Физические парадоксы и софизмы (Ланге) 1978 год - старые учебники

9. Каково ускорение центра тяжести?   . —

20. Стремительный велосипедист   » 18

21. По примеру Мюнхгаузена 19

22. Загадка сил всемирного тяготения   . —

23. Какие приливы должны быть сильнее? • • —

24. Как зависит работа от силы и пути? • » 20

25. «Нарушение» закона сохранения энергии ....•» 21

26. Таинственное исчезновение энергии   . —

27. Парадокс ракетных двигателей —

28. Где источник энергии?  22

29 Обруч и горка —

30. Парадокс кирпичной кладки   , 23

31. Как правильно?  —

32. Осуществим ли такой двигатель —

33. В какую сторону должен опрокидываться при резком повороте автомобиль? 24

34. Простой вывод формулы маятника .

35. Комический маятник « 26

36. Возможны ли поперечные волны в жидкостях? . 27

37. Наблюдается ли в этом опыте интерференция звука? 

38 Почему усиливается звук? , •   28

39. Будет ли двигаться вагонетка? —

40, Почему нет комфорта на подводных лодках? 23

41, Должна ли вода оказывать давление на дно сосуда? . . —

42 Гидростатический парадокс I : 7  30

43. Ошибка физика : ? : . 32

44. Загадка чердачных окон

45. Почему скорости различны? 33

П. Теплота и молекулярная физика

46. Достигают ли дна затонувшие корабли  34

47. Какова температура на большой высоте? —

48. Вопреки тепловым законам 35

49. Почему не помогла тепловая изоляция? —

50. Какая шкала выгоднее? —

51. За счет чего совершается работа? . . .  36

52 Обладает лн потенциальной энергией сжатый газ? . . —

53. Снова исчезновение энергии 37

54. Куда исчезает энергия топлива, сгоревшего в ракете? . . —

55. Можно лн повысить температуру тела, не сообщая ему теплоты?  38

56 Из чего делать паяльники? —

57. Отрицательная длина . —

58. Всегда лн справедлив закон сохранения энергии? . . . 39

59. Загадка капиллярных явлений . . . —

60 Умные спички г : ? : —

61. Как производится волочение? • . 40

62 Кипяток охлаждает лед / : в *   —

63 Отчего испаряется вода?  41

64. Вопрос студентке : : —

65. Как выгоднее кипятить воду? 42

66 Можно ли обжечься льдом и расплавить олово в горячей воде? 

67 Сколько топлива экономится? .....—

68. Сколько у железа теплоемкостей?  —

69. Зачем топят печи?  43

70. Почему не построят такую машину? 44

71. Когда КПД автомобиля больше? 45

72. Возможен ли «.демон» Максвелла?   —

III. Электричество и магнетизм

73. Верен ли закон Кулона?   47

74. Должен ли течь ток через проводник, замыкающий полюса батареи? ; .   —

75, Сила тока в ответвлении равна силе тока в неразветвленной части цепи?! . . : 4 48

76. Какой ток может дать аккумулятор? 49

77. Как уменьшить показания гальванометра?   —

78. Почему уменьшился ток?   . —

79. Чему равно сопротивление электрической лампочки? . . 50

80. Что покажет вольтметр? , , ,    . —

81. Каким должно быть сопротивление? ........ 51

82. Какой ток потребляет прибор? 6 < ; —

83. Загадка электролиза 52

84. Способ увеличения КПД электролитической ванны* . * 53

85 Еще раз о законе сохранения энергии —

86. Почему энергия конденсатора увеличивается? .... 54

87. Магнит с одним полюсом —

88. Где источник энергии магнита?   55

89. Сопротивления любых проводников равны? —

90. Меняется ли коэффициент трансформации при изменении нагрузки на трансформатор? 56

91. При каком напряжении загорается неоновая лампа? . . 57

92. Показания какого амперметра правильны? —

93. Почему в последовательной цепи ток неодинаков? . . 58

94. Как объяснить понижение температуры? —

95. Почему магнитное поле осталось неизменным? .... 59

96. Как проверять предохранители?   —

97. Почему загорались лампы? $0

98. Почему показания вольтметра различны? 61

99. Шесть гектоватт «равны» шестидесяти киловаттам? ... —

100. Паспорт электродвигателя < ? 5 62

$01. Зарядится ли конденсатор?   —

102. Странный случай намагничивания железа •»...• 63

IV. Оптика и строение атома

103. Простой способ путешествовать в прошлое . .... 64

104. Одежда металлургов 65

105. Где поместить зеркало? .  —

106. Необычное «зеркало» —

107. Почему бывает радуга?  66

108. Можно ли получить увеличение освещенности с помощью рассеивающей линзы? —

109. Линзы «наоборот»  67

ПО. Когда нужна большая выдержка при фотографировании —

111. Замечательный глаз 68

112. Почему колеса вращаются «не в ту сторону»? . . . . —

113. Как работает телескоп-рефрактор?   —

114. Нужны ли астрономам телескопы? 69

115. Какой должна быть диафрагма? —

116. Возможна ли постройка гиперболоида? —

117. Вместо лазера 70

118. Вменится ли цвет? : 71

119. Каков истинный цвет? 72

120. Случай с Вудом   —

121. Отрицательное световое давление 73

122. Почему по-разному светятся одинаково нагретые тела? . 74

123. Парадокс линеек    —

124. Парадокс рычага    75

125. Сколько было на Земле в «день  ее  рождения»?

126. Как возникают космические лучи? . * 76

127. Ядерные реакции и закон сохранения массы 77

128. Есть ли в ядре атома электроны? ...» 78

Решения

I. Механика  79

II. Теплота и молекулярная физика 115

III. Электричество и магнетизм 130

IV. Оптика и строение атома 153

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сомневаясь, приходи к истине.

Цицерон

В настоящей книге, предназначенной учащимся старших классов, приведены физические парадоксы и софизмы, различные по тематике и степени трудности. Некоторые из них известны уже давно, но большинство публикуется впервые.

«Софизм» и «парадокс» — слова греческие. «Софизм» (оофюца) означает рассуждение, формально кажущееся совершенно безупречным, но содержащее на самом деле ошибку, в результате чего конечный вывод оказывается абсурдным. Одним из наиболее известных софизмов является следующий: «То, что ты не терял, ты имеешь; ты не терял рогов, следовательно, ты их имеешь».

В парадоксе наоборот, умозаключение, кажущееся неверным, противоречащим «здравому смыслу», на самом деле справедливо. Например, выражаясь словами популярной поговорки, «невероятно, по факт», что при сложении скоростей, направленных в одну сторону, результирующая скорость будет меньше арифме-тической суммы скоростей (этот результат является одним из выводов частной теории относительности).

Размышления над софизмами и парадоксами не нужно считать пустой тратой времени. Не случайна любовь к ним таких выдающихся ученых, как Г. Лейбниц, Л. Эйлер, А. Эйнштейн. Гости Эйнштейна видели в книжном шкафу хозяина, весьма разборчивого в приобретении книг, целую полку, забитую математическими забавами и головоломками. Может быть, именно ранняя любовь к нешаблонным задачам развила у него способность к нестандартному мышлению, без которой никакое открытие невозможно. Анализ многих парадоксов сыграл чрезвычайно важную роль в развитии современной физики.

Мы надеемся, что знакомство с задачами, приведенными в этом небольшом сборнике, окажется полезным для читателей и предостережет их от некоторых оши-бок. Например, часто приходится наблюдать, как при решении задачи о баллистическом маятнике и подобных ей не только школьники, но и студенты первого курса института находят скорость системы вслед за неупругим соударением, применяя закон сохранения лишь механической энергии. Вряд ли после анализа софизма, являющегося предметом задачи 25 («Нарушение» закона сохранения энергии»), аналогичные ошибки будут повторяться.

В первой части сборника приведены тексты задач, во второй — их краткие решения. С ними полезно ознакомиться как для проверки своего решения, так и в тех случаях, когда справиться с задачей самостоятельно оказалось трудно.

Предыдущие издания книги были встречены читателями с интересом и быстро разошлись. Книга была переведена в Болгарии, Румынии, ГДР (двумя изданиями), Японии и на языки народов СССР. Ее несомненный успех стимулировал дальнейшую работу автора по составлению новых парадоксов и софизмов, итогом которой явилось настоящее издание. При его подготовке некоторые задачи были исключены, в тексты и решения других внесены изменения и дополнения, увеличено число задач, применяемые единицы и их обозначения приведены в соответствие с проектом нового ГОСТа.

Выполнял приятный долг, автор сердечно благодарит всех лиц, приславших отзывы и замечания на первое и второе издания книги, и особенно Б. Ю. Когана — рецензента третьего издания. Дальнейшие критические советы будут приняты также с признательностью

Автор

I МЕХАНИКА

1. УДИВИТЕЛЬНЫЕ ПРИКЛЮЧЕНИЯ ПАССАЖИРА МЕТРО.

Один из жителей Москвы каждое утро отправлялся на работу поездом метро. Хотя рабочий день у него начинался ежедневно в одни и те же часы, время его прихода на станцию могло, разумеется, несколько различаться в разные дня. Для простоты можно считать время прихода совершенно случайным.

На первый взгляд кажется правдоподобным предположить, число дней, когда после его прихода на станцию вначале появится поезд нужного пассажиру на-правления, будет примерно равно числу дней, когда первым прибудет поезд, идущий в противоположную сторону. Каково же было изумление пассажира, когда он об-наружил, что нужные ему поезда приходят на станцию в 2 раза реже, чем встречные!

Решив выяснить причины непонятного явления, он стал отправляться на работу с другой станции, расположенной несколько дальше от его дома. Наблюдения, произведенные здесь, заставили его удивиться еще больше, так как на этой станции дело обстояло совершенно иначе: нужные поезда приходили первыми в 3 раза чаще!

Помогите пассажиру разобраться в причинах столь странного поведения поездов метро.

2. БУДУТ ЛИ ДВИГАТЬСЯ АЭРОСАНИ!

Предположим, что на конвейерной ленте установлена модель аэросаней, приводимая в движение воздушным винтом толкающего типа. Какова будет скорость модели относительно Земли/если конвейер и сани одновременно придут в движение в противоположных направлениях, т. е. будут ли сани оставаться на месте или двигаться в какую-либо сторону?

что Поскольку компонента импульса в направлении оптической оси возросла, сама линза должна получить импульс, направленный в противоположную сторону, т. е. к источнику света!

При й*>2Р на линзу будет действовать сила /?, направленная от источника (рис. 70, б). Разумеется, чтобы эта зависимость действительно имела место, линза должна быть совершенно прозрачной и не должна отражать свет к

Легко видеть, что к источнику света будет притягиваться любая оптическая система, после прохождения которой расходимость лучей в световом пучке уменьшается. Линза не единственное устройство, обладающее этим свойством (придумать другие мы предлагаем читателю). К сожалению, эффективность всех их убывает с удалением от источника света. Трудностей, возникающих при из-готовлении очень длиннофокусных линз, которые обеспечивали бы притяжение к Солнцу на расстояниях порядка миллионов километров, мы здесь не касаемся, по-скольку нас интересовала принципиальная сторона вопроса.

122. Как известно, электроны в атомах могут находиться в разных состояниях, каждому из которых соответствует различная энергия. При переходе электрона из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой «излишек» энергии выделяется в виде электромагнитного излучения. В зависимости от его частоты на-блюдатель воспринимает свет того или иного цвета.

В металлах наиболее удаленные от ядра электроны (в химии их называют валентными) за счет тепловой энергии легко переходят в «возбужденное» состояние и так же легко возвращаются в «нормальное», отдавая запасенную энергию в виде света.

Не так обстоит дело в кварце и стекле. Все электроны здесь прочно связаны с ядрами атомов и с большим трудом меняют свое энергетическое состояние. Чтобы получить заметное свечение, в этом случае нужна значительно более высокая температура.

1 Нетрудно показать, что если источник света находится на главной оптической осн, то полное изменение импульса света, падающего на линзу, в плоскости, перпендикулярной оптической оси, равна нулю Поэтому на линзу будет действовать сила, параллельная оптической оси.

123. Теория относительности действительно запрещает относительное перемещение двух вещественных объектов со скоростью, превышающей световую. Однако место пересечения линеек является лишь геометрическим образом, на скорость движения которого (относительно Земли или какого-либо иного объекта) теория

относительности никаких ограничении не накладывает.

Впрочем, вначале' кажется, что, насадив на место пересечения линеек металлическое кольцо (рис. 71), мы все-таки придем к противоречию с теорией относительности— ведь тогда вместе с геометрической точкой пересечения должен двигаться, и притом с такой же скоростью, связанный с ней материальный предмет?!

Однако не надо забывать, что согласно той же теории относительности при увеличении скорости тела его масса изменяется по закону:

(смысл обозначений см. в решении задачи 103)\

Таким образом, при постепенном ускорении движущейся линейки масса кольца будет возрастать, что сделает дальнейшее увеличение скорости кольца (а следо-вательно, и линейки) все более трудным, а достижение световой скорости — вообще невозможным.

Предоставим теперь слово известному американскому популяризатору науки М. Гарднеру. В своей книге «Теория относительности для миллионов», с которой мы со-ветуем ознакомиться всем любителям физики, он пишет следующее: «Хотя сигналы не могут быть переданы со скоростью, превышающей световую, но можно наблюдать определенные виды движений, которые будут иметь по отношению к наблюдателю скорости больше световой. Представьте себе гигантские ножницы, лезвия которых таковы, что достигают планеты Нептуна. Ножницы начинают закрываться с постоянной скоростью. По мере

того как это происходит, точка, в которой пересекаются режущие края лезвий, будет двигаться к концам ножниц со все возрастающей скоростью. Представьте, что вы си-ните на неподвижном стержне, скрепляющем оба лезвия. По отношению к вашей инерциальной системе отсчета эта точка пересечения лезвий скоро будет удаляться от вас со скоростью, большей скорости света. Конечно, здесь происходит движение не материального тела, а геометрической точки.

Возможно, вам придет в голову такая мысль: предположим, что кольца ножниц находятся на Земле, а точка пересечения лезвий — на Нептуне. Если вы слегка за-крываете ножницы, а затем открываете, повторяя это неоднократно, то точка пересечения будет ходить вперед- назад. Нельзя ли теперь передать сигналы на Нептун почти мгновенно? Нельзя, поскольку сигнал, приводящий в движение лезвия, должен передаваться от молекулы к молекуле, а скорость этого процесса должна быть меньше световой. В общей теории относительности нет абсолютно жестких тел. Иначе вы могли бы просто взять жесткий стержень протяженностью от Земли до Нептуна и передавать сообщения мгновенно, приводя в движение один конец. Не существует способа, который позволил бы использовать гигантские ножницы или любой другой тип так называемых абсолютно твердых объектов для передачи сигнала со скоростью больше скорости света».

124. По мере приближения скорости правого конца рычага к скорости света его масса увеличивается неограниченно (см. решения задач 103 и 123), что не позволяет ему достичь скорости света, не говоря уж о ее превышении.

125. Приведенный расчет убедительно показывает, какие нелепые выводы можно получить, механически применяя математические формулы, не слишком вникая в суть физического явления, которое они описывают.

Радий — один из членов радиоактивного семейства. В цепочке превращений, следующих друг за другом, он стоит между торием, распад которого порождает радий, и радоном, являющимся продуктом распада радия. Имеющийся на Земле сейчас радий — это вовсе не сохранившиеся еще не распавшимися до настоящего времени остатки колоссального первоначального запаса, вычисленного в задаче!

В настоящее время известны три естественных радиоактивных семейства. Это ряды урана, тория и актиния, названные так по имени «родоначальника» семейства, открывающего цепь радиоактивных превращений. Четвертое семейство, названное именем нептуния, состоит из искусственно полученных изотопов, не встречающихся на Земле.

Родоначальники трех первых семейств существуют в природе до сих пор потому, что период полураспада их очень велик. Он составляет для

урана 4,5-10* лет,

тория 1,4-101’ лет,

актиния 7,1 • 10е лет.

Члены же их семейств обнаруживаются в природе только благодаря непрерывному образованию в процессе распада других элементов.

Может быть, на Земле при ее «рождении» было и небольшое количество нептуния (весьма сомнительная с точки зрения ядерной физики возможность), однако период полураспада его, составляющий «только» 2,2-Ю6 лет, оказался слишком малым, чтобы нептуний смог сохраниться до наших дней.

126. Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре, запертом поршнем. Пока поршень неподвижен, средняя скорость молекул газа V остается постоянной (если, конечно, к газу не подводится тепло), так как соударения молекул со стенками цилиндра и поршнем носят упругий характер, и скорости остаются после соударения прежними.

Однако если поршень вдвигается в цилиндр с некоторой постоянной скоростью и, то молекулы, ударяющиеся о поршень, будут обладать относительно него скоростью п + ы. С такой же скоростью относительно поршня они и отразятся. Но так как поршень движется относительно цилиндра со скоростью и, то скорость молекул относительно цилиндра после отражения окажется равной

и + («+т») = ® + 2м,

т. е. возрастет на 2м.

Подобным же образом происходит ускорение заряженных частиц в космическом пространстве. Если протон, летящий в направлении от Земли со скоростью о, попадет в скопление межзвездного газа, несущее магнит- 170

ное поле и движущееся со скоростью и в сторону Земли, то после «отражения» магнитным полем (рис. 72) протон устремится к Земле со скоростью п-+-2п. Правда, протон может попасть в магнитное поле, вектор скорости которого направлен от Земли, и замедлить свое движение, но точный расчет показывает, что движущиеся частицы встречают в единицу времени ускоряющих полей больше, чем замедляющих, в результате чего эффект ускорения преобладает.

127. Ядерные реакции, как и химические, бывают двух типов: с выделением энергии — экзотермические и с поглощением энергии — эндотермические. Первая из написанных в задаче реакций относится к экзотермическим и протекает «сама собой». Что же касается второй, то она является эндотермической: чтобы вызвать превращение протона в тройку частиц — нейтрон, позитрон и нейтрино,— ему нужно сообщить колоссальное, по масштабам микромира, количество энергии.

Согласно современным представлениям, вытекающим из теории относительности, увеличение энергии тела сопровождается увеличением его массы. Протон, способный породить тройку «нейтрон—позитрон—нейтрино», должен иметь массу, превышающую массу протона в «нормальном состоянии» на величину, примерно равную удвоенной массе электрона (или позитрона, так как массы этих двух частиц в точности равны). Поэтому закон

сохранения массы в ядерных реакциях остается справедливым. Также всегда справедлив в этих случаях закон сохранения заряда, что можно видеть на примере приведенных реакций.

128.При обычном (электронном) распаде происходит превращение одного из нейтронов, входящих в состав материнского ядра, сразу в три частицы (протон, элект-рон и антинейтрино):

причем протон остается в составе дочернего ядра, а электрон и антинейтрино выбрасываются. При этом заряд ядра увеличивается по сравнению с материнским на единицу, в результате чего дочернее ядро располагается в периодической системе на одну клетку правее материнского.

При позитронном 3-распаде в материнском ядре происходит реакция

{Р ч- оп+оу»

после которой нейтрон остается в дочернем ядре, а позитрон и нейтрино выбрасываются. Таким образом, при позитронном распаде заряд ядра на единицу уменьшается и дочернее ядро перемещается на одну клетку влево от материнского.