Познакомьтесь с топологией - На подступах к топологии VIII-X классы (Саркисян, Колягин) 1976 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Познакомьтесь с топологией - На подступах к топологии VIII-X классы (Саркисян, Колягин) 1976

Назначение: Книга для внеклассного чтения. VII I— X классы

В книге рассмотрены вопросы и занимательные задачи, примыкающие к топологии (задачи об уникурсальных фигурах, узлах, лабиринтах) и некоторые простейшие вопросы теории графов, раскраски карты и т. д.

© "Просвещение" Москва 1976 

Авторство: Саркисян А.А. и Колягин Ю.М.

Формат: PDF Размер файла: 3.26 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЯ 3

1. УНИКУРСАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ 3

2. «ГЕОМЕТРИЯ НИТЕЙ* 9

8. ЛАБИРИНТЫ 12

4. ЧТО ТАКОЕ ГРАФ 20

5. СВЯЗНЫЕ ГРАФЫ 24

6. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ 28

7. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА О ПЛОСКОМ ГРАФЕ 32

8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 43

9. ПРОБЛЕМА РАСКРАСКИ КАРТЫ 50

10. МНОГОГРАННИКИ 59

11. НА ПОДСТУПАХ К ТОПОЛОГИИ 63

ЗАКЛЮЧЕНИИ, 71

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 73

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник  СССР - Познакомьтесь с топологией - На подступах к топологии VIII-X классы (Саркисян, Колягин) 1976 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ВВЕДЕНИЕ

Ответить на вопрос о том, что такое топология, весьма не просто. Для того чтобы в полной мере оценить задачи, которые решаются этой научной дисциплиной, не-обходимо серьезное изучение многих весьма сложных вопросов математики. В этой небольшой книге мы не будем ставить себе целью получить сколько-нибудь полный ответ на этот вопрос. Главное, что мы попытаемся сделать — это рассмотреть некоторые примыкающие к топологии математические факты и показать, что многие на них могут быть использованы при решении интересных задач, известных под названием «занимательных*.

Именно с рассмотрения таких задач мы и начнем. Будем надеяться, что после прочтения этой книги у вас возникнет желание заняться изучением топологии всерьез и надолго.

1. УНИКУРСАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ

К XVIII в. через реку Прегель, протекавшую по городу Кенигсберг (Калиниград), было построено 7 мостов, которые связывали ее берега с двумя островами, расположенными в черте города (рис. 1).

Рассказывают, что однажды рдин из жителей города спросил у своего соседа, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку.

Этой задачей заинтересовались многие, однако решить ее никто из жителей города так и не смог.

В дальнейшем задача привлекла внимание ученых разных стран. Решить ее удалось в 1736 г. известному швейцарскому математику Л. Эйлеру, который в то время работал в Петербурге и не приезжал в Кенигсберг. Причем Л. Эйлер не только решил эту задачу, но и сумел найти общий метод решения аналогичных задач.

Решая задачу о семи мостах, Эйлер поступил следующим образом. Он изобразил точками В и С берега реки, точками А и D острова, а линиями — мосты, соединяющие соответствующие участки берегов и островов. В результате получилась фигура, приведенная на рисунке 2.

Такую фигуру называют графом, точки, А, В, С, D называют вершинами графа, а отрезки кривых, соединяющие вершины,— дугами (ребрами) графа.

Эйлер подсчитал число дуг, исходящих из каждой вершины графа (рис. 2). Из вершин В, С п D исходит по три дуги, а из вершины А — пять дуг. Вершины графа, из которых исходит нечетное число дуг, он назвал нечетными вершинами, а вершины, из которых исходит четное число дуг,— четными. Все вершины данного графа оказались нечетными.

В ходе решения этой задачи Эйлер установил следующие четыре свойства графа Ч

1. Число нечетных вершин графа всегда четно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечетное число нечетных вершин.

2. Если все вершины, графа четные, то можно одним росчерком (т. е. без отрыва карандаша от бумаги, проводя

1 Точнее — связного графа (см. п. 5)«

Рис. 3

по каждой дуге только один раз) начертить граф, при этом движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

3. Граф только с двумя нечетными вершинами можно начертить одним росчерком, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить в другой.

4. Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Поскольку число нечетных вершин графа, соответствующего задаче о семи мостах, оказалось равным четырем, то такой граф нельзя изобразить одним росчерком, а следовательно, невозможно пройти по всем семи мостам, побывав на каждом из них по одному разу, и вернуться в на

чало пути.

Рассмотрим теперь еще одну задачу, аналогичную задаче семимостов.

Задача 1. Можно ли привязать к гвоздям А, В, С, D, К, М веревку так, как показано на рисунке 3, не разрезая ее на части и не сдваивая?

Решение. Из рисунка видно, что из вершин А, В, С и D исходят по три ребра, а из вершин М и К — по пять. Получили, что все шесть вершин нечетны. Согласно свойству 4, найденному Эйлером, привязать веревку так, как требуется в условии задачи, невозможно.

Начертим теперь без отрыва карандаша от бумаги любую самопересекающуюся кривую так, чтобы в одном случае росчерк закончить в той же точке, с которой начали (рис. 4, а), а в другом — в точке, отличной от начальной (рис. 4, б). У нас получился граф, если точки самопересечения линии, а также ее начало и конец считать верши-нами.

Подсчитаем теперь число дуг, исходящих из этих вершин. Мы видим, что из любой вершины графа на рисунке 4, а исходит четное число дуг и из любой вершины графа на рисунке 4, б, кроме вершин А и В, исходит также четное число дуг.

Это и аналогичные ему упражнения убеждают нас в том, что все графы, которые выполняются одним росчер-

Рис. 4

ком, удовлетворяют свойствам 2 и 3, найденным Л. Эйлером.

Фигура (граф}, которую можно начертать одним росчерком fab отрыва карандаша от бумага и без повторения движения но каждой из дуг), называется дкикурсалъкоа фигурой.

Задача 2. В небольшой роще (рис. 5) находится заяц. Выскочив из норы а бегая по слегу от дерева к дереву, он оставил следы и, наконец, спрятался под одним из этих деревьев.

Где находится сейчас заяц? Под каким деревом находится его нора? Сколько решений имеет задача?

Решение. Будем считать каждое дерево вершиной графа, а путь зайца от дерева де дерева — ребром графа. Нетрудно обнаружить, что все вершины этого графа (кроме вершин В и L) четные. Значит, либо заяц находится под деревом, обозначенным буквой L, а его нора вод деревом, обозначенным буквой В, либо наоборот.

Задача имеет два решения.

Если бы оказалось, что данный граф имеет только четные вершины, те задача имела бы столько решений, сколь-

ко вершин, причем ваяц обязательно оказался бы Б своей норе.

Рассмотрим теперь фигуру, изображенную на рисунке 6. У этой фигуры имеются только две нечетные вершины. По свойству 3 ее можно начертить одним росчерком. Заметим, что число росчерков равно половине числа нечетных вершин.

Фигуру, изображенную на рисунке 7, нельзя начертить одним росчерком: эта фигура имеет четыре нечетные вершины. Ее можно начертить самое меньшее двумя росчерками. И опять число росчерков оказалось равным половине числа нечетных вершин (4^ 2=? 2). Фигурял, изображенные на рисунках 8 и 9, можно начертить соответственно четырьмя и пятью росчерками. В этом случае минимальное число росчерков опять-таки равно половине числа нечетных вершин (8 : 2=4, £0: 2=5).

Итак, наименьшее число росчерков, которыми моДшо начертить тот или иной граф, равно половине числа нечетных вершин этого графа.

Задачи и упражнения

1. У какой уникурсальной фигуры начальная и конечная точки совпадают? Начертите одну такую фигуру.

2. У какой уникурсальной фигуры начальная и конечная точки не совпадают? Начертите одну такую фигуру.

3. Какие из фигур, изображенных на рисунке 10, являются уиикурсальными? Изобразите стрелками один из вариантов обхода каждой из уникурсальных фигур.

4. Покажите, что если бы число мостов в задаче о семи мостах было на один больше или меньше, то можно пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них добывать лишь один раз. Нарисуйте соответствующий граф.

 

 
 
 

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика