в стороне все остальное, не являющееся предметом математического исследования. Например, изучая свойства шара, математика не интересуется ни его цветом, ни материалом, из которого он сделан. Изучая свойства чисел и правила действия над ними, математика оставляет в стороне конкретные величины и формулирует полученные результаты независимо от того, что этими числами выражено. Наряду с этим математика отличается еще и той особенностью, что все объекты, ею изучаемые, мыслятся абсолютно точными, идеальными. Поясним, что это значит.;

Никакое физическое шарообразное тело (например, мяч, глобус или игрушечный воздушный шар) не может иметь абсолютно гладкую или, точнее говоря, идеально шаровую поверхность. Шарообразные же формы, изучаемые в математике, мыслятся абсолютно точными, имеющими абсолютно гладкую, идеальную шаровую поверхность.;

Всякая линия, начерченная тушью или проведенная карандашом, имеет ширину и толщину. Линии же, изучаемые в математике, мыслятся имеющими только длину и не обладающими ни шириной, ни толщиной.;