Поиск решения задачи 1969 год скачать Советский учебник

Поиск решения задачи 

 Поиск решения задачи 1969

Назначение: Книга предназначена для учителей математики и учащихся старших классов 

Издательство: "ПРОСВЕЩЕНИЕ" Москва 1969

Авторство: Савелий Иванович Туманов

Формат: PDF, Размер файла: 9.60 MB

 


СОДЕРЖАНИЕ

Обращение к читателю 3 
Раздел I. Алгебра 
Некоторые сведения из курса алгебры 9 
§ 1. Уравнения в целых числах 25 
§ 2. Разложение многочленов на множители 32 
§ 3. Тождества безусловные и условные 41 
§ 4. Уравнения с одним неизвестным 52 
§ 5. Системы уравнений 67 
§ 6. Суммирование 76 
§ 7. Неравенства 85 
§ 8. Комплексные числа 103 
§ 9. Задачи на определение наибольших и наименьших значений переменных величин (функций) 115 
§ 10. Задачи на делимость 134 
§ 11. Задачи, связанные с понятием «целая часть числа» 145 
§ 12. Исключение параметров 158 
§ 13. Задачи на составление уравнений 160 
§ 14. Разные задачи 168 
 
Раздел II. Тригонометрия 
Сведения из курса тригонометрии 177 
§ 1. Тригонометрические уравнения 181 
§ 2. Тригонометрические неравенства 188 
§ 3. Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями 193 
§ 4. Разные задачи 196 

 

Смотреть оглавление полностью......

Раздел III Геометрия 

Некоторые сведения по курсу планиметрии 203 

§ 1. Задачи на доказательство 208 

§ 2. Задачи на вычисление 224 

§ 3. Задачи на построение 235 

Некоторые сведения по курсу стереометрии 241 

§ 4. Задачи без применения тригонометрии 246 

§ 5. Задачи с применением тригонометрии 258 

Ответы и указания 267

  

 

Скачать учебник  СССР - Поиск решения задачи 1969 года  

Скачать

     Скачать...

 

 

См. Отрывок из учебника........

 

 В настоящей книге изложены примеры рассуждений, исследований, приводящих к открытию путей и средств решения разнообразных математических задач. Таким образом, имеется возможность видеть, как найдено решение той или иной задачи, каков был процесс поисков этого решения. Попутно с этим в соответствующих местах пособия будут встречаться методические указания, полезные в той или иной мере при решении математических задач вообще. 

      В пособии предлагаются задачи и для самостоятельных упражнений. Эти задачи напечатаны петитом. 

      Разумеется, вы не станете думать, что в этом пособии дается гарантированный метод, позволяющий догадываться о путях решения задачи в любых случаях. Такого метода нет и быть не может. Решение трудной задачи — крайне сложный процесс. Никакие методические указания не могут исчерпать многообразия его сторон. Любое указание обязательно будет неполным, схематичным. Поэтому для решения трудной задачи нужны, кроме теории, методических указаний, еще и догадки, изобретательность. 

      Теперь примите к сведению некоторые рекомендации, которыми полезно пользоваться при решении задач всегда. 

      1. В первую очередь необходимо изучить текст задачи до полного понимания. Не следует суетливо приниматься за решение задачи, не поняв всех условий задачи и той цели, которая должна быть достигнута. Перед тем как приступить к решению задачи, вы должны уметь ответить на такие вопросы: Что дано? В чем состоят условия задачи? Что надо найти или что надо доказать? 

      Решение задачи надо начинать лишь тогда, когда задача стала ясной и прочно запечатлелась в вашем сознании. Но чтобы решить задачу, надо иметь еще и желание ее решить и быть готовым проявить для этого необходимую настойчивость. 

      2. Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, то надо сделать чертеж и указать на нем (если это возможно) данные и искомые величины, выбирая для их обозначения наиболее подходящие и удобные символы. Помните, что неправильный или неточный чертеж может иногда направить вас на ложный путь и привести к неверным заключениям. Если первый чертеж оказался почему-либо неудачным, сделайте що более вдумчиво заново. 

      Однако необходимо знать, что все же не чертеж, а логические связи являются основой для заключений в ходе решения задачи. Поэтому решение задачи невозможно подменить никаким даже очень точным чертежом. 

      К чертежу как средству наглядности полезно прибегать в некоторых случаях и при решении не геометрических задач. 

      3. Решая задачу, контролируйте каждый свой шаг, т. е. каждую выкладку и вычисление, каждое построение. Помните, что вы обязаны уметь доказать правильность каждого совершенного вами действия. 

      4. В процессе решения задачи не забывайте следить за тем, все ли условия или данные задачи вами уже использованы. 

      5. Если, решая задачу, вы остановились и не знаете, что делать дальше, сопоставьте то, что вы уже получили, с тем, что требуется получить. Во многих случаях одно такое сопоставление бывает достаточным, чтобы увидеть правильный путь дальнейших действий. 

      6. Обратим внимание еще на одну, правда, редко встречающуюся ситуацию. Представьте себе, что по ошибке или даже преднамеренно вам предложили доказать ложное утверждение, разумеется, не предупредив вас, что оно ложное. Конечно, в действительности такая задача не имеет смысла, и ее невозможно решить. Если вы заметите, что утверждение ложное, и докажете его ложность, то это доказательство заменит собой несуществующее решение задачи и будет означать, что вы правильно ответили на ложно поставленную задачу, т. е. справились с этой задачей. Но если вы не заметите, что утверждение ложное и станете его доказывать, то ваши усилия не приведут к цели. Однако они могут оказаться не непрасны-ми, если в процессе этих усилий вы обнаружите ложность утверждения. Приведем пример. 

      (...) 

      В течение долгого времени не удавалось найти никаких путей исследования этой проблемы. Некоторые математики пытались даже путем проверки на примерах натолкнуться на противоречащий случай, но такая проверка не дала результата. Тщетные попытки решить проблему Эйлера—Гольдбаха привели к тому, что в начале XX века сложилось пессимистическое мнение относительно возможности ее решения. Один из лучших знатоков теории чисел начала XX столетия Ландау сказал на Международном математическом конгрессе 1912 года следующие слова: «Проблема Эйлера—Гольдбаха превосходит силы современной математики». 

      Леонард Эйлер (1707—1783) — великий математик, член Петербургской Академии наук. 

      Христиан Гольдбах (1690—1764) — математик, тоже член Петербургской Академии наук. 

      Но в 1937 году действительный член Академии наук СССР И. М. Виноградов доказал эту проблему для всех достаточно больших чисел, а именно для всех чисел, больших, чем 3 в 316 ст. Таким образом, проблема Эйлера—Гольдбаха осталась не доказанной лишь для конечного числа случаев. Но это конечное число 3 столь велико, что совершить: проверку проблемы для такого числа случаев практически невозможно. Относительно числа 3 в 316 ст. можно сказать образно, что оно неизмеримо больше числа атомов в галактике. Несмотря на это, достижение И. М. Виноградова признано у нас и за рубежом одним из крупнейших в теории чисел первой половины текущего столетия. 

      Такие проблемы, как проблема Эйлера—Гольдбаха, проблема о совершенных числах, великая теорема Ферма, относятся к теории чисел. На первый взгляд может показаться, что проблемы теории чисел могут иметь только чисто теоретический интерес, что для практики они бесполезны. Однако такое представление о теории чисел является глубоко ошибочным. В настоящее время методы и результаты теории чисел применяются при создании помехоустойчивых кодов, при изучении шифров, при исследованиях в теории вероятностей, в ткацком производстве и при решении многих других практических задач. 

      Наряду с такими математическими проблемами, которые в свое время были поставлены, но которые до настоящего времени не решены, существует много и таких, которые на протяжении столетий и даже тысячелетий не удавалось решить, но которые в конце концов оказались решенными. Приведем несколько примеров. 

      а) Задача о построении циркулем и линейкой квадрата, равновеликого данному кругу (задача о квадратуре круга), и задача о делении произвольного угла на три равные части (задача о трисекции угла) оставались не решенными на протяжении четырех тысячелетий. Все попытки решить эти задачи оставались бесплодными. Наконец, в 1837 году французский математик Ванцель доказал, что деление произвольного угла на три равные части с помощью циркуля и линейки невозможно. А в 1887 году немецкий математик Линдеман доказал, что число л (отношение длины окружности к своему диаметру) является трансцендентным, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Этим самым он доказал, что с помощью циркуля и линейки невозможно построить квадрат, равновеликий данному кругу. Таким образом, обе эти классические задачи, восходящие к древнегреческой математике, оказались решенными лишь в XIX веке. 

  

 

 

НОВЫЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "АЛГЕБРА"

ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "АЛГЕБРА"

 

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика