Элементарная геометрия Часть вторая - Стереометрия (Адамар) 1951 год - старые учебники

Упражнения 429—440  25

Глава III. Прямая и плоскость, перпендикулярные между собой.

317 -350. Определение. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости26

351—353. Плоскость, перпендикулярная к данной прямой и проходящая через данную точку. Прямая, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая через данную точку ...... 28

354—355. Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Расстояние точки от

плоскости. Приложение к параллельным плоскостям .... 29

356. Геометрическое место прямых, составляющих равные углы с двумя данными прямыми 30

Упражнения 441—455  31

Глава IV. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости.

357—358. Определение. Линейный уголдвугранного угла32

359. Направление двугранного угла—

360—362. Сравнение двугранных углов33

363. Перпендикулярные плоскости . .. .35

Стр.

364—365. Если две плоскости перпендикулярны, то всякий перпендикуляр к линии их пересечения, лежащий в одной из плоскостей, является перпендикуляром к другой плоскости36

366. Плоскость, перпендикулярная к данной плоскости и проходящая через данную прямую37

367—370. Двугранные углы пополнительные, вертикальные и с соответственно параллельными гранями 38

371.Обзор свойств перпендикулярных прямых и плоскостей .... 39 Упражнения 456—464  40

Глава V. Проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Площадь проекции плоской фигуры.

372—373. Проекции. Проекции параллельных прямых40

374—375. Теоремы о проекции прямого угла и о трёх перпендикулярах . 41

376—378. Угол между прямой и плоскостью. Линия наибольшего уклона . 42

379.Отношение расстояний точки, лежащей в одной из граней двугранного угла, от другой грани и от ребра". 44

380.Кратчайшее расстояние между двумя прямыми—

381.Площадь проекции плоской фигуры 45

Упражнения 465—480  47

Глава VI. Первоначальные сведения из сферической геометрии.

382—383. Пересечение шара с прямой и с плоскостью. Большие круги . 48

384.Полюсы круга, лежащего на шаре51

385—386. Угол между двумя большими кругами52

387.Отыскание радиуса твёрдого тела, имеющего форму шара ... 53

Глава VII. Многогранные углы. Сферические многоугольники.

388—389. Определения. Симметричные трёхгранные углы55

390.Во всяком многогранном угле любой плоский угол меньше суммы всех остальных58

391—392. Сферические многоугольники. Связь с многогранными углами . — 393—394. Объемлющие и объемлемые многогранные углы и сферические многоугольники. Условия возможности построения трёхгранного угла по трёмплоским углам60

395—396. Пополнительные трёхгранные углы. Полярные сферические треугольники 63

397—399. Признаки равенства67

400—402. Равнобедренный трёхгранный угол и сферический треугольник.

Сходство и различие между свойствами трёхгранных углов или сферических треугольников и свойствами треугольников на плоскости71

403—404.Перпендикулярные и наклонные дуги больших кругов .... 73

405.Сферические координаты75

Упражнения 481—508  76

Задачи (509—530) к пятойкниге81

КНИГА VI. МНОГОГРАННИКИ.

Глава I. Общие понятия.

406.Определения 84

407.Призма 85

408.Боковаи поверхность призмы87

409.Параллелепипед —

Стр.

4Ю412. Прямой и прямоугольный параллелепипеды87

413416. Пирамида. Сечения пирамиды параллельными плоскостями. Боковая поверхность правильной пирамиды88

417.Всякий многогранник можно разложить на пирамиды90

Упражнения 531—550  91

Глава II. Объём призмы.

418—419. Определение понятия объёма многогранника92

420—422. Объём прямоугольного параллелепипеда93

423. Всякая наклонная призма равновелика прямой призме, основанием которой служит перпендикулярное сечение, а высотой — боковое ребро данной призмы 96

424—425. Объём прямого параллелепипеда и прямой призмы—

426—427. Объём произвольного параллелепипеда и произвольной призмы . 98

Упражнения 551—554  99

Глава III. Объём пирамиды.

428.Две треугольные пирамиды, имеющие равновеликие основания и одну и ту же высоту, равновелики106

429.Объём пирамиды’102

430.Объём усечённой пирамиды—

431.Объём усечённой призмы 105

Упражнения 555—567 106

Задачи (568—588) к шестой книге 107

КНИГА VII. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ.

Глава I. Перемещения.

432—434. Условие равенства двух фигур. Вращение. Транспозиция относительно прямой110

435.Поступательные перемещения112

436.Винтовые перемещения113

437—440. Разложение произвольного перемещения на две транспозиции относительно двух различных прямых. Сложение перемещений. Две равные фигуры всегда можно совместить, если они имеют одну соответственно общую точку, с помощью вращения: в общем случае — с помощью винтового перемещения ... —

Упражнения 589—612   117

Глава II. Симметрия.

441—443. Определения. Две фигуры, симметричные с третьей относительно каких-либо точек или плоскостей, равны119

444—445. Всякая плоская фигура равна фигуре ей симметричной. Следствия 120

446.Две симметричные фигуры имеют противоположное расположение. 121

447.Два симметричных многогранника равновелики—

448.Ось транспозиции, центр и плоскость симметрии данной фигуры. — Упражнения 613—621122

Глава III. Гомотетия и подобие.

449—450. Определение. Основная теорема12л

451—452. Обратная теорема. Ось подобия трёх фигур; плоскость подобия четырёх фигур   124

Стр.

‘153—454. Подобные фигуры. Подобные многогранники126

455.Отношение объёмов подобных многогранников127

Упражнения 622—629   128

Задачи (630—641) к седьмой книге .......,—

КНИГА VIII. КРУГЛЫЕ ТЕЛА.

Глава I. Общие определения. Цилиндр.

456.Цилиндрические поверхности131

457.Прямые, касательные к поверхности. Случай цилиндрической поверхности  —

458—459. Сечения цилиндрической поверхности. Цилиндры132

460—461. Конические поверхности. Конусы 133

462. Поверхности вращения 134

463—464. Цилиндр с круговым основанием. Боковая поверхность .... 135

465. Объём цилиндра137

Упражнения 642—652  —

Глава II. Конус. Усечённый конус.

466—467. Конус вращения. Боковая поверхность конуса вращения . . .138 468. Объём крнуса141

469.Боковая поверхность усечённого конуса вращения—

470.Объём усечённого конуса14о

Упражнения 653—670  14з

Глава III. Шар и его свойства.

471—473. Шар как поверхность вращения144

ч74—475. Элементы, определяющие шар146

476—478. Конус и цилиндр, описанные около шара. Касательные плоскости к шару, проходящиечерезданнуюпрямую148

J79—481. Пересечение шаров151

482—483. Степень точки относительно шара. Шары, ортогональные между собой152

484—485. Радикальная плоскость,радикальнаяосьирадикальный центр . 153

486—491. Шары, гомотетичные между собой. Общие касательные плоскости 155

Упражнения 671—715158

Глава IV. Поверхность и объём шара.

492.Поверхность, образованная вращением отрезка около оси, лежащей с ним в одной плоскости и его не пересекающей . .161

493—496. Поверхность шарового пояса. Поверхность шара162

497.Объём тела, образованного вращением треугольника около оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его вершину и его не пересекающей164

498—499. Объём шарового сектора. Объём шара167

500—501. Объём шарового кольца. Объём шарового слоя и шарового сегмента 169

Упражн°ния 716—732  171

Задачи (733—747) к восьмой книге173

ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.

Глава I. Полюсы и полярные плоскости относительно шара. Инверсия в пространстве. Дополнения к сферической геометрии.

502—504. Полюсы иполярные плоскостиотносительно шара176

505.Взаимныеполяры178

506.Взаимно-полярные фигуры—

507—510. Инверсия;её основные свойства180

511—513. Фигура, обратная плоскости или шару. Приложение к тетраэдру. 182

514—517. Фигура, обратная окружности. Антипараллельные сечения наклонного конуса184

518—519. Стереографическая проекция186

520.Шары, пересекающие два данных шара под равными углами . 187

521.Конусы, проходящие через две окружности, лежащие на одном шаре188

522—524. Задача о касании шаров189

525—526. Приложение инверсии к сферическойгеометрии 191

527.Неизменяемость сложного отношенияпри инверсии192

528—530. Инверсия на шаре. Применение к задаче о касании окружностей 193

Упражнения 748—823 ’ 195

Глава И. Площади сферических многоугольников.

531—532. Выбор единиц измерения. Площадь двуугольника204

533.Равновеликость двух симметричных сферических треугольников. 205

534.Площадь сферического треугольника или многоугольника . . . 206 535—536. Теорема Лекселля207

Упражнения 824—835  209

Глава П1. Теорема Эйлера. Правильные многогранники.

537—538. Предварительные замечания и ограничения210

539—540. Области, имеющие одинаковую связность211

541. Односвязные области—

542—543. Всякий выпуклый многогранник есть многогранник нулевого рода.

Примеры многогранников ие нулевого рода212

544.Теорема Эйлера214

545.Порядок связности многогранной поверхности 215

546.Правильные многогранные углы—

547—550. Правильные многогранники; общие свойства218

551.Вращения и симметрии правильных многогранников222

552—556. Куб. Правильный тетраэдр223

557—558. Сопряжённые правильные многогранники229

559.Пример: октаэдр230

560—562. Существование только пяти типов правильных многогранников —

563.Построение правильных многогранников пяти типов 233

564.Вычисление элементов правильных многогранников234

Упражнения 836—863  236

ПРИБАВЛЕНИЯ.

Прибавление F. О понятии объёма.

565—570. Объём тетраэдра. Объём пирамиды241

571. Объём многогранника244

Прибавление (7. О понятиях длины, площади и объёма для любых линий и поверхностей.

572—574. Длина дуги пространственной кривой245

575—576. Развёртывающиеся поверхности250

577—585. Объёмы тел, ограниченных кривыми поверхностями252

586—591. Площадь кривой поверхности 259

Прибавление Н. О правильных многогранниках и группах вращений.

592—593. Группы перемещений263

594. Преобразование перемещений265

595—609. Конечные группы. Соответствующие правильные многогранники 266

610—611. Фундаментальные области282

Прибавление /Г. Теорема Коши о выпуклых многогранниках.

612—613. Формулировка теоремы. Предварительные замечания285

614-615. Леммы I, II, III288

616—618. Доказательство теоремы Коши  293

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ.

Составлены Д. И. Пе р е пё лк и ны м

КНИГА ПЯТАЯ. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.

Упражнения297

Задачи370

КНИГА ШЕСТАЯ. МНОГОГРАННИКИ.

Упражнения  391

Задачи416

КНИГА СЕДЬМАЯ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СИММЕТРИЯ. ПОДОБИЕ.

Упражнения,... 434

Задачи  476

КНИГА ВОСЬМАЯ. КРУГЛЫЕ ТЕЛА.

Упражнения501

Задачи583

ДОПОЛНЕНИЯ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ.

Упражнения597

Указатель содержания з а д а ч759

ПРЕДИСЛОВИЕ КО 2-му РУССКОМУ ИЗДАНИЮ.

Настоящее — второе — издание перевода второй части „Элементарной гео* метрии* Адамара существенно отличается от первого в двух отношениях.

Прежде всего, из большого и разнообразного материала, содержащегося во второй части курса Адамара, в настоящее издание включено лишь около половины. При этом был отобран материал, непосредственно относящийся к стереометрии, включая и некоторые „дополнительные* её главы (инверсия, теорема Эйлера, правильные многогранники и группы вращений). Разделы, не включённые в настоящее издание, могли бы посвященной элементарным методам высшей геометрии. Следует отметить, что такого рода отбор материала, при котором некоторые главы были опущены, не потребовал почти никаких изменений в оставшейся части текста: она оказалась почти совершенно независимой от тех частей книги, которые не вошли в настоящее издание. Существенные изменения пришлось внести лишь в изложение прибавления G.

Далее в настоящем издании помешены решения всех имеющихся в тексте задач. Мы полагаем, что весьма многие из помещённых в книге задач нельзя рассматривать только как темы для упражнений. Они содержат большой и интересный фактический материал, дополняющий содержание книги. Ряд этих задач мог бы по своему содержанию войти в „теоретическую* часть книги при условии увеличения её обьёма. В то же время самостоятельное решение этих, по большей части трудных, задач потребовало бы от читателя весьма большого количества времени и значительных усилий. Таковы были те соображения, по которым в настоящем издании приводятся решения задач (как это- было сделано в последнем — 3-м — издании первой части).

Содержание задач перепечатано в основном без изменений. Исправлено лишь несколько ошибок и опечаток, вкравшихся в русский перевод (№№ 458„ 587, 628, 799; нумерация везде даётся по настоящему изданию, где задачи были перенумерованы заново). Далее в процессе решения задач выявилась необходимость исправить отдельные погрешности или уточнить редакцию ряда задач, данную Адамаром (№№ 482, 486, 495, 502, 503, 521, 523, 545, 589, 590, 595, 596, 605, 606, 620, 630, 651, 662, 664, 667, 697, 709, 710, 725, 734, 736, 749, 758, 768, 785, 786, 788, 789, 800, 812, 822, 824, 851, 863); в задачах 712 и 813 мы позволили себе опустить имевшиеся там указания на путь решения. В связи с тем, что часть текста была, как указано выше, опущена, пришлось включить одну задачу (№ 821) из опущенной части текста (часть упражнения 921 первого издания), необходимую для понимания следующей за ней задачи. Была также улучшена редакция некоторых задач. Cairo собой разумеется^ что автор этих строк принимает на себя ответственность за внесённые изменения.

Что касается характера помещённых решений, принятой манеры их изложения и т. д., то мы могли бы повторить здесь сказанное по этим вопросам в предисловии к 3-му изданию первой части, к которому непосредственно- примыкает настоящее издание второй части.

Чтобы облегчить читателю ориентировку в содержании задач и помочь в подборе задач иа ту или иную тему, мы поместили в конце книги небольшой

„ Указатель содержания задач *. Заметим по этому поводу, что он далеко не исчерпывает и не может исчерпать всего содержания задач.

В переводе тех разделов курса Адамара, которые вошли в первую часть и в настоящее издание второй части, приняли участие: Н. Н. Николаев (книги 1 и II), Ю. О. Гурвиц (книга III, дополнения к третьей книге, книга V), |А. Н. Д е м м е| (книги IV, VI и VIII), А. Н Перепёлкина (Дополнения ко второй части; прибавления A, G и Н). Наконец, пишущему эти строки принадлежит перевод книги VII и прибавлений А, Д С,1),Е и К, а также редакция перевода и составление решений всех задач.

В решении задачи 518 составитель воспользовался любезным содействием проф. А. И. М а рк у шев и ч а. Ряд полезных указаний составитель решений получил также от рецензента доц. С. И. 3 е т е л я. Составитель выражает им здесь свою искреннюю признательность.

Д. Перепёлкин. Москва, февраль 1950 г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К 7-му ИЗДАНИЮ.

Настоящее издание подверглось значительной переработке.

Я уже давно собирался, следуя указанию покойного Л е г у р г a (Lesgour- gues), объединить в одно целое теорию многогранных углов и теорию сферических многоугольников; в этом отношении я имел очень полезный для меня пример в работе одного из моих уважаемых коллег, работающего в университете Буэнос-Айреса. Соответствующее видоизменение было уже ранее осуществлено в планиметрии, где оно значительно проще. В этом издании то же самое видоизменение оказалось возможным осушествить и для пространства; наряду с другими преимуществами оно обладает весьма ценной с педагогической точки зрения особенностью: при этом получаются более простые и более ясные чертежи.

Наряду с рядом исправлений мне пришлось пересмотреть доказательство теоремы Коши (прибавление L)1 2 * * * *) о выпуклых многогранниках; по поводу преж-него доказательства этого предложения мне было сделано существенное замечание Жераром (L. Gerard); пользуясь его любезными указаниями, мне удалось устранить сделанное им возражение в новом изложении этого доказательства.

В настоящее время среди преподавателей наблюдается вполне обоснованный отказ от пользования выражением „симметрия относительно прямой*, не отражающим того существенного различия, которое имеется между этим видом симметрии и симметрией относительно точки или относительно плоскости. Из различных терминов, предлагаемых взамен этого выражения, я предпочёл термин „транспозиция* (transposition), и притом из соображений чисто грамматическою порядка: этот термин допускает удобные обороты речи („1е transpose d'un point-, „1а transposee d’une figure*), в то время как другие предложенные названия, насколько они мне известны, этой гибкостью не обладают2).

Как и в предыдущих изданиях, я обращал внимание на подбор упражнений. Основные улучшения касаются здесь сферической (упр. 485 и 486)8) и проективной геометрии.

Ж. Адамар.

1) Прибавление К настоящего издания. Прим, ред. перевода.

2) В переводе термин „транспозиция* сохранён за отсутствием более под

ходящего термина, могущего заменить выражение „симметрия относительно

прямой*, хотя он и не обладает в русском языке теми достоинствами, которые

•отмечает автор. Прим. ред. перевода.

3) Упражнения 494 и 495 в настоящем издании. Прим. ред. перевода.

КНИГА ПЯТАЯ.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ линия.

ГЛАВА 1.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.

325.Как мы знаем (Пл., п. 6)м), плоскостью называется поверхность, обладающая тем свойством, что всякая прямая, соединяющая две её точки, лежит в ней целиком.

Такая поверхность безгранична; однако, чтобы её начертить, изображают ограниченную часть её, чаще всего часть, ограниченную прямоугольником так, как это сделано на чертежах 2 и следующих.

Согласно предыдущему определению, прямая может занимать относительно плоскости три различных положения:

1)Она может иметь с ней две общие точки и, следовательно, лежать в ней целиком; в этом случае говорят также, что плоскость проходит через прямую.

2)Она может иметь с ней одну общую точку; в этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость.

3)Наконец, плоскость и прямая могут не иметь ни одной общей точки; в этом случае говорят, что они параллельны.

Принимают, что всякая плоскость делит пространство на две области, расположенные соответственно по обе стороны от этой плоскости. Нельзя перейти из одной из этих областей в другую, не пересекая плоск< с ги. В частности, всякая прямая, которая соединяет две точки, лежащие по разные стороны от плоскости, пересекает плоскость.

Обратно, принимают, что всякая прямая, которая пересекает плоскость, делится точкой пересече шя на две полупрямые, расположенные по одну и по другую стороны от плоскости.

Из определения плоскости следует ещё, что

всякая фигура, равная плоскости, есть плоскость.

Обратно, принимают, что какие-либо плоскости могут быть совмещены и притом таким образом, что какая-либо данная полупрямая

х) Буквы Пл., поставленные перед ссылкой иа какой-либо пункт, указывают на первую часть книги — Планиметрию.

(В тех случаях, когда в решениях упражнений и задач приводится ссылка на определённую страницу или определённый чертёж первой части книги, имеется в виду третье издание 1948 г. Прим. ред. перевода.)

первой плоскости совмещается с какой-либо данной полупрямой второй (причем их начальные точки также совмещаются).

326.Мы приняли (Пл., п. 6) следующую аксиому:

Аксиома. Через всякие три точки пространства проходит плоскость.

Мы дополним эту аксиому следующей теоремой:

Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость.

Пусть А, В и С — три точки, не лежащие на одной прямой; предположим, что через эти три точки проходят две плоскости Р и Р' . Я утверждаю, что плоскости Р и Р совпадают. Заметим, прежде всего, что эти две плоскости имеют согласно определению общие прямые АВ, АС и ВС.

Пусть теперь М—какая-либо точка плоскости Р. Через эту точку (черт. 1) мы можем провести прямую, которая пересечёт прямую АВ ч /в точке D, а прямую АС в точке Е.

Точки D и Е лежат в плоскости Р, сле- довательно, и вся прямая DE лежит в. \плоскости Р, поэтому и точка М лежит

\в плоскости Р. Таким образом, любая

/ \\ точка плоскости Р лежит в плоскости Р\

—£Z1\С а так как можно тем же путём доказать,.

/ Е \\ что любая точка плоскости Р' лежит в

z\\ плоскости Р, то теорема доказана.

Аксиому и теорему, приведённые в

Черт. 1.начале этого пункта, объединяют, го

воря:

три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость^ Прямая АВ и точка С вне её определяют плоскость; действительно, требование, чтобы плоскость проходила через прямую АВ и точку С, и требование, чтобы плоскость проходила через три точки А, В и С, сводятся одно к другому.

Точно так же две пересекающиеся прямые АВ и АС определяют плоскость, а именно ту, которая определяется точками А, В и С; две параллельные прямые определяют плоскость, так как согласно определению (Пл., п. 38) существует плоскость, которая содержит обе прямые, и, с другой стороны, — эта плоскость единственная, так как она проходит через одну из прямых и через одну из точек другой прямой (сравнить предыдущий абзац).

В согласии с этим плоскость можно обозначать одной буквой, тремя буквами, соответствующими трём точкам, не лежащим на одной прямой, и, наконец, буквами, обозначающими прямую и точку или две прямые, лежащие в этой плоскости (пересекающиеся или параллельные).

Примечание. Отсюда видно, что через данную прямую D проходит бесчисленное множество плоскостей; в самом деле, через эту

прямую и какую-либо точку пространства можно провести одну плоскость; через прямую D и точку, не лежащую в первой плоскости,

можно провести вторую и т. д.

327.Примечание. Если фигура, состоящая более чем из одной точки, обладает тем свойством, что прямая, соединяющая две её точки, целиком принадлежит этой фигуре, то данная фигура или будет прямой линией, или будет плоскостью, или будет состоять из всех точек пространства.

Действительно, рассматриваемая фигура содержит, по условию, по крайней мере, две точки А и В и, следовательно, прямую АВ. Если

она содержит только эту прямую, то теорема доказана.

В противном случае пусть С—какая-либо точка фигуры, не лежащая на прямой АВ\ до- статочно повторить доказательство теоремы, приведённой в предыдущем пункте, чтобы убедиться, что всякая точка плоскости АВС принадлежит данной фигуре. Если фигура не содержит никакой другой точки, то теорема доказана. В противном случае пусть/)—какая-либо точка фигуры, лежащая вне плоскости АВС

(черт. 2). Рассматриваемая фигура содержит любую точку Е, лежащую с точкой D по разные стороны от плоскости АВС: действи

тельно, прямая DE непременно пересечёт плоскость в некоторой точке I и, следовательно, целиком принадлежит данной фигуре, так как она соединяет две точки D и /, принадлежащие данной фигуре. Но на том же основании фигура содержит любую точку F, лежащую с точкой Е по разные стороны от плоскости АВС, другими словами,

но ту же сторону от плоскости, где лежит точка D.

Таким образом, фигура содержит все точки пространства.

328.Аксиома, приведённая в планиметрии (Пл., п. 40): через точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой, сохраняет силу и в геометрии пространства. Действительно, прямая, проведённая через точку С параллельно прямой АВ, лежит в плоскости АВС, и в этой плоскости можно

применить указанную выше аксиому.

Таким образом мы можем, как и в планиметрии, говорить о той прямой, которая параллельна данной прямой и проходит через данную точку, лежащую вне этой прямой.

Точно так же из точки С, лежащей вне прямой АВ, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один, так как этот перпендикуляр должен лежать в плоскости АВС, а для плоскости теорема доказана (Пл., п. 19).

Напротив, через точку, взятую на прямой, можно провести к этой прямой бесчисленное множество перпендикуляров, а именно

по одному перпендикуляру в каждой из плоскостей (п. 326, примечание), проходящих через эту прямую (черт. 3).

Отсюда следует, что две прямые могут быть перпендикулярны к одной и той же прямой, не будучи параллельными между собой.

329.Плоскость АВС можно рассматривать как образованную прямой.

которая перемещается, проходя постоянно через точку С и опираясь на прямую АВ.

Действительно, такая прямая остаётся всё врем» в плоскости АВС, и, с другой стороны, её можно заставить проходить через любую точку плоскости,

за исключением точек, лежащих на прямой, проходящей через точку С и параллельной АВ.

Точно так же прямая ХУ, которая перемещается, Черт. 3. оставаясь параллельной своему первоначальному положению АС (черт. 4) и пересекая данную прямую АВ, образует плоскость АВС, или иначе, геометрическое место прямой линии, которая перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному положению и опираясь на данную прямую (предполагается, что перемещающаяся прямая в своём первоначальном поло-

жен ни пересекает данную прямую), есть плоскость. Действительно, согласно определению геометрического места (Пл., п. 33), это предложение выражает следу-ющие два факта: 1) прямая ХУ при своём перемещении всё время остаётся в плоскости АВС; 2) через каждую точку этой плоскости проходит прямая ХУ, параллельная АС и пересекающая АВ.

330.Теорема. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, имеют бесчисленное множество общих точек, образующих прямую линию.

Пусть Р и Q (черт. 5) — две плоскости, которые

Черт. 4.

имеют общую

точку А, и при этом, однако, не совпадают. Плоскость Q делит пространство на две области, которые назовём для краткости областью,

лежащей над плоскостью, и областью, лежащей под плоскостью.

Черт. 5.

Через точку А проведём в плоскости Р произвольную прямую МАЛГ. Возможно, что эта прямая целиком принадлежит плоскости Q; в таком случае доказано, что обе плоскости имеют общую прямую.

Если же этого не будет, то точка А делит, как мы знаем, нашу прямую на две

части, из которых одна расположена над плоскостью Q, другая под плоскостью Q. Предположим для определённости, что точка М расположена над плоскостью Q, точка М' — под ней.

Проведём в плоскости Р вторую прямую NAN', и если она не лежит в плоскости Q, то предположим, что точка N расположена над плоскостью Q, а точка № — под плоскостью Q. Соединим точку М с ДР.

Эта прямая, проходящая через две точки, расположенные по разные стороны от плоскости Q, необходимо пересечёт эту плоскость в некоторой точке В, отличной от точки А (так как иначе точки М, А и N' лежали бы на одной прямой). Данные плоскости имеют две общие точки А и В и, следовательно, обе содержат целиком прямую АВ.

При этом они не могут иметь общей точки вне прямой АВ, так как иначе (п. 326) они не были бы различны.

В силу этого две различные плоскости могут либо пересекаться, и тогда их пересечением будет прямая линия, либо не иметь ни одной общей точки. В последнем случае говорят, что плоскости параллельны.

Если две плоскости пересекаются, то линия их пересечения делит каждую из этих плоскостей на две области (полуплоскости), расположенные по разные стороны от другой плоскости.

331.После того как рассмотрено взаимное расположение прямой и плоскости (п. 325) и взаимное расположение двух плоскостей (п. 330), остаётся перечислить возможные случаи взаимного расположения двух прямых. Если эти прямые не совпадают между собой, то могут, очевидно, иметь место лишь следующие три случая:

1)прямые пересекаются;

2)прямые параллельны;

3)прямые не лежат в одной плоскости.

Надо заметить, что если две прямые проведены произвольно, то, вообще говоря, имеет место третий случай. Не пытаясь придать этому утверждению абсолютно точный смысл (последнее можно осуществить лишь с помощью соображений, выходящих за пределы элементарной геометрии), мы убедимся в его справедливости следующим образом: зададим произвольно одну прямую А В и какую-либо точку С второй прямой. Если мы проведём вторую прямую через точку С совершенно произвольно, то эта прямая не будет, вообще говоря, лежать в пло-скости АВС, так что обе прямые не будут лежать в одной плоскости.

332.Мы видим, в частности, что для доказательства параллельности двух прямых недостаточно, как это имело место в планиметрии, доказать, что они не имеют общей точки. Необходимо доказать, кроме того, что они лежат в одной плоскости.

333.Пересечение трёх плоскостей. Можно сказать, что в пунктах 325 и 330 мы рассматривали вопрос об общих точках прямой и плоскости или двух плоскостей. Рассмотрим теперь общие то гки трёх плоскостей Р, Q и R.

Для этого обозначим через линию пересечения плоскостей Q и R, если эти плоскости пересекаются. Так как общими точками плоскостей Q и R будут только точки прямой то задача сводится к рассмотрению пересечения прямой Z)7 с плоскостью Р.

Можно также, обозначив через D2 линию пересечения плоскостей R и Р и через Dz линию пересечения плоскостей Р и Q (если эти плоскости пересекаются), свести задачу к рассмотрению пересечения прямой D2 С ПЛОСКОСТЬЮ Q или пересечения прямой D3 с плоскостью R.

Воспользуемся первой из трёх перечисленных пря.мых. Прежде всего рассмотрим случай, когда:

1)Плоскости Q и R пересекаются (по прямой Dy) и прямая D} пересекает плоскость Р.

Непосредственно видно, что:

I.При условии 1) три данных плоскости имеют единственную общую точку S (точку пересечения прямой Dy с плоскостью Р).

Если два условия, содержащиеся в 1), не выполняются, то могут иметь место только следующие случаи:

П. Три плоскости не имеют ни одной общей точки, если

2)плоскости Q и R пересекаются по прямой Dy и последняя параллельна плоскости Р; или если

3)плоскости Q и R параллельны; или если

4)плоскости Q и R совпадают между собой и параллельны плоскости Р.

III.Три плоскости имеют общую прямую, если

5)плоскости Q и R пересекаются по прямой Dy и последняя лежит в плоскости Р; или если

6)плоскости Q и R совпадают между собой и пересекают плоскость Р.

IV. Три плоскости совпадают всеми своими точками, если

7)они попарно совпадают между собой.

Перечисленные выше семь предположений полностью исчерпывают все возможные случаи, так как если прямая Dy существует, то она может занимать относительно плоскости Р только одно из трёх положений, указанных в пункте 325 |предположения 1), 2), 5)]; если же прямая Dy не существует, то плоскости Q и R могут быть параллельными [предположение 3)] или совпадать [предположения 4), 6), 7)].

Следовательно, предложения, обратные предыдущим, также справедливы1). Так, например, если три плоскости не имеют ни одной общей точки, то необходимо имеет место одно из предположений 2), 3) или 4).

В вашем рассуждении можно было бы заменить прямую Dy и плоскость Р прямой D2 И ПЛОСКОСТЬЮ Q; при это*м мы должны были бы обязательно прийти к тому же самому результату. Следовательно, если, поступая так, как было указано выше, мы увидели бы, что имеет место одно из предположений 2) или 3) или 4), то должно иметь место одно из тех же трёх предположений, если поменять ролями плоскости Р и Q и прямые Dy и D2 2). 4

4 Сравнить аналогичное рассуждение в начале Пл., и. 71. Прим. ред. перевода.

Иначе говоря, если имеет место одно из предположений 2), 3) или 4), то имеет место и одно из следующих трёх предположений:

2') плоскости Р и R пересекаются по прямой D2, и последняя параллельна плоскости Q;

3') плоскости Р и R параллельны;

4') плоскости Р и R совпадают между собой и параллельны плоскости Q. Прим. ред. перевода.

334.Наконец, вместо того чтобы рассматривать пересечение трёх плоскостей, можно рассмотреть пересечение двух каких-либо из прямых

D2, D3 (В предположении, что эли две прямые существуют): всякая общая точка трёх плоскостей, очевидно, есть также общая точка прямых Dx и D2 п обратно.

Следовательно, если две прямые D} и D2 существуют и пересекаются, то три плоскости имеют только одну общую точку.

Если эти прямые параллельны, то плоскости не имеют ни одной общей точки.

Если эти прямые совпадают, то плоскости имеют бесчисленное множество общих точек.

Обратно, если три плоскости пересекаются в одной точке (случай I), то эта точка есть общая точка прямых D}, D2 и D2.

Если они не имеют ни одной общей точки (случай II), то прямые Dn Г>2и£>3(еслн они существуют) попарно параллельны между собой, так как, например, прямые D} и D2 (если они существуют) лежат в одной плоскости, а именно в плоскости /?, и не пересекаются.

Если три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек п если три прямые Du D2 и D2 существуют (что может иметь место только в случае III), то все три прямые совпадают.

УПРАЖНЕНИЯ.

423.Если некоторое число прямых обладает тем свойством, что любые две из них пересекаются, то или все эти прямые проходят через одну точку или все они лежат в одной плоскости (доказать).

424.Через данную точку провести прямую, пересекающую две данные прямые, не лежащие в одной плоскости ]).

Существует бесчисленное множество прямых, пересекающих три данные прямые, из которых никакие две не лежат в одной плоскости (доказать).

Как изменятся ответы на предыдущие вопросы, если две из данных прямых лежат в одной плоскости?

425.Если два треугольника АВС и А'В'С, не лежащие в одной плоскости, обладают тем свойством, что стороны ВС и В'С пересекаются, и то же имеет место для сторон С А и С'А'У а также для сторон АВ и Л'В', то:

1)три прямые AA't ВВ' и СС' проходят через одну точку или попарно параллельны;

2)три точки пересечения прямых ВС с В’С'У С А с С’А' и АВ с А’В' лежат на одной прямой (доказать).

426.Даны плоскость Р и вне её три точки Л, В и С (не лежащие па одной прямой); найти;

1)такую точку, что прямые, соединяющие её с точками А, В и С, пересекают плоскость Р в вершинах треугольника, гомотетичного некоторому данному треугольнику;

2)такую точку, что прямые, соединяющие её с точками Л, В и С, пересекают плоскость в вершинах треугольника, равного некоторому данному треугольнику 1).

427.Даны два треугольника АВС и А'В'С и плоскость Р\ найти в этой плоскости такой треугольник сф?, чтобы прямые Аа, В^у С? проходили через одну точку и чтобы тем же свойством обладали и прямые Л‘а, В'р, 1). * 2

1) См. примечание в конце задач к пятой книге.

2 Элементарная геометрия, ч. II

428.Обобщить теорему, приведённую в упражнении 8а (Планиметрии), на случай пространственного многоугольника (т. е. замкнутой ломаной линии, стороны которой не лежат в одной плоскости) и произвольной точки пространства.

ГЛАВА И,

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.

335.Параллельные прямые. Теорема. Если две прямые D} и D2 параллельны, то прямая, проходящая через какую-либо точку ]) М пространства и параллельная прямой D}, совпадает с прямой, проходящей через ту же точку М и параллельной прямой D2.

Прямые Dy и D2 лежат, по условию, в одной плоскости R. Если точка М также лежит в этой плоскости, то наше предложение доказано в планиметрии (Пл., п. 40), так как в данном случае прямые, параллельные прямой DIt также параллельны прямой D2.

В противном случае обозначим через Р плоскость, проходящую через точку М и прямую D2, а через Q—плоскость, проходящую через точку М и прямую £\. Эти две плоскости (различные, так как точка М не лежит в одной плоскости с прямыми Dy и Z)2) пересекаются по некоторой прямой £>3.

Так как прямые Dy и D2 параллельны, то три плоскости Р, Q и R не имеют ни одной общей точки (п. 334). Следовательно (в силу того же пункта), прямая Dz совпадает с прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой Dy, а также с прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой D2.

Примечание. Мы видим также, что если две прямые Dy и D2 параллельны, то линия пересечения двух плоскостей, из которых одна проходит через прямую Dy, а другая через прямую D2, параллельна прямым Dy и D2.

336.Из предыдущего предложения вытекает, очевидно, следующая теорема.

Теорема. Две прямые D2 и D2, параллельные одной и той же третьей прямой Dy, параллельны (или совпадают).

Действительно, если провести через точку М прямой D2 прямую, параллельную прямой Dy, то она совпадёт с прямой £)3, проходящей через точку М и параллельной прямой D2.

Примечания. 1. То же самое предложение было доказано в планиметрии (Пл., п. 40); однако ясно (п. 332), что приведённое там доказательство недостаточно для геометрии пространства.

2. Как и в планиметрии, выражение параллельные прямые часто заменяют выражением прямые, имеющие одно и то же направление. Такое выражение оправдывается предыдущей теоремой.

2) Точка М предполагается лежащей вне прямых Dy и D2, по крайней мере в том случае, когда мы не пользуемся сделанным ниже (конец п. 336) замечанием.

Точно так же, как и в планиметрии, мы приходим к тому, чтобы рассматривать две совпадающие прямые как частный случай двух параллельных прямых; таким образом упрощаются формулировки некоторых предложений (в том числе, очевидно, и формулировка последней теоремы).

337. Параллельные прямая и плоскость. Теорема. Если плоскость Р параллельна прямой D, то любая плоскость, проходящая

через прямую D и пересекающая плоскость Р, пересекает её по прямой D', параллельной прямой D (черт. 6).

Действительно, линия пересечения D' лежит, ио самому своему

определению, с прямой D в одной плоскости, но не пересекает прямой д так как последняя не имеет ни одной общей & точки с плоскостью Р.

Плоскость Р, проходящая через прямую D', параллельную прямой D, параллельна прямой D за исключением того случая, когда она проходит через прямую D.

Действительно, или плоскость, проходящая Черт. 6.

через прямые D и £)', совпадает с плоскостью Р,

и тогда прямая D' лежит в плоскости Р, или эти две плоскости пересекаются только по прямой D\ и тогда прямая D могла бы пересекать плоскость Р (черт. 6) не иначе, как в какой-либо точке прямой D'; но это невозможно, так как прямые D и D' параллельны.

Эту вторую теорему можно рассматривать как теорему, обратную первой. Объединив их, мы видим, что для того чтобы плоскость

была параллельна данной прямой или проходила через данную прямую, необходимо и достаточно, чтобы плоскость проходила по крайней мере через одну прямую, параллельную этой прямой (это условие будет необходимым в силу первой теоремы и достаточным в силу второй).

Отсюда непосредственно вытекает:

Теорема. Если две прямые параллельны, то всякая плоскость, параллельная одной из них или проходящая через неё, параллельна другой прямой или проходит через неё.

Действительно, плоскость, которая проходит через прямую, параллельную первой прямой, тем самым проходит через прямую, параллельную второй прямой.

I I м е ч а н ие. Эти предложения принимают более простую форму,

если рассматривать прямые, лежащие в плоскости, как частный случай прямых, параллельных этой плоскости.

СЛЕДСТВИЯ. I. Если прямая D параллельна плоскости Р и если через какую-либо точку плоскости Р провести прямую, параллельную прямой D, то проведённая прямая целиком лежит в плоскости Р.

Действительно, в противном случае она могла бы быть только параллельной плоскости Р; но она имеет с этой плоскостью общую точку.

II.Если две пересекающиеся плоскости параллельны одной и той же прямой D, то линия их пересечения параллельна этой прямой.

Действительно, каждая из плоскостей проходит через прямую, параллельную прямой £), и данное предложение вытекает из и. 335 (примечание).

111.Если две прямые параллельны, то всякая плоскость, пересе

кающая первую, пересекает и вторую.

Действительно, если бы она была параллельна одной из прямых пли проходила бы через нее, то она была бы параллельна другой прямой пли проходила бы через неё.

338.Параллельные плоскости. Плоскость, параллельная другой плоскости, параллельна всем прямым, лежащим в этой плоскости; действительно, если бы плоскость имела общую точку с одной из этих прямых, то эта общая точка принадлежала бы обеим плоскостям.

Обратно, если плоскость параллельна всем прямым, лежащим в другой плоскости (отличной от первой), то она параллельна этой

плоскости.

Действительно, если обе плоскости имели бы общую точку, то через эту точку проходили бы прямые, лежащие во второй плоскости и пересекающие первую.

Более того, можно высказать следующую теорему:

Теорема. Плоскость, параллельная двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, отличной от первой, параллельна последней.

Действительно, если бы эти две плоскости пересекались, то их линия пересечения должна была бы быть параллельной каждой из двух

данных прямых, что невозможно.

339.Теорема. Через точку, лежащую вне данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом

Черь 7.

только одна. Эта плоскость есть геометрическое место прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через данную точку.

1°. Через точку Л, лежащую вне плоскости Р

(черт. 7), проходит плоскость, параллельная плоскости Р. Чтобы её получить, проведём через точку А прямые АХ и АХ', параллельные прямым D и D' > лежащим в плоскости Р и не параллельным между собой. Плоскость АХХ' параллельна плоскости Р (по предыдущей теореме).

2°. Всякая плоскость, параллельная плоскости Р п проходящая

через точку Я, совпадает с той, которую мы получили. Действительно, она должна быть параллельна и прямой D п прямой D' и, следовательно (и. 337), проходит через параллельные им прямые АХ и АХ'.

3°. Предыдущее рассуждение показывает, что плоскость Q, параллельная плоскости Р и проходящая через точку А, содержит любую

прямую, проходящую через точку А и параллельную какой-либо

прямой плоскости Р (другими словами, любую прямую, параллельную плоскости Р и проходящую через точку Л).

Обратно, мы знаем, что всякая прямая плоскости Q параллельна плоскости Р п, следовательно, любая точка Л1 плоскости Q принадлежит некоторой прямой (а именно прямой АМ), параллельной плоскости Р и проходящей через точку А.

Плоскость Q обладает, таким образом, обоими свойствами, характеризующими геометрическое место точек, указанное в формулировке теоремы.

340.Из необходимого и достаточного условия параллельности двух плоскостей (п. 338) и из аналогичного условия параллельности прямой и плоскости (и. 337) вытекают теоремы, аналогичные последней гео реме пункта 337.

1°. Прямая D, параллельная плоскости Р, параллельна также и всякой плоскости Q, параллельной плоскости Р (если только она не лежит в плоскости Q), Действительно, эта вторая плоскость параллельна прямым, параллельным прямой D и лежащим в плоскости Р.

2°. Две плоскости Р и Q, параллельные одновременно третьей плоскости R, параллельны между собой (если только они не совпадают). Действительно, плоскость Р параллельна всем прямым плоскости R, а следовательно, п прямым, им параллельным и лежащим в плоскости Q.

Эти теоремы вызывают, очевидно, замечание, аналогичное тому, которое было сделано в пунктах 336 и 337: они упрощаются, если принять: 1) условие, приведённое в примечании к пункту 337; 2) аналогичное условие, состоящее в том, что две совпадающие плоскости рассматриваются как частный случай двух параллельных плоскостей.

Теорема. Если две плоскости параллельны, то:

1)всякая прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую;

2)всякая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую, причём обе линии пересечения параллельны.

1°. Если две плоскости Р и Q параллельны, то всякая прямая, которая пересекает плоскость Р, пересечёт и плоскость Q. Действительно, если бы она была параллельна плоскости Q (или лежала в плоскости Q), то она была бы параллельна плоскости Р или лежала бы в плоскости Р, что не имеет места.

2°. Всякая плоскость, которая пересекает плоскость Р (черт. 8), пересекает и пло-скость Q. Действительно, если бы она была

параллельна плоскости Q (или совпадала с ней), то она была бы параллельна плоскости Р или совпадала с ней, что не имеет места.

3°. Две прямые А и В, по которым две параллельные плоскости Р я Q пересекаются с какой-либо третьей плоскостью, параллельны; это

Черт. 8.

прямо следует из первой теоремы пункта 337, применённой к прямой Л, параллельной плоскости Q.

341.В силу теоремы пункта 336 второе предложение пункта 329 может быть сформулировано ещё так: геометрическое место прямой линии, которая перемещается, опираясь на неподвижную прямую D и оставаясь параллельной другой неподвижной прямой D', не параллельной первой (однако в данном случае не необходимо, чтобы прямые D и Df пересекались), есть плоскость.

Очевидно, что через прямую D можно провести плоскость, параллельную прямой D' и только одну (геометрическое место точек, которое мы только что получили); эта плоскость определяется прямой D и прямой, параллельной прямой Dr и проходящей через одну из точек прямой D.

Через данную точку пространства можно провести плоскость, параллельную одновременно прямым D и D', и притом только одну: эта плоскость определяется прямыми, параллельными прямым D и D' и проходящими через рассматриваемую точку.

Через две прямые, не лежащие в одной плоскости, можно провести две плоскости, параллельные между собой, и притом единственным образом. С этой целью следует провести через каждую прямую плоскость, параллельную другой прямой; полученные таким образом плоскости будут параллельны между собой, так как каждая из них параллельна двум пересекающимся прямым другой плоскости.

342.Теорзма. Два угла, стороны которых параллельны, равны или пополнительны.

Очевидно, достаточно (Пл., п. 43) показать, что два угла, стороны которых параллельны и направлены в одну и ту же сторону, равны.

Пусть даны два угла ВАС и В'А'С (черт. 9), стороны которых АВ и А'В' параллельны и направлены в одну и ту же сторону, как и стороны АС и А'С. Я утверждаю, что эти два угла равны.

Чтобы это доказать, отложим на сторонах этих углов отрезки АВ —А'В' и АС — А'С. Соединим точки А с Аг, В с В' и С с С. Четырёхугольник

Черт. 9. АВА'В', две стороны которого равны и параллельны, будет параллелограмом (Пл., п. 46), так что сторона АА' равна и параллельна стороне ВВ'.

Так же докажем, что сторона А А' равна и параллельна стороне СС.

Следовательно, стороны ВВ' и СС также равны и (п. 336) параллельны, так что ВВ'СС — параллелограм и ВС —В'С. Треугольники АВС и А'В'С равны, как имеющие по три соответственно равные стороны, и следовательно, углы А и А' также равны.

343.Угол между двумя произвольными прямыми. Определение. Углом между двумя полупрямыми D и D', лежащими или не лежащими в одной плоскости (черт. 10), называется угол, который

образуют между собой две полупрямые, проходящие через какую-либо точку О пространства, параллельные соответственно D и D' и направленные в ту же сторону.

Для того чтобы это определение имело смысл, необходимо, чтобы величина рассматриваемого угла не зависела от выбора точки О, Но в силу только что доказанной теоремы последнее обстоятельство действительно имеет место, так как если через две различные точки О и О' пространства провести полупрямые, параллельные D и О' и направленные в ту же сторону, то получатся два угла, стороны которых соответственно параллельны и направлены в одну и ту же сторону.

В том случае, когда прямые D и D' пересекаются, определённый таким образом угол будет, очевидно, совпадать с углом между прямыми в том смысле, как мы его понимали до сих пор.

Две прямые, лежащие или не лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными, если угол между ними, определённый как только что было указано,— прямой.

Примечание. Угол между двумя прямыми, очевидно, не изменится, если заменить каждую из них какой-либо из прямых ей параллельных. В частности, если две прямые перпендикулярны, то всякая прямая, параллельная одной из них, перпендикулярна ко всякой прямой, параллельной другой из них.

344.Теорема, Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями или между параллельными прямой и плоскостью, равны.

Пусть отрезки параллельных прямых АВ и А*В" заключены между параллельными плоскостями Р и Q (черт. 11) или между прямой АА'

Черт. 10.

Черт. 11.Черт. 12.

и плоскостью Q, параллельной этой прямой (черт. 12). Чтобы доказать, что эти два отрезка равны, достаточно соединить точку В с В' и принять во внимание, что прямая ВВ' параллельна прямой АА' (п. 340, 3° или п. 337); следовательно, отрезки АВ и А’В' равны как противоположные стороны параллелограма.

345.Теорема. Три параллельные плоскости отсекают на произвольных секущих пропорциональные отрезки.

Пусть Р, Q и R — три параллельные плоскости (черт. 13). Я утверждаю, что если эти плоскости пересекаются с какой-либо одной

прямой в точках Л, В и С и с какой-либо второй прямой в точках А', г>,АВАВ'

В не, то отношение равно отношению .

Если, прежде всего, обе рассматриваемые прямые лежат в одной плоскости (например прямые D и D' на черт. 13), то справедливость пропорции вытекает из аналогичной теоремы планиметрии (Пл., п. 113), так как плоскость DD' пересекает плоскости Р, Q и R по трём параллельным прямым.

Рассмотрим далее прямые DH ГУ (черт. 13), не лежащие в одной плоскости. Этот случай приводится к предыдущему путём рассмотрения прямой /)', лежащей в одной плоскости как с прямой Z), так и

с прямой D" (например прямой, соединяющей одну из точек прямой D с одной из точек прямой D", или прямой, параллельной прямой D" и проходящей через одну из точек

Черт. 14.

Черт. 13.

прямой D). Так как отношения отрезков, отсекаемых на прямых D и D”, равны аналогичному отношению на прямой £)', то эти два отношения равны между собой.

СЛЕДСТВИЕ. Две параллельные плоскости отсекают на секущих, выходящих из од-ной точки, пропорциональные отрезки.

Это предложение представляет собой применение дока

занной теоремы к двум данным плоскостям и к третьей плоскости» параллельной двум первым и проходящей через данную точку (черт. 14; сравнить Пл., и. 114).

346-Следует помнить, что в силу доказанных в этой главе теорем.

1°. Через данную точку мочено провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.

2°. Через данную точку можно провести плоскость, параллельную данной плоскости, и притом только' одну. Напротив:

3°. Через данную точку мочено провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной плоскости; это будут прямые, лежащие в плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей

через данную точку.

4°. Через данную точку можно провести бесчисленное множество плоскостей, параллельных данной прямой; это будут плоскости, которые проходят через прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку.

Все прямые и все плоскости, параллельные одной из двух данных параллельных прямых, параллельны и другой; то же самое относится

к двум данным параллельным плоскостям. Если же даны параллельные прямая D п плоскость Р, то этого уже не будет: плоскость, параллельная прямой D, может занимать произвольное положение относительно плоскости Р; то же самое будет иметь место для расположения относительно прямой D другой прямой, параллельной плоскости Р.

УПРАЖНЕНИЯ.

429.Как изменятся заключения упражнения 423, если известно только, что две какие-либо из данных прямых лежат в одной и той же плоскости?

430.Провести прямую, параллельную данной прямой и пересекающую две данные прямые *).

431.Теорема, обратная теореме пункта 345. Если на каждой из двух прямых даны по три точки А, В, С и Л', B’t С, так что соответствующие отрезки пропорциональны, то через прямые АА\ ВВ' и СС' можно провести три плоскости, параллельные между собой (доказать).

432.Середины сторон пространственного четырёхугольника (упр. 428) слу-жат вершинами параллелограма; центр параллелограма есть середина отрезка, соединяющего середины диагоналей четырёхугольника (доказать). Найти геометрическое место центров этих параллелограмов, при условии, что три вершины четырёхугольника остаются неподвижными, а четвёртая вершина описывает данную плоскость или данную прямую.

433.Пусть даны две прямые D и Z7, не лежащие в одной плоскости; найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении отрезок прямой, соединяющий какую-либо точку М прямой D с какой-либо точкой М’ прямой £/.

434.Решить ту же задачу, если точки М и ЛГ, вместо того чтобы пере-мещаться произвольным образом по данным прямым, подчинены условию, что прямая ЛШ' параллельна некоторой данной плоскости.

Вывести отсюда, что прямая, которая перемещается, пересекая две данные прямые и оставаясь параллельной данной плоскости, пересекает бесчисленное множество других прямых, параллельных одной и той же плоскости.

435.Обратно, если прямая перемешается таким образом, что она пересекает три данные прямые, параллельные одной плоскости, то отношение отрезков, отсекаемых данными прямыми на подвижной прямой, будет постоянным, -и перемещающаяся прямая будет всё время параллельна некоторой плоскости.

436.Доказать, что если прямая, рассмотренная в двух предыдущих упраж-нениях, удаляется в бесконечность, то опа стремится стать параллельной некоторому определённому направлению.

437.Провести прямую, пересекающую три данные прямые так, чтобы от-резки, отсекаемые на ней этими прямыми, имели данное отношение ]).

438.Если некоторая прямая пересекает две данные прямые D и £/ и если отрезки, отсекаемые на ней данными прямыми и данной плоскостью (не парал-лельной одновременно прямым D и Z7), имеют постоянное отношение, то эта прямая остаётся параллельной некоторой плоскости.

439.Прямые, которые соединяют две точки, взятые на двух смежных сто-ронах пространственного четырёхугольника, с точками', делящими соответственно в тех же отношениях стороны, противоположные первым, пересекаются; отрезок каждой из этих прямых, заключённый между сторонами четырёхугольника, делится другой прямой в том же отношении, как и те стороны,, которых первая прямая не пересекает.

440.Построить отрезок, имеющий заданную длину и параллельный данной плоскости, концы которого лежали бы на двух данных прямых ]).

*) См. примечание в конце задач к пятой книге.

ГЛАВА III.

ПРЯМАЯ И плоскости ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ МЕЖДУ СОБОЙ.

347.ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая АВ (черт. 15) называется перпендикулярной к плоскости Р, если она перпендикулярна ко всем пря- д D_ мым, проходящим через точку её пересечения

с этой плоскостью и лежащим в этой плоскости.

Мы докажем ниже, что можно найти плоскость, перпендикулярную к данной прямой, и прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим

Черт. 15. на плоскости.

Больше того, прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, параллельным этой плоскости.

Например, прямая АВ (черт. 15), перпендикулярная к плоскости Р в точке Л, перпендикулярна ко всякой прямой D, параллельной этой плоскости. Действительно, через точку А проходит прямая АС, параллельная прямой D и лежащая в плоскости Р; угол ВАС, которым измеряется (п. 343) угол между прямыми АВ и D, будет, по определению, прямым.

Обратно, если прямая перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она не может быть параллельной этой плоскости (п. 337); следовательно, она пересекает плоскость и потому к ней перпендикулярна.

348.Из определения прямой, перпендикулярной к плоскости, не-посредственно вытекают ещё такие следствия:

1°. Плоскость Р, перпендикулярная к некоторой прямой, перпендикулярна ко всякой прямой, параллельной этой прямой; действительно, любая прямая плоскости Р, будучи перпендикулярна к первой прямой, перпендикулярна и ко второй.

2°. Прямая D, перпендикулярная к плоскости Р, перпендикулярна ко всякой плоскости, параллельной этой плоскости; действительно, любая прямая, лежащая в последней плоскости, параллельна плоскости Р и потому перпендикулярна к D.

349.Возможность найти взаимно перпендикулярные прямую и плоскость вытекает из следующей теоремы:

Теорзма. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек В и В}, есть плоскость, перпендикулярная к прямой ВВХ и проходящая через середину отрезка ВВА.

Доказательство. Пусть точка А — середина отрезка ВВ}. Точки искомого геометрического места, лежащие в какой-либо плоскости, проходящей через прямую ВВХ (черт. 16), лежат на перпендикуляре к прямой ВВЪ проведённом в этой плоскости через точку Л.

Следовательно, искомое геометрическое место точек образовано всеми этими перпендикулярами. Если С и С'— две точки искомого геометрического места (черт. 17), то треугольники ВСС' и ВгСС' равны, как имеющие по три соответственно равные стороны (ВС ~В,С; ВС' — ВХС'\ сторона СС — общая). Совместим эти треугольники и

обозначим через С” какую-либо точку прямой СС'. Если каждая из точек С и С остаётся общей вершиной обоих треугольников и вершина Вх совпадает с вершиной В, то ВХС" совпадает с ВС"’, следовательно, ВХС" = ВС".

Итак, любая точка С" прямой СС' принадлежит искомому геометрическому месту.

Искомое геометрическое место обладает тем свойством, что любая прямая,

соединяющая две его точки, целиком

принадлежит этому геометрическому месту; искомое геометрическое место содержит три точки, не лежащие на одной прямой, и, с другой стороны, в пространстве существуют точки (например В), к нему не принадлежащие. Отсюда следует (п. 327), что искомое геометрическое место есть плоскость и эта плоскость, очевидно, перпендикулярна к прямой ВВХ в точке А.

Примечание. Точки пространства, более близкие к точке В, чем к точке Вх, лежат от найденного геометрического места по ту же сторону, как и точка В.

Действительно, в какой-либо плоскости, проходящей через ВВХ, например в плоскости ВВХС> точки, лежащие ближе к точке В, чем к точке Въ расположены относительно прямой АС в той полуплоскости, которая содержит точку В (Пл., п. 32).

350.Теорзма. Для того, чтобы какая-либо прямая была перпендикулярна к плоскости, достаточно, чтобы она была перпендикулярна к двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения прямой с плоскостью.