ВВЕДЕНИЕ

Одним из серьезных недостатков в изложении темы «Функции и графики» является то, что сам метод преподавания часто приводит к формальным знаниям; учащиеся не овладевают графическими методами, не понимают, зачем эти методы нужны; глядя на уравнение функции, не могут определить характер ее поведения. Графические способы решения уравнений и систем используются очень мало, учителя ограничиваются несколькими несложными примерами. У таких учителей учащиеся не умеют эффективно использовать методы математики при решении практических задач.

Тема «Функции и графики», как ни одна другая тема курса алгебры, способствует развитию диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. Но не все учителя приводят достаточное количество примеров функциональной зависимости и часто ограничиваются лишь рассмотрением связи между количеством товара и его стоимостью, скоростью движения тела и величиной пройденного пути. Такие примеры нужны, так как с ними учащиеся часто встречаются, а поэтому и хорошо понимают. Но учитель обязан привести еще и другие примеры, потребовать приведения примеров от учащихся, научить их распознавать функциональную зависимость между величинами; это ‘поможет им лучше видеть взаимную связь и взаимозависимость явлений, иными словами, рассматривать явления диалектически.

К сожалению, по этой теме недостаточно и наглядных пособий. А между тем, многие учебно-наглядные пособия могут быть легко изготовлены в школе.

Опыт показывает, что целесообразно иметь легкую переносную доску с нанесенной на ней квадратной сеткой. Переносная доска размером примерно 120X60 см может быть изготовлена из старой классной доски. Доска покрывается черным лаком, а затем на нее наносится сетка. Такую доску легко переносить из класса в класс; она позволяет организовать еще одно рабочее место для вызванного ученика.

Желательно для вычерчивания графиков, особенно если их нужно вычертить несколько, использовать цветные мелки.

У учащихся должны быть листочки миллиметровой бумаги.

Об остальных пособиях будет упомянуто ниже.

• 1. ПОНЯТИЕ О ПЕРЕМЕННОЙ. ФУНКЦИЯ (VIII класс)

Краткая вступительная беседа учителя должна быть примерно следующего содержания.

Математика, являясь одной из естественных наук, изучает количественные изменения, происходящие в природе. Для того чтобы описать какое-нибудь явление, мало отметить, что происходят изменения, и даже указать их,— нужно еще и сказать, в какой мере эти изменения происходят, т. е. охарактеризовать их количественно. Так, изучая рост дерева, мы должны установить, на сколько сантиметров это дерево выросло за год; изучая распад радия, мы должны установить период его полураспада, т. е. время, нужное для уменьшения массы радия вдвое, и т. д.

Наблюдая явления природы, мы каждый раз обнаруживаем, что многие величины изменяются, принимают разные значения. Такие величины называются переменными. Дадим математическое определение переменных.

Переменными величинами называются такие величины, которые в данных условиях изменяют свои значения, а величины, которые в данных условиях не меняют своих значений, называются постоянными.

Величины, постоянные в условиях одной задачи, могут оказаться переменными в условиях другой. Так, скорость равномерного поступательного движения — величина постоянная, а ускоренного — переменная; в евклидовой геометрии сумма углов треугольника постоянна (она равна 2d), а в геометрии Лобачевского сумма углов

треугольника есть величина переменная (она изменяется с изменением величины сторон треугольника: чем больше стороны треугольника, тем меньше сумма углов).

Изучая явления природы, вопросы техники, мы видим, что многие изучаемые явления и характеризующие их величины связаны между собой так, что изменение одной из них вызывает изменение другой величины.

Так, величина пути, пройденного самолетом, зависит от величины скорости самолета; период обращения искусственного спутника вокруг Земли зависит от сообщенной ему скорости; выигрыш в силе, даваемый рычагом, зависит от длины плеча и т. д.

В этих случаях между величинами существует функциональная зависимость.

Из рассмотренных примеров уже видно, что некоторые величины iHe могут .принимать произвольные значения.

Так, величина скорости по самому физическому смыслу не может выражаться отрицательными числами.

Если бы, скажем, пришлось закупать билеты в театр для учащихся класса, то естественно было рассчитывать на целое число билетов. Следовательно, количество билетов не может выражаться дробным числом.

Те значения, которые может принимать переменная, называются допустимыми значениями.

Таким образом, допустимыми значениями в рассмотренных примерах являются положительные числа в первых трех примерах и целые положительные числа (т. е. натуральные числа) в последнем примере.

Замечание. Учащиеся должны привести примеры переменных величин и их допустимых значений.

Убедившись, в том, что учащиеся усвоили эти понятия, можно дать определение функции.

Определение функции лучше дать такое:

Если каждому допустимому значению одной переменной величины соответствует определенное значение другой переменной величины, то вторая величина называется функцией первой, а первая величина называется независимой переменной, или аргументом.

Подобное определение функции было впервые сформулировано великим русским математиком Н. И. Лобачевским.

Мы не приводим дословно определение, данное Н. И. Лобачевским, но смысл его определения сохраняем.

Желательно рассказать учащимся, что определение функции с развитием математики претерпело ряд изменений. Было время, когда под функциональной зависимостью понимали такую, которую можно изобразить кривой, считали, что функциональная зависимость должна обязательно задаваться с помощью формулы Определение, данное Лобачевским, значительно общее, оно принято в науке и в наши дни.

Обычно для обозначения аргумента и функции используются латинские буквы х, у.

Для обозначения того, что у есть функция от х, применяется такая запись: у=[(х), которую следует читать: «Игрек равен эф от икс». Такое обозначение фиксирует сам факт функциональной зависимости, и под символом f(x) скрывается правило, по которому каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие определенное значение функции. Поэтому для обозначения разных функций в одной и той же задаче пользуются разными буквами: y=f(x), у=<р(х) и т. д.

Множество допустимых значений аргумента называется областью существования функции.

Примеры функциональных зависимостей

Длина железного стержня связана с его температурой: с повышением температуры длина стержня увеличивается.

Давление воздуха в шине велосипедного колеса тем выше, чем больше число движений поршня насоса, накачивающего воздух.

Замечание. Задавая вопросы учащимся, учитель устанавливает, что в каждом примере является аргументом, а что — функцией, и требует от учащихся привести другие примеры.

Однако математику мало установить лишь факт функциональной зависимости между переменными. Не менее важно выяснить, как, по какому закону изменение функции связано с изменением аргумента.

¹ Задание функции аналитическим выражением связано с именами И. Бернулли, Л. Эйлера (первая половина XVIII в.).