9. График прямой пропорциональности (п. 15 учебника; 3 часа) 48

• 10. Обратная пропорциональность и ее свойства (пп. 16—17 учебника;

3 часа) 52

• 11. График обратной пропорциональности (п. 18 учебника; 2 часа) 57
• 12. Линейная функция и ее график. Угловой коэффициент прямой (пп. 19—21 учебника; 5 часов) 60

Глава третья

• 13. Уравнение с двумя переменными. График отношения, заданного уравнением с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными (пп. 22—24 учебника; 4 часа) 66
• 14. Понятие о системе уравнений с двумя переменными. Графический способ решения систем (п. 25 учебника; 2 часа) 72
• 15. Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Частные случаи систем линейных уравнений. Способ сложения. Решение задач составлением системы уравнений (пп. 26—29 учебника;

9 часов) 79

Г лава четверта я

• 16. Определение степени с натуральным показателем. Основное свойство степени (пп. 30—31 учебника; 3 часа) 86
• 17. Степень степени и произведения (пп. 32—33 учебника; 3 часа) 90
• 18. Частное степеней с одинаковыми основаниями (п. 34 учебника; 2 часа) 94
• 19. Сокращение дробей. Произведение и частное дробей. Степень дроби (пп. 35—38 учебника; 6 часов). 97
• 20. Функция, заданная формулой у = ах², и ее график (п. 39 учебника; 3 часа) 99
• 21. Функция, заданная формулой у = ах³, и ее график (п. 40 учебника; 2 часа). 104

Глава пятая

• 22. Некоторые свойства отношений (п. 41 учебника; 2 часа). 109
• 23. Понятие тождества (п. 42 учебника; 2 часа). 112
• 24. Понятие одночлена. Понятие многочлена (пп. 43—44 учебника; 2 часа) 119
• 25. Раскрытие скобок и заключение в скобки (пп. 45—46 учебника; 3 часа) 124
• 26. Произведение одночлена и многочлена (п. 47 учебника; 4 часа) , 127
• 27. Вынесение общего множителя за скобки (п. 48 учебника; 4 часа) 129
• 28. Применение разложения на множители к решению уравнений (п. 49 учебника; 2 часа) 131
• 29. Произведение двух многочленов (п. 50 учебника; 3 часа) 131
• 30. Разложение многочлена на множители способом группировки (п. 51 учебника; 3 часа) 133
• 31. Произведение суммы и разности двух одночленов. Обратное преобразование (пп. 52—53 учебника; 5 часов). 135
• 32. Преобразование квадрата двучлена в многочлен. Обратное преобразование (пп. 54—55 учебника; 6 часов) 138

Список используемой и рекомендуемой литературы 141

Эта книга является первой попыткой создания конкретной отправной методики преподавания алгебры в VI классе по новому учебнику с применением системы учебного оборудования. Данная методика конкретна, ибо описывает возможное построение каждого урока курса. Она является отправной, ибо учитель вовсе не обязан применять ее буквально, а может использовать по необходимости.

Предлагаемая методика основана на применении учебных средств как материальной базы всеобщего обучения. Общеизвестно, что курс математики построен таким образом, что для усвоения каждого нового вопроса необходимо хорошо знать предыдущий материал. Использование средств обучения позволяет добиться последовательного изучения курса.

Не каждый учитель может иметь возможность и необходимость применить все средства обучения, которые здесь описаны. Однако полное игнорирование их может приводить к нарушениям процесса обучения: к выборочному, а не всеобщему опросу, к неполному вниманию учеников при изложении нового материала, к неполному и неверному выполнению индивидуальной работы на уроке. Между тем при всеобщем обучении особенно необходимо повышать качество обучения именно на уроке.

Удельный вес домашней работы в общем потоке учебной деятельности нужно понижать, потому что домашняя работа, по сравнению с классной, слабо управляема. Даже если учащиеся ее выполняют, у нас нет уверенности, что они выполняют ее так, как надо; если же они ее не выполняют, то мы не всегда знаем подлинные причины невыполнения работы. Кроме того, трудно учесть последствия помощи посторонних при выполнении работы, степень самостоятельности и т. д. Не нужно забывать и о том, что домашняя работа должна быть краткой. В книге «Алгебра в 6 классе. Методическое пособие для учителя» справедливо указано, что «объем домашнего задания определяется временем, которое в VI классе рекомендуется отводить на его выполнение, т. е. 20—25 мин» [2, с. 31. Эта норма вполне

* В квадратных скобках указаны номера книг в списке, приведенном в конце книги; в ряде случаев указываются и страницы этих книг.

согласуется с указаниями Устава средней общеобразовательной школы [3, с. 230]. Наконец, необходимо обеспечить контролируемость домашней работы и ее восполнимость. Это значит, что каждая работа каждого учащегося должна так или иначе проверяться, а самое главное — невыполнение ее кем-либо из учащихся не должно приводить к фактическому выключению его из следующего урока — учитель должен иметь возможность быстро выявить факт такой неготовности и преодолеть возникший пробел. Вышеназванными качествами может обладать только такое домашнее задание, которое хорошо подготовлено в классе. Поэтому основная учебная работа каждого учащегося должна протекать в классе, во время уроков, а не дома. Необходимый для этого «КПД» урока обеспечивается предлагаемой методикой, систематическим применением соответствующих средств обучения, увеличивающих возможности и производительность труда учителя, подобно тому как увеличиваются возможности рабочего применением станков, инструментов и механизмов.

Предлагаемая методика полностью учитывает теоретическое содержание и строение учебника [1] как основного элемента в системе средств обучения. Конечно, при использовании полной системы учебного оборудования роль учебника в преподавании изменяется. Он продолжает быть основным ориентиром в отношении объема и характера изложения теоретического материала, но перестает быть единственным источником знаний. Он продолжает быть ориентиром и в отношении уровня трудности заданий, но перестает быть их единственным источником. При объяснении материала учитель привлекает наряду с учебником диафильмы, таблицы и другие средства обучения. На дом он задает теоретический материал по учебнику. При переходе к самостоятельной работе учитель дает специально приспособленные для этого задания, например задания с пропусками. Но во время самой самостоятельной работы наряду с дидактическими материалами для большей дифференциации работы даются задачи из учебника; широко применяются имеющиеся в конце учебника [1, с. 195—198] так называемые «трудные задачи». Во всей работе учебник является ведущим ориентиром, что и учтено нами в этой книге.

Учитывались нами и рекомендации по планированию, данные в книге для учителя [2, с. 233—234]. В них за отдельный вопрос принимается либо пункт учебника, либо объединение двух-трех пунктов (объединены пп. 1 и 2, пп. 6 и 7, пп. 9, 10 и 11 и т. д.). В результате на каждый получившийся вопрос выделяется два или более учебных часов. Исключений всего четыре: на пп. 14, 24, 27 и 38 планирование [2] отводит по одному часу. Мы считаем, что и этих исключений не должно быть, и присоединяем указанные четыре пункта к соседним, добиваясь, чтобы на каждый вопрос программы приходилось не менее двух часов учебного времени. Происходящее при этом укрупнение порций — мера в принципе весьма полезная. Самое главное — преподать за один час материал

проверяются либо самими учащимися (учитель сообщает правильные ответы), либо учителем. Если нужно сразу проверить все ответы учащихся, то можно воспользоваться копировальной бумагой. В этом случае ученик получает два контрольных листа и лист копирки. Ответы он записывает под копирку сразу на двух листах. Один лист сдается учителю, а по второму ученик проверяет и исправляет результаты. Такая проверка проводится фронтально, за короткое время; она носит обучающий характер.

Целесообразно использовать для математических диктантов звукозапись. При этом, во-первых, можно проводить диктант на два голоса для двух вариантов (например, мужской голос читает вопросы первого варианта, а женский — второго). Каждый ученик знает, какой голос задает ему вопросы, и при звуках другого спокойно работает. Двухвариантный диктант повышает самостоятельность работы. Во-вторых, учитель может наблюдать за работой класса — управлять ею и оценивать ее.

Безусловно, полная проверка результатов диктанта в течение самой работы невозможна. Но один-два вопроса можно проверить у всех. Например, если для дальнейшего хода урока особенно важен, скажем, второй вопрос, то учитель еще до окончания диктанта успевает просмотреть ответ на этот вопрос у всех учеников класса. Получается эффект, недостижимый никакими иными средствами: знание точного списка учащихся, не готовых к следующему этапу урока. Математический диктант дисциплинирует детей, побуждает их быть внимательными и собранными. Регулярное использование этой формы работы воспитывает привычку к систематической подготовке.

В книге приводятся тексты одного варианта диктантов к каждому вопросу программы. Учитель при желании дополнит их своими вопросами. Рекомендуется записывать диктанты на магнитофонную ленту. Пауза между вопросами одного варианта должна быть достаточной для двукратной записи ответа учителем.

Может оказаться, что часть учеников не справилась с теми вопросами диктанта, которые особенно важны для усвоения новой порции знаний. Если этим фактом пренебречь (как это обычно имеет место в практике), то для учащихся объяснение может оказаться недоступным. Поэтому с ними нужно провести дополнительную работу еще до объяснения, обеспечив тем самым восполнение домашней работы.

Такую работу желательно проводить у доски в форме обучающего опроса. Она проходит особенно успешно, если используются те учебные средства, с которыми учащийся знаком. Допустим, что он не смог ответить на вопрос диктанта по действиям с дробями (см. вопрос 1 на с. 14). В этом случае следует вызвать его отвечать по таблице, на которой зафиксированы соответствующие правила. Учащемуся будет легко вспомнить по ней нужный материал, в особенности если объяснение действий с дробями велось в свое время по этой таблице.

В последнее время часто говорят об использовании в преподавании достижений психологической науки. И в то же время пренебрегают общеизвестным свойством человеческой памяти: если знание связано с какой-либо конкретной вещью, предметом, то оно легче восстанавливается в памяти при виде этой вещи. Если, в частности, изложение велось с помощью таблицы, то напоминание с помощью той же таблицы гораздо более эффективно.

И 2. Объяснение нового материала. Входящий вдан- ную порцию (пункт учебника или объединение нескольких пунктов) материал желательно объяснять целиком. Следует считать ошибочной практику, при которой учитель дробит теоретический материал на куски по числу уроков, отводимых на данный вопрос: теория рвется в сознании школьников, а кроме того, как уже говорилось, весьма трудно организовать отработку каждой части каждым учащимся за один урок. Более правильно — дать всю теорию вопроса сразу, на первом уроке, а на последующих — отрабатывать связно весь этот материал. Исключения бывают и здесь, но они редки.

Разумеется, преподавать укрупненные порции можно в том случае, если на их объяснение не приходится тратить слишком ’много времени. Здесь встает проблема экономии времени, использования приемов и методов, дающих такую экономию. Экономить время при объяснении можно не всегда. Например, нельзя его экономить за счет понимания излагаемого материала, т. е. нельзя спешить при изложении нового. В частности, нельзя торопиться при вычерчивании сложных чертежей и выписывании алгебраических выкладок, если эти чертежи и выкладки могут быть поняты только при постепенном их появлении, в процессе их конструирования на глазах учащихся. Но бывает, что учитель вынужден тратить время на такой рисунок, на такие записи, которые, с точки зрения обучения, могли бы появиться перед классом сразу и лишь технически невозможно их сразу предъявить ученикам. В этих случаях нужно пользоваться готовыми изображениями: диафильмами, диапозитивами, таблицами и т. п.

Студия «Диафильм» на протяжении двадцати лет выпускает диафильмы по математике, и к настоящему времени их выпущено более ста названий. Правда, многие из них, созданные до введения новых программ, устарели. Не всегда пригодны и те, которые были приспособлены к прежним вариантам учебника. В книге даны рекомендации о возможном использовании целых диафильмов и отдельных кадров при объяснении того или иного материала, выделяются наиболее соответствующие нынешнему учебнику кадры, чтобы учитель, во-первых, смог легко ориентироваться в них при подготовке к уроку, а во-вторых, при отсутствии у него нужных диафильмов, мог бы организовать самодельное их изготовление с помощью учеников, родителей и шефов (для этого требуются всего лишь некоторые навыки обращения с фотоаппаратом). Последнее

особенно важно для использования с дополнительных кадров, рекомендованных в книге. Дело в том, что созданные фабричные диафильмы, к сожалению, не полностью покрывают потребности курса алгебры. Поэтому во многих случаях мы предлагаем учителю новые, специально разработанные кадры. Отсняв их, можно получить нужное пособие. Отметим, что многие предлагаемые нами кадры содержат почти сплошной текст. Ничего удивительного в этом нет: алгебра во многом строится на алгебраических преобразованиях и вычислениях, и текстовые диафильмы весьма для нее характерны.

Говоря об использовании диафильмов и других зрительных материалов во время объяснения нового, следует предупредить одну распространенную ошибку: нельзя просто показывать кадр за кадром без достаточной их проработки каждым учеником. По каждому изображению необходимо задавать вопросы, побуждающие осознавать смысл изображения. Более того, желательно задавать эти вопросы в такой форме, чтобы на них можно было дать краткие ответы, и требовать от учеников записи ответов перед обсуждением их в классе. Например, при работе над кадром 1 (с. 15) желательно, чтобы после прочтения текста дети ответили письменно на вопросы в краткой форме, а затем устно прокомментировали бы свои ответы.

Разумеется, при отсутствии возможности отснять диафильмы по предлагаемым нами материалам, учитель может иначе использовать данные в них рисунки и задания. Можно перенести их на транспаранты (кодопозитивы), а при отсутствии кодоскопа — на широкую пленку [9] или просто на доску мелом.

При объяснении нового материала (и в других педагогических ситуациях) используются также различные приборы, наборы, инструменты и приспособления. Мы указываем в тексте, когда желательно использовать то или иное из этих средств обучения.

Важную роль в процессе объяснения играют настенные таблицы. Особенно нужны они при подведении итогов темы, для обобщения материала. Таблицы — средство фиксации материала, подлежащего запоминанию. Они же служат для организации фронтального и индивидуального опроса. Таблицы, данные в книге, можно изготовить самостоятельно. В наших рекомендациях используются готовые таблицы из серии по алгебре для VI класса (авторы — К. С. Муравин и В. Н. Руденко). Однако следует учитывать, что эта серия создана по старому варианту учебника. По этой и некоторым другим причинам [10] полностью использовать эту серию мы не считаем возможным.

При изложении нового материала, как уже говорилось, учитель ставит перед учениками необходимые задания. Кроме того, в ряде случаев бывает нужно организовать дополнительное фронтальное решение типовых задач, приспособленных к данному классу и соответствующих методическим вкусам учителя. Это удобно делать по готовым изображениям, которые могут быть общими для

многих задач, — тогда имеет смысл поместить их на настенную таблицу. Если же изображения приходится изменять чуть ли не с каждой задачей, то более удобны диапозитивы. Удобно воспользоваться диапозитивами, сделанными студией «Диафильм» и заводом № 4 «Физэлектроприбор». Все эти случаи мы постарались учесть.

В книге не описывается такое основное средство обучения, каким является учебник. Однако о методике работы с учебником в процессе объяснения нового материала стоит сказать несколько слов. Учитель часто организует на уроке чтение текста учебника. Такая работа полезна, т. е. учит обращаться с книгой. Однако необходимо помнить, что наш учебник — книга по математике и читать ее надо, делая выписки. Следует добиваться, чтобы при таком чтении учебника все выкладки, расчеты, примеры, приводимые в нем, учащиеся выписывали. Это будет способствовать не только всеобщему участию в работе, но и лучшему пониманию содержания,' а в конечном счете научит детей правилам чтения математической литературы.

^7) 3. Первоначальное закрепление нового материала. Непосредственный переход от фронтальной работы к индивидуальной оказывается трудным для некоторых учащихся. Кроме того, первые самостоятельные шаги нуждаются в эффективном контроле и самоконтроле, а также в тесном увязывании с теоретическим материалом. На этом этапе необходимо обеспечить каждого ученика системой ориентиров. Хорошим способом предъявления таких ориентиров являются задания с пропусками. Часть текстов и рисунков ученик уже имеет, — это и есть ориентиры. А другую часть — пропуски — он должен заполнить сам. Такой вид заданий широко используют наши коллеги — учителя русского и иностранных языков, когда дают задания переписать, вставляя пропущенные буквы или слова. Но и по математике такая работа была бы полезна. Ввиду почти полного отсутствия в печати таких заданий в данном пособии восполняется этот пробел и приводятся задания с пропусками к каждому вопросу. Давая эти упражнения, учитель сможет воспитать навыки осознанного решения задач, с прочной опорой на теорию.

Существуют различные формы подачи таких заданий и их выполнения.

Самый обычный способ выполнения такой работы — переписывание текстов и перерисовывание рисунков с необходимыми дополнениями. Однако такая работа связана с непроизводительными затратами времени и непривлекательна для учащихся. Другой способ — заполнение пробелов в заранее заготовленных текстах и чертежах — в так называемых тетрадях с печатной основой (ТПО). Такие тетради получили распространение во многих странах. Первые тетради по математике изданы миллионными тиражами и в нашей стране для начальных классов