§ 6. Вычитание 33

§ 7. Умножение 36

§ 8. Деление 40

§ 9. Особенности чисел 0 и 1 41

§ 10. Понятие «больше» и «меньше» применительно к положительным и отрицательным числам 42

Упражнения 44

Глава II. Алгебраические выражения и формулы

§ 1. Употребление букв для обозначения чисел 46

§ 2. Степень 50

§ 3. Коэффициент 51

§ 4. Алгебраическое выражение и его числовое значение 53

§ 5. Допустимые значения букв 54

§ 6. Краткое название и полная словесная формулировка алгебраического выражения 55

§ 7. Алгебраическая сумма 57

§ 8. Одночлены и многочлены 59

§ 9. Формулы 60

§ 10. Предложения, связанные с понятием абсолютной величины 62

Упражнения 66

Глава III. Действия над алгебраическими выражениями и правила простейших преобразований

§ 1. Понятие о действиях над алгебраическими (буквенными) выражениями 69

§ 2. Понятие о преобразовании алгебраического выражения 70

§ 3. Подобные одночлены и их приведение 72

§ 4. Сложение, вычитание и умножение одночленов 74

§ 5. Сложение, вычитание и умножение многочленов 75

§ 6. Раскрытие скобок и заключение в скобки 79

§ 7. Преобразование квадрата суммы и квадрата разности 81

§ 8. Решение задач с помощью преобразований 82

Упражнения 88

§ 9. Простейший способ решения уравнений 90

Упражнения 94

Глава IV. Последующие правила преобразований и понятие о тождестве

§ 1. Действия над степенями 96

§ 2. Основные формулы умножения 98

§ 3. Тождества и тождественные преобразования 101

§ 4. Деление степеней и одночленов 104

§ 5. Наибольший общий делитель 105

§ 6. Деление многочлена на одночлен 106

§ 7. Разложение многочлена на множители 107

Упражнения 112

Глава V. Алгебраические дроби

§ 1. Первоначальные понятия и положения 114

§ 2. Наименьшее общее кратное 117

§ 3. Сложение и вычитание дробей 119

§ 4. Умножение и деление дробей 123

§ 5. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей 124

§ 6. Общее преобразование рациональных выражений 125

§ 7. О символах ... 126

Упражнения 128

Глава VI. Пропорции. Ряд равных отношений.

§ 1. Пропорции 131

§ 2. Производные пропорции 132

§ 3. Определение неизвестного члена пропорции 134

§ 4. Ряд равных отношений 135

Упражнения 136

Глава VII. Прямая и обратная пропорциональность

§ 1. Прямая пропорциональность 137

§ 2. Обратная пропорциональность 140

§ 3. Пропорциональное деление 142

Упражнения 143

§ 4. Пропорциональность квадрату или кубу

Упражнения 144

Глава VIII. Начала теории уравнений

§ 1. Уравнение как математическое выражение условия задачи 146

§ 2. Общие понятия 147

§ 3. Классификация уравнений 150

§ 4. Равносильные уравнения 152

Упражнения 158

Глава IX. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным

§ 1. Показ на примерах 159

§ 2. Правило решения уравнений первой степени с одним неизвестным 162

§ 3. Особые случаи уравнений с числовыми коэффициентами 163

§ 4. Дробные уравнения 164

§ 5. Уравнения, у которых правая часть есть нуль, а левая—произведение выражений, зависящих от неизвестного 167

§ 6. Уравнения, у которых левая и правая части представляют собой произведения, имеющие общий множитель, зависящий от неизвестного

Упражнения 168

Глава X. Системы линейных уравнений

§ 1. Система уравнений как математическое выражение нескольких условий задачи 170

§ 2. Одно уравнение с двумя неизвестными 173

§ 3. Одно уравнение с тремя неизвестными 174

§ 4. Способы решения линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными, заданной в нормальной форме 175

§ 5. Дополнение к вопросу о решении системы 178

§ 6. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, заданной в нормальной форме 179

§ 7. Системы уравнений, решение которых удобно выполнить с помощью искусственных приемов 180

§ 8. Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей 184

§ 9. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей 187

Упражнения 189

Глаза XI. Решение задач при помощи уравнений

§ 1. Общие сведения 191

§ 2. Решение задач при помощи одного уравнения с одним неизвестным 194

§ 3. Решение задач при помощи систем уравнений 196

§ 4. Дополнительные задачи на составление уравнений 197

Упражнения 203

Глава XII. Арифметический квадратный корень и несоизмеримые отрезки

§ 1. Арифметический квадратный корень 205

§ 2. Теорема о квадратном корне из двух 212

§ 3. Несоизмеримые отрезки 213

§ 4. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков 214

§ 5. О длине отрезка, несоизмеримого с отрезком, принятым за единицу длины 215

Глава XIII. Рациональные числа и их основные свойства

§ 1. Некоторые предварительные замечания 217

§ 2. Рациональная числовая область 218

§ 3. Конечные и бесконечные десятичные дроби

§ 4. О возможности изображения всякого рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби 219

§ 5. Основная теорема о рациональных числах

§ 6. Рациональные точки числовой оси 220

Глава XIV. Иррациональные числа и их основные свойства

§ 1. О необходимости расширения рациональной числовой области 221

§ 2. Существование на числовой оси точек, не являющихся рациональными 222

§ 3. Понятие об иррациональном числе 223

§ 4. Сравнение иррациональных чисел 229

§ 5. Сложение и умножение иррациональных чисел 230

Упражнения 233

Глава XV. Арифметические корни и действия над ними

§ 1. Первоначальные сведения о корнях 234

§ 2. Основное свойство арифметического корня 236

§ 3. Действия над арифметическими корнями 238

§ 4. Некоторые важные преобразования 240

§ 5. Нормальный вид корня 243

§ 6. Подобные корни и их приведение 244

§ 7. Преобразование сложного корня 245

§ 8. О возможности нахождения арифметического корня с любой степенью точности 246

Упражнения 248

Глава XVI. Квадратные уравнения

§ 1. Возникновение квадратного уравнения из практической задачи 253

§ 2. Полные и неполные квадратные уравнения 255

§ 3. Приведенное квадратное уравнение

§ 4. Вывод формулы корней общего квадратного уравнения

§ 5. Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению

§ 6. Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени

§ 7. Свойства корней квадратного уравнения

§ 8. Корень многочлена

§ 9. Разложение на множители многочлена ...

§ 10. Составление квадратного уравнения по его корням

§ 11. Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции

§ 12. Наименьшее или наибольшее значение квадратной функции

§ 13. Понятие о кратных корнях

Упражнения

Глава XVII. Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным

§ 1. Биквадратное уравнение

§ 2. Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное

§ 3. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени

Упражнения

Глава XVIII. Иррациональные уравнения

§ 1. Основные сведения

§ 2. Иррациональные уравнения, содержащие один радикал

§ 3. Уравнения, содержащие два квадратных радикала

§ 4. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений

§ 5. Способ решения иррационального уравнения с помощью системы

рациональных уравнений

Упражнения

Глава XIX. Функции и их графики

§ 1. Переменные величины

§ 2. Функция одного аргумента

§ 3. Графическое изображение функции одного аргумента

§ 4. Прямоугольная система координат на плоскости

§ 5. Примеры построения графиков функций

§ 6. Графики функций ...

§ 7. График функции ...

§ 8. Уравнение равномерного движения

§ 9. График равномерного движения

§ 10. График движения поездов

§ 11. График многочлена 2-й степени

§ 12. Способы задания функции

§ 13. Функциональный знак

§ 14. Понятие о четных и нечетных функциях

§ 15. Понятие о промежутках возрастания и убывания функции одного аргумента

§ 16. Дополнительное разъяснение о способах задания функций

§ 17. Графический способ отыскания приближенных значений корней уравнения

§ 18. Понятие о геометрическом образе уравнения

§ 19. Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Упражнения

Глава XX. Алгебраический и графический способы решения системы уравнений выше первой степени

§ 1. Общие замечания 333

§ 2. Решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащей одно уравнение первой степени и одно — второй степени 334

§ 3. Системы двух уравнений, в которых оба уравнения второй степени 336

§ 4. Графический способ решения систем уравнений с двумя неизвестными 340

§ 5. Отыскание точек пересечения простейших линий алгебраическим способом 344

§ 6. Системы трех уравнений с тремя неизвестными 351

Упражнения 355

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Глава XXI. Неравенства

§ 1. Основные положения 357

§ 2. Доказательство неравенств 359

§ 3. Неравенства с одним неизвестным 363

§ 4. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным 364

§ 5. Решение систем неравенств первой степени 365

§ 6. Решение неравенств второй степени 369

§ 7. Примеры на неравенства 2-й степени 374

Упражнения 377

Глава XXII. Пределы

§ 1. Задачи, приводящие к возникновению понятия предела 380

§ 2. Определение понятия предела 386

§ 3. Различные типы стремления к пределу 388

§ 4. Признак Вейерштрасса 389

§ 5. Бесконечно малые 391

§ 6. Свойства бесконечно малых 392

§ 7. Свойства пределов 393

§ 8. Бесконечно большие 395

§ 9. Примеры вычисления пределов 396

§ 10. Теоремы ...

Упражнения 401

Глава XXIII. Последовательности

§ 1. Примеры и определения 403

§ 2. Арифметическая прогрессия 405

§ 3. Геометрическая прогрессия 409

§ 4. Понятие предела последовательности чисел 415

Упражнения 416

Глава XXIV. Ряды сходящиеся и расходящиеся

§ 1. Задачи, приводящие к возникновению понятия ряда 417

§ 2. Понятие ряда 418

§ 3. Примеры вычисления сумм сходящихся рядов 419

§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма 420

§ 5. Примеры расходящихся рядов 423

Упражнения

Глава XXV. Обобщенная степень, показательная функция и показательные уравнения

§ 1. Обобщенная степень 425

§ 2. Измерение одночлена и однородные многочлены 428

§ 3. Показательная функция 429

§ 4. Показательные уравнения 433

Упражнения 437

Глава XXVI. Логарифмы

§ 1. Понятие логарифма 438

§ 2. Общие свойства логарифмов 442

§ 3 Основные теоремы

§ 4. Логарифмирование произведения, частного степени и корня 444

§ 5. Практическое значение логарифмов 445

§ 6. Свойства десятичных логарифмов 446

§ 7. Таблица четырехзначных десятичных логарифмов Брадиса 450

§ 8. Таблица четырехзначных антилогарифмов 453

§ 9. Примеры вычислений с помощью таблиц логарифмов 454

§ 10. Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратный переход 455

§ 11. Некоторые употребительные формулы 456

§ 12. Потенцирование 457

§ 13. Логарифмические уравнения 458

§ 14. Графики логарифмических функций 463

Упражнения 466

Глава XXVII. Тригонометрические функции произвольного угла и первые три группы основных формул

§ 1. Обобщение понятия угла 468

§ 2. Синус 469

§ 3. Таблица значений sin а с точностью до 0,001 для углов от 1 до 89° 472

§ 4. Косинус 474

§ 6. Функции углов 478

Упражнения 479

§ 7. Радианное измерение углов

§ 8. Тригонометрические функции отвлеченного числа 481

§ 9. Первые три группы формул 482

Упражнения 488

Глава XXVIII. Последующие группы основных тригонометрических формул

§ 1. Формулы сложения (четвертая группа) 490

§ 2. Формулы умножения (пятая группа) 495

§ 3. Формулы деления (шестая группа) 497

§ 4. Формулы, выражающие тригонометрические функции угла через

тангенс половинного угла (седьмая группа) 499

§ 5. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических

функций в произведение (восьмая группа) 500

§ 6. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций (девятая группа) 501

Упражнения 507

§ 7. Периодичность тригонометрических функций и их графики 509

§ 8. Тригонометрические уравнения 512

§ 9.0 косекансе, секансе и котангенсе 527

§ 10. Простое гармоническое колебание 528

Упражнения 533

Глава XXIX. Обратные тригонометрические функции

§ 1. Общее определение 534

§ 2. Свойства однозначных обратных тригонометрических функций 535

§ 3. Выражения многозначных обратных тригонометрических функций 539

§ 4. О знаках математических действий

§ 5. Примеры преобразований и вычислений, связанных с однозначными обратными тригонометрическими функциями 541

§ 6. Взаимно обратные функции и связь между их графиками 547

Упражнения 549

Глава XXX. Комплексные числа

§ 1. Задачи, приводящие к возникновению выражений вида ...

§ 2. Алгебраическая форма комплексного числа 552

§ 3. Основные понятия 553

§ 4. Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме 555

§ 5. Комплексные числа как аффиксы точек 558

§ 6. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел 557

§ 7. Модуль и аргумент комплексного числа 558

§ 8. Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих и выражение составляющих в зависимости от

модуля и аргумента 562

§ 9. Тригонометрическая форма комплексного числа

§ 10. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме 563

§ 11. Возведение в степень 564

§ 12. Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа 565

§ 13. Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов 570

§ 14. Задачи 573

§ 15. Комплексные числа как изображения физических величин 575

Упражнения 579

Глава XXXI. Умножение и деление расположенных многочленов

§ 1. Многочлен п-й степени 582

§ 2. Умножение расположенных многочленов 584

§ 3. Деление расположенных многочленов 585

§ 4. Нахождение наибольшего общего делителя многочленов с помощью их разложения на неприводимые множители 591

§ 5. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов 592

Упражнения 595

§ 6. Выделение целой части неправильной рациональной дроби 596

Упражнения 597

Глава XXXII. Теорема Безу и ее применения

§ 1. Иллюстрация теоремы Безу на примерах 598

§ 2. Формулировка и доказательство теоремы Безу 599

§ 3. Применения теоремы Безу 601

Упражнения 603

Глава ХХХШ. Теорема Гаусса и свойства целой рациональной функции

§ 1. Теорема Гаусса 605

§ 2. Свойства целой рациональной функции 606

§ 3. Примеры разложения целой рациональной функции с действительными коэффициентами степени выше второй на действительные неприводимые множители 608

§ 4. Формулы Виета 612

Глава XXXIV. Уравнения высших степеней с одним неизвестным

§ 1. Биквадратное уравнение 616

Упражнения 617

§ 2. Возвратное уравнение 4-й степени

§ 3. Двучленные уравнения 618

§ 4. Трехчленные уравнении 623

§ 5. Целое алгебраическое уравнение

§ 6. Отыскание рациональных корней целого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами 624

§ 7. О решении уравнений 3-й и 4-й степени 628

Упражнения 630

Глава XXXV. Некоторые системы уравнений высших степеней, решаемые искусственным путем 631

Глава XXXVI. Математическая индукция

§ 1. Теоретические сведения 635

§ 2. Применение метода математической индукции 637

§ 3. Неравенство Коши 640

Упражнения 644

Глава XXXVII. Соединения (комбинаторика)

§ 1. Размещения 646

§ 2. Перестановки 650

§ 3. Сочетания 651

§ 4. Соединения с повторениями 654

Упражнения 661

Глава XXXVIII. Бином Ньютона

§ 1. Вывод формулы бинома Ньютона 663

§ 2. Свойства разложения Бинома 664

§ 3. Свойства биномиальных коэффициентов 665

§ 4. Арифметический треугольник или треугольник Паскаля.667

§ 5. Примеры на бином Ньютона 668

Упражнения 669

Глава XXXIX. Начальные сведения из теории вероятностей

§ 1. Вероятность события 670

Упражнения 672

§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 673

Упражнения 674

§ 3. Теорема умножения вероятностей независимых событий 676

Упражнения 677

§ 4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Упражнения 678

§ 5. Вероятность повторения события 679

§ 6. Геометрические вероятности 682

Упражнения 687

§ 7. Понятие о случайных величинах 689

Глава XL. Число е и его простейшие применения

§ 1. Возникновение числа е 691

§ 2. Простейшие применения числа е 694

§ 3. Формула Эйлера ebi = cos b i sin b 698

§ 4. Следствия из формулы Эйлера 699

Упражнения 701

§ 1. Производная 702

§ 2. Общие правила составления производных 706

§ 3. Производная сложной функции и техника дифференцирования 709

Упражнения 712

§ 4. Механическая интерпретация производной

§ 5. Геометрическая интерпретация производной 714

§ 6. О выражениях ... 717

§ 7. Максимум и минимум функции 718

§ 8. Примеры исследования функций на экстремум 720

§ 9. Задачи на максимум и минимум 722

Упражнения 725

§ 10. Вывод формул с помощью дифференцирования

§ 11. Непрерывность функции 728

§ 12. Дифференциал 737

§ 13. Инвариантность формулы дифференциала 739

Глава XLII. Интеграл

§ 1. Неопределенный интеграл 740

§ 2. Интегральная сумма 743

§ 3. Определенный интеграл и его связь с неопределенным интегралом 745

§ 4. Вычисление площадей с помощью интегрирования 747

§ 5. Вычисление объемов с помощью интегрирования 749

Глава XLIII. Некоторые понятия и предложения элементарной теории множеств

§ 1. Множества и эквивалентные множества 754

§ 2. Счетные множества и множества мощности континуума 756

§ 3. О сравнении мощностей бесконечных множеств 757

Позиционные системы счисления 759

Об условиях необходимых и достаточных 778

О расширении понятия числа 781

Краткие исторические сведения 790

Ответы и указания 819

О решениях восьми задач, помещенных в разделе «Учащимся о математике» 855

УЧАЩИМСЯ О МАТЕМАТИКЕ

1. МАТЕМАТИКА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

В обычный школьный курс математики входят следующие математические предметы: арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия. Содержание этих четырех предметов в основном соответствует тому уровню математических познаний, который был достигнут человечеством к началу XVII века. Математические же познания, достигнутые в последующее время, изучаются в соответствующих высших учебных заведениях и научных институтах.

Арифметика, элементарная алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия относятся к так называемой «элементарной математике». Математические же дисциплины, изучаемые в высших учебных заведениях, относятся к высшей математике.

Однако современный школьный курс математики не изолирован от идей высшей математики. Например, в нем имеются сведения о функциях, пределах, координатах, графическом методе и даже производной, т. е. сведения, относящиеся к началам высшей математики.

Математика, так же как и другие науки, возникла, становилась и развивается на основе производственно-практической деятельности людей. Так, начала арифметики и геометрии возникли в связи с самыми простейшими запросами хозяйственной жизни. Счет предметов, потребность измерять количество продуктов и производить расчеты при их обмене, знать протяженность дорог, площади земельных участков, размеры и вместимость сосудов, исчислять время — все это и приводило к возникновению и развитию первоначальных понятий арифметики и геометрии. Вопросы астрономии привели к появлению зачатков тригонометрии еще в Вавилонии (Месопотамия) за много веков до нашей эры.

Слово «математика» происходит от греческого слова ..., что означает «познание», «наука».

Содержание и происхождение математики как науки точно и полно характеризуется следующими словами Энгельса: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, х и у, постоянные и переменные величины... Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей: из измерения площадей "земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики». (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., Госполитиздат, 1S66, стр. 33.)

Глубина и богатство этого классического определения будут раскрываться перед учащимся все полнее по мере расширения его математических познаний.

Остановимся сначала на том, что математика есть наука о количественных отношениях.

Для определения объемов некоторых тел или площадей некоторых плоских фигур бывает необходимым вычислять суммы, подобные следующей: (...)

В качестве других количественных отношений, изучаемых с помощью математики, приведем, например, взаимосвязь между атмосферным давлением и высотой над уровнем моря или, скажем, количественные отношения между силой притяжения двух тел друг к другу, массами этих тел и расстоянием между их центрами тяжести.

Теперь приведем для иллюстрации примеры применения математики к изучению пространственных форм.

С помощью математики определяются орбиты планет, движущихся вокруг Солнца.

С помощью математики определяются площади поверхностей и объемы тел любой формы, длины кривых линий, изучается кривизна таких линий и кривизна кривых поверхностей и т. д. и т. п.

Без математики и ее методов нельзя изучить достаточно полно физику, механику, электротехнику, радиотехнику и прочие инженерные науки. Математика нужна при проектировании сколько-нибудь сложных сооружений. Начала арифметики нужны каждому человеку, а элементарные знания по геометрии и умение пользоваться буквенными формулами и графиками необходимы каждому квалифицированному рабочему и служащему. В целом же математика, как и всякая другая наука, является одним из средств познания закономерностей окружающего мира и раскрытия путей использования этих закономерностей в практической деятельности людей.

Но математика изучает не все содержание окружающих нас предметов и явлений. Например, с помощью только одной математики нельзя определить химический состав воды или изучить процессы, происходящие в живом организме. Математика изучает лишь количественные отношения и пространственные формы предметов и явлений. Другие же стороны явлений изучают иные науки (физика, химия, аэродинамика, радиотехника и т. д.). Сложные технические вопросы разрешаются совместными усилиями ученых и практиков различных специальностей, т. е. путем применения не одной науки, а одновременно нескольких соответствующих наук. Поэтому, зная только математику, нельзя построить, например, мост через Волгу. Вместе с тем такой мост нельзя построить и без математических расчетов. Следовательно, для сооружения крупного моста математические знания являются необходимыми, но не достаточными. Кроме математики, нужны еще строительная механика, материаловедение и многое другое.

Из сказанного выше ясно, что математика, выделяя количественные отношения и пространственные формы, оставляет в стороне все остальное, не являющееся предметом математического исследования. Например, изучая свойства шара, математика не интересуется ни его цветом, ни материалом, из которого он сделан. Изучая свойства чисел и правила действия над ними, математика оставляет в стороне конкретные величины и формулирует полученные результаты независимо от того, что этими числами выражено. Наряду с этим математика отличается еще и той особенностью, что все объекты, ею изучаемые, мыслятся абсолютно точными, идеальными. Поясним, что это значит.

Никакое физическое шарообразное тело (например, мяч, глобус или игрушечный воздушный шар) не может иметь абсолютно гладкую или, точнее говоря, идеально шаровую поверхность. Шарообразные же формы, изучаемые в математике, мыслятся абсолютно точными, имеющими абсолютно гладкую, идеальную шаровую поверхность.

Всякая линия, начерченная тушью или проведенная карандашом, имеет ширину и толщину. Линии же, изучаемые в математике, мыслятся имеющими только длину и не обладающими ни шириной, ни толщиной.