14. Рассеянный профессор (К) 16

15. Договорные начала (3) 16

16. Турист. Первый вариант (К) 17

17. Турист. Второй вариант (М). 17

18. Турист. Третий вариант (М) 17

19. Правитель острова (И. Л. Брауэр, 3) 17

20. Утюг с автоматическим выключателем (3) 17

В. Задачи, решаемые средствами логики классов 16

а. Основные задачи. 19

21. Злоумышленники (3). 19

22. Правильный или неправильный вывод? (3) 19

23. Два объявления (3). 20

24. Фотография старинного замка (3) 20

25. Собаки лесничего (3). 21

26. Карта и дороги (3) 22

27. Добросовестные работники (Де Морган, 3) 22

28. Сообщение о лекции (У. С. Джевоне, 3) 22

29. У телевизора («Мир техники», 3) 22

30. Военный флот (Дж. Буль, 3) 23

31. Капитан и рулевой (3). 23

32. Грудные дети (Л. Кэролл, К) 23

33. Рыбы (Л. Кэролл, К) 23

б. Задачи с техническим содержанием 24

34. Цветные флажки (3). 24

35. Четырехгранная призма (3) 24

36. Рычаг и кнопка (У. Р. Эшби, К) 25

37. Уравнения, для букв (3) 25

38. Сигнальная установка (3). 26

39. Семафоры и стрелки (3) 26

40. Три машины. Первый вариант (3) 26

41. Три машины. Второй вариант (3) 27

42. Производство и контроль качества (3) 27

43. Производственная линия (3) 28

44. Передача сообщений (3). 28

в. Задачи с элементами арифметики 29

45. Депутаты и военные (У. С. Джевоне, 3) 29

46. Международная конференция (3) 29

47. Исследование операций по обслуживанию на* селения (3) 29

48. Переводчики (3) 29

49. Продовольственные запасы (3) 30

50. Число неизвестных предметов (Де Морган, 3) 30

Раздел второй

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ТЕОРИЯ

А. Задачи, решенные без применения математической логики 31

1. Книги и профессии (3). 31

2. Профессор Кукушка (К). 33

3. Сплав (3) 34

4. Трое друзей (3) 35

5. В Пошехонье (3). 35

6. Убийство в лондонском метро (3) 37

Б. Задачи, решенные, средствами логики высказываний 39

Введение в логику высказываний (3) 39

7. Автоматический сортировщик топлива (3) 46

8. Туземцы и колониалисты (3, М) 47

9. Два племени (3, М). 48

10. Порядок утверждения проекта (3) 49

11. Разбитое окно. Первый вариант (3)

12. Разбитое окно. Второй вариант (3)

13. Разбитое окно. Третий вариант (3)

14. Рассеянный профессор (3).

15. Договорные начала (3)

16. Турист. Первый вариант (К)

17. Турист. Второй вариант (М)

18. Турист. Третий вариант (М).

19. Правитель острова (3).

20. Утюг с автоматическим выключателем (3)

В. Задачи, решенные средствами логики классов Введение в логику классов (3)

а. Основные задачи

21. Злоумышленники (3).

22. Правильный или неправильный вывод? (3)

23. Два объявления (3).

24. Фотография старинного замка (3)

25. Собаки лесничего (3)

26. Карта и дороги (3)

27. Добросовестные работники (3)

28. Сообщение о лекции (3)

29. У телевизора (3).

30. Военный флот (3). .

31. Капитан и рулевой (3).

32. Грудные Дети (3, М)

33. Рыбы (3)

б. Задачи с техническим содержанием.

34. Цветные флажки (3).

35. Четырехгранная призма (3).

36 Рычаг и кнопка (3)

37. Уравнение для букв (3)

38. Сигнальная установка (3)

39. Семафоры и стрелки (3, М).

40. Три машины. Первый вариант (3, М)

41. Три машины. Второй вариант (3)

42. Производство и контроль качества (3)

43. Производственная линия (3).

44. Передача сообщений (3).

в. Задачи с элементами арифметики.

Введение в арифметическое применение логики классов (3) 1

45. Депутаты и военные (3)

46. Международная конференция (3)

47. Исследование операций по обслуживанию населения (3)

48. Переводчики (3).

49. Продовольственные запасы (3)

50. Число неизвестных предметов (3)

Значение символической логики (К)

Оба они отвечали на любой вопрос либо «да», либо «нет». Хотя все это и было туристу известно, однако он не знал, кто из них говорит правду, а кто лжет; он также не знал, какая из дорог ведет к озеру. Тогда он задал обоим вместе единственный вопрос, каждый из них дал на него свой ответ. Спрашивается, какой это был вопрос, раз турист по полученным ответам безошибочно решил, какая из дорог ведет к озеру?

(Эту задачу, ее варианты и решения читатель найдет в тексте книги).

Отметьте, сколько времени вам понадобится, чтобы получить правильное решение. Предложите решить эту задачу своим друзьям, сравните время их решения со своим — это позволит вам получить некоторые данные к сравнительной оценке их и вашей смекалки. Вы убедитесь, что тот, кому приходилось уже раньше решать логические задачи, и тем более тот, кто хотя бы немного знает современную логику, как правило, гораздо быстрее справится с задачей, чем начинающий.

Современная формальная логика, которую называют также математической, или символической, логикой, оказывает все возрастающее влияние на методы мышления нашего времени. В отличие от традиционной формальной логики, которую преподавали в школе как «науку о правильном мышлении», она имеет не только теоретическое, но и исключительно большое практическое значение. Без аппарата символической логики не могут работать кибернетические устройства, эти «думающие» автоматы, управляющие самостоятельно производственными процессами, регулирующие транспортные потоки, производящие самые сложные вычисления, осуществляющие учет, устанавливающие диагноз заболеваний, переводящие с одного языка на другой, разгадывающие письменность давно вымерших народов или шифрованные записи, играющие в шахматы и т. д. Все это и многое другое эти электронные быстродействующие устройства делают, разумеется, не потому, что они мыслят, а потому, что люди, получившие соответствующее образование, всякий раз дают им особую программу, написанную на языке, «понятном» машинам, т. е. на языке математической логики. Так как самая широкая автоматизация физического и умственного труда является одним из важнейших рычагов построения коммунизма, в ближайшее время у нас сомнения. Эти вопросы сыграли, как известно, определяющую роль при решении двухтысячелетней проблемы об аксиоме параллельных, линий.

Мы здесь не собираемся даже вкратце излагать всю предысторию и историю символической логики. То немногое, что сказано выше, кажется нам уже достаточно убедительным и свидетельствует, что все действенное, плодотворное, дающее возможность практического применения логики и как орудия математического исследования, и как метода расчета и конструирования во многих технических науках, появилось в результате работы не специалистов-философов. Все жизненное в логике достигнуто благодаря отходу логики от ее традиционной застывшей формы.

Приведенные факты — не просто сумма примеров, но и проявление определенной закономерности, определенной исторической линии развития. Если бы мы продолжали ее изучение, то заметили бы, что Ньютон создал в «Математических началах натуральной философии»— вторую после Эвклида — попытку содержательной аксиоматизации системы науки (на сей раз — механики) и разработал в то же время индуктивные правила экспериментального исследования. Мы увидели бы, что предтеча неэвклидовой геометрии Саккери усердно занимался разработкой учений о логических доказательствах и т. д. И нам бросилось бы в глаза, что, особенно начиная с XIX в., когда начала зарождаться электротехника, когда физика стала изучать явления, чувственно-наглядно не воспринимаемые, необыкновенно усилилось взаимодействие математики и логики.

В 1822 г. Понселе впервые высказал в проективной геометрии плоскости «принцип двойственности», согласно которому все понятия проективной геометрии разбиваются на два класса взаимно соответствующих «двойственных понятий», как, например: точка — прямая; точке лежать на прямой — прямой проходить через точку и др. Если в какой-либо истинной теореме этой геометрии заменить все понятия на двойственные им, то опять получится истинная теорема, например, из высказывания «любые две точки лежат на одной прямой»

получим «любые две прямые проходят через одну точку».

Вскоре оказалось, что принцип двойственности не ограничивается лишь проективной геометрией, а имеет место и в других аксиоматизированных системах, прежде всего в «булевой алгебре», а также в теории множеств и в топологии. Выяснилось, что одна и та же геометрическая теорема может иметь несколько наглядных интерпретаций, одинаково истинных, но совершенно отличных друг от друга. Тем самым как перед математикой, так и перед логикой была поставлена проблема определения, которое стали теперь рассматривать как аббревиатуру для конструктивного мыслительного процесса.

В 1826 г. Лобачевский предложил свой вариант неэвклидовой геометрии, которая еще убедительнее показала, что различные чувственно-наглядные образования могут выступать как интерпретации одной и той же логико-геометрической формы. Прежнее, шедшее еще от последователей Аристотеля ¹ понимание аксиоматизированной системы как абсолютной, опирающейся на «очевидные» исходные положения и обеспечивающей незыблемость всех вытекающих из них выводов, должно было уступить место такому ее пониманию, согласно которому исходные положения представляют лишь гипотезы, которые должны проверяться их сличением с материальной действительностью. Создание неэвклидовых геометрий привело вместе с тем к методу доказательства непротиворечивости аксиоматизированной системы путем ее интерпретации в другой аксиоматизированной системе. Этот метод, метод арифметизации, впрочем, впервые, как мы уже отметили, примененный Лейбницем к учению о силлогизмах, оказался в дальнейшем фундаментальным в трактовке оснований математики.

Длительная борьба вокруг открытия дифференциального и интегрального исчисления, борьба за истолкование его основных понятий послужила толчком для изучения проблемы выражения мысли при помощи символов, а также для исследования формальных свойств математических действий. Одновременно с теорией арифметики и алгебры создавались и зачатки символического метода в логике. Буль писал: «Тот, кто

¹ Хотя, по-видимому, и не от самого Аристотеля.

знаком с современным состоянием символической алгебры, знает, что справедливость процесса анализа не зависит от интерпретации встречающихся символов, а только лишь от законов их сочетания. Всякого рода интерпретация, не нарушающая справедливости предположенных отношений, одинаково допустима, а поэтому один и тот же прием может дать при одной интерпретаций решение проблемы теории чисел, при другой интерпретации — решение проблемы геометрии, при третьей — решение проблемы динамики или оптики, и т. д.» [5]. Сам Буль пытался выявить изоморфизм его «логической алгебры» и теории вероятностей.

Большое значение для развития новой логики имело появление механических или квазимеханических моделей в физике. Оно сделало необходимым выяснение применимости таких понятий (как, например, понятие равенства), которые подразумевали ненаблюдаемые величины. Ведь Галилей и Ньютон, считавшие, что масса— это просто количество материи, не задумывались над смыслом положения «две массы, порознь равные третьей, равны между собой». Но Э. Мах (1868) требовал, чтобы равенство масс, а Дж. Максвелл (1871) — чтобы равенство температур не постулировалось априорно, а определялось измерением. Г. Гельмгольц (1887) довел эту идею до логического завершения, показав, что понятие «равенства» является частным случаем определения через абстракцию и что оно обусловлено симметрией и транзитивностью отношений между рассматриваемыми вещами. Эта же идея вновь появилась при обосновании понятия количественного числа у Г. Кантора. Свое завершение она нашла у создателя первой формализованной системы логики Г. Фреге.

Трудности, возникшие в математике в связи с понятием бесконечности, особенно проявившие себя в парадоксах расходящихся рядов и в ложных доказательствах теории экстремумов, вызвали к жизни занятия логической стороной этой важнейшей проблемы. Вновь начатые Б. Больцано, О. Коши, Дюбуа-Реймоном и Г. Кантором, эти исследования логических и математических парадоксов, ведшиеся еще в древности, а затем Галилеем, были продолжены на новом уровне.

Наконец, большое влияние на развитие логики оказало критическое исследование оснований геометрии, 8 Э. Кольман. О. Знх ИЗ

которое под влиянием логики же особенно усилилось _с 60—70-х годов XIX в. Геометры ставили задачу придать постулатам своей науки чисто логическую форму, т. е. форму отношений настолько общих, что они имеют место между крайне абстрактными понятиями, и очистить их от неявно содержащихся в них чувственнонаглядных элементов. В связи со всеми этими проблемами обоснования математики и начал широко разрабатываться символический метод в логике, сначала Дж. Пеано и Э. Шредером, затем Б. Расселом, Д. Гильбертом и др.

Итак, новая система логики, получившая, на наш взгляд, не вполне точное название «математической логики» ’, характерная своим символическим методом, была вызвана к жизни необходимостью критического пересмотра основ геометрии и арифметики, а потом механики и физики, что, как известно, привело к блестящим достижениям во всех этих науках.

Что же касается самой логики, то применение символического метода дало замечательные результаты. Правда, преувеличенные надежды, связывавшиеся первоначально с ним, надежды на полную формализацию и опирающуюся на нее алгоритмизацию мыслительных процессов, равно как и на устранение из математики парадоксов, не оправдались полностью. Более того, именно при помощи новой системы логики было неопровержимо доказано и то, что полная формализация невозможна, что не все задачи могут быть переданы машине. Стало ясно, что невозможно раз и навсегда устранить парадоксы в обоснованиях математики, что они могут быть лишь смещены: исчезнув в одном месте, они непременно появляются в другом. Беспочвенными оказались также расчеты на возможность сведения математики к логике или логики — к математике.

И все-таки достигнутое при помощи новой системы логики превзошло самые смелые ожидания. Логика, до недавнего времени казавшаяся лишь отголоском отошедшего в прошлое буквоедства, вошла в качестве

¹ Это название, пожалуй, оправдано постольку, поскольку имееются в виду лишь первый этап развития символической логики, связанной с именами Дж. Буля, А. де Моргана, У. С. Джевонса и других ученых.

необходимого элемента в методологию точного естествознания. С ее помощью начали рассчитывать контактно-релейные схемы, а затем и использовать их для моделирования мыслительных процессов. Автоматизация и телемеханизация производства, конструирование быстродействующих электронных вычислительных машин и оперирование на них, применение их для автоматизации различных видов умственного труда (переводческого, статистики и учета, поиска научной информации и др.) — все это стало возможным лишь благодаря символической логике. Успехи бурно развивающейся кибернетики открывают перед символической логикой еще большие возможности: применение к формализации выводов в квантовой физике, к формализации таксономии и теории эволюции, к исследованию высшей нервной деятельности, к проблемам управления обществом — трудно предугадать ее захватывающие перспективы. Без этих успехов не было бы космонавтики, человечество не смогла бы вступить в космическую эру.

Эти достижения современной логики, к которым она не могла прийти без помощи символического метода, убедительно говорят в его пользу. Но, как это ни странно, убедительно далеко не для всех.

Вряд ли найдутся люди, отвергающие применение языка или арифметики как лженаучное, идеалистическое на том основании, что, скажем, слово «человек» ни своим звучанием, ни своим начертанием не похоже на действительного человека, а, к примеру, числительное 5 не похоже на то количественное отношение, которое оно выражает. Между тем философов, вдобавок считающих себя марксистами и упорно отвергающих символическую логику, поскольку она — о ужас! — применяет символы вроде непохожие на те логические связки, которые они означают, можно нередко встретить, чаще всего потому, что они о символической логике имеют лишь весьма смутное представление. Зная, что многие современные идеалистические течения, в особенности те, которые модны среди естественников, усердно используют новую логику в борьбе против материализма и диалектики, эти товарищи настаивают на том, что символический метод превратил логику в нечто иррациональное, мистическое. Они утверждают, что он якобы

родствен идеалистическому направлению — символизму. Поверив гносеологическим высказываниям буржуазных теоретиков, стоящих на идеалистических позициях, они отвергают самый этот метод без выяснения его положительного содержания. Понятно, что это не позволяет ни ясно понять критикуемые идеалистические направления, ни разобраться в том влиянии, которое эти направления оказали на многих выдающихся естествоиспытателей в капиталистических странах.

Современная логика, как метод научного исследования, исторически развилась на базе традиционной логики путем внедрения в нее символического метода. Как известно, традиционная логика при всей ее ограниченности является необходимым моментом всякого познания, в том числе и познания научного, представляя, как писал Энгельс, «прежде всего метод для отыскивания новых результатов, для перехода от известного к неизвестному».

Но не следует ли отвергнуть символическую логику именно из-за того, что она пользуется символическим методом? Припомним, чему учит диалектический материализм о символах и философском символизме. Как известно, Ленин критиковал в «Материализме и эмпириокритицизме» гельмгольцевскую «теорию символов», которой равносильна и плехановская «теория иероглифов», как отступление от материализма к идеализму. Но речь шла не о недопустимости применения символов вообще, а об ошибочности считать ощущения и представления символами, т. е. об ошибке гносеологической. В конспекте к «Науке логики» Гегеля Ленин сформулировал вновь суть различий в подходе к символам и к философскому символизму: «Отметить лишь. замечания о символах, что против них вообще ничего иметь нельзя. Но «против всякой символики» надо сказать, что она иногда является «удобным средством обойтись без того, чтобы охватить, указать, оправдать определения понятий» (Begriffsbestim- mungen). А именно в этом дело философии» ¹. Ленин отвергал не вообще применение символов, а такие попытки их применения, когда философские понятия, высказывающие сущность данного явления, подменяются знаками, ничего не определяющими, а только затемняющими сущность данного явления. В самом деле, произнося «вода» или «aqua», написав эти слова или же НгО, мы употребляем символы, т. е. знаки, которые не имеют сходства с действительной водой и ее восприятием, представлением и понятием о ней. То же самое имеет место, когда мы говорим «пять» или записываем 5, или записываем норму прибыли уравнением:

или когда светофор зеленым светом показывает, что путь открыт. Совершенно другое место занимают символы у тех философов-идеалистов, которые превращают философию в игру символами. Например, Шеллинг, «объяснял» символами все явления: в боге дана непосредственная степень абсолютного — неограниченное бытие — 1; в природе — первая степень абсолютного — материя — 4; затем идет вторая степень — свет — А²; наконец, третья степень — организм — Д³, причем «степени — это количественные различия субъективности и объективности».

В основе ошибочного отношения к символам (как в случае, когда наши представления считают лишь условными знаками, позади которых нет объективной реальности, так и в случае, когда существенные философские определения понятий пытаются подменить игрой в символы) лежит порочная посылка о разрыве между мыслью и действительностью. Если же символы используются не в гносеологическом смысле, а как подсобные средства познания, введение которых в ту или другую научную дисциплину и действия над которыми подчинены содержательному контролю данной области знания, то против их применения, в том числе и в логике, возражений быть не должно. Следует лишь иметь в виду, что успех применения символов зависит от того, насколько понятия дан-* рой области могут быть — при существующем уровне знаний — формализованы.

Этот вопрос напоминает о применимости математики к другим наукам. Истолковывая материалистически известное изречение Гегеля, на которое обратил внимание Ленин, можно сказать, что чем богаче отношениями, а

тем самым и определеннее становятся мысли, «тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой, более произвольным и лишенным смысла становится их изображение в таких формах, как числа» Но не значит ли это, что в самом деле, как заметил в свое время Энгельс, применение математики, будучи абсолютным в механике твердых тел, при переходе к высшим формам движения падает и доходит до нуля в биологии? Нет, ибо применимость математики не только уменьшается с усложнением формы движения. Она и увеличивается с разработанностью самой математики, возрастающей с каждой последующей исторической ступенью, что дает возможность проникновения математического метода во все более широкий круг наук. Это подтверждается современным состоянием математики, нашедшей плодотворные выходы в биологию, психологию и политэкономию. Известно высказывание Маркса в письме к Энгельсу от 31 мая 1873 г.^{1 2} о применимости математического анализа для исследования закона периодических кризисов капиталистической экономики.

При всем этом нужно принять во внимание, что область применимости символов значительно шире области применимости математики. Разумеется, математика, по современным представлениям,— не только наука о количественных отношениях и пространственных формах (а тем более не только наука о числах), но и наука о более общих структурных отношениях действительного мира, отношениях, изоморфных отношениям количественным и пространственным. Тем не менее даже в самом обобщенном понимании математические отношения не охватывают бесконечного богатства отношений, существующих в действительности.

Логика, пользующаяся символическим методом, понятно, еще более абстрактна, чем формальная логика в ее традиционном изложении. Но и это обстоятельство — подъем на более высокую ступень абстракции — свидетельствует не против символического метода, а в его пользу. В самом деле, лишь символический метод позволил логике углубиться в анализ таких тонких понятий, как те, которые связаны с проблемой обоснования математики, с теорией множеств, где достигнуты значительные успехи в решении проблемы континуума, с теорией вероятностей. Лишь он дал возможность современной логике стать инструментом кибернетики, на принципах которой строятся машины, «продолжающие» человеческий мозг. Традиционная логика, несомненно менее абстрактная, оказалась бессильной перед этими задачами.

Подлинная цель символического метода в логике состоит в том, чтобы придать самой логике максимально строгое — аксиоматическое — изложение. Правда, достичь этого путем единой неизменной системы аксиом для всей логики невозможно, однако мы приближаемся к этой цели через развертывающуюся последовательность все более широких аксиоматизированных систем. Перестроенная таким образом логика служит затем выяснению логической структуры других наук, в первую очередь математики, а также непосредственно методам исследования и оперирования в естественных и технических науках.

Создав свои новые более мощные логические средства, современная логика вобрала в себя значительные элементы диалектики. Служа обоснованию современной математики, которая давно вступила в диалектическую область, она не могла не приобрести некоторые диалектические черты. Считая ее все же — поскольку диалектический элемент не входит в нее в я в н о м виде ¹ — дальнейшим развитием логики традиционной, мы не должны забывать, что она решительно отличается (в сторону несравненно большей гибкости понятий) от традиционной логики.

У нас принято называть новую логику логикой «математической», что обосновывается, с одной стороны, тем, что применяемые в ней символы и способ действия над ними напоминают математические вычисления. С другой стороны, тем, что эта логика лежит в основе теории математического доказательства. Но неправильно делать отсюда вывод, будто «математическая логика» служит только математике и будто она представляет лишь пере

¹ Примером диалектики, входящей в неявной форме в символическую логику, может служить известная теорема К. Геделя о принципиальной неполноте формализованной арифметики.

Неправильно также считать ее чисто математической наукой. Это наука пограничная, расположенная на рубеже математики и философии, ибо, как и всякая логика, она не является независимой от гносеологии. Другое название новой логики — «символическая логика», широко распространенное за рубежом, название, указывающее на характерный для новой логики метод, у нас менее принято.

Нигилистическое отношение к современной логике нельзя считать чем-то безобидным. Подобно тому, как получившее у нас в свое время известное распространение зазнайки пренебрежительное отношение к иностранной технике, к теории относительности, к квантовой химии, к генетике или к кибернетике — пренебрежительное отношение к современной логике приносило и приносит серьезный ущерб развитию нашей науки. Как справедливо указано в письме группы советских научных и технических работников, опубликованном в печати («Советская Россия», № 76, 1956), у нас, к сожалению, нет ни научного центра, ни журнала по логике. И это при наличии успехов мирового значения, которых добились в этой области такие ученые, как А. Н. Колмогоров, И. И. Же- галкин, А. А. Марков, П. С. Новиков, В. И. Шестаков, А. А. Шанин, С. А. Яновская и другие.

В заключение следует сказать, что современная символическая логика счастливо преодолела отрыв логики от конкретных, в особенности математических и естественных наук, отрыв, освященный многовековой традицией трактовки логики как чисто гуманитарной науки, отрыв, содействовавший ее окостенению и ее истолкованию в идеалистическом духе. Приложение логики к математике, к естествознанию, к технике вынуждает логику совершенствовать свои методы, вновь и вновь подвергать свою структуру критическому пересмотру, обогащаться новыми направлениями и ответвлениями. Возникшие в новое время логика отношений, системы многозначной логики, конструктивные логические исчисления, не ассоциативные и другие не аристотелевские логики, семиотические и иные металогические исследования, давшие важные плодотворные результаты, свидетельствуют о том, что от применения символического метода в логике выиграли как логика, так и конкретные науки.

И если мы наблюдаем, что достижения современной логики кружат голову некоторым буржуазным ученым, воображающим, будто область логики — единственная реальность, то в этом повинна не логика, а те особые общественно-идеологические условия, в которых в капиталистических странах протекает развитие науки. Отход части философов прошлого и настоящего, в «третье царство»— в сферу абсолютных логических истин, в мир, стоящий якобы как над материальным бытием, так и над переживаниями психики, вызван, в конечном счете, глубокими классовыми причинами.

Действительность империализма заставляет идеологов господствующих классов метаться в поисках прибежища более надежного, чем обветшалый «классический» идеализм. Одни находят его, возвращаясь к платоновскому миру идей, другие окунаются в туман мистики. Но как бы ни искажали эти философские идеалистические «выводы» современную логику и те науки, к которым она прилагается, из этого отнюдь не следует, будто диалектический материализм должен отбросить ее. Его задача вскрывать — не с наскока, а терпеливо, со знанием дела — эти искажения, непримиримо бороться против них, усваивая вместе с тем все положительное, что дают для познания и переделки мира логические средства символического метода.

Современная символическая логика сохраняет полностью важнейшую характеристическую черту формальной логики — она не рассматривает содержания мыслей, а рассматривает только их форму. Как и традиционная логика, символическая логика расчленяет мышление, как бы анатомизирует его, сводит его к комбинациям простейших элементов. Оставаясь все-таки формальной, она не в состоянии охватить действительность во всей ее полноте. Это связано с двойственным характером развития самой науки. Еще Лобачевский в труде «О началах геометрии» писал, что трудность познания увеличивается как по мере приближения к «начальным» истинам, так и в другом направлении — в направлении развития познания к более сложным положениям.

В современной логике, с ее символическим методом, техника и теория мышления достигли небывало высокой тонкости и точности. Мышление поднялось на вершины абстракции, обеспечив невиданные технические достижения, которые, в свою очередь, неизменно стимулируют его дальнейший подъем. Сегодня можно с полным основанием считать, что с рождением математики переменных отношений, глубоко математизированной физики (математика служит в ней не только для обобщения результатов эксперимента, но прежде всего для моделирования физических процессов и для поисков новых теорий) и, наконец, символической логики, наступила новая эпоха развития научной мысли.

Однако следует учитывать, что использование современной логики, как важной составляющей части научной культуры нашего времени, характеризуется присущей этой культуре раздвоенностью. Полвека назад, когда империализм находился еще на стадии относительно «мирной» экспансии, кризис естествознания вызывался противоречием между бурным ростом науки, ломающей отжившие понятия, и консервативной общественной идеологией. Теперь же, после того как две мировые войны и ряд победоносных социалистических революций положили конец монопольному положению капиталистической системы, в естествознании и математике, а также и в логике борются два направления — передовое и реакционное. Последнее не только взращивает паразитирующую на достижениях науки и техники идеалистическую философию, но и пытается, извращая ее суть, поставить науку всецело на службу агрессивным эксплуататорским интересам господствующих классов.

Однако все более значительное число ученых всего мира начинает понимать, что использование современной науки и техники таит две полярных возможности; служить либо счастью, либо невиданным бедствиям людей. Какая из них будет реализована, зависит от степени сознательности самих людей и характера их практической и теоретической деятельности.