Задача (47).—Относительные числа (47).—Сложение (49).— Упражнения (55).—Свойства суммы (55).—Вычитание (56).— Упражнения (58). — Упрощения (58). — Упражнения (60). — Сравнение относительных чисел (60). — Умножение относительных чисел (61). — Деление относительных чисел (63). — Правила деления (63). — Упражнения (65). — Произведения нескольких сомножителей (65). — Упражнения (66). — Свойства произведения (67). — Графическое представление чисел (68).— Ответы к главе II (71).

Глава 111. Сложение и вычитание 72

Раскрытие скобок (72у. — Упражнения (75). — Приведение подобных членов (75). — Примеры и замечания (76). — Упражнения (77). — Сложение и вычитание многочленов (78). — Упражнения (79). — Ответы к главе III (80).

Стр.

Глава IV*. Умножение 81

Умножение степеней одного и того же числа (81).—Умножение одночленов (81). — Примеры. Упражнения (82). — Умножение многочлена на одночлен (83). — Упражнения (83). — Умножение многочлена на одночлен (84). — Примеры (84). — Упражнения (85). — Расположенные многочлены (85). — Умножение расположенных многочленов (86).—Упражнения (88).— Формулы сокращенного умножения (88).—Упражнения (92).— Геометрическое доказательство (92). — Разложение на множители (95).— Примеры и упражнения (95 —102). — Квадратные уравнения (102). — Упражнения и задачи (104). — Корни, не удовлетворяющие задаче (105). — Ответы к главе IV (106).

Глава V*. Деление . . 108

Деление степеней одного и того же числа (109). — Примеры (110).—Деление одночленов (ПО). - Упражнения (112).— Деление многочлена на одночлен (113). — Примеры и упражнения (ИЗ). — Деление одночлена на многочлен (114). — Деление многочлена на многочлен (114). — Остаток при делении (117).— Упражнения (119).—Теорема Безу (120).—Упражнения (122). — Следствия из теоремы Безу (122). — Некоторые приемы разложения (123). — Упражнения (124, 126).— Ответы к главе V (126).

Глава V*!. Рациональные дроби 129

Рациональные дроби (129). — Примеры (129). -- Неопределенность (132). — Упражнения (133). — Ответы к главе VI (138).

Глава VII. Степей и и корни. 140

Действия со степенями (140).—Квадрат многочлена (143).— Пример (144). — Упражнения (144). — Корни (145). — Действия с корнями (145).—Упражнения (148).—Ответы к главе VII (149).

Глава VIII. Извлечение квадратного корня из числа 150

Точные и приближенные корни (150). — Извлечение квадратного корня из числа (152). — Примеры (155). — Упражнения (156). — Многозначные корни (156). — Число цифр корня (159). — Примеры (159). — Упражнения (160). — Приближенные значения корня (160). — Примеры (162). — Упражнения (163, 164). — Ответы к главе VIII (165).

Глава IX. Отношения и пропорции. 166

Отношения (166). — Пропорции (166). — Основные свойства пропорции (167). — Перестановка членов (168). — Производные пропорции (168).—Задачи (171).—Упражнения (175).— Ответы к главе IX (176).

Стр.

ГлаваХ. Функции. Графики. Прямая линия 177

Функция (177). — Табличное значение функции (179). — График (180). — Интерполирование (181). — Примеры (181).— Система координат (186). — Упражнения (186). — График функции (188). — Упражнения (188). — Графическое решение уравнения (190).—Непрерывность (191).—Прямая линия (191).— Угловой коэффициент (193). — Примеры (193). — Прямая, не проходящая через начало координат (194). — Примеры (195). — Упражнения (195). — Параллельность прямых (196).— Прямые параллельные осям (196). — Приращение линейной функции (198)—Упражнения (201). — Ответы к главе X (202).

Глава XI. Уравнения! степени. 208

Простейший вид уравнения (203). — Раскрытие скобок (204). — Освобождение от дробей (204). — Последовательность при решении уравнений (207). — Изменение знаков (207).— Исследование уравнения I степени (208).— Упражнения (210).— Задачи (213). — Ответы к главе XI (218).

Глава XII. Неравенство I степени. 220

Задача (220). — Решение неравенств (222). — Умножение на отрицательное число (222). — Совокупные неравенства (223). — Изменение функции I степени (225). — Упражнения (226). — Ответы к главе XII (227).

Глава XIII. Система с 2-мя неизвестными. 228

Одно уравнение с 2-мя неизвестными (228). — Система двух уравнений с двумя неизвестными (229). — Способ сложения и вычитания (230). — Пример (233). — Способ подстановки (234). — Пример (235). — Способ сравнения (235). — Примеры (236).—Упражнения (238).—Задачи (240).—Графическое представление (243). — Решение системы двух уравнений в общем случае (245).—Упражнения (247).—Ответы к главе XIII (250).

Глава XIV. Система 3 уравнений с 3-мя неизвестными 253

Система 3-х уравнений с 3-мя неизвестными (253). — Способ сложения и вычитания (253).—Способ подстановки (254).— Способ сравнения (256). — Некоторые упрощения (256). — Несовместные уравнения (257). — Зависимые уравнения (258).— Упражнения (262).—Задачи (264).—Ответы к главе XIV (268).

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Полагая, что начинающий изучать алгебру уже вполне освоился со свойствами действий над числами, я кладу этот элемент в основу для первоначального ознакомления с алгебраическими понятиями. Выражение общих свойств чисел тождествами, простейшие преобразования, основываемые на законах действий, решение уравнения 1-ой степени на этих же основаниях являются связывающим звеном с только что законченным изучением арифметики.

Изучение тождественных преобразований в дальнейшем дает возможность предварительного ознакомления с квадратным уравнением.

После этого я перехожу к вопросам функциональной зависимости: в связи с линейными уравнениями и неравенствами изучается функция первой степени.

В дальнейшем идет ознакомление со свойствами логарифмов и с вычислениями при помощи четырехзначных . таблиц и логарифмической линейки, при чем понятие логарифма устанавливается из сопоставления двух рядов: геометрической и арифметической прогрессии. Во второй части устанавливается связь показательной и логарифмической функций.

Понятно, что перед переходом к функциям второй степени излагается теория иррациональных чисел, и в этом отношении, если не оставлять пустого места, я считаю наиболее целесообразным схематическое изложение классификации Дедекинда.

В дальнейшем идет ознакомление с приближенными вычислениями. Здесь совершенно достаточно пользование

двумя теоремами: абсолютной погрешности суммы и относительной погрешности произведения.

Я считаю, что только после общего решения квадратного уравнения уместно уточнить и закончить предварительные понятия о равносильных и неравносильных уравнениях. Здесь же проводится изучение функции второй степени.

После введения понятия производной и разбора вопроса об исследовании функций вообще, я ввожу целый ряд примеров на исследование функций: третьей степени, дробнолинейной и т. д. На решении уравнения третьей степени я не останавливаюсь: я предпочел ознакомление с отделением корней и с приближением по способу partes proportionales.

Исследование кривых второго порядка связывается в дальнейшем с решением систем уравнений 2-го порядка.

Вопрос о первообразной функции связывается с определением площади.

Сделав попытку систематизировать весь этот большой материал, я был бы очень признателен за всякое указание, которое мне могло бы быть сделано теми, кто воспользовался бы этой книгой.

В заключение считаю приятным долгом поблагодарить профессора Г. М. Фихтенгольца, сделавшего мне ряд указаний, а также Р. О. Кузьмина, давшего мне несколько задач, помещенных в этом курсе.

Я. Безикович.

КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

Первое издание книги разошлось в течение нескольких месяцев. За этот период книга подверглась разбору в Обществе Ревнителей Математического Образования, .где было отмечено, что план ее совпадает с программами Общества. Программы эти связаны с именем Б. Б. Пиотровского, много труда и умения вкладывающего в дело преподавания математики в нашей школе. Подтверждение идейной связи моей книги с программой Общества дает мне основание думать, что поставленные мною задачи при выпуске книги выполнены мною правильно.

В настоящем издании мною сделаны некоторые изменения в смысле перестановки материала.

Я* Безикович.

ГЛАВА I.

Зависимость величин.—Алгебраические обозначения.—Содержание алгебры.— Возвышение в степень. — Извлечение корня.—Алгебраические выражения.— Одночлен и многочлен. — Численное значение алгебраического выражения.— Тождества. — Уравнения.

1. Зависимость величин. Решение всякой задачи, связанной с числами, основывается на зависимости между величинами, входящими в задачу. Администрация фабрики может рассчитать недельную выдачу рабочим только в том случае, если известны величины, от которых ежедневная выдача зависит, т.-е. число рабочих на фабрике и заработная плата каждого за недельный срок.

Какова же зависимость между этими величинами?

Ее можно выразить следующим образом: выдача рабочим за недельный срок равна заработной плате каждого за тот же срок, взятой столько раз, сколько на фабрике рабочих.

2. Обозначение величин и действий. Зависимость между величинами почти всегда можно выразить, пользуясь математическими обозначениями.

Для этой цели принято число обозначать какими-нибудь буквами (обыкновенно буквами латинского алфавита):

а, Ь, с, d_t. х, у, z.

Обозначая таким образом какую-нибудь величину буквою, мы показываем, что мы имеем в виду не какое-нибудь определенное число, а наоборот любое число может быть подразумеваемо под этою буквою. Чтобы показать, что над теми числами, которые обозначены буквами, нужно совершить какое-нибудь действие, буквы соединяют между собою знаками, употребляемыми в арифметике.

34. Из трех сортов чаю: в 6 руб., в 4 р. 80 к. и в 4 р. 40 к. кг, составлено 90 кг смеси, ценою в 5 р. кг, при чем третьего сорта взято 5 кг менее, чем второго. Сколько кг каждого сорта пошло в смесь?

35. Определить, сколько людей из тысячи доживает до 20, 40 и 60 лет, зная, что разность первых двух чисел равна ⁵/₆ разности вторых двух, что сумма всех трех чисел 748 и что первое на 220 больше последнего.

36. Найти трехзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: цифра десятков его есть средняя арифметическая цифр сотен и единиц, и равна разности цифр сотен и единиц; если из искомого числа вычесть 198, то получится число из тех же цифр, но в обратном порядке.

37. На складе имеется 2400 куб. метров дров, в том числе березовых по 1 р. 50 к. куб. м, сосновых по 1 руб., м, осиновых по 75 к. м, всего на сумму 2720 руб. Сколько было дров каждого сорта, если известно, что березовые стоят на 160 р. дороже, чем все остальные?

38. Определить толщины медных монет, зная, что 19 пятачков образуют столбик такой же толщины, как и 24 двухкопеечных. Столбик из восьми трехкопеечных имеет ту же толщину, что и 7 пятикопеечных. Кроме того известно, что пачка из пятачка, трех - и двухкопеечной монеты имеет в толщину 6,4 мм.

39. Процент неграмотных новобранцев в Таврической губернии в 1878, 88 и 98 гг. выражался такими цифрами, что сумма их равнялась 200. Убыль процента неграмотных за первое десятилетие была на 19 меньше, чем за 2-е десятилетие. Каков процент неграмотности был в эти годы среди новобранцев Таврической губ., если первое число за 1878 год на 40 меньше суммы чисел % % за 1888 и 1898 г.?

40. Высочайшая из сохранившихся построек древности— Хеопсова Пирамида, из современных—Эйфелева башня; высочайшие деревья — эвкалипт и веллингтония. Определите эти высоты в метрах, зная, что первая на 10 м больше каждой из двух последних, что вторая на 100 м меньше суммы остальных и что сумма их всех 700 м.

41. Определить добычу нефти в СССР за 1922, 23 и 24 год, если известно, что всего за эти годы добыто 21 миллион тонн. При этом известно, что добыча за 1923 год

равна полусумме добычи за 1922 и 1924 год, кроме того, в 1924 году добыто на 2 миллиона тонн больше, чем в 1922 году.

42. Если к высоте высочайшей горы на Луне прибавить 2 километра, то получится наибольшая высота земных гор, если прибавить еще километр, то получится наибольшая глубина океана (у Мариинских островов). Определить эти цифры, если сумма их 26.

43. До революции в южной России (Новороссия и Крым) проценты земель, принадлежавших крестьянам, помещикам и государству, составляли такие числа, что число процентов крестьянских земель было на 20 меньше, чем сумма процентов помещичьих и казенных и в 25 раз меньше удвоенного произведения чисел процентов помещичьих и казенных земель. Найти эти цифры.

44. Сумма цифр трехзначного числа —12. Если прибавить к нему 297, то получится новое трехзначное число, изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число, зная, что число сотен его на 3 больше числа десятков.

45. Количество корма, потребного для ежедневного пропитания слона в килограммах составляет трехзначное число, число десятков которого на один больше удвоенной цифры сотен, сумма всех цифр равна 7 и число единиц на 3 меньше разности между цифрами десятков и сотен. Определить количество пищи, потребляемой слоном.

46. К 300 килограммам сплава, состоящего из 3 частей цинка, 3 частей меди и 4 частей олова, прибавлено 180 кг другого сплава, состоящего из тех же металлов; в полученном сплаве оказалось цинка 3 части, меди 4 и олова 5. В каком отношении были взяты три материала в прибавленном сплаве?

47. По каждой из трех линий идут провода двух различных сечений, толстых проводов всего на 54 килограмма больше, чем тонких, а на каждой линии вес проводов обоего рода соответственно равен 35 кг, 42 кг и 49 кг. Определить вес каждого из проводов отдельно.