Элементарная алгебра ПОСОБИЕ ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ (Туманов) 1970 год скачать Советский учебник
Старые учебники СССР
;
Назначение: Пособие для самообразования
Авторство: Савелий Иванович Туманов
Формат: DjVu, Размер файла: 9.40 MB
СОДЕРЖАНИЕ
;Предисловие 3;
Учащимся о математике 5;
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ;
Глава I. Положительные и отрицательные числа;
§ 1. Возникновение положительных и отрицательных чисел 24;
§ 2. Числовая ось 27;
§ 3. Противоположные числа 29;
§ 4. Абсолютная величина числа;
§ 5. Сложение положительных и отрицательных чисел 30;
§ 6. Вычитание 33;
§ 7. Умножение 36;
§ 8. Деление 40;
§ 9. Особенности чисел 0 и 1 41;
§ 10. Понятие «больше» и «меньше» применительно к положительным и отрицательным числам 42;
Упражнения 44;
Глава II. Алгебраические выражения и формулы;
§ 1. Употребление букв для обозначения чисел 46;
§ 2. Степень 50;
§ 3. Коэффициент 51;
§ 4. Алгебраическое выражение и его числовое значение 53;
§ 5. Допустимые значения букв 54;
§ 6. Краткое название и полная словесная формулировка алгебраического выражения 55;
§ 7. Алгебраическая сумма 57;
§ 8. Одночлены и многочлены 59;
§ 9. Формулы 60;
§ 10. Предложения, связанные с понятием абсолютной величины 62;
Упражнения 66;
Глава III. Действия над алгебраическими выражениями и правила простейших преобразований;
§ 1. Понятие о действиях над алгебраическими (буквенными) выражениями 69;
§ 2. Понятие о преобразовании алгебраического выражения 70;
§ 3. Подобные одночлены и их приведение 72;
§ 4. Сложение, вычитание и умножение одночленов 74;
§ 5. Сложение, вычитание и умножение многочленов 75;
§ 6. Раскрытие скобок и заключение в скобки 79;
§ 7. Преобразование квадрата суммы и квадрата разности 81;
§ 8. Решение задач с помощью преобразований 82;
Упражнения 88;
§ 9. Простейший способ решения уравнений 90;
Упражнения 94;
Глава IV. Последующие правила преобразований и понятие о тождестве;
§ 1. Действия над степенями 96;
§ 2. Основные формулы умножения 98;
§ 3. Тождества и тождественные преобразования 101;
§ 4. Деление степеней и одночленов 104;
§ 5. Наибольший общий делитель 105;
§ 6. Деление многочлена на одночлен 106;
§ 7. Разложение многочлена на множители 107;
Упражнения 112;
Глава V. Алгебраические дроби;
§ 1. Первоначальные понятия и положения 114;
§ 2. Наименьшее общее кратное 117;
§ 3. Сложение и вычитание дробей 119;
§ 4. Умножение и деление дробей 123;
§ 5. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей 124;
§ 6. Общее преобразование рациональных выражений 125;
§ 7. О символах ... 126;
Упражнения 128;
Глава VI. Пропорции. Ряд равных отношений.;
§ 1. Пропорции 131;
§ 2. Производные пропорции 132;
§ 3. Определение неизвестного члена пропорции 134;
§ 4. Ряд равных отношений 135;
Упражнения 136;
Глава VII. Прямая и обратная пропорциональность;
§ 1. Прямая пропорциональность 137;
§ 2. Обратная пропорциональность 140;
§ 3. Пропорциональное деление 142;
Упражнения 143;
§ 4. Пропорциональность квадрату или кубу;
Упражнения 144;
Глава VIII. Начала теории уравнений;
§ 1. Уравнение как математическое выражение условия задачи 146;
§ 2. Общие понятия 147;
§ 3. Классификация уравнений 150;
§ 4. Равносильные уравнения 152;
Упражнения 158;
Глава IX. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным;
§ 1. Показ на примерах 159;
§ 2. Правило решения уравнений первой степени с одним неизвестным 162;
§ 3. Особые случаи уравнений с числовыми коэффициентами 163;
§ 4. Дробные уравнения 164;
§ 5. Уравнения, у которых правая часть есть нуль, а левая—произведение выражений, зависящих от неизвестного 167;
§ 6. Уравнения, у которых левая и правая части представляют собой произведения, имеющие общий множитель, зависящий от неизвестного;
Упражнения 168;
Глава X. Системы линейных уравнений;
§ 1. Система уравнений как математическое выражение нескольких условий задачи 170;
§ 2. Одно уравнение с двумя неизвестными 173;
§ 3. Одно уравнение с тремя неизвестными 174;
§ 4. Способы решения линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными, заданной в нормальной форме 175;
§ 5. Дополнение к вопросу о решении системы 178;
§ 6. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, заданной в нормальной форме 179;
§ 7. Системы уравнений, решение которых удобно выполнить с помощью искусственных приемов 180;
§ 8. Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей 184;
§ 9. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей 187;
Упражнения 189;
Глаза XI. Решение задач при помощи уравнений;
§ 1. Общие сведения 191;
§ 2. Решение задач при помощи одного уравнения с одним неизвестным 194;
§ 3. Решение задач при помощи систем уравнений 196;
§ 4. Дополнительные задачи на составление уравнений 197;
Упражнения 203;
Глава XII. Арифметический квадратный корень и несоизмеримые отрезки;
§ 1. Арифметический квадратный корень 205;
§ 2. Теорема о квадратном корне из двух 212;
§ 3. Несоизмеримые отрезки 213;
§ 4. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков 214;
§ 5. О длине отрезка, несоизмеримого с отрезком, принятым за единицу длины 215;
Глава XIII. Рациональные числа и их основные свойства;
§ 1. Некоторые предварительные замечания 217;
§ 2. Рациональная числовая область 218;
§ 3. Конечные и бесконечные десятичные дроби;
§ 4. О возможности изображения всякого рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби 219;
§ 5. Основная теорема о рациональных числах;
§ 6. Рациональные точки числовой оси 220;
Глава XIV. Иррациональные числа и их основные свойства;
§ 1. О необходимости расширения рациональной числовой области 221;
§ 2. Существование на числовой оси точек, не являющихся рациональными 222;
§ 3. Понятие об иррациональном числе 223;
§ 4. Сравнение иррациональных чисел 229;
§ 5. Сложение и умножение иррациональных чисел 230;
Упражнения 233;
Глава XV. Арифметические корни и действия над ними;
§ 1. Первоначальные сведения о корнях 234;
§ 2. Основное свойство арифметического корня 236;
§ 3. Действия над арифметическими корнями 238;
§ 4. Некоторые важные преобразования 240;
§ 5. Нормальный вид корня 243;
§ 6. Подобные корни и их приведение 244;
§ 7. Преобразование сложного корня 245;
§ 8. О возможности нахождения арифметического корня с любой степенью точности 246;
Упражнения 248;
Глава XVI. Квадратные уравнения;
§ 1. Возникновение квадратного уравнения из практической задачи 253;
§ 2. Полные и неполные квадратные уравнения 255;
§ 3. Приведенное квадратное уравнение;
§ 4. Вывод формулы корней общего квадратного уравнения;
§ 5. Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению;
§ 6. Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени;
§ 7. Свойства корней квадратного уравнения;
§ 8. Корень многочлена;
§ 9. Разложение на множители многочлена ...;
§ 10. Составление квадратного уравнения по его корням;
§ 11. Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции;
§ 12. Наименьшее или наибольшее значение квадратной функции;
§ 13. Понятие о кратных корнях;
Упражнения;
Глава XVII. Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным;
§ 1. Биквадратное уравнение;
§ 2. Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное;
§ 3. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени;
Упражнения;
Глава XVIII. Иррациональные уравнения;
§ 1. Основные сведения;
§ 2. Иррациональные уравнения, содержащие один радикал;
§ 3. Уравнения, содержащие два квадратных радикала;
§ 4. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений;
§ 5. Способ решения иррационального уравнения с помощью системы;
рациональных уравнений;
Упражнения;
Глава XIX. Функции и их графики;
§ 1. Переменные величины;
§ 2. Функция одного аргумента;
§ 3. Графическое изображение функции одного аргумента;
§ 4. Прямоугольная система координат на плоскости;
§ 5. Примеры построения графиков функций;
§ 6. Графики функций ...;
§ 7. График функции ...;
§ 8. Уравнение равномерного движения;
§ 9. График равномерного движения;
§ 10. График движения поездов;
§ 11. График многочлена 2-й степени;
§ 12. Способы задания функции;
§ 13. Функциональный знак;
§ 14. Понятие о четных и нечетных функциях;
§ 15. Понятие о промежутках возрастания и убывания функции одного аргумента;
§ 16. Дополнительное разъяснение о способах задания функций;
§ 17. Графический способ отыскания приближенных значений корней уравнения;
§ 18. Понятие о геометрическом образе уравнения;
§ 19. Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;
Упражнения;
Глава XX. Алгебраический и графический способы решения системы уравнений выше первой степени;
§ 1. Общие замечания 333;
§ 2. Решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащей одно уравнение первой степени и одно — второй степени 334;
§ 3. Системы двух уравнений, в которых оба уравнения второй степени 336;
§ 4. Графический способ решения систем уравнений с двумя неизвестными 340;
§ 5. Отыскание точек пересечения простейших линий алгебраическим способом 344;
§ 6. Системы трех уравнений с тремя неизвестными 351;
Упражнения 355;
ЧАСТЬ ВТОРАЯ;
Глава XXI. Неравенства;
§ 1. Основные положения 357;
§ 2. Доказательство неравенств 359;
§ 3. Неравенства с одним неизвестным 363;
§ 4. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным 364;
§ 5. Решение систем неравенств первой степени 365;
§ 6. Решение неравенств второй степени 369;
§ 7. Примеры на неравенства 2-й степени 374;
Упражнения 377;
Глава XXII. Пределы;
§ 1. Задачи, приводящие к возникновению понятия предела 380;
§ 2. Определение понятия предела 386;
§ 3. Различные типы стремления к пределу 388;
§ 4. Признак Вейерштрасса 389;
§ 5. Бесконечно малые 391;
§ 6. Свойства бесконечно малых 392;
§ 7. Свойства пределов 393;
§ 8. Бесконечно большие 395;
§ 9. Примеры вычисления пределов 396;
§ 10. Теоремы ...;
Упражнения 401;
Глава XXIII. Последовательности;
§ 1. Примеры и определения 403;
§ 2. Арифметическая прогрессия 405;
§ 3. Геометрическая прогрессия 409;
§ 4. Понятие предела последовательности чисел 415;
Упражнения 416;
Глава XXIV. Ряды сходящиеся и расходящиеся;
§ 1. Задачи, приводящие к возникновению понятия ряда 417;
§ 2. Понятие ряда 418;
§ 3. Примеры вычисления сумм сходящихся рядов 419;
§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма 420;
§ 5. Примеры расходящихся рядов 423;
Упражнения;
Глава XXV. Обобщенная степень, показательная функция и показательные уравнения;
§ 1. Обобщенная степень 425;
§ 2. Измерение одночлена и однородные многочлены 428;
§ 3. Показательная функция 429;
§ 4. Показательные уравнения 433;
Упражнения 437;
Глава XXVI. Логарифмы;
§ 1. Понятие логарифма 438;
§ 2. Общие свойства логарифмов 442;
§ 3 Основные теоремы;
§ 4. Логарифмирование произведения, частного степени и корня 444;
§ 5. Практическое значение логарифмов 445;
§ 6. Свойства десятичных логарифмов 446;
§ 7. Таблица четырехзначных десятичных логарифмов Брадиса 450;
§ 8. Таблица четырехзначных антилогарифмов 453;
§ 9. Примеры вычислений с помощью таблиц логарифмов 454;
§ 10. Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратный переход 455;
§ 11. Некоторые употребительные формулы 456;
§ 12. Потенцирование 457;
§ 13. Логарифмические уравнения 458;
§ 14. Графики логарифмических функций 463;
Упражнения 466;
Глава XXVII. Тригонометрические функции произвольного угла и первые три группы основных формул;
§ 1. Обобщение понятия угла 468;
§ 2. Синус 469;
§ 3. Таблица значений sin а с точностью до 0,001 для углов от 1 до 89° 472;
§ 4. Косинус 474;
§ 6. Функции углов 478;
Упражнения 479;
§ 7. Радианное измерение углов;
§ 8. Тригонометрические функции отвлеченного числа 481;
§ 9. Первые три группы формул 482;
Упражнения 488;
Глава XXVIII. Последующие группы основных тригонометрических формул;
§ 1. Формулы сложения (четвертая группа) 490;
§ 2. Формулы умножения (пятая группа) 495;
§ 3. Формулы деления (шестая группа) 497;
§ 4. Формулы, выражающие тригонометрические функции угла через;
тангенс половинного угла (седьмая группа) 499;
§ 5. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических;
функций в произведение (восьмая группа) 500;
§ 6. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций (девятая группа) 501;
Упражнения 507;
§ 7. Периодичность тригонометрических функций и их графики 509;
§ 8. Тригонометрические уравнения 512;
§ 9.0 косекансе, секансе и котангенсе 527;
§ 10. Простое гармоническое колебание 528;
Упражнения 533;
Глава XXIX. Обратные тригонометрические функции;
§ 1. Общее определение 534;
§ 2. Свойства однозначных обратных тригонометрических функций 535;
§ 3. Выражения многозначных обратных тригонометрических функций 539;
§ 4. О знаках математических действий;
§ 5. Примеры преобразований и вычислений, связанных с однозначными обратными тригонометрическими функциями 541;
§ 6. Взаимно обратные функции и связь между их графиками 547;
Упражнения 549;
Глава XXX. Комплексные числа;
§ 1. Задачи, приводящие к возникновению выражений вида ...;
§ 2. Алгебраическая форма комплексного числа 552;
§ 3. Основные понятия 553;
§ 4. Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме 555;
§ 5. Комплексные числа как аффиксы точек 558;
§ 6. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел 557;
§ 7. Модуль и аргумент комплексного числа 558;
§ 8. Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих и выражение составляющих в зависимости от;
модуля и аргумента 562;
§ 9. Тригонометрическая форма комплексного числа;
§ 10. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме 563;
§ 11. Возведение в степень 564;
§ 12. Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа 565;
§ 13. Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов 570;
§ 14. Задачи 573;
§ 15. Комплексные числа как изображения физических величин 575;
Упражнения 579;
Глава XXXI. Умножение и деление расположенных многочленов;
§ 1. Многочлен п-й степени 582;
§ 2. Умножение расположенных многочленов 584;
§ 3. Деление расположенных многочленов 585;
§ 4. Нахождение наибольшего общего делителя многочленов с помощью их разложения на неприводимые множители 591;
§ 5. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов 592;
Упражнения 595;
§ 6. Выделение целой части неправильной рациональной дроби 596;
Упражнения 597;
Глава XXXII. Теорема Безу и ее применения;
§ 1. Иллюстрация теоремы Безу на примерах 598;
§ 2. Формулировка и доказательство теоремы Безу 599;
§ 3. Применения теоремы Безу 601;
Упражнения 603;
Глава ХХХШ. Теорема Гаусса и свойства целой рациональной функции;
§ 1. Теорема Гаусса 605;
§ 2. Свойства целой рациональной функции 606;
§ 3. Примеры разложения целой рациональной функции с действительными коэффициентами степени выше второй на действительные неприводимые множители 608;
§ 4. Формулы Виета 612;
Глава XXXIV. Уравнения высших степеней с одним неизвестным;
§ 1. Биквадратное уравнение 616;
Упражнения 617;
§ 2. Возвратное уравнение 4-й степени;
§ 3. Двучленные уравнения 618;
§ 4. Трехчленные уравнении 623;
§ 5. Целое алгебраическое уравнение;
§ 6. Отыскание рациональных корней целого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами 624;
§ 7. О решении уравнений 3-й и 4-й степени 628;
Упражнения 630;
Глава XXXV. Некоторые системы уравнений высших степеней, решаемые искусственным путем 631;
Глава XXXVI. Математическая индукция;
§ 1. Теоретические сведения 635;
§ 2. Применение метода математической индукции 637;
§ 3. Неравенство Коши 640;
Упражнения 644;
Глава XXXVII. Соединения (комбинаторика);
§ 1. Размещения 646;
§ 2. Перестановки 650;
§ 3. Сочетания 651;
§ 4. Соединения с повторениями 654;
Упражнения 661;
Глава XXXVIII. Бином Ньютона;
§ 1. Вывод формулы бинома Ньютона 663;
§ 2. Свойства разложения Бинома 664;
§ 3. Свойства биномиальных коэффициентов 665;
§ 4. Арифметический треугольник или треугольник Паскаля.667;
§ 5. Примеры на бином Ньютона 668;
Упражнения 669;
Глава XXXIX. Начальные сведения из теории вероятностей;
§ 1. Вероятность события 670;
Упражнения 672;
§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 673;
Упражнения 674;
§ 3. Теорема умножения вероятностей независимых событий 676;
Упражнения 677;
§ 4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий;
Упражнения 678;
§ 5. Вероятность повторения события 679;
§ 6. Геометрические вероятности 682;
Упражнения 687;
§ 7. Понятие о случайных величинах 689;
Глава XL. Число е и его простейшие применения;
§ 1. Возникновение числа е 691;
§ 2. Простейшие применения числа е 694;
§ 3. Формула Эйлера ebi = cos b i sin b 698;
§ 4. Следствия из формулы Эйлера 699;
Упражнения 701;
§ 1. Производная 702;
§ 2. Общие правила составления производных 706;
§ 3. Производная сложной функции и техника дифференцирования 709;
Упражнения 712;
§ 4. Механическая интерпретация производной;
§ 5. Геометрическая интерпретация производной 714;
§ 6. О выражениях ... 717;
§ 7. Максимум и минимум функции 718;
§ 8. Примеры исследования функций на экстремум 720;
§ 9. Задачи на максимум и минимум 722;
Упражнения 725;
§ 10. Вывод формул с помощью дифференцирования;
§ 11. Непрерывность функции 728;
§ 12. Дифференциал 737;
§ 13. Инвариантность формулы дифференциала 739;
Глава XLII. Интеграл;
§ 1. Неопределенный интеграл 740;
§ 2. Интегральная сумма 743;
§ 3. Определенный интеграл и его связь с неопределенным интегралом 745;
§ 4. Вычисление площадей с помощью интегрирования 747;
§ 5. Вычисление объемов с помощью интегрирования 749;
Глава XLIII. Некоторые понятия и предложения элементарной теории множеств;
§ 1. Множества и эквивалентные множества 754;
§ 2. Счетные множества и множества мощности континуума 756;
§ 3. О сравнении мощностей бесконечных множеств 757;
Позиционные системы счисления 759;
Об условиях необходимых и достаточных 778;
О расширении понятия числа 781;
Краткие исторические сведения 790;
Ответы и указания 819;
О решениях восьми задач, помещенных в разделе «Учащимся о математике» 855
;Скачать учебник ;СССР -;Элементарная алгебра ПОСОБИЕ ДЛЯ САМООБРАЗОВАНИЯ 1970 года;;
СКАЧАТЬ;DjVu
УЧАЩИМСЯ О МАТЕМАТИКЕ;
1. МАТЕМАТИКА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ;
В обычный школьный курс математики входят следующие математические предметы: арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия. Содержание этих четырех предметов в основном соответствует тому уровню математических познаний, который был достигнут человечеством к началу XVII века. Математические же познания, достигнутые в последующее время, изучаются в соответствующих высших учебных; заведениях и научных институтах.;
Арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия относятся к так называемой «элементарной математике». Математические же дисциплины, изучаемые в высших учебных заведениях, относятся к высшей математике.;
Однако современный школьный курс математики не изолирован от идей высшей математики. Например, в нем имеются сведения о функциях, пределах, координатах, графическом методе и даже производной, т. е. сведения, относящиеся к началам высшей математики.;
Математика, так же как и другие науки, возникла, становилась и развивается на основе производственно-практической деятельности людей. Так, начала арифметики и геометрии возникли в связи с самыми простейшими запросами хозяйственной жизни. Счет предметов, потребность измерять количество продуктов и производить расчеты при их обмене, знать протяженность дорог, площади земельных участков, размеры и вместимость сосудов, исчислять время — все это и приводило к возникновению и развитию первоначальных понятий арифметики и геометрии. Вопросы астрономии привели к появлению зачатков тригонометрии еще в Вавилонии (Месопотамия) за много веков до нашей эры.;
Слово «математика» происходит от греческого слова ..., что означает «познание», «наука».;
Содержание и происхождение математики как науки точно и полно характеризуется следующими словами Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, х и у, постоянные и переменные величины... Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей "земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики». (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., Госполитиздат, 1S66, стр. 33.);
Глубина и богатство этого классического определения будут раскрываться перед учащимся все полнее по мере расширения его математических познаний.;
Остановимся сначала на том, что математика есть наука о количественных отношениях.;
Для определения объемов некоторых тел или площадей некоторых плоских фигур бывает необходимым вычислять суммы, подобные следующей: (...);
В качестве других количественных отношений, изучаемых с помощью математики, приведем, например, взаимосвязь между атмосферным давлением и высотой над уровнем моря или, скажем, количественные отношения между силой притяжения двух тел друг к другу, массами этих тел и расстоянием между их центрами тяжести.;
Теперь приведем для иллюстрации примеры применения математики к изучению пространственных форм.;
С помощью математики определяются орбиты планет, движущихся вокруг Солнца.;
С помощью математики определяются площади поверхностей и объемы тел любой формы, длины кривых линий, изучается кривизна таких линий и кривизна кривых поверхностей и т. д. и т. п.;
Без математики и ее методов нельзя изучить достаточно полно физику, механику, электротехнику, радиотехнику и прочие инженерные науки. Математика нужна при проектировании сколько-нибудь сложных сооружений. Начала арифметики нужны каждому человеку, а элементарные знания по геометрии и умение пользоваться буквенными формулами и графиками необходимы каждому квалифицированному рабочему и служащему. В целом же математика, как и всякая другая наука, является одним из средств познания закономерностей окружающего мира и раскрытия путей использования этих закономерностей в практической деятельности людей.;
Но математика изучает не все содержание окружающих нас предметов и явлений. Например, с помощью только одной математики нельзя определить химический состав воды или изучить процессы, происходящие в живом организме. Математика изучает лишь количественные отношения и пространственные формы предметов и явлений. Другие же стороны явлений изучают иные науки (физика, химия, аэродинамика, радиотехника и т. д.). Сложные технические вопросы разрешаются совместными усилиями ученых и практиков различных специальностей, т. е. путем применения не одной науки, а одновременно нескольких соответствующих наук. Поэтому, зная только математику, нельзя построить, например, мост через Волгу. Вместе с тем такой мост нельзя построить и без математических расчетов. Следовательно, для сооружения крупного моста математические знания являются необходимыми, но не достаточными. Кроме математики, нужны еще строительная механика, материаловедение и многое другое.;
Из сказанного выше ясно, что математика, выделяя количественные отношения и пространственные формы, оставляет в стороне все остальное, не являющееся предметом математического исследования. Например, изучая свойства шара, математика не интересуется ни его цветом, ни материалом, из которого он сделан. Изучая свойства чисел и правила действия над ними, математика оставляет в стороне конкретные величины и формулирует полученные результаты независимо от того, что этими числами выражено. Наряду с этим математика отличается еще и той особенностью, что все объекты, ею изучаемые, мыслятся абсолютно точными, идеальными. Поясним, что это значит.;
Никакое физическое шарообразное тело (например, мяч, глобус или игрушечный воздушный шар) не может иметь абсолютно гладкую или, точнее говоря, идеально шаровую поверхность. Шарообразные же формы, изучаемые в математике, мыслятся абсолютно точными, имеющими абсолютно гладкую, идеальную шаровую поверхность.;
Всякая линия, начерченная тушью или проведенная карандашом, имеет ширину и толщину. Линии же, изучаемые в математике, мыслятся имеющими только длину и не обладающими ни шириной, ни толщиной.;
МОЖНО НАЙТИ ПОХОЖИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МЕТКАМ
👇
★ВСЕ➙ДОПОЛНЕНИЯ-ПОСОБИЯ, ★ВСЕ➙САМООБРАЗОВАНИЕ, ★ВСЕ➙Элементарное, Автор - Туманов С.И.