Формула корней. Преобразование уравнения (37) — Примеры (38). — Упражнения (39). — 2-ая формула корней (40).— Примеры (41). — Упражнения (41). — Зависимость между коэффициентами и корнями (41).— Приложение (43).— Упражнения (45). — Неравносильные уравнения (47). — Основные теоремы (47). — Упражнения (50). — Примеры (53). — Упражнения (55). — Задачи (56). — Ответы к главе III (60).

Глава IV. Трехчлен второй степени. Неравенство. График. 63

Трехчлен 2-ой степени (62).— Изменение трехчлена 2-ой степени (63). — Решение неравенств второй степени (67). — Упражнения (70). — Графики функций второй степени (71). —

Курс алгебры, ч. II 19

Стр.

Maximum и minimum (78). — Упражнения (80). —Графическое решение ур-ний 2-ой степени (81). — Биквадратные уравнения (84). — Примеры (85). — Упражнения (86). — Уравнения 3-й и высших степеней (86). — Ответы к главе IV (87).

Глава V. Пределы. Производные . 89

Определение (89). — Предел суммы (91). — Предел произведения, степени, частного и корня (92). — Касательная к параболе (94). — Скорость равнопеременного движения (98). — Производная (101). — Примеры нахождения производных простейших алгебраических функций (101). — Производная постоянной (102). — Производная суммы (102). — Производная произведения (103). — Производная степени (104). — Постоянный множитель (105). — Производная целого многочлена (105).— Примеры (106). — Производная дробной функции (106). — Примеры (107). — Упражнения (108). — Производная отрицательной степени (108). — Пример (108).—Упражнения (108).— Производная квадратного корня (108).— Упражнения (ПО).— Производные высшего порядка (ПО).

Глава VI. Обратная функция. Возрастание и убывание функций. М а к с И м у м и м и н и м у м. Исследование хода функций. 112

Обратная функция (112). — Возрастание и убЫВайие функции (114). — Максимум и минимум (116). — Пример (118). — Порядок исследования функции (119). — Функция третьей степени (119). — Задачи (121). — Выпуклость и вогнутость точки перегиба (126). — Исследование хода функции (128). — Упражнения (140).

Глава VII. Эллипс, гипербола и парабола 141

Расстояние между двумя точками (141).—Уравнение окружности (142). — Эллипс (143). — Исследование уравнения эллипса (145).—Касательная к эллипсу (147).—Гипербола (149).— Исследование вида гиперболы (150). — Касательная к гиперболе (152).—Ассимптоты гиперболы (152).—Парабола (154).— Исследование вида параболы (155). — Касательная к параболе (155).

Глава VIII. Системы уравнений 2-ой степени 1ST

Системы уравнений 2-ой степени (157). — Системы уравнений, из которых одно второй степени (157).— Пример (158).— Упражнения (159). — Примеры (160).— Упражнения (165).— Системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными (165).— Упражнения (166, 167, 168, 169, 170).— Ответы к главе VIII (170).

Стр.

Глава IX. Приближенное решение уравнений вывши х степеней- 172

Отделение корней (172). — Упражнения (174). — Приближенное решение уравнений (174). — Геометрический смысл способа пропорциональных частей (176). — Способ Ньютона (177). — Упражнения (177).

Глава X. Прогрессии арифметическая и геометрическая. Сумма к в а д р ат о в. С у м м а кубов. Среднее арифметическое и среднее геометрическое . 17»

Определение (178). — Примеры (179). — Формулы любого члена (180).—Примеры (181).—Среднее арифметическое (181).— Примеры (181). — Сумма членов арифметической прогрессии (182). — Примеры (184). — Сумма квадратов натуральных чисел (188). — Сумма кубов натуральных чисел (189). — Упражнения (190). — Задачи (192). — Геометрическая прогрессия (193).—Примеры (194).—Формула любого члена (195).— Примеры (196). — Среднее геометрическое (196). — Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического (197). — Сумма геометрической прогрессии (198). — Бесконечно - убывающая геометрическая прогрессия (200). — Примеры (201).— Задачи (202). — Ответы к главе X (206).

Глава XI. П е р в о о б р а з н ы е ф у н к ци и. Площадь параболы .- . . 207

Площади (207). — Первообразные функции (210). — Нахождение первообразной функции (210).— Примеры (211).—Определение площади (212). — ГЬющадь параболы (212).

Глава ХП. Дробные показатели. Логарифмы 217

Определение (217).— Произведение и частное дробных степеней какого-нибудь числа (217). — Возвышение в степень и извлечение корня (218).— Упражнения (219).— Показательная и логарифмическая функции (221). — Логарифмическая функция (222). — Основные свойства логарифмов (223). — Значение логарифмов в практических вычислениях (224). — Десятичные логарифмы, характеристика и мантисса (225). — Логарифм правильной дроби (226). — Увеличение и уменьшение чисел в 10” раз (228). — Таблицы логарифмов (229). — Таблицы четырехзначных логарифмов (232). — Пример (233). — Нахождение числа по логарифму (234)—Упражнения (235).—Сложение и вычитание логарифмов (236). — Умножение и деление (237). — Примеры на вычисление (239). — Упражнения (24Т). — Задачи (242). — Связь между различными система  логарифмов (243). — Показательные и логарифмические уравнения (243). — Упражнения (245). — Ответы к главе ХИ (246),

Глава XIII Логарифмическая линейка. . . 243

Устройство (248).—Деления логарифмической шкалы (250).—

У множ 'чне (251). — Упражнения (253). — Деление (254). —

Пример (254). - Упражнения (255). — Возвышение в квад*

рат (256). — Извлечение корня квадратного (257). — Упражнения (257).

Глава XIV. Соединения. Бином Ньютона. 253-

Размещения (258).—Перестановки (260).—Сочетания (260).—

Свойство сочетаний (261). — Упражнения (261 . — Бином

Ньютона (263).— Разложение Гнома (264).— Примеры (264).— Общий член разложения (265). — Сумма биномиальных коэф* фициентов (266).— Упражнения (267).— Ответы к главе XIV' (269).

Глава XV. Сложные проценты 271

Основная задача (271). — Примеры (272).

Глава XVI. Комплексные числа. 277

Определение (277).—Сложение и вычитание (278). — Умножение и деление (278). — Степень н корень (280). — Свойства действий (280). — Обобщение вещественных чисел (281). — Модуль комплексного числа (281). — Тригонометрическое представление комплексных чисел (282). — Умножение и деление (283). — Степень (283). — Корень (284). — Общее решение квадратного уравнения (287).

ГЛАВА I.
Иррациональные числа.
1. Определение. Извлекая корень второй степени из чисел, мы показали, что корень квадратный .из неполного квадрата не может быть выражен ни целым ни дробным числом, т.-е. ни целыми единицами ни частями этой единицы. Такие числа были названы иррациональными. Возьмем совокупность двух рядов чисел:
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142. . .
2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143 . . .
Все числа, стоящие в 1-й строке таковы, что их квадраты меньше 2; квадраты чисел 2-й строки больше 2. Будем называть числа, стоящие в 1-й строке, числами I класса и числа, стоящие во 2-й строке, числами II класса данной совокупности.
Отметим следующие 3 свойства рассматриваемой совокупности.
1) Всякое рациональное число может быть отнесено либо к первому либо ко второму классу, сообразно тому меньше или больше его квадрат, чем 2.
2) В числах первого класса нет самого большего числа, в числах второго класса нет самого** меньшего числа. Мы можем найти всегда 2 числа, отличающиеся друг от друга на-^-, квадраты которых —один меньше, другой больше 2. Таким образом, мы для первого класса можем брать бесконечный ряд возрастающих чисел квадраты которых меньше 2 на 0,1; 0,01.... 0,000001 и т. д. Равным образом для чисел второго класса мы можем брать бесконечный ряд убывающих чисел, квадраты которых больше 2 на 0,1; 0,01 д.
3) Любое число первого класса меньше, чем любое число второго класса.
Мы говорим, что такое распределение рациональных чисел определяет иррациональное число, в рассматриваемом случае ]/2. Таким образом понятие иррационального числа мы связываем с вполне определенным распределением всех рациональных чисел на 2 класса.
Черт. 50.
Яснее все это представится графически. Возьмем (черт. 50) некоторую прямую ОХ. Пусть отрезок О А — 1 и 0.8 = 2. Далее возьмем отрезки: ОЛХ=1,4 и ОВ1 = \,5, О42=1,41 И О82 = 1,42, ОАй = 1,414 и О83= 1,415. Мы видим, что отрезки ОА, ОА1г ОА.2,... идут все время возрастая, оставаясь все время меньше некоторой величины. Точно так же отрезки второго рода ОВ, ОВ1г ОВ2,... идут все время уменьшаясь, но оставаясь больше некоторой величины. Промежутки между отрезками с одной стороны и отрезками с другой стороны становятся все меньше, и, следовательно, мы должны считать, что существует такая точка М, которой соответствует отрезок ОМ, равный }/2, и к которой стремятся оба рода отрезков.
Черт. 51.
Для наглядности отрезков, последние нанесены на чертеже без соблюдения масштаба; полезно, однако, посмотреть, как при правильном масштабе быстро сходятся эти отрезки. На прилагаемом (черт. 51) чертеже, где обозначения оставлены те же, промежуток после нанесений отрезков OAS и ОВ3 так мал, что уже дальнейших точек помещать нельзя.
Установив понятие об иррациональных числах, мы должны показать, как сравнивать между собой иррациональные числа и как производить с ними действия.
Равными иррациональными числами мы будем называть такие, которые определяются одинаковыми совокупностями, т.-е. одинаковым распределением по классам рациональных чисел.
Какое же из двух иррациональных чисел мы будем считать больше, например, ]/2 или |/3?
Для определения ]/2 мы имеем совокупность двух классов чисел:
I класс: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ....
II „ 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;
Для определения ]/3 мы получим следующие 2 класса:
I класс: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; ....
II . 2; 1,8; 1,74; 1,733; 1,7321; ....
Если мы в числах первого класса одной из совокупностей найдем какое-нибудь число, которое больше какого- нибудь числа второго класса из второй совокупности, то иррациональное число, определяемое первой совокупностью, мы будем считать больше числа, определяемого второй совокупностью.
Так как в первом классе для )/ 3 есть число 1,7 и оно больше, например, 1,5, числа II класса для |/ 2, то согласно нашему определению 2.
Мы могли бы иначе сказать, и это было бы одно и то же. Если в числах II класса одной из совокупностей есть какое-нибудь число, которое меньше какого-нибудь числа первого класса другой совокупности, то мы будем считать число, определяемое первой совокупностью, меньше числа, определяемого второй совокупностью.
В рассматриваемом примере во II классе совокупности 2 есть, например, число 1,5. Это число меньше, например, 1,7, числа II класса из совокупности ]/3. Следовательно, согласно нашему определению ]/ 2 < |/3.