Некоторые требования к системе упражнений 27

г) Некоторые методические указания по организации выполнения упражнений на уроках алгебры 33

Глава 2. Первые уроки алгебры

• 1. Введение буквенной символики 37
• 2. Ознакомление с методом уравнений 41
• 3. Основные алгебраические понятия 42

Глава 3. Тождественные преобразования в курсе алгебры

• 1. Виды тождественных преобразований, изучаемых в курсе алгебры. Основные понятия темы 46
• 2. Цель тождественных преобразований 50
• 3. Роль основных законов арифметики в обосновании правил тождественных преобразований. Сведение числа правил к минимуму 53
• 4. Сложение, вычитание и умножение одночленов и многочленов 55
• 5. Формулы сокращенного умножения 59
• 6. Деление одночленов и многочленов. Разложение на

множители 65

• 7. Алгебраические дроби 68
• 8. Тождественные преобразования в старших классах 73

Глава 4. Методика изучения понятия о числе в средней школе

• 1. Последовательность расширения понятия о числе 79
• 2. Первое расширение понятия о числе. Нуль как число 82
• 3. Общие идеи, связанные с развитием понятия о числе 85

а) Основные законы арифметики. Принцип перманентности 85

б) Операторное истолкование числа 91

• 4. Введение отрицательных чисел. Множество целых чисел 95

а) Различные приемы введения отрицательных чисел 97

б) Сравнение целых чисел. Действия над целыми числами 104

• 5. Дробные числа. Множество рациональных чисел 116

а) Умножение на дробь 116

б) Последовательность изучения тем «Десятичные дробив

и «Обыкновенные дроби» 124

• 6. Введение иррациональных чисел. Множество действительных чисел 127
• 7. Введение мнимых чисел. Поле комплексных чисел 139

Глава 5. Методика изучения уравнений в курсе алгебры восьмилетней и средней школы

• 1. Понятие уравнения и тождества 148
• 2. Методика обучения составлению уравнений по условию задачи 153
• 3. Методика решения уравнений 161
• 4. Проверка решения уравнения и проверка решения задачи 164
• 5. Исследование уравнений и задач на составление уравнении 165
• 6. Некоторые методические замечания 171
• 7. Об изучении неравенств в школе 175

Глава 6. Методика изучения функции

• 1. Определение понятия функции 183
• 2. Функциональная пропедевтика 188
• 3. Степень с рациональным показателем. Степенная функция 190
• 4. Степень с иррациональным показателем. Понятие о логарифме 194
• 5. Показательная и логарифмическая функции 200

Использованная литература 206

Предисловие

Настоящее пособие составлено на основе лекций, которые читаются автором с 1950 г. в Минском педагогическом институте им. М. Горького. Время, отводимое на лекции по «Методике преподавания математики» в педагогическом институте, весьма ограничено (к тому же тенденция такова, что оно неуклонно уменьшается).

Поэтому даже тот материал, который вошел в это пособие, не может быть прочитан за время, отводимое на чтение данного курса. Тем не менее объем издания не позволил осветить с достаточной полнотой все те вопросы, которые в него включены. Несколько исправляет положение приведенный в конце книги список литературы (ссылки на книги даются указанием в квадратных скобках номера работы, под которым она значится в списке литературы). Как видно из названия списка литературы, он не является полным. Однако для начала самостоятельной работы по методике алгебры этот список достаточен.

В данном пособии читатель не найдет методических разработок тем школьного курса алгебры. Цель лекционного курса по методике преподавания математики, на наш взгляд,—выделить принципиальные положения, сопоставить различные точки зрения и возможные решения того или иного методического вопроса, не навязывая студенту — будущему учителю — единственного и готового решения. Наша цель —направить студента по пути самостоятельных поисков решений, стимулировать творческий подход к своему делу. Автор старался дать по возможности объективную картину современного состояния того или иного методического вопроса. О том, как это ему удалось, просьба писать по адресу:

г. Минск, ул. Кирова, 24. Издательство «Вышэйшая школа».

Автор выражает глубокую благодарность проф. И. Я. Денману за тщательный просмотр рукописи и полезные критические замечания. Автор благодарит также преподавателей Белорусского государственного университета доц. А. Н. Нахимовскую и Н. В. Метельского, рецензировавших рукопись данной книги.

Глава 1. Общие вопросы методики преподавания алгебры

• 1. Алгебра как наука

Слово «алгебра» произошло от названия средневекового сочинения «Ал-китаб ал-мухтасар фи хисаб ал-джабр вал-мукабала» («Краткая книга об исчислении алгебры и ал-мукабалы», 820 г.). Автором его был один из основоположников арабской математики и астрономии Мухаммад ибн Муса ал-Хуваризми (ок. 780 — ок. 850 гг.). Прозвище ал-Хуваризми (или ал-Хорезми) показывает, что Мухаммад жил в Хорезме (ныне город в Узбекской ССР). Его имя послужило основой для образования математического термина — «алгорифм» (или «алгоритм»). То обстоятельство, что два важнейших математических термина связаны с именем ал-Хорезми, позволяет судить о значении его в истории математики.

Что означали слова «ал-джабр» и «ал-мукабала», давшие название целой науке? Этими словами обозначались две операции, производившиеся при решении уравнений. «Ал-джабр» (в переводе «восстановление») — вычитание членов уравнения путем прибавления к обеим частям уравнения членов, равных вычитаемым. Вычитаемый член «восстанавливался» (восполнялся) в другой части уравнения в виде слагаемого члена. «Ал-мукабала» (в переводе «противопоставление» или «сопоставление») — сведение всех подобных членов в один [57, стр. 191—193].

Термин «алгебра» как название искусства восстановления у арабов перешел и в медицину. Умение врача восстанавливать больные органы (руки, ноги) стало тоже .называться «алгебра».

Арабы в средние века в течение нескольких столетий владели частью Пиренейского полуострова. Много арабских слов вошло в испанский и португальский языки. Этим объясняется, например, то, что во второй части книги Сервантеса «Дон Кихот» (глава XV) рассказы-

вается о том, как дон Кихоту удалось найти «алгебрис* та» для оказания помощи побежденному противнику. Это слово употребляется в испанском оригинале романа, оно же приводится в ранних русских изданиях «Дон Кихота» {25, стр. 111].

Методы «ал-джабр» и «ал-мукабала» излагались даже стихами [49, стр. 142].

Итак, операции, с помощью которых решались уравнения, дали название самой науке алгебре. Отсюда можно сделать вывод, что первоначально основным содержанием алгебры было учение об уравнениях.

Зарождение алгебры как науки о решении уравнений восходит к глубокой древности. Уже четыре тысячи лет тому назад древние египтяне и вавилоняне умели решать задачи, которые мы теперь решаем с помощью уравнений первой, второй и даже третьей степени.

У ал-Хорезми алгебра как учение о решении уравнений выделилась в самостоятельную науку, и решение уравнений оставалось ее важнейшей задачей до XIX в. (школьный курс алгебры и до сего времени в значительной мере сохраняет этот характер).

Развитие теории и техники решения уравнений постепенно привело к возникновению новых понятий и целых разделов алгебры. Так, появилась и все более совершенствовалась буквенная символика. Введение буквенной символики позволило придать всем рассуждениям в алгебре полную общность, поскольку они оставались справедливыми, независимо от того, какие именно числа обозначались той или иной буквой. Значение этого открытия подчеркивалось, в частности, Ньютоном и Эйлером, называвшими алгебру универсальной (общей) арифметикой. Так, лекции по алгебре, которые Ньютон читал в Кембриджском университете в 1673— 1683 гг., были опубликованы в 1707 г. под названием «Всеобщая арифметика», а в 1768—1769 гг. появилась двухтомная «Универсальная арифметика» Эйлера.

Решение уравнений потребовало расширения понятия о числе вплоть до построения поля комплексных чисел. Вместе с понятием о числе развивалось понятие об алгебраический операции, алгебраической функции и т. д.

Общие исследования, проводившиеся в связи с задачей решения уравнений различных типов, привели к то- 6

му, что теории, игравшие вначале лишь вспомогательную роль при решении уравнений, оказались настолько плодотворными как в самой математике, так и в области ее приложений, что совершенно изменили содержание алгебры как науки. Эти теории и составляют предмет современной алгебры. Имеются в виду такие теории, как теория групп, теория Галуа, теория полей и колец, литейная алгебра, теория алгебраических чисел и др.

Содержание современной алгебры лишь отчасти можно охватить следующей формулировкой: алгебра есть наука об операциях над элементами множеств произвольной природы, удовлетворяющих определенным требованиям (аксиомам). При этом под операцией, определенной в данном множестве Л4, понимается соответствие, в силу которого двум произвольным элементам а и b (взятым в определенном порядке) множества М ставится в соответствие некоторый элемент с того же множества [155, 156].

• 2. Алгебра как учебный предмет

Алгебра как учебный предмет в средней школе довольно далека от современной алгебры как науки, что, вообще говоря, вполне естественно. Школа должна давать лишь знания «основ» наук. Но дело еще в том, что школьная алгебра не представляет собою основы только алгебры. В этом курсе переплетаются элементы трех математических дисциплин аналитического цикла: арифметики, алгебры и анализа («три великие А», по выражению Феликса Клейна). Кроме того, научный уровень традиционного школьного курса алгебры таков, что учащийся, оканчивающий среднюю школу, не получает понятия о современной алгебре — науке.

Рассмотрим сначала несколько подробнее содержание школьного курса алгебры. Основными понятиями, изучаемыми в этом курсе, являются: уравнение, неравенство, число, тождественное преобразование, функция. Кроме того, здесь изучаются вопросы, относящиеся к арифметике (пропорции, извлечение корня из чисел, логарифмические вычисления) и анализу (прогрессии, пределы, производная функция). Такое разнообразие

изучаемых в курсе вопросю® может придать ему «конгломератный» характер и не создать представления у учащихся о едином учебном предмете. Поэтому возникает необходимость выделить среди основных понятий школьного курса алгебры центральное, стержневое понятие, вокруг которого можно было бы сгруппировать все остальные изучаемые в этом предмете вопросы. В качестве такого понятия предлагалось выбрать понятие уравнения [ПО—112].

Мы знаем, что исторически уравнение как раз играло роль основного понятия алгебры, и многие вопросы школьного курса алгебры можно легко связать с задачей решения уравнений. Однако в современной математике более важную роль играет другое понятие, являющееся основным предметом изучения многих математических дисциплин. Это понятие функции. Оно и способно объединить вокруг себя почти весь школьный курс алгебры. Так, тождественные преобразования позволяют найти различные формы представления одной и той же функции, выбрать для функции выражение, наиболее удобное для того или иного исследования. Решение уравнения дает возможность найти те значения аргумента, при которых функция имеет заданное значение или две функции принимают равные значения.

Изучение неравенств также необходимо для исследования функций. Невозможность решить уравнение в определенной числовой области приводит к введению новых категорий чисел (отрицательные, иррациональные, мнимые). Тесно связаны с понятием функции и понятия последовательности, предела, производной функции.

Вопросы, не вошедшие в основные разделы курса, также легко поставить в связь с понятием функции. Например, изучение пропорций необходимо для выяснения свойств прямой и обратной пропорциональной зависимостей. Извлечение квадратного корня встретится при решении квадратного уравнения и исследовании квадратичной функции. Арифметическая и геометрическая прогрессии суть не что иное, как последовательности значений соответственно линейной (у = а + d(n — 1)) и показательной (у == aqⁿ~^x) функций для последовательности целочисленных значений аргументов. Логарифмические вычисления, счетная линейка изучаются

как важные приложения свойств логарифмической функции и т. д.

С этой точки зрения можно определить школьную алгебру как науку, изучающую некоторые элементарные алгебраические и трансцендентные функции. Не случайно в новой программе по математике для средней школы |[40] для старших классов этот предмет, в который включены и тригонометрические функции, носит название «Алгебра и элементарные функции».

Разумеется, такое определение предмета школьной алгебры не может быть дано учащимся, впервые приступающим к изучению алгебры. Его можно дать тогда, когда ученики уже достаточно далеко продвинутся в изучении предмета. Возможно, это следует сделать в VIII классе, а в X к этому вопросу придется возвратиться, осветить его более глубоко, в том числе выяснить роль аксиоматического метода в алгебре и дать понятие о предмете современной алгебры как науки об операциях над элементами абстрактных множеств.

Однако Нельзя обойти вопроса о содержании алгебры, приступая к изучению этого предмета. Для учащихся, если в курсе арифметики начальной школы не проводилась необходимая подготовительная работа, алгебра начинается с записи чисел буквами. Это ошибочное мнение. Арифметика, как и все математические науки, не в меньшей степени, чем алгебра, использует буквенную символику. Еще более ошибочно считать алгебру наукой, для которой характерно применение новых чисел, например отрицательных: основные обобщения понятия о числе относятся к арифметике.

Таким образом, для ответа на вопрос учащихся о том, что такое алгебра, придется обратиться к указанию на сходство и различие между алгеброй и арифметикой, т. е. опереться на те представления, которые уже присутствуют в сознании учащихся, примирившись на первых порах с узким представлением о предмете алгебры. Это хорошо сделано в книге А. Н. Барсукова (4, стр. 7—8].

Сопоставляя алгебру с арифметикой, учитель укажет, что так же, как и арифметика, алгебра изучает действия над числами и в ней учащиеся познакомятся с новыми числами и новыми действиями над ними. В алгебре еще в большей степени, чем в арифметике,

2 Ф. М. Шустеф

9

они будут пользоваться буквенной символикой и научатся производить действия над более сложными выражениями, чем в арифметике. В -курсе арифметики ученики решали задачи различными способами, в курсе алгебры они познакомятся с новым методом решения задач — методом уравнений, который значительно облегчает решение трудных арифметических задач и одинаково применим к различным типам задач. Все изложенное выше выясняется методом беседы с учащимися, которые должны вспомнить, чем они занимались на уроках арифметики. Затем в ходе последующего изучения алгебры все это конкретизируется по мере ознакомления учащихся с основными алгебраическими понятиями [181].

• 3. Анализ школьного курса алгебры с точки зрения знаний и навыков, приобретаемых в процессе ее изучения («линии» проф. В. Л. Гончарова)

Известный советский ученый, внесший большой вклад в методику преподавания математики в средней школе, автор «Начальной алгебры» [86, 87] и других методических работ, проф. В. Л. Гончаров, глубоко проанализировав содержание школьного курса алгебры [87, стр. 353], выделил в нем четыре основные линии. В преподавании, по мнению В. Л. Гончарова, эти линии не следует смешивать, а нужно чередовать равномерно. Задачи «смешанного типа» должны встречаться преимущественно при повторении. «Преподавателю, готовящемуся к уроку,— пишет Гончаров,—можно было бы порекомендовать анализировать материал, классифицируя его по четырем линиям» [87, стр. 353]. Эти линии следующие: а—линия -развития понятий (логическая линия), b — формально-оперативная (обозначения, техника буквенных преобразований, в том числе и техника решения уравнений), с — содержательно- прикладная (текстовые, в том числе технические, физические, геометрические задачи), d — вычислительнографическая (диаграммы, таблицы, графики).

Сущность этих линий В. Л. Гончаров поясняет на следующих примерах.

1. Разъясняется и усваивается со ссылками на распределительный закон правило приведения подобных

членов — линия а; вслед за тем переходят к тренировочным упражнениям в сложении и вычитании многочленов, содержащих подобные члены, — линия Ь.

2. Дана текстовая задача. Составляется уравнение — линия с; затем оно решается — линия Ь; из корней выбираются те, которые удовлетворяют условию задачи,— снова линия с. Вообще для текстовых задач характерна комбинация линий cbc.

3. Предложено уравнение, содержащее, кроме неизвестного, параметр. Уравнение решается относительно неизвестного — линия Ь; величина х изучается как функция параметра; составляется таблица значений и график — линия d.

Готовясь к уроку и анализируя материал по этим четырем линиям, учитель выделяет основную, по которой ему следует работать на данном уроке. Он старается добиться того, чтобы в результате изучения каждой темы и всего курса алгебры учащиеся одинаково хорошо овладели всеми четырьмя линиями, после чего можно считать, что цель преподавания алгебры в школе достигнута. Из вышеизложенного видно, какое большое методическое значение имеет анализ курса алгебры, проведенный В. Л. Гончаровым. Руководствуясь им, учитель может целенаправленно вести все преподавание алгебры, находить правильное соотношение между различными вопросами, изучаемыми в этом курсе. По-вн- димому, следовало бы сделать подобный анализ и остальных математических дисциплин, изучаемых в школе. Для того чтобы научиться самостоятельно анализировать курс алгебры по указанным четырем линиям, начинающий учитель может воспользоваться упоминавшейся книгой [87], в которой материал каждого параграфа изложен так, что внимание в нем уделяется преимущественно одной какой-нибудь линий, в то время как в целом в книге одинаково хорошо разработаны все четыре линии.

• 4. Связь между преподаванием алгебры и преподаванием арифметики

Мы уже отмечали, что в содержание школьного курса алгебры входят и элементы арифметики: действия над новыми числами, новые операции (возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, потенпи-

рование), различного рода расчеты, табличные вычисления, действия с помощью логарифмической линейки и др. Таким образом, в курсе алгебры учащиеся должны не только укрепить свои знания и навыки, полученные на занятиях по арифметике в предыдущих классах, но и развить их дальше. С другой стороны, изучение арифметики должно подготовить учащихся к прохождению курса алгебры. С этой целью в курсе арифметики может быть использован следующий материал: запись общих правил решения задач с помощью буквенных обозначений (например, задачи на проценты), буквенная запись основных законов действий, правил действий над дробями, простейших формул для вычисления площадей и объемов; решение простейших уравнений на основании правил отыскания неизвестных компонентов действий и нахождения неизвестных членов пропорции. Изучение изменения результата действия при изменении компонентов, прямой и обратной пропорциональ- 'ной зависимости, построение графиков и диаграмм подготовит учащихся к более основательному знакомству с идеей функциональной зависимости.

Особо следует остановиться на вопросе об арифметических задачах. По установившейся традиции принято считать, что решение так называемых «типовых» задач при помощи различных специальных приемов, иногда довольно замысловатых, является наилучшим средством для развития мышления, сообразительности и смекалки учащихся. Решение этих задач и по сей день занимает много времени. Не отрицая того, что решение задач чисто арифметическими приемами может содействовать развитию учащихся, все. же нельзя в настоящее время признать этот материал наилучшим для данной цели. Кроме того, необходимо учесть, что арифметические приемы решения задач утратили свое образовательное и практическое значение, поскольку в нашей стране восьмилетнее образование является обяза*- тельным, и каждый ученик, оканчивающий школу, овладевая алгебраическим методом, остается в недоумении, почему от него в течение длительного времени скрывали существование гораздо более простого и легкого способа решения задач, к которому он прибегает значительно охотнее, чем к сложным арифметическим приемам.

Вопрос о необходимости пересмотра отношения к арифметическим приемам решения задач в средней школе поднимался не один раз, особенно в связи с разработкой новых программ по математике. Однако и до настоящего времени в этом деле мало что изменилось. С особой остротой этот вопрос обсуждался в последнее время на страницах журнала «Математика в школе» в связи со статьями проф< А. Я- Хинчина, Б. В. Гнеденко и А. И. Маркушевича (221, 177, 199, 257—270]. Хотя нельзя сказать, чтобы участники дискуссии пришли к единодушному мнению, все же большинство из них высказалось за алгебраический метод решения арифметических задач. Даже сторонники арифметических приемов не возражали против более раннего ознакомления учащихся с алгебраическим методом. Более того, журнал опубликовал статьи, в которых рассказывается об опыте обучения учащихся алгебраическому методу решения арифметических задач в процессе преподавания арифметики (правда, пока в экспериментальном порядке) [268].

Следует ожидать, что алгебраический метод решения арифметических задач найдет отражение в школьных программах, поскольку эта идея уже воплощена в некоторых проектах программ, которые сейчас проходят широкую экспериментальную проверку в Москве, Минске, Новосибирске [41 и др.].

Необходимо отметить, что искусственные методы решения арифметических задач зачастую представляют собою замаскированный алгебраический метод, при этом пользуются не удобной алгебраической символикой, а громоздкими обозначениями и специально придуманными для этой цели понятиями, которые должны собой подменить понятие неизвестного числа х. Так, в задачах на пропорциональное деление вводят понятия «пай», «часть», «доля». Вместо удобного обозначения нескольких неизвестных через х, у, z применяют римские цифры I, II, III. Особенно это бросается в глаза при решении задач на так называемое уравнивание данных. Возьмем, например, задачу: «Куплено 3 ножа и 5 вилок. За покупку уплатили 5 руб. В другой раз куплено 6 ножей и 12 вилок и за покупку уплачено 11 р. 40 к. Сколько стоит нож и сколько стоит вилка?»