ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЧАСТЬ II Стереометрия ДЛЯ IX — X 1948 год

 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЧАСТЬ II Стереометрия

КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Назначение:  для 9-10 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКВА 1948

Авторство: Нил Александрович Глаголев под редакцией Д. И. Перепёлкина 

Формат: DjVu, Размер файла: 2.03 MB 

Утверждено Министром просвещения РСФСР к переизданию 1 октября 1947 г., протокол М 321

 


СОДЕРЖАНИЕ

      ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ. 
      В стереометрии изучаются свойства таких геометрических фигур, не все точки которых лежат на одной плоскости. Они называются пространственными фигурами. Примерами их служат геометрические тела. Чтобы облегчить себе представление действительного вида пространственной фигуры, обычно пользуются рисунками, изготовленными так, чтобы они производили на глаз приблизительно такое же впечатление, как и сама фигура. Но так как пространственная фигура не может полностью быть помещена на плоскости, то этот рисунок содержит неизбежные искажения формы и размеров отдельных частей фигуры. Так, две точки, в действительности весьма далёкие одна от другой, на рисунке могут оказаться очень близкими. Учащиеся сами могут легко заметить это на различных картинах, фотоснимках и т. д.

Смотреть  ВВЕДЕНИЕ полностью......

Такие рисунки вполне пригодны длх общего созерцания фигуры, но замечать на них геометрические свойства фигур весьма трудно. Поэтому рисунки, которыми пользуются при изучении пространственных фигур, выполняются по указанному ниже способу. 

      § 2. Параллельное проектирование пространственных фигур. 

      Предположим, что мы имеем проволочный каркас куба. Поместив его перед доской, освещённой солнцем, мы заметим, что каркас даёт на доске тень. Эта тень может служить изображением куба на плоскости. Лучи солнца, ввиду дальности их источника, можно считать параллельными. А потому эта тень называется параллельной проекцией куба, а самый способ её получения — параллельным проектированием. Рассматривая полученное таким образом изображение, легко подметить следующее; 

      1. Параллельные и равные отрезки, например параллельные рёбра куба, изображаются параллельными и равными отрезками. 

      2. Если какой-либо отрезок, например ребро куба, разделить на две части в отношении т\щ то они изобразятся отрезками, также находящимися в отношении т:п. 

      Эти правила и соблюдают обычно при изображении пространственных фигур на плоскости. Полученные таким путём изображения соответствуют действительному виду фигуры, если смотреть на неё с очеиь большого расстояния. 

  

Скачать учебник  СССР - ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЧАСТЬ II Стереометрия ДЛЯ IX — X КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ 1948 года  

Скачать

     Скачать...

 

 

См. Отрывок из учебника........

 ГЛАВА ПЕРВАЯ. 

      ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ. 

      I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ О ВЗАИМНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ. 

      

      § 3. Изображение плоскости на чертеже. 

      Многие предметы, поверхность которых близка к геометрической плоскости, имеют форму прямоугольника. Таковы, например, оконное стекло, поверхность письменного стола и т. п. При параллельном проектировании прямоугольника по способу, описанному выше (§ 2), на чертеже получается парал-лелограм. Поэтому обычно плоскость на чертеже изображают в виде паралле-лограма. Этот параллелограм обычно обозначается одной буквой, например „плоскость Ми (черт. 1). Иногда для большей наглядности одну из сторон параллелограма (или даже две) заменяют кривой линией. 

      

      § 4. Основные свойства плоскости. 

      Аксиомы: 1. Через всякие три тонки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. 

      2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 

      3. Если две тонки прямой линии лежат на плоскости, то и все точки этой прямой лежат на той же плоскости (короче, вся прямая лежит на той же плоскости). 

      Следствие 1. Через прямую и точку вне её можно провести плоскость, и притом только одну. 

      В самом деле, какие-либо две точки данной прямой вместе с данной точкой составляют три точки, не лежащие на одной прямой. В силу аксиомы 1 через них проходит единственная плоскость, а в силу аксиомы 3 данная прямая лежит в этой плоскости. 

      Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. 

      В самом деле, если взять на каждой из прямых по одной точке, отличной от точки пересечения прямых, то они вместе с этой точкой пересечения составят три точки, не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость, на которой лежат обе данные прямые (акс. 3). 

      Следствие 3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость (и только одну). 

      Действительно, параллельные прямые, по определению, лежат в одной плоскости; эта плоскость единственная, так как через одну из параллельных и какую-нибудь точку другой можно провести только одну плоскость (след. 1). 

      

      § 5. Вращение плоскости вокруг прямой. 

      Через каждую прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей. В самом деле, пусть дана прямая а (черт. 2). Возьмём какую-нибудь точку А вне её. Через точку А и прямую а проходит единственная плоскость (§ 4). Назовём её плоскостью М. Возьмём новую точку В вне плоскости М. Через точку В и прямую а в свою очередь проходит плоскость. Назовём её плоскостью N. Она не может совпадать с Ж, так как в ней лежит точка Ву которая не принадлежит плоскости М. Мы можем далее взять ещё новую точку С вне плоскостей М и N. Через точку С и прямую а проходит новая плоскость. Назовём её Р. Она не совпадает ни с Ж, ни с N, так как в ней находится точка С, не принадлежащая ни плоскости Ж, ни плоскости N. Продолжая брать всё новые точки, мы будем таким путём получать всё новые плоскости, проходящие через данную прямую а. Таких плоскостей, очевидно, можно получить бесчисленное множество. Их можно рассматривать как различные положения одной и той же плоскости, которая вращается вокруг прямой а. 

      Мы можем, таким образом, отметить ещё одно свойство плоскости: плоскость может вращаться вокруг всякой прямой, лежащей на этой плоскости. 

      

      § 6. Возможные взаимные положения прямых и плоскостей. 

      Из предыдущего следует, что две прямые линии могут: 

      1. Пересекаться, тогда они лежат в одной плоскости. 

      2. Быть параллельными, тогда они также лежат в одной плоскости. 

      3. Не пересекаться и не быть параллельными. Таковы, например, два неограниченно продолженные не параллельные ребра 

      куба, лежащие в разных гранях (АВ и ЕН, черт. 3). 

      Такие прямые называются скрещивающимися. 

      Прямая и плоскость могут иметь одну общую точку, тогда прямая пресекается с плоскостью. Прямая, не лежащая в плоскости, может пересекаться с нею не более чем в одной точке. Точка пересечения прямой с плоскостью называется следом этой прямой на плоскости. 

      Если прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки, то они называются параллельными. Возможность такого положения прямой и плоскости будет далее доказана (§ И). Две плоскости могут пересекаться по прямой, и тогда они не имеют других общих точек вне этой прямой (§ 4, акс. 1). 

      Если две плоскости вовсе не имеют общих точек, то они называются параллельными. Возможность такого положения двух плоскостей будет далее доказана (§ 14). 

      

      II. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР. 

      § 7. Постановка задач на построение. 

      Все построения, которые делались в планиметрии, выполнялись в одной плоскости при помощи чертёжных инструментов. 

      Для построения пространственных фигур чертёжных инструментов становится уже недостаточно, так как вычерчивать пространственные фигуры на одной плоскости невозможно. Кроме того, при построениях пространственных фигур появляется ещё новый элемент — плоскость, построение которой нельзя выполнять столь простыми средствами. 

      Поэтому при построении пространственных фигур необходимо точно определить, что значит выполнить то или иное построение и, в частности, что значит построить плоскость. 

      Во всём дальнейшем мы будем считать, что: 

      1) плоскость построена, если найдены элементы, определяющие её положение (§ 4), т. е. что мы умеем построить плоскость, проходящую через три данные точки, через прямую и точку вне её, через две пересекающиеся или две параллельные прямые; 

      2) если даны две пересекающиеся плоскости, то дана и линия их пересечения; 

      3) если дана плоскость, то мы можем выполнять на ней все построения, которые делались в планиметрии. 

      В дальнейшем мы будем считать, что выполнить построение в пространстве — значит свести его к конечному числу трёх основных построений: 

      1) проведение плоскости через три данные точки; 

      2) нахождение линии пересечения двух плоскостей; 

      3) выполнение с помощью циркуля и линейки построений в данной или построенной плоскости. 

      Рассмотрим несколько примеров.

  

 

 

НОВЫЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "ГЕОМЕТРИЯ"

ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "ГЕОМЕТРИЯ"

 

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика