Упражнения по алгебре и началам анализа (Василевский) 1991 год - старые учебники

19. Точки пересечения ломаных 68

20. Квадратичная функция . . 70

21. Гипербола и парабола . . . . . 72

22. Квадратичная функция (конструктивные задачи) . 73

23. Точки пересечения парабол и прямых . 75

24. Парабола, заданная точками . . 77

25. График уравнения — окружность 78

26. Рациональная функция у = k/F(x) . . 79

27. Рациональные уравнения l/F(x) = P(x) 80

28. Рациональные функции. 81

29. Рациональные функции (с параметрами) . 83

30. Корни многочленов (простейшие случаи) . 84

31. Многочлен на луче 85

32. Многочлен на отрезке 86

33. Решения многочленов 88

34. Простейшие иррациональные уравнения и неравенства —

35. Сравнение корней иррациональных уравнений . . 90

36. Преобразование графиков рациональных уравнений . 91

37. Сложная функция 93

38. Сложная функция (с параметрами) 95

39. Уравнение cos ах = Ьх . . . 96

40. Предел последовательности 98

41. Обратимые функции. . . 99

42. Монотонность иррациональных функций (простейшие случаи) . 101

43. Монотонность иррациональных функций . . 101

44. Предел и непрерывность . . 103

45. Производная (см. рис. 5 для 45.1 . 45.23) . . 106

46. Производная функция (с параметром) . 107

47. Касательная . .108

48. Производная (конструктивные задачи) . НО

49. Критические точки функции . 111

50. Периодические функции . 112

51. Функции синус и косинус (простейшие случаи) . —

52. Функции синус и косинус .113

53. Функции синус и косинус (с параметрами) .114

54. Рационально-иррациональные функции (простейшие случаи) .115

55. Рационально-иррациональные функции . . . .116

56. Задачи на составление иррациональных уравнений и

неравенств . . 118

57. Преобразование иррациональных уравнений и неравенств . . . . . 119

58. Задачи на составление рационально-иррациональных уравнений 120

59. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами . . . . 122

60. Убывание и возрастание функции (общие вопросы) . .123 61. Убывание и возрастание функций . —

62. Наименьшее и наибольшее значения функции, график

которой ломаная . . 125

63. Наименьшее и наибольшее значения функции 126 64. Уравнения 4Х2 + (а — 2)х + (а — 5) = 0, х2-|-4х —2Х

X |х — а| + 2 — а = 0 . .128

65. График уравнения х3 + (2 — а)х — а — 3 = 0 . 130

66. Читаем готовые графики (см. рис. 5) .134

67. Четные и нечетные функции . 136

68. Тригонометрические функции . . 137

69. Обратные тригонометрические функции . 138

70. Тригонометрия с геометрией . .140

71. Рациональные и тригонометрические выражения . 141 72. Ограниченные и неограниченные функции 142

73. Иррациональные и тригонометрические функции . . —

74. Показательные и логарифмические функции . 144

75. Уравнения, содержащие рациональные и показательные

функции . .145

76. Уравнения, содержащие рациональные и показательные

функции (с параметрами) . 147

77. Логарифмические и рациональные функции . 148

78. Рациональные, иррациональные и тригонометрические

выражения . 150

79. Показательные и иррациональные функции . 151

80. Уравнения, содержащие логарифмические и иррацио

нальные выражения . . 152

81. Преобразование графиков показательной и логарифми

ческой функций .154

82. Показательные, логарифмические и рациональные

функции . . . .155

83. Показательные, логарифмические, рациональные и

иррациональные функции . . . .156

84. Показательные и тригонометрические функции . . 158

85. Логарифмические и тригонометрические функции . . 159

86. Преобразование графиков тригонометрических функций 161

87. Комплексное исследование рациональных, тригонометри

ческих, показательных и логарифмических выражений 162 88. Комплексное исследование показательных, логарифмических, иррациональных и тригонометрических выражений . . . . . . .163

89. Уравнения, содержащие /?(х) и F'(x). 166

90. Неравенства, содержащие Г(х) и F'(x) . 168

91. Читаем графики (рис. 9). . 169

92. Читаем графики: сумма двух функций (см. рис. 9) . .171

93. Читаем графики: частное двух функций (см. рис. 9) . . —

94. Читаем графики: производная (см. рис. 9) . . . . 173

95. Читаем графики: сложная функция (см. рис. 9) . . —

96. Задачи в задачах. . 174

97. Задачи по алгебре и планиметрии . . . 176

98. Стереометрия, тригонометрические функции, уравнения, неравенства . 178

99. Исследование треугольной пирамиды. .180

100. Исследование четырехугольной призмы . . . .182

Ответы. Указания. Решения . . . 186

Литература . . . . . 218

Учебно-методическое издание

ПРЕДИСЛОВИЕ

Возможности человека в усвоении информации ограничены. В то же время научно-технологический прогресс невозможен без усвоения человечеством все новой и новой информации. Налицо противоречие, которое ставит школу в очень трудные условия. Выход из этого положения — в создании принципиально новой концепции общеобразовательной школы: переход на дифференцированное обучение учащихся, внедрение в школьную практику интегрированных учебных предметов, включение в школьные программы более общих теорий, обобщенных методов решения задач.

Интегрировать различные разделы школьной математики, углублять понимание теоретического материала, реализовывать идеи дифференцированного обучения можно на основе широкого использования в обучении математике динамизации алгебраических и геометрических объектов, функционального метода, который позволяет в максимальной степени использовать основные свойства соответствующих функций на всех этапах работы с уравнениями, неравенствами и их системами. Функциональный метод значительно упрощает решение интегрированных задач, облегчает комплексное использование конструктивных и аналитических методов при решении одной и той же задачи.

Чтобы общие методы решения задач стали доступными учащимся, необходима систематическая работа с упражнениями функционального характера. Среди этих упражнений особенно ценны те, выполнение которых связано с комплексным использованием теоретических знаний.

В первой части книги излагается методика системного подхода к изучению функций, уравнений, неравенств, их систем, динамизации геометрических объектов. На конкретных примерах раскрываются преимущества

функционального метода при работе над следующими задачами школьной математики: исследование решений уравнений и неравенств с параметрами и их систем; решение нестандартных неравенств и их систем; нахождение числа корней уравнения; вычисление приближенных значений корней уравнений; тождественные преобразования выражений с переменными; доказательства числовых равенств и неравенств; поиск свойств числовых множеств; вычисление корней уравнений, принадлежащих заданному промежутку; отделение корней уравнений; установление числа решений геометрических задач; решение геометрических задач на вычисление, доказательство и исследование; решение комбинированных уравнений и неравенств (например, sin х 1пх).

Во второй части ко всем основным разделам школьного курса математики (5—6 кл.), алгебры (7—9 кл.), алгебры и начал анализа (10—11 кл.) предлагаются соответствующие системы упражнений (с указаниями и решениями), которые позволяют осуществлять интегрированный подход при изучении всего школьного курса математики.

Главная обучающая цель решения комбинированных уравнений, неравенств и их систем — не получение точных или приближенных значений их корней, а усвоение основных свойств соответствующих функций путем их системного применения к решению задач.

Геометрическое решение алгебраических задач и динамизация геометрических объектов упрощают организацию дифференцированного обучения учащихся математике.

В книге много задач на чтение математических образов. Если ученик умеет бегло читать графики функций и уравнений, то можно считать, что основная цель изучения алгебраического материала в школе для него уже достигнута, потому что он сможет рационально применить свойства функций к решению уравнений и неравенств, избавить себя от однообразных утомительных вычислений и тождественных преобразований выражений с переменными.

Справочный материал, необходимый для решения задач, помещен в конце пособия.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД В КУРСЕ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

1. Дифференциация обучения и качество систем упражнений по математике

Дифференциация обучения — актуальнейшая проблема, вставшая сегодня перед общеобразовательной школой. Создание альтернативных программ и учебников, поиски путей раскрытия способностей и задатков каждого ученика — это и есть отражение данной проблемы.

Однако дифференциация обучения превратится в очередной косметический ремонт школьных программ, если останутся незыблемыми те основные установки, на которые многие годы ориентировался учитель. Например, в каждой программе по математике можно найти требование о выработке прочных вычислительных навыков. Но всем известно, что большинство учащихся безошибочно вычислять не умеют. И не потому, что программы, учебники и учитель не уделяют этому достаточного внимания. Наоборот, большая часть учебного времени отдается вычислениям и преобразованиям числовых выражений и выражений с переменными. И чем больше ученик занимается вычислениями, тем больше он делает ошибок. Почему? Да потому, что в этих условиях у него не остается времени на решение «качественных» задач по математике. А без этого не развивается его интуиция, сообразительность, он не учится делать правдоподобные предположения о свойствах математических объектов, убеждаться в их справедливости или отвергать свои гипотезы. На наш взгляд, не может ученик обладать «прочными вычислительными навыками», не достигнув в процессе изучения математики определенного уровня логического мышления.

Дифференциация обучения осуществляется посредством различного числа часов, отводимого на изучение отдельных разделов (тем); различного уровня изложения теоретического материала; решения различных

по сложности задач; неодинакового уровня отработки достаточно общих методов решения задач.

Почему большинству учащихся трудно учить математику? Сложен сам предмет. Но причина не только в этом. Например, в школе ученик изучает общие свойства непрерывных функций, применение которых позволяет существенным образом упростить поиск решений достаточно сложных уравнений и неравенств. Однако часто при решении уравнений и других задач прикладного характера эти важнейшие теоретические знания не находят применения, и потому ученики усваивают их формально. С другой стороны, чтобы решать уравнения и неравенства,они вынуждены запоминать огромное число формул, правил, условий равносильности уравнений и неравенств и т. п. Поиск же достаточно общих методов применения теоретических знаний к решению задач и общих свойств функций позволяет даже «среднему» ученику справляться с заданиями, которые во всех отношениях сложнее тех, которые определяются так называемыми «обязательными результатами обучения». Например, задача «найти корень уравнения = 0,1 — х с точностью до 0,5- 10^_|989 становится практически устной, если для ее решения в достаточной мере применяются свойства линейной функции и функции у = \[х-

Дифференциация обучения невозможна без определенной интеграции курсов алгебры и геометрии (решение задач межпредметного характера, применение функционального метода при изучении не только алгебраического, но и геометрического материала, комплексное использование конструктивных и аналитических методов при решении одной и той же задачи). Традиционные системы упражнений по геометрии должны быть дополнены задачами на исследование непрерывного изменения геометрических величин, на динамизацию математических объектов, на комплексное повторение основных разделов алгебры и геометрии (через систематическое решение комбинированных задач).

Малоэффективны уроки, на которых «разучиваются» решения уравнений и неравенств. Почему? Главная причина в том, что большая часть учебного времени тратится опять-таки на вычисления и тождественные преобразования выражений с переменными, а не 6

на анализ тех свойств выражений с переменными, которые входят в уравнение или неравенство.

Преобразовывать (упрощать) уравнение F(x) = О имеет смысл только после того, как детально изучены свойства функции Г(х) (установлена не только область определения этой функции, но и какие-то числовые промежутки, которым не могут принадлежать корни уравнения F(x) = 0, т. е. в максимально возможной степени «сужен район», которому могут принадлежать корни этого уравнения). А ведь такой анализ уравнения развивает и логическое мышление учащихся, и резко сокращает последующие преобразования уравнения Г(х) = 0. Навыки такого анализа имеют не только общеобразовательное значение. Они являются основой экономического мышления работника любой отрасли народного хозяйства. Рассмотрим несколько примеров.

1) Решите уравнение |х²—1| + |х| + |2х + 3| — — 4х-f-6 = 0.

В различных конкурсных сборниках по математике такие уравнения рекомендуется решать «методом интервалов». Для нашего уравнения это означает, что нужно разделить все множество действительных чисел на промежутки ( — оо; —1,5), [—1,5; —1), [—1; 0), [0; 1), [1; + оо) (модули |х² — 1|, |х|, |2х + 3| в одной из точек — 1,5; — 1; 0; 1 равны нулю). Но такой подход приводит к необходимости решений пяти квадратных уравнений, проверке принадлежности их корней соответствующим промежуткам или подстановке полученных чисел в данное уравнение.

Очевидно, что эта малоэффективная (с точки зрения современных методических целей обучения) и утомительная однообразная работа займет почти весь урок. И главное, ученик после такой работы над этим уравнением ни на шаг не продвинется в сторону овладения общими методами решения уравнений.

Другое дело, если ученик еще с первого класса приобщался к мысли, что, прежде чем вычислять (преобразовывать, «упрощать»), нужно сначала увидеть побольше свойств выражений с переменными, которые входят в уравнение. Из школьных учебников, на наш взгляд, должны исчезнуть такие уравнения и неравенства, решать которые можно без их предварительного анализа.

Вернемся к задаче. Левая часть уравнения определена на множестве всех действительных чисел. Выра

жения |х²—11, |х|, 12х 4- 31 неотрицательны. Функция у=— 4* + 6 может принимать отрицательные и неотрицательные значения. Но если —4х4-60, т е. х <Z 1,5, то левая часть уравнения положительна. А это означает, что промежутку (— оо; 1,5) корни уравнения не принадлежат. Если жех 1,5, то все подмодульные выражения уравнения положительны и уравнение равносильно уравнению (х² —1) + х + (2х 4-3) — — 4х +6 = О, т. е. уравнению х² — х 4-8 = 0. Но это уравнение действительных корней не имеет.

Такой подход к решению уравнений имеет общеобразовательное значение и позволяет ученику восьмого класса исследовать и более сложное уравнение |х⁴—11 4" 1*1 4" |2х 4- 3| — 4х 4" 6 = 0 (решение сводится к доказательству того, что х⁴ — х + 8 = х(х³ — — 1) 4~ 8 0, если х 1,5).

2) Решите уравнение -д/2х² — 1 4~V^х2 — Зх — 2 = = -у/2х² 4~ 2х 4~ 3 4~ л/^%2 — *4~2.

Как «классически» решают подобные уравнения в школе? Избавляются от иррациональности путем длинных тождественных преобразований, заменяя данное уравнение системами равносильных уравнений и неравенств. На наш взгляд, после такого «обучения» пропадает всякая вера в силу математического мышления, пропадает желание заниматься математикой даже у самого талантливого ученика. А ведь подкоренные выражения уравнения (если, конечно, на них внимательно посмотреть!) «приглашают» преобразовать это уравнение следующим образом: -д/2х² 4- 2х 4~ 3 — — -д^х² — 1 = ~д/х² — Зх — 2 — д/х² — х 4- 2. Умножив обе части равенства на сопряженные выражения, получаем:

_________ 2х + 4__________ ________ —(2х + 4)_______ -\/2х²-|-2х-|-3 + д/2х² + 3 д/х² — Зх — 2 + у/х² — х + 2

Теперь ясно, что только число —2 является корнем данного уравнения.

Чтобы систематически обучать учащихся рациональному использованию изученной математической теории, нужно, чтобы в любой системе школьных задач (упражнений) было много таких, которые позволяли бы учителю учить школьника неформальному анализу условия задачи и только на основе этого

анализа применять соответствующие методы его реализации.

3) В большинстве пособий для поступающих в вузы методы решения неравенств рассматриваются изолированно от методов решения соответствующих этим неравенствам уравнений. Метод интервалов, реализуемый при помощи микрокалькулятора, серьезно упрощает эту работу. Например, для решения неравенства |3х² — 7х — 6| < |х² + х| достаточно решить уравнения Зх² — 7х — 6 = х² + х и Зх² — 7х — 6 = — (х² + х), расположить (при помощи микрокалькулятора) в порядке увеличения их корни и методом интервалов получить ответ.

4) Решить уравнение -д/бх 4- 1 — д/Зх + 4 = 12х — 1.

Функции Р(х) = д/бх 4~ 1, М(х) = -д/Зх 4- 4, К(х) = = 12х— 1 возрастающие, поэтому без дополнительных исследований ничего нельзя сказать о свойствах функции F(x) = Р(х) — М(х). Очевидно, данное уравнение определено на промежутке [—0,2; 4“°°)- Левая его часть отрицательная, если 5х 4~ 1 < Зх 4~ 4, т. е. если х <—1,5, и положительная, если х1,5. Правая часть уравнения отрицательная, если х< 1/12, и положительная, если х 1/12. Отсюда следует, что корни данного уравнения могут принадлежать только промежутку [—0,2; 1/12].

Легко заметить, что нуль является корнем уравнения. Есть ли другие корни? Функция Р(х) и С(х) = = М(х)4“К(^) возрастающие. Далее, Р( —0,2) = = 0, Р(0) = 1, /(1/12) 1, С(1/12) 2. Отсюда ясно, что на отрезке [ — 0,2; 0) верно неравенство -д/бх 4- 1 5x4-1, а на отрезке [0; 1/12] верно неравенство ■д/бх 4- 1 С 5х 4- 1- Уравнение 5х 4~ 1 = М(х) 4~ 12х — 1 имеет только один корень (нуль). Тем самым доказано, что нуль является единственным корнем данного уравнения.

5) Наибольшую образовательную ценность имеют комбинированные уравнения и неравенства, решение которых не связано с громоздкими преобразованиями и вычислениями, но требующие от ученика при работе с ними комплексного применения общих свойств функций. Такие уравнения и неравенства позволяют вести систематическое непрерывное повторение теоретического материала через решение задач (в течение

всего учебного года). Работа с ними приучает школьника анализировать выражения с переменными, сводить данную задачу к нескольким подзадачам. Ученик ищет пути применения известной ему математической теории к решению задачи.

Пусть требуется решить неравенство (x-j-1)/ /(х² + 1)^ д/х. Оно определено на промежутке [0; + оо). Ученик знаком со свойствами функций F(x) = x+1, Р(х) = х² + 1, М(х)=~\[х. Построив их графики на промежутке [0; + оо), появляется предположение, что только число 1 является корнем уравнения, соответствующего данному неравенству. Как это доказать? Если O^x^l, то х^х², и на этом промежутке (х+1)/ /(х² 4~ 1) К ад/х 1. Поэтому отрезок [0; 1] является решением данного неравенства. Если х 1, то х<х², -yfx 1 и, очевидно, (х + 1)/(х² + 1)< 1. Итак, только точки отрезка [0; 1] являются решением данного неравенства.

2. О формуле корня уравнения

С понятием «корень уравнения» ученик знакомится еще в четвертом классе. Однако представленная в действующих учебниках алгебры, алгебры и начал анализа, пособиях по математике для поступающих в вузы, система уравнений не расширяет и не обогащает знания учащихся о корнях.

В самом деле, ученик, как правило, упражняется только в нахождении «точных» корней уравнений с «точными» постоянными, входящими в эти уравнения. Более того, он убежден, что для решения любого уравнения существует формула. Под решением уравнения его приучают понимать только число, которое вычисляется по «точной формуле». Даже очень хорошие выпускники средней школы не понимают, что число корней уравнения определяется той точностью, с которой они вычисляются, или точностью исходных данных. И мало кто из них понимает, что далеко не всегда целесообразно вычислять уравнения по формулам даже тогда, когда формулы существуют. Ученик привыкает к тому, что при решении уравнений все должно «хорошо упрощаться» и ответ также должен быть «хорошим». Такая система обучающих уравнений полностью ото

рвана от всей практической деятельности человечества.

Что понимать под «формулой корня уравнения»? Чем хуже «формула» x = e^sinx корня уравнения 1пх = = sinx (после того, как доказано, что это уравнение имеет единственный корень), чем известные формулы корней квадратного уравнения?

А пока даже хороший школьник, получив задачу «решить уравнение х³ + Зх — 3 = 0», сразу пытается «упростить» его, стремясь разложить трехчлен х³ + 3х — — 3 = 0 на множители или найти подходящую замену одной переменной другой.

Допустим, что он как-то додумается до такой вот замены: х = у—\/у (но вряд ли он сможет воспользоваться этой же идеей при решении, например,уравнения x³-j-5x — 3 = 0!). Тогда от уравнения х³ + Зх— — 3 = 0 он последовательно перейдет к уравнениям у³ — У~³ — 3 = 0 и р² — Зр — 1 = 0(р = t/³). И выполнив массу громоздких тождественных преобразований, он получает формулы корней уравнения х³ + Зх —3 = 0:

2 _____________ 2 _____________

= -VW13 + 2)/2 - -VcV13-3)/2 ;

х₂ = д/(³-лЛз)/2 - (д/(3-713/2) ’¹ • ⁽)

А что дальше? Если он понимает, что многочлен третьей степени имеет одно или три действительных решения, то будет пытаться еще найти и формулу третьего корня. Или, что бывает чаще, будет считать, что задача уже решена. Какой ученик попытается доказать, что Xi = Х2? И, главное, чему научился школьник, «решив» таким образом это уравнение? Полагаем, что, потратив время, он ничему не научился.

На самом деле все проще. Функция у = х³ + Зх — 3 возрастающая. Поэтому по формуле х=д/3(1/х—1) с любой точностью можно быстро найти единственный корень данного уравнения, и по которой вычислять проще, чем по формулам (1).

Примечание. Равенство х =-\/3(1/х — 1) можно назвать формулой только после того, как установлено число корней уравнения х³ + Зх — 3 = 0.

3. Динамизация математических объектов

Размышляя о динамизации математических объектов, академик А. П. Ершов в журнале «Математика в школе» (№ 1, 1989, с. 29) писал: «Математика — это наука об инвариантах. Познать природу инварианта можно, однако, только осознав диалектику постоянства и изменчивости параметров этого инварианта. Как сказал К. Маркс, «любой закон проявляется при попытке его нарушения». Увидеть в логической константе все проявления реальной жизни, описанной законом,— это значит понять закон и научиться его применять.

Соединение в обучении методов геометрии и математического анализа как нельзя лучше позволяет ученику извлечь из статического состояния математического отношения всевозможные зависимости между геометрическими величинами. Все это обогащает учебный опыт школьника, его математическую интуицию и развивает способность высказывать правдоподобные суждения о свойствах геометрических фигур. Такая организация учебного процесса ставит ученика в положение исследователя, у него развивается динамическое пространственное воображение.

Методика обучения решению задач, в значительной степени основанная на динамизации математических объектов, позволяет интегрировать не только методы школьной алгебры, начал анализа и геометрии, но и обеспечивает взаимосвязанное непрерывное повторение математической теории через решение задач. В рамках такой методики функциональный метод серьезно упрощает поиск решений не только алгебраических, но и геометрических задач. Рассмотрим примеры.

1) К решению достаточно сложной задачи: «Доказать, что в треугольнике АВС стороны АВ и АС равны, если его биссектрисы CF и ВК равны» учащиеся могут прийти путем решения следующих подзадач динамического характера:

постройте произвольную окружность с центром О и ее произвольную хорду ВС. Проведите диаметр КМ этой окружности, Перпендикулярный хорде ВС (радиус ОМ пересекает ВС в точке Н). Отметьте на отрезке НС произвольную точку Т. Постройте луч МТ, который пересекает окружность в точке А. Как изменяются углы ВАМ, МАС и ВАС при движении точки А по дуге окруж- 12

ности (от точки А к точке С) ? Как при этом изменяются угол КМ А и длины отрезков МА, МТ, ТА? Сколько существует неравных треугольников с заданными стороной ВС, углом ВАС и биссектрисой АТ?

2) Отрезок СМ — медиана треугольника АВС, у которого угол САВ равен 60° и АВ = 6 см. Найти сторону АС, если АС + СВ + СМ = 3(4 4~ V$) ^см-

Угадать, какое из геометрических преобразований или их композицию целесообразно применить для решения этой задачи (даже если ученик в течение месяца только этим и занимался), наверное, дело безнадежное. А вот попробовать построить треугольник АВС методом проб и ошибок, причем так, чтобы можно было угадать ответ, вполне возможно. В самом деле, построив отрезок АВ = 60 мм и угол при нем в 60° и изменяя положение точки С на второй стороне этого угла, заметим, как при этом изменяются длины отрезков СМ и СВ и сумма отрезков АС, СВ и СМ.

После такой работы с переменными величинами ученик приходит к предположению, что АС = 60 мм, т. е. что треугольник АВС равносторонний. Только такая работа над условием задачи может быть названа анализом. А если виден Храм, т. е. конечная точка движения или его направление, то выбор путей, которые ведут к этому Храму, значительно облегчается.

Итак, если АС = х 0, то,, применив к треугольникам АСМ и АСВ теорему косинусов, получаем

х + -/ф - 3) + 3 + ух(х - 6) + 36 = 3(4 + д/з) (1) (заметим, что 3(4 + л/3) ~ 17,1).

Ученику хорошо известны свойства положительных функций А(х) = х(х — 3)4-3 и Р(х) = х(х— 6)4-36. Первая из них убывает на промежутке (0; 1,5] и возрастает на промежутке [1,5; 4- °°) Функция Р(х) убывает на (0; 3] и возрастает на [3; 4^-00)-

Таким образом, нам необходимо исследовать свойства функции F(x) = х 4-д/а(х)4-“\/^(^х) ^на промежутках (0; 1,5], [1,5; 3], [3; 4^-00)-

Очевидно, на (0; 1,5] верно неравенство F(x) <1,5 4- +д/з 4-6 < 9,5 < 17,1. Отсюда ясно, что положительные корни уравнения (1) не принадлежат этому промежутку.

Если 1,5 < х < 3, тоЕ(х) <3 4-д/з + 6< 11 < 17,1. Таким образом, и отрезку [1,5; 3] корни уравнения (1) не принадлежат.

На промежутке [3; + оо) функция F(x) возрастающая (сумма трех возрастающих функций). Поэтому уравнение (1) имеет не более одного положительного корня. Легко проверить, что число 6 является его корнем. К такому поиску решения должен приучаться ученик постоянно.

4. Динамическое пространственное воображение

Развивать динамическое пространственное воображение можно не только на уроках геометрии, так как под геометрической фигурой мы понимаем любое множество точек плоскости или пространства. Поэтому графики функций и уравнений — это геометрические фигуры. Исследование свойств функций и уравнений при помощи графиков, особенно решение задач на взаимное расположение этих графиков,позволяет организовать изучение материала на различных уровнях его теоретического осмысления учащимися.

Задача «При каких значениях а уравнение бд/х — 2 = ах + 7 (1) имеет единственное решение?», не переведенная на язык геометрических динамических образов, покажется сложной даже хорошо успевающему ученику (с негеометрическим решением этой задачи можно ознакомиться в книге «Сборник задач по математике для поступающих в вузы» (под ред. А. И. Прилепко. М., 1989. С. 25, 154).

В то же время геометрическое решение этой задачи доступно большинству учащихся. Оно может состоять из следующих подзадач.

1) Построение графика функции Р(х) = бд/х — 2. При этом обратить внимание учащихся, что это возрастающая неотрицательная функция.

2) Построение графика функции Е(х) = ах + 7 (при различных значениях параметра а). Ученик замечает, что при любом значении а прямая Е(х) = ах + 7 проходит через точку Л(0; 7).

3) Функция Р(х) возрастающая, а функция F(x) при невозрастающая. Поэтому, если —3,5 О, то графики функций Р(х) и F(x) пересекаются только в одной точке.

4) Вращая прямую F(x) = ах + 7 вокруг точки А (0; 7) по часовой стрелке (увеличивая положительные значения параметра а), ученики приходят к предположению, что две точки, в которых пересекаются графики функций F(x) и Р(х), сближаются, и, наверное, существует такое единственное значение а, при котором эти точки совпадают. И это, вероятно, будет тогда, когда прямая F(x) будет касательной к кривой Р(х)- Это, конечно, только правдоподобная догадка о существовании еще одного значения а, при котором уравнение (1) имеет единственное решение. Но таким образом полученная догадка имеет решающее значение для хорошего понимания всей структуры рассматриваемой задачи.

После такого анализа этой задачи вычисления сводятся к минимуму. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получаем ах² + х(14а— 36) 4- 121 =0 или х² + *(14 — 36/а) 4- 121/а = 0 (2). Левая часть этого уравнения должна быть полным квадратом (оба его корня совпадают!), а для этого полным квадратом должно быть число 121/а. Так как 121 = И², то есть смысл предположить, что а = 1. В самом деле, если а = 1, то уравнение (2) принимает вид (х—Ц)² = 0. Итак, если а = 1 или — 3,5 а 0, то уравнение (1) имеет единственное решение.

Ученик должен оканчивать школу с пониманием того, что учил он не арифметику, алгебру, тригонометрию, геометрию, а учился анализировать математические объекты, что это умение имеет практическое приложение (в самом широком понимании слова «практика») .

5. Функциональный подход к решению уравнений и неравенств

Чтобы обобщенные знания и достаточно общие методы решения задач стали доступными учащимся, необходима продуманная в течение длительного времени пропедевтическая работа. Всякому систематическому (строгому) изучению математической теории должно предшествовать ознакомление с ней на интуитивном уровне.

Исследование функций (построение графиков, их чтение, применение к решению уравнений, неравенств и их систем) — главная цель изучения алгебры (7—

9 кл.) и алгебры и начал анализа (10—11 кл.). Умение применять свойства соответствующих функций к решению уравнений, неравенств и геометрических задач является обобщенным критерием уровня подготовки выпускника средней школы.

В курсе алгебры восьмилетней школы много внимания уделяется тождественным преобразованиям выражений с переменными. Но и этот материал можно «заставить работать» на функциональный метод.

Можно, например, ограничиться требованием разложить выражение х³ + Зх² + 2х на множители. Но после этого целесообразно ученикам поставить и такие вопросы: как изменяется функция Р(х) = х³ -f- Зх² + + 2х = х(х + 1) (х + 2), если х увеличивается от 3 до 5? Найти наименьшее и наибольшее значения выражения х³ + Зх² + 2х, если 3 х 6. Существует ли такое значение х, принадлежащее промежутку (3; 6), при котором Р(х) равно 1000?

Такие и аналогичные им вопросы функционального характера «оживляют» скучные для ученика тождественные преобразования. Однообразные задачи на «упрощения» выражений с переменными не способствуют формированию понимания важности этой учебной работы. Другое дело, если перед учеником ставится задача преобразовать, например, выражение х/(х⁵—1) таким образом, чтобы предельно простым стало исследование функции t/ = x/(x⁵—1) на промежутке (2; 4).

Очевидно, у = х/(х⁵ — 1) = 1 /(х⁴ — -0. Теперь ясно, что эта функция на интервале (2; 4) убывает, потому что функция у = х* возрастает, функция У — ^~ убывает, функция у = х —— возрастает.

Тождественные преобразования могут выполняться для доказательства какого-то тождества, для того, чтобы сократить вычисления на микрокалькуляторе, отделения корней уравнения, поиска и получения какой- либо гипотезы о свойствах соответствующей функции и т. п.

Несколько замечаний о методе интервалов решения неравенств и их систем. Во-первых, этот метод — важнейшая составная часть общего функционального подхода к изучению всех основных вопросов 16

курса математики средней школы. Он позволяет свести решение любого неравенства или системы неравенств к решению соответствующих уравнений. Во-вторых, в процессе изучения неравенств происходит систематическое непрерывное повторение (на уровне применения к решению задач) важнейших свойств непрерывных функций. В-третьих, ученики избавляются от выполнения большого объема однообразных тождественных преобразований. В-четвертых, автоматически решается проблема перегрузки учащихся учебной работой в течение длительного периода изучения алгебры, алгебры и начал анализа в восьмилетней и средней школах. И наконец, ученики знакомятся с одним из универсальных методов решения задач школьной математики.

Пусть, например, нужно решить неравенство

5х⁴ 4~ 1 g 2 — ~\[х

Оно определено на промежутках [0; 4) и (4; + оо). На промежутке (4; + оо) левая часть неравенства отрицательная, поэтому все точки этого промежутка являются его решениями. На промежутке [0; 4) непрерывная функция у = 5х⁴ + 1 положительная и возрастающая, а непрерывная функция у = 2— -у/х положительная и убывающая. Следовательно, функция

F(x) = — +1

2 — ух

возрастает на промежутке [0; 4). Поэтому уравнение F(x) = 6 имеет не более одного корня, принадлежащего этому промежутку. Очевидно, число 1 является решением уравнения F(x) = 6. Теперь ясно, что и все точки отрезка [0; 1] являются решениями данного неравенства.

Систематическое применение свойств взаимообрат- ных функций также существенно сокращает объем вычислений и преобразований при решении уравнений и неравенств.

При изучении тригонометрических уравнений и неравенств особое внимание следует уделять обучению учащихся построению и чтению графиков соответствующих функций. Ученик может не понимать смысла равенств х = ± arccos а + 2лп, х = ( —1)" arcsin а +л/г,

х = arc tg a + лп, но он будет правильно решать любые тригонометрические уравнения и неравенства, если умеет читать графики функций. Восьмиклассник, умеющий строить и читать графики функций, с успехом решает и такие нестандартные уравнения и неравенства: определить число корней уравнения х² = cosx и найти его положительный корень с точностью до 0,001 (при помощи микрокалькулятора);

решить неравенство 2x²^cosx;

сравнить положительные корни уравнений х² = = cosx и 2x² = cosx.

Графики являются универсальным средством наиболее полного и рационального применения свойств любых функций при решении уравнений и неравенств. Тригонометрический круг такой универсальностью не обладает.

Функциональный метод коренным образом упрощает решение уравнений и неравенств с параметрами.

Пусть, например, требуется найти все значения параметра а, при котором уравнение х² + 4х — 2|х— а\ +2 — а = 0 имеет только два корня.

Строим графики функций а =—х² — 2х — 2(а х) и а = 1/3(х² + 6х + 2) (ах). Прочитав их, получаем ответ на вопрос задачи (подробно об этом — в п. 64 этой книги).

Если школьника систематически учить расчленять сложную задачу на более простые, а на уравнение смотреть как на равенство с переменными, при исследовании которого всегда целесообразно применять в максимальной степени свойства соответствующих функций, то задача «решить неравенство x/lgx^sinx» вместо нестандартной становится стандартной. В самом деле, это неравенство определено на промежутках (0; 1) и (1; +°о). На промежутке (0; 1) функции у = х и z/==sinx положительные, а функция у = Igx отрицательная. Поэтому данному промежутку не принадлежит корень уравнения x/lgx = sinx и ни одна его точка не является решением неравенства x/lgx ^sinx. На промежутке (1; + оо) верны неравенства x/lgx » 1 и sinxs^ 1. Поэтому все точки этого промежутка являются решениями неравенства x/lgx sinx.

Такой подход к исследованию и решению уравнений и неравенств и их систем является универсальным. При этом учащийся занимается аналитической работой, а не скучными тождественными преобразованиями.

ЛИТЕРАТУРА

Василевский А. Б. Устные упражнения по алгебре и началам анализа.— Мн., 1981.— 72 с.

Василевский А. Б. Задания для внеклассной работы по математике.— Мн., 1988.— 175 с.

Василевский А. Б. Обучение решению задач по математике.— Мн., 1988,— 255 с.

Верченко А. И., Верченко С. Б. Дифференциация обучения математике во Франции // Математика в школе.— 1989.— № 3.— С. 14—19.

Готман Э. Г. Геометрические задачи, решаемые с помощью поворота // Математика в школе.— 1989.— № 3.— С. 28—32.

Метельский Н. В. Реализм — основа перестройки школьного математического образования // Математика в школе.— 1989.— № 3,— С. 23—30.

Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К- Задачи вступительных экзаменов по математике.— М., 1986.— 512 с.

Об углубленном изучении математики в VIII классе // Математика в школе.— 1989.— № 3.— С. 73—81.

Фельдман А. М., Гуревич В. Ю. Работает прямоугольный тетраэдр // Математика в школе.— 1989.— № 5.— С. 24—29.