Познакомьтесь с топологией - На подступах к топологии VIII-X классы (Саркисян, Колягин) 1976 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Познакомьтесь с топологией - На подступах к топологии VIII-X классы (Саркисян, Колягин) 1976

Назначение: Книга для внеклассного чтения. VII I— X классы

В книге рассмотрены вопросы и занимательные задачи, примыкающие к топологии (задачи об уникурсальных фигу¬рах, узлах, лабиринтах) и некоторые простейшие вопросы теории графов, раскраски карты и т. д.

© "Просвещение" Москва 1976 

Авторство: Саркисян А.А. и Колягин Ю.М.

Формат: PDF Размер файла: 3.26 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЯ 3

1. УНИКУРСАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ 3

2. «ГЕОМЕТРИЯ НИТЕЙ* 9

8. ЛАБИРИНТЫ 12

4. ЧТО ТАКОЕ ГРАФ 20

5. СВЯЗНЫЕ ГРАФЫ 24

6. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ 28

7. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА О ПЛОСКОМ ГРАФЕ 32

8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 43

9. ПРОБЛЕМА РАСКРАСКИ КАРТЫ 50

10. МНОГОГРАННИКИ 59

11. НА ПОДСТУПАХ К ТОПОЛОГИИ 63

ЗАКЛЮЧЕНИИ, 71

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 73

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Познакомьтесь с топологией - На подступах к топологии VIII-X классы (Саркисян, Колягин) 1976 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ВВЕДЕНИЕ

Ответить на вопрос о том, что такое топология, весьма не просто. Для того чтобы в полной мере оценить за¬дачи, которые решаются этой научной дисциплиной, не-обходимо серьезное изучение многих весьма сложных во¬просов математики. В этой небольшой книге мы не будем ставить себе целью получить сколько-нибудь полный ответ на этот вопрос. Главное, что мы попытаемся сделать — это рассмотреть некоторые примыкающие к топологии ма¬тематические факты и показать, что многие на них могут быть использованы при решении интересных задач, из¬вестных под названием «занимательных*.

Именно с рассмотрения таких задач мы и начнем. Бу¬дем надеяться, что после прочтения этой книги у вас воз¬никнет желание заняться изучением топологии всерьез и надолго.

1. УНИКУРСАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ

К XVIII в. через реку Прегель, протекавшую по городу Кенигсберг (Калиниград), было построено 7 мостов, ко¬торые связывали ее берега с двумя островами, расположен¬ными в черте города (рис. 1).

Рассказывают, что однажды рдин из жителей города спросил у своего соседа, сможет ли он пройти по всем мо¬стам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку.

Этой задачей заинтересовались многие, однако решить ее никто из жителей города так и не смог.

В дальнейшем задача привлекла внимание ученых раз¬ных стран. Решить ее удалось в 1736 г. известному швей¬царскому математику Л. Эйлеру, который в то время ра¬ботал в Петербурге и не приезжал в Кенигсберг. Причем Л. Эйлер не только решил эту задачу, но и сумел найти об¬щий метод решения аналогичных задач.

Решая задачу о семи мостах, Эйлер поступил следую¬щим образом. Он изобразил точками В и С берега реки, точками А и D острова, а линиями — мосты, соединяющие соответствующие участки берегов и островов. В результа¬те получилась фигура, приведенная на рисунке 2.

Такую фигуру называют графом, точки, А, В, С, D на¬зывают вершинами графа, а отрезки кривых, соединяющие вершины,— дугами (ребрами) графа.

Эйлер подсчитал число дуг, исходящих из каждой вер¬шины графа (рис. 2). Из вершин В, С п D исходит по три дуги, а из вершины А — пять дуг. Вершины графа, из ко¬торых исходит нечетное число дуг, он назвал нечетными вершинами, а вершины, из которых исходит четное число дуг,— четными. Все вершины данного графа оказались не¬четными.

В ходе решения этой задачи Эйлер установил следую¬щие четыре свойства графа Ч

1. Число нечетных вершин графа всегда четно. Невоз¬можно начертить граф, который имел бы нечетное число нечетных вершин.

2. Если все вершины, графа четные, то можно одним росчерком (т. е. без отрыва карандаша от бумаги, проводя

1 Точнее — связного графа (см. п. 5)«

Рис. 3

по каждой дуге только один раз) начертить граф, при этом движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

3. Граф только с двумя нечет¬ными вершинами можно начер¬тить одним росчерком, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закон¬чить в другой.

4. Граф с более чем двумя нечетными вершинами не¬возможно начертить одним росчерком.

Поскольку число нечетных вершин графа, соответст¬вующего задаче о семи мостах, оказалось равным четырем, то такой граф нельзя изобразить одним росчерком, а сле¬довательно, невозможно пройти по всем семи мостам, по¬бывав на каждом из них по одному разу, и вернуться в на¬

чало пути.

Рассмотрим теперь еще одну задачу, аналогичную за¬даче семимостов.

Задача 1. Можно ли привязать к гвоздям А, В, С, D, К, М веревку так, как показано на рисунке 3, не разрезая ее на части и не сдваивая?

Решение. Из рисунка видно, что из вершин А, В, С и D исходят по три ребра, а из вершин М и К — по пять. Получили, что все шесть вершин нечетны. Согласно свойству 4, найденному Эйлером, привязать веревку так, как требуется в условии задачи, невозможно.

Начертим теперь без отрыва карандаша от бумаги лю¬бую самопересекающуюся кривую так, чтобы в одном случае росчерк закончить в той же точке, с которой начали (рис. 4, а), а в другом — в точке, отличной от начальной (рис. 4, б). У нас получился граф, если точки самопересе¬чения линии, а также ее начало и конец считать верши-нами.

Подсчитаем теперь число дуг, исходящих из этих вер¬шин. Мы видим, что из любой вершины графа на рисунке 4, а исходит четное число дуг и из любой вершины графа на рисунке 4, б, кроме вершин А и В, исходит также четное число дуг.

Это и аналогичные ему упражнения убеждают нас в том, что все графы, которые выполняются одним росчер-

Рис. 4

ком, удовлетворяют свойствам 2 и 3, найденным Л. Эй¬лером.

Фигура (граф}, которую можно начертать одним рос¬черком fab отрыва карандаша от бумага и без повторения движения но каждой из дуг), называется дкикурсалъкоа фигурой.

Задача 2. В небольшой роще (рис. 5) находится заяц. Выскочив из норы а бегая по слегу от дерева к де¬реву, он оставил следы и, наконец, спрятался под одним из этих деревьев.

Где находится сейчас заяц? Под каким деревом нахо¬дится его нора? Сколько решений имеет задача?

Решение. Будем считать каждое дерево вершиной графа, а путь зайца от дерева де дерева — ребром графа. Нетрудно обнаружить, что все вершины этого графа (кро¬ме вершин В и L) четные. Значит, либо заяц находится под деревом, обозначенным буквой L, а его нора вод дере¬вом, обозначенным буквой В, либо наоборот.

Задача имеет два решения.

Если бы оказалось, что данный граф имеет только чет¬ные вершины, те задача имела бы столько решений, сколь-

ко вершин, причем ваяц обязательно оказался бы Б своей норе.

Рассмотрим теперь фигуру, изображенную на рисун¬ке 6. У этой фигуры имеются только две нечетные верши¬ны. По свойству 3 ее можно начертить одним росчерком. Заметим, что число росчерков равно половине числа не¬четных вершин.

Фигуру, изображенную на рисунке 7, нельзя начертить одним росчерком: эта фигура имеет четыре нечетные вер¬шины. Ее можно начертить самое меньшее двумя росчер¬ками. И опять число росчерков оказалось равным полови¬не числа нечетных вершин (4^ 2=? 2). Фигурял, изображен¬ные на рисунках 8 и 9, можно начертить соответственно четырьмя и пятью росчерками. В этом случае минималь¬ное число росчерков опять-таки равно половине числа не¬четных вершин (8 : 2=4, £0: 2=5).

Итак, наименьшее число росчерков, которыми моДшо начертить тот или иной граф, равно половине числа не¬четных вершин этого графа.

Задачи и упражнения

1. У какой уникурсальной фигуры начальная и конеч¬ная точки совпадают? Начертите одну такую фигуру.

2. У какой уникурсальной фигуры начальная и конеч¬ная точки не совпадают? Начертите одну такую фигуру.

3. Какие из фигур, изображенных на рисунке 10, яв¬ляются уиикурсальными? Изобразите стрелками один из вариантов обхода каждой из уникурсальных фигур.

4. Покажите, что если бы число мостов в задаче о семи мостах было на один больше или меньше, то можно прой¬ти по всем мостам так, чтобы на каждом из них добывать лишь один раз. Нарисуйте соответствующий граф.

 

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика