Skip to main content

Геометрия 8 класс (Колмогоров, Семенович, Гусев, Черкасов) 1976 год - Скачать советский учебник

Старые учебники СССР

Геометрия 8 класс (Колмогоров) 1976 год

Учебное пособие для 8 класса средней школы

Авторы: А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, В.А. Гусев, Р.С. Черкасов

4-е издание Москва «Просвещение» 1976 

Формат: PDF, Размер файла: 7.08 MB, Формат:  DjVu, Размер файла: 1.26 MB

 С О Д Е Р Ж А Н И Е 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава VII. Повороты и тригонометрические функции 98. Как задавать повороты? 5

99. Композиция поворотов с общим центром 8

100. Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной плоскости 10

101. Синус и косинус 12

102. Некоторые тождества для функций sin а и cos а 16

103. Таблицы синусов и косинусов 18

104. Координаты вектора 20

105. Тангенс 22

106. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 23

Глава VIII. Метрические соотношения в треугольнике

107. Теорема косинусов 28

108. Формулы для вычисления площадей треугольников 31

109. Теорема синусов 33

НО. Решение треугольников 34

Зада чи на повторение к главам VII - VIII 37

📜  ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ....

Глава IX. Вписанные и описанные многоугольники

2. Вписанные и описанные треугольники 39

111. Вписанный угол -

112. Вписанные и описанные треугольники 41

§ 2. Вписанные и описанные четырехугольники 44

ИЗ. Вписанные четырехугольники  -

114. Описанные четырехугольники  46

§ 3. П ра:ильные многоугольники  48

115. Построение правильных многоугольников -

116. Выражение сторон правильных многоугольников через радиус описанной окружности   51

117. Площадь правильного многоугольника   53

§ 4. Длина окружности и площадь круга * . . 54

118. Длина окружности   -

119. Площадь круга . 55

Задачи на повторение к главе IX 57

Глава X' Начальные сведения из стереометрии

g J, Взаимное положение точек, прямых и плоскостей в пространстве 59

120. Основные свойства прямых и плоскостей -

121. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение плоскостей  61

122. Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикуляр к плоскости 63

123. Ортогональное проектирование   66

g 2. Площади поверхностей и объемы некоторых тел 68

124. Прямая призма -

125. Общие свойства объемов . o . o  72

126. Пирамиды 74

127. Цилиндр    77

128. Конус 79

129. Шар  81

Задачи на повторение к главе X 83

Глава XL Логическое строение геометрии

$ 1. Система аксиом планиметрии 87

130. Введение  -

131. Аксиомы принадлежности 88

132. Аксиомы расстояния 89

133. Аксиомы порядка 90

134. Аксиома подвижности плоскости 92

135. Аксиома параллельных  -

g 2. Логический анализ системы аксиом 93

136. Отсутствие противоречий -

137. Независимость аксиом 95

138. Заключение 96

Задачи на повторение по курсу VI - VIII классов 98

Ответы и указания 103

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать учебник СССР - Геометрия 8 класс (Колмогоров, Семенович, Гусев, Черкасов) 1976 года

СКАЧАТЬ PDF

СКАЧАТЬ DjVu

📜  ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

Значительно сложнее, но в принципе аналогично и построение модели, в которой верны первые одиннадцать наших аксиом, вместо же аксиомы V соблюдается аксиома Лобачевского:

V. Через любую точку А, не принадлежащую прямой р, проходят по меньшей мере две прямые, параллельные прямой р*.

Таким образом, с отвлеченной, чисто логической точки зрения евклидова геометрия и геометрия Лобачевского равноправны: обе они применимы в надлежащих моделях. Существует и еще много логически возможных "геометрий", например таких, которые действуют в построенных нами модельных плоскостях, имеющих всего три, четыре или пять точек. Разобранные нами примеры необычных "плоскостей" имеют несколько игрушечный характер. Они были приведены лишь для того, чтобы показать, как исследуют на моделях вопросы о непротиворечивости системы аксиом и зависимости между аксиомами. Вопрос о более широком значении различных построенных математиками "неевклидовых геометрий" выходит за рамки нашего учебника.

Остается еще заметить, что выбор аксиом в большой мере произволен. Например, пользуясь аксиомой параллельных, можно доказать теорему: перпендикуляр и наклонная к прямой пересекаются. Но, приняв это предложение за аксиому, из нее вместе с первыми нашими одиннадцатью аксиомами можно доказать аксиому параллельных.

* Сам Лобачевский говорил о двух прямых, не пересекающихся с прямой р. Термину "параллельность" он придавал в своей геометрии другой смысл.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ ПО КУРСУ VJ-Vill КЛАССОВ

1. Какие основные свойства расстояний вы знаете? Что можно сказать (помимо этих общих свойств) о расстояниях между точками прямой?

2. Условимся считать "расстоянием" между точками А и В окружности длину той дуги АВ этой окружности, которая не превосходит полуокружности. Выполняются ли для таких "расстояний" на окружности основные свойства расстояний?

8. В озеро впадает река (рис. 118). По реке и озеру движется моторная лодка. Ее собственная скорость больше скорости течения реки. На озере течения нет. "Расстояние" между пунктами будем оценивать по времени, необходимому для того, чтобы лодка пришла из одного пункта в другой. Какие из основных свойств расстояний будут выполняться для такого "расстояния" при любом выборе пунктов на берегах реки и озера? Что можно сказать о таком "расстоянии", если пункты выбираются только на берегу озера?

4. Точка М принадлежит треугольнику АВС. Докажите, что сумма расстояний от М до вершин треугольника больше его полу периметра, но меньше периметра.

5. В плоскости даны две точки А и В. Какой фигурой является множество всех таких точек М этой плоскости, для которых:

а) \МА\<\МВ |; б) | М А | > | МВ |; в) | МА | = | МВ | ?

6. Дан угол АВС. Какой фигурой является множество всех таких точек М этого угла, для которых:

а) расстояние от точки М до сторо-

ны В А больше расстояния от

( _ С точки М до стороны ВС\

" '*'4. б) расстояния от точки М до сто- \ рон угла не равны?

( I 7. Докажите, что сумма диагоналей

4 J выпуклого четырехугольника боль-

D ше его полу периметра, но меньше

Рис. 118 периметра.

8. В каких случаях является выпуклой фигурой:

а) объединение отрезков;

б) объединение кругов?

9. Покажите на примерах, что объединение двух углов (пересечение двух углов) может быть как выпуклой, так и невыпуклой фигурой.

10. 1) Может ли объединение выпуклой и невыпуклой фигур быть фигурой выпуклой?

2) Докажите, что пересечение двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой.

11. Может ли пересечение выпуклой и невыпуклой фигур быть фигурой выпуклой?

12. Дайте определения следующих фигур как пересечений двух или трех других известных вам фигур: а) треугольника; б) параллелограмма; в) прямоугольника; г) ромба; д) квадрата; е) трапеции.

13. Какие из указанных ниже условий являются:

а) необходимыми, но недостаточными;

б) необходимыми и достаточными;

в) достаточными, но не необходимыми для того, чтобы различные точки А, В, С являлись вершинами треугольника:

1) | АС | + | ВС\> |АВ|;

3) | АВ | + [ ВС > | АС , АВ| + |АС >\ВС , АС| + |ВС|> | АВ ;

2)

4)

АВ АВ АВ

+ ВС + АС = ВС

5) А(?(ВС);

>|АС|, >|ВС|; = |АС|;

6) (АВ) П [АС) = А?

14. Сформулируйте несколько необходимых и достаточных условий для того, чтобы четыре точки А, В, С, D являлись вершинами параллелограмма.

15. Докажите, что наибольшая из площадей треугольников, Зг2 вписанных в окружность радиуса г, равна --.

16. Докажите, что наибольшая из площадей четырехугольников, вписанных в окружность радиуса г, равна 2г2.

17. Данный отрезок разделите на две части в отношении 1:]/2. (Указание. Воспользуйтесь тем, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций на гипотенузу.)

18. Проведите прямую, параллельную одной из сторон данного треугольника, так, чтобы площадь треугольника делилась этой прямой пополам.

19. Даны отрезки а и Ь. Постройте отрезок x = ^rab.

20. Постройте квадрат, площадь которого равна площади данного треугольника.

21. Даны отрезки а, Ь, с. Постройте отрезок х= -.

22. На данном отрезке как на основании постройте прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику.

23. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на сходственных сторонах построены подобные многоугольники. Докажите, что площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей многоугольников, построенных на катетах.

24. Докажите, что площадь круга, диаметр которого равен гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей двух кругов, диаметры которых соответственно равны катетам этого треугольника.

25. В плоскости а даны две точки А и В. Какой фигурой является множество всех проекций точки А на прямые, проходящие через точку В п лежащие в плоскости а?

26. Какой фигурой является множество середин всех конгруэнтных хорд данной окружности?

27. Какой фигурой является множество середин всех хорд данного круга, проходящих через одну и ту же точку, принадлежащую этому кругу?

28. Через точку, лежащую вне данной окружности, проведены к этой окружности секущие. Какой фигурой является множество середин всех образовавшихся хорд?

29. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции и прямая, проходящая через середины ее оснований, пересекаются в одной точке.

30. Докажите, что диагонали описанного четырехугольника и прямые, проходящие через точки касания его противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

31. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и точку пересечения ее диагоналей, проходит через середины оснований трапеции.

32. Дан параллелограмм ABCD и произвольная точка О. Докажите, что

OA + OC = OB + OD.

33. Что можно сказать о векторах а и Ъ, если для них выполняются следующие равенства:

а) |а + Ь| = |а-Ь|;

в) |а + Ь| = |а|-1&|;

б) | а + b | = | а | -1-1 b |;

г) |а-&| = |а| +1Ь|?

34. Докажите, что в параллелограмме ABCD найдется единственная такая точка О, что О А +ОВ-]-ОС -}-OD= 0.

35. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что AB + AC + AD + AE4-AF = 3AP.

36. Точка О является центром тяжести треугольника АВС.

Докажите, что О А + О В + ОС - 0.

37. Постройте треугольник по двум углам и радиусу вписанной окружности.

38. Постройте треугольник по двум углам и периметру.

39. В данный треугольник впишите треугольник, ему подобный, так, чтобы вершины построенного треугольника лежали на сторонах данного (на каждой стороне по одной).

40. В данный четырехугольник впишите четырехугольник, ему подобный, так, чтобы вершины построенного четырехугольника лежали на сторонах данного (на каждой стороне по одной).

41. Сколько центров гомотетии имеют:

а) два конгруэнтных круга;

б) два неконгруэнтных круга (к ответам дайте соответствующие рисунки)?

42. Определяют ли единственную плоскость:

а) отрезок и точка, лежащая вне этого отрезка;

б) луч и точка, лежащая вне этого луча;

в) два пересекающихся отрезка;

г) два луча, имеющих общее начало? (Ответы обосновать.)

43. Сколько различных прямых и сколько различных плоскостей определяют четыре различные точки, не лежащие в одной плоскости?

44. Какое множество точек образуют все точки пространства, равноудаленные от двух данных точек?

45. На поверхности куба найдите множество всех точек:

а) равноудаленных от концов данного ребра;

б) равноудаленных от сторон угла, образованного двумя данными ребрами куба;

в) равноудаленных от концов диагоналей одной из его граней;

г) равноудаленных от двух противоположных граней.

46. На поверхности шара найдите множество всех точек, равноудаленных от концов данного диаметра шара.

47. По данным, приведенным в таблице, вычислите:

1) какую часть площади поверхности Земли составляет площадь поверхности каждой из планет (если принять, что планеты имеют форму шара);

2) какую часть объема Земли составляет объем каждой из планет.

Планега Экваториальны:! диаметр (за единицу измерения принят диаметр Земли)

1. Мерку рил

2. Венера

3. Марс

4. Юпитер

5. Сатурн

6. Уран

7. Нептун

8. Плутон 0,39

0,97

0,53

11,23

9,4

4,2

3,9

1

48. Какими перемещениями отображается сама на себя фигура, являющаяся объединением двух конгруэнтных кругов?

49. Какими перемещениями отображается на себя правильный и-угольник?

50. Какими перемещениями может быть отображена сама на себя плоскость, из которой "выколота" одна точка?

51. Какими перемещениями может быть отображена сама на себя плоскость, из которой "выколоты" две точки?

52. Какими перемещениями может быть отображена сама на себя фигура, являющаяся объединением двух открытых полуплоскостей, содержащихся в одной и той же плоскости?

53. Какие из указанных в предыдущих пяти задачах фигуры могут быть отображены сами на себя гомотетией?

54. Докажите, что композиция двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных осей есть центральная симметрия.

55. Докажите, что композиция двух осевых симметрий относительно параллельных осей есть параллельный перенос.

56. Докажите, что композиция двух симметрий, оси которых пересекаются под углом а, есть поворот, причем центром поворота является точка пересечения осей, а угол поворота равен 2а.

57. Может ли композиция двух поворотов, имеющих разные центры, быть параллельным переносом?

58. Покажите, что композиция двух поворотов, имеющих общий центр, есть поворот.

59. Покажите, что композиция двух гомотетий с различными центрами может быть: а) гомотетией; б) параллельным переносом; в) центральной симметрией.

60. Покажите, что преобразование подобия есть композиция гомотетии и перемещения.

Автор - Колмогоров А.Н., Автор - Семенович А.Ф. , Автор - Черкасов Р.С. , ★Все➙ Учебники 8 класс, Все - Для учащихся старших классов

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - ГЕОМЕТРИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО ГЕОМЕТРИИ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика