Skip to main content

Элементарная геометрия Часть первая - Планиметрия (Адамар) 1948 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

Элементарная геометрия Часть первая - Планиметрия (Адамар) 1948

Назначение: Пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы

Основой книги служит обыкновенный школьный курс геометрии на плоскости: однако содержание её выходит за рамки существующих программ. Это энциклопедия элементарной геометрии, стоящая на уровне современной науки и написанная выдающимся математиком. Существенным достоинством книги является наличие большого числа задач, многие из которых могут дать материал для творческой работы. В третьем издании книги помещены полные решения всех этих задач.

© Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР Москва 1948

Авторство: Академик Ж. Адамар

Формат: PDF Размер файла: 17.3 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие к третьему русскому изданию . 13

Предисловия автора к первому, второму и восьмому изданиям . 15

Введение.

1. Тела, поверхности, линии, точки ... 19

1а. Геометрические места 19

2—2а. Математические предложения 19

3. Равные фигуры 20

4. Прямая линия 21

5. Отрезки, их сравнение 21

6. Плоскость \ 22

7. Окружность 22

8—8а. Дуги 23

9. Диаметр 24

КНИГА ПЕРВАЯ.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.

Глава I. Углы.

10—11. Сравнение углов 26

12. Равенство вертикальных углов .27

13. Дуги и углы 27

14. Перпендикуляры. Через точку, лежащую на прямой, можно провести к этой прямой перпендикуляр и притом только один. Прямой угол 28

15. Сумма углов, образованных несколькими полупрямыми, выходящими из одной точки ... 29

15а. Биссектрисы четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми 29

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ....

16.Углы острые, тупые, дополнительные и пополнительные . .30

17—18а. Измерение углов..30

19.Через точку, взятую вне прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один33

1*

19а. Симметрия относительно прямой33

20—20а. Направление вращения34

Упражнения 1—435

Глава 11. Треугольники.

21.Многоугольники вообще36

22-22а. Треугольники 37

23.Свойства равнобедренного треугольника37

24.Признаки равенства треугольников .38

25.Внешний угол треугольника. Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно39

26.Прямолинейный отрезок короче любой ломаной линии, имеющей с ним общие концы40

27.Объемлющие й объемлемые ломаные линии41

28.Если два треугольника имеют по неравному углу, заключённому между соответственно равными сторонами, то против большею угла лежит и большая сторона 42

Упражнения 5—15 43

Глава III. Перпендикуляры и наклонные.

29—30. Перпендикуляры и наклонные 44

31.Расстояние точки от прямой 45

32—33. Геометрическое место точек, одинаково удалённых от двух данных точек45

I Упражнения 16—18.47

Глава IV. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Свойство биссектрисы угла.

34—35. Признаки равенства прямоугольных треугольников .....47

36.Свойство биссектрисы угла .48

Упражнения 19—20.•. 49

Глава V. Параллельные прямые.

37.Внутренние накрестлежащие, соответственные и внутренние односторонние углы49

38.Параллельные прямые50

39.Через точку, взятую вне прямой, можно провести прямую линию, параллельную этой прямой51

40.Через точку, взятую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этойпрямой51

41—42.Теоремы, обратные предыдущим51

43.Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами52

44.Сумма углов треугольника53

44а. Сумма углов произвольного многоугольника .54

Упражнения 21—2554

Глава VI. Параллелограмм. Поступательные перемещения.

45—47. Параллелограмм55

48.Ромб, прямоугольник..... ...... 59

49.Квадрат60

50—51. Поступательные перемещения.... 60

Упражнения 26—32.61

Глава VII.. Прямые в треугольнике, проходящие через одну точку.

52.Перпендикуляры, восставленные в серединах сторон ....62

53.Высоты62

54.Биссектрисы63

55—56.Медианы63

У пражнения 33—38.64

Задачи (39—46) к первойкниге65

КНИГА ВТОРАЯ.

ОКРУЖНОСТЬ.

Глава 1. Пересечение прямой с окружностью.

57.Окружность определяется тремя точками67

58.Пересечение прямой с окружностью; касательная к окружности67

59.Общее определение касательной....68

60.Нормаль...69

60а. Угол между двумя окружностями .... .69

Упражнения47—4969

Глава II. Диаметры и хорды.

61.Диаметр естьось симметрииокружности ...69

62.Хорда70

63—64. Расстояние точки от окружности...70

65—66. Равные и неравные дуги и хорды71

67.Касательная имеет с окружностью две общие точки, слившиеся между собой72

Упражнения 50—5472

Глава III. Пересечение двух окружностей.

68—71. Исследование пересечения двух окружностей73

72.Две окружности, касающиеся друг друга, имеют две общие точки, слившиеся между собой...75

Упражнения 55—59 .76

Глава IV. Свойства вписанного угла.

73.Измерение вписанного угла76

74.Измерение угла, образованного касательной и хордой, выходящей из точки касания77

75—76. Угол, образованный двумя секущими78

77—78. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом79

79—82. Угловые свойства четырёхугольника, вписанного в круг . .79

82а. Геометрическое место вершин равных и одинаково направленных углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность ...81

Упражнения 60 72. 81

Глава V. Построения.

83—84 Геометрические построения. Геометрические инструменты .82

85.Построения 1—3. Перпендикуляры к данной прямой. Биссектрисы83

86—87а. Построения 4—9. Углы и треугольники84

88.Построение 10. Прямая, проходящая через данную точку и параллельная данной прямой ..87

89.Употребление угольника ...87

90.Построения 11—14. Окружность.88

91—92. Построения 15—17. Касательная к окружности89

93.Построение 18. Общие касательные к двум окружностям . .91

94Построение 19. Окружности, касающиеся трёх данных прямых. .93

Упражнения 73—9194

Глава VI. Перемещение фигур.

95.Равные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения. 96

96—98. Поступательное перемещение, вращение .....96

99.Симметрия относительно точки98

100—101. Д1 е равные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения, могут быть получены одна из другой с помощью поступательного перемещения, сопровождаемого вращением.

Угол между двумя фигурами98

102. Две равные 'фигуры, имеющие одинаковое направление вращения, получаются одна из другой с помощью поступательного перемещения или с помощью вращения99

102а—103.Другое доказательство (разложение перемещения на симметрии).. 100

104. Мгновенный центр вращения ...102

Упражнения 92—97.103

Задачи (98—123) ко второй книге . .. 104

КНИГА ТРЕТЬЯ.

ПОДОБИЕ.

Глава I. Пропорциональные отрезки.

105—107. О пропорциях вообще107

108—ПО. Деление отрезка109

111—112. Гармоническое делениеПО

113.Основная теорема111

114.Прямая, параллельная основаниютреугольника113

115.Свойства биссектрисы114

116.Геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно115

Упражнения 124—128.116

Глава II. Подобие треугольников.

117.Лемма116

118—120» Признаки подобия.117

121.Отрезки, отсекаемые на параллельных прямых прямыми пучка119

Упражнения 129—134120

Глава III. Метрические соотношения в треугольнике.

122.Проекция121

123—125. Прямоугольные треугольники. ТеоремаПифагора ....121

126—127. Произвольные треугольники. ТеоремаСтюарта122

128—130. Вычисление длин замечательных линийтреугольника .... 124

130а. Радиус описанной окружности126

Упражнения 135—147127

Глава IV. Пропорциональные отрезки в круге. Радикальная ось.

131- 135. Степень точки относительно окружности128

136—138. Радикальная ось130

139.Радикальный центр132

Упражнения 148—154132

Глава V. Гомотетия и подобие.

140.Определение гомотетии133

141—142. Общие свойства133

143.Случай двух окружностей 135

144.Две фигуры, гомотетичные третьей, гомотетичны между

сббой136

145.Оси подобия трёх окружностей137

146—149.Подобие многоугольников137

150.Точка, сама себе соответствующая ..........140

150а.Пантограф141

Упражнения 155—162.142

Глава VI. Построения.

151.Построения 1—2. Пропорциональные отрезки143

152.Построения 3—За. Подобные многоугольники144

153—156. Построения 4—9. Среднее пропорциональное; отрезок х = Уаг±.Ъ\ отрезки, определённые их суммой или разностью и их произведением; деление в среднем и крайнем

отношении,144

157.Построение 10. Точки, расстояния которых от данных прямых имеют данные отношения149

158.Построение 11—13. Общие касательные; радикальная ось; ортогональные окружности150

•’159. Построения 14—15. Окружности, касающиеся данной прямой

или данной окружности н проходящие через две данные точки151

Упражнения 163—177152

Глава VII. Правильные многоугольники.

160—163. Определение правильных многоугольников и их существование153

164. Звездчатые правильные многоугольники .155

165—170. Построение правильных многоугольников, вписанных в окружность; квадрат, шестиугольник, треугольник, десятиугольники, пятиугольники 156

171—175. Пятнадцатиугольники160

176—178. Длина окружности. Отношение длины окружности к диаметру 164

179—179а. Длина дуги окружности .167

180—181. Вычисление к. Метод периметров....169

182—183. Вычисление к. Метод равных периметров171

184. Результат вычислений ....174

Упражнения 178—189175

Задачи (190—216) к третьей книге ....176

ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ КНИГЕ.

Глава I. Знаки отрезков.

185 -187. Соглашение о знаках; основное тождество178

188—189. Свойство гармонических точек179

190—191. Приложение к гомотетии и к степени точки относительно окружности 181

Упражнения 217—222.181

Глава II. Трансверсали.

192—193. Теорема о трансверсалях. Обратнаятеорема182

194—196. Приложения: середины диагоналей полного четырёхсторонника; гомологические треугольники;теорема Паскаля ... 184

197—198. Отрезки, отсекаемые на сторонах треугольника прямыми, выходящими из вершин треугольника и проходящими через одну точку187

Упражнения 223—231•188

Глава III. Сложное отношение. Гармонические четвёрки прямых.

199.Сложное отношение189

200.Основная теорема189

201.Гармонические четвёрки прямых190

202.Свойство полного четырёхсторонника191

203.Поляра точки относительно угла191

Упражнения 232—236•'. . 192

Глава IV. Полюсы и поляры относительно окружности.

204.Определение поляры и её построение193

205.Теорема о сопряжённых точках194

206.Взаимно-полярные фигуры195

207—208. Приложение к гомологическим треугольникам и к теореме Брианшона195

209—210.Преобразование метрических свойств196

211.Новое определение поляры и её построение197

212.Сложное отношение точек, лежащих наокружности .... 198

213.Приложение к сопряжённым хордам199

Упражнения 237 — 241199

Глава V. Взаимно обратные фигуры.

214—216. Определения. Окружность инверсии. Симметрия относительно прямой как предельный случай инверсии .200

217—218. Направление и длина отрезка, соединяющего точки, обратные двум данным точкам 201

219.Касательные к взаимно обратным кривым. Угол между кривыми, обратнымиданным202

220.Фигура, обратнаяпрямой линии203

221.Фигура, обратнаяпроизвольной окружности204

222.Взаимно обратные окружности204

223—226. Антигимологмческие точки и хорды205

227—228. Окружности, пересекающие две данные окружности под одним и тем же углом206

Упражнения 242—257208

Глава VI. Задачи о касании окружностей.

229—231. Первое решение209

232—236. Решение Жерюнна211

Упражнения 258—268214

Глава VII. Свойства вписанного четырёхугольника. Инверсор Поселье.

237—238. Теорема Птоломея. Случай точек, лежащих на одной прямой 215 239. Вычисление хорды дуги a zt b по заданным хордам дуг а и Ь. 217 240—240а.Отношение диагоналей вписанного четырёхугольника; вычи

сление этих диагоналей и радиуса описанной Окружности. . 217

241. Инверсор Поселье220

241а. Инверсор Гарта. . .'. . . . 221

Упражнения 269—271а222

Задачи (272—286) к дополнениям к третьей книге223

КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ.

ПЛОЩАДИ.

Глава I. Измерение площадей.

242—246. Определения 225

247.Площадь прямоугольника .226

248.Площадь параллелограма . .228

249—251. Площадь треугольника229

252—252а. Площадь произвольного многоугольника;площадьтрапеции. 230

253—254. Площадь правильного многоугольника; площадь мноюуголь-

ного сектора; площадь описанного многоугольника230

255.Площадь вписанного четырёхугольника231

Упражнения 287—301232

Глава II. Сравнение площадей.

256.Отношение площаде'й двух треугольников, имеющих по равному углу . .233

257.Отношение площадей двух подобных многоугольников . . . 234

258.Квадрат гипотенузы ....234

Упражнения 302—311.235

Глава III. Площадь круга.

259— 260. Определение площади круга236

261- -262. Формула для плошали круга. Плошать кругового сектора . . 238

263. Площади фшур, ограниченных дугами круга238

Упражнения 312 -318239

Глава IV. Построения.

264—266. Равновеликие треугольникиимногоугольники239

267.Задача о квадратуре круга не разрешима с помощью циркуля и линейки241

Упражнения 319—323241

Задачи (324—342) к четвёртойкниге241

ПРИБАВЛЕНИЯ.

Прибавление А. О методах, применяемых в геометрии .244

а)Теоремы, предлагаемые для доказательства . . .244

Ь)Геометрические места. Задачи на построение . .251

с)Методы геометрических преобразований254

Прибавление В. О постулате Эвклида262

Прибавление С. Задача о касании окружностей .272

Прибавление D. О понятии площади278

Прибавление Е. Задача Мальфатти283

Смешанные задачи и задачи, предлагавшиеся на конкурсных экзаменах (343—422) 292

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ.

Составлены Д. И. Перепёлкиным.

Книга первая. Прямая линия.

Упражнения . . .307

Задачи . .322

Книга вторая. Окружность.

Упражнения .......327

Задачи . ...... 351

Книга третья. Подобие.

Упражнения . .368

Задачи.393

Дополнения к третьей книге. Упражнения 407

Задачи448

Книга четвёртая. Площади. Упражнения458

Задачи472

Смешанные задачи и задачи, предлагавшиеся на конкурсных экзаменах 488

Указатель содержания задач 608

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник СССР - Элементарная геометрия Часть первая - Планиметрия (Адамар) 1948 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ РУССКОМУ ИЗДАНИЮ.

Настоящее—третье — издание перевода первой части „Элементарной гео-метрии" Адамара существенно отличается от двух предыдущих тем, что в нём помещены решения всех имеющихся в первой части задач.

Несомненно, что самостоятельное решение этих, по большей части трудных, задач потребовало бы от читателя весьма большого количества времени и весьма значительных усилий. В то же время многие из этих задач представляют интерес не только как темы для упражнений, но и независимо от этого по самому их содержанию. Эти соображения и заставили нас приняться за составление решений задач, помещённых в курсе Адамара.

Содержание задач перепечатано здесь в основном без изменений. Исправлено, однако, несколько ошибок, вкравшихся в русский перевод (задачи 13, 49, 378, 406).. Далее в процессе решения задач выявилась необходимость исправить отдельные погрешности или уточнить редакцию ряда задач, данную Адамаром (№№ 9, 10, 41, 88, 191, 222, 223, 256, 260, 270, 276, 284, 339, 347, 363,372, 399, 400); в задачах 220, 253а, 265, 308 и 419а мы позволили себе опустить имевшиеся там указания на путь решения. Само собой разумеется, что автор этих строк принимает на себя ответственность за внесённые изменения.

Что касается характера и стиля приведённых нами решений, то, предоставляя судить о них читателю, ограничимся несколькими замечаниями. При выборе того или иного пути решения (если в нашем распоряжении имелось их несколько) мы стремились выбрать тот из них, который наиболее подходит к стилю Адамара, руководясь тем местом, где им помещена данная задача в книге, стилем изложения соответствующих вопросов в курсе, прямыми указаниями в тексте задачи на метод её решения, содержанием предшествующих ей и следующих за ней задач, и т. д. Мы помешали в книге два решения одной и той же задачи лишь в тех случаях, когда нам не удавалось сделать такого выбора, а также в тех немногих случаях, когда путь решения, намечаемый автором в самом тексте задачи, не представлялся нам наилучшим.

При изложении решения мы стремились оттенить наиболее ценные с нашей точки зрения логические моменты решения: значение тех или иных предположений, необходимость отдельных условий, доказательство правильности приведённого построения и т. п. Более трудные, но существенные моменты решения выделены нами в отдельные абзацы, набранные мелким шрифтом; они могут быть опущены читателем, не интересующимся этими более тонкими вопросами. Мы опускали илн излагали весьма коротко те части решений, которые, по нашему мнению, легко могут быть развиты читателем: так, во многих задачах на построение опущено исследование и указано, только (во избежание ошибок у читателя) наибольшее число решений, которое допускает задача; в доказательствах часто опускаются мотивы, по которым те или другие треугольники равны или подобны, прямые параллельны, и т. д. В особенности это относится к решениям более сложных задач.

Необходимо особо остановиться на задачах на отыскание наибольшего или наименьшего значения; таких задач в предлагаемой первой части имеется около 25. Дело в том, что в более трудных задачах такого рода

(№№ 366, 419а, 420) автор njyiMO рекомендует решать задачу, исходя из предположения, что существует фигура, для которой имеет место экстремум. Такой путь решения, более или менее естественный в ту эпоху, когда составлялась книга Адамара, мы считаем в настоящее время неприемлемым и в области элементарной геокетрии. Поэтому во всех задачах на наибольшее и наименьшее значение нами даны такие решения, в которых существование экстремума не предполагается, а доказывается (за исключением задач 419а и 420, где мы ограничились соответствующим примечанием, так как подробный разбор изопериметрических свойств завёл бы нас слишком далеко).

Чтобы облегчить читателю ориентировку в содержании задач и помочь в подборе задач на ту или иную гему, мы поместили в конце книги небольшой „Указатель содержания задач*. Заметим по этому поводу, что он далеко не исчерпывает и не может исчерпать всего содержания задач.

Мы отказались совершенно сознательно от помещения в решениях задач тех или иных библиографических данных ' по нескольким причинам. Прежде всего известно, что именно в области элементарной геометрии одни и те же теоремы и задачи встречаются по нескольку раз у различных авторов в разное время независимо друг от друга, и потому помещение в книге библиографических данных исторического характера представляло бы слишком сложную задачу. Далее составителем, естественно, была просмотрена и использована большая литература. Однако и в тех случаях, когда идея решения была заимствована из литературы, приходилось иногда проделывать большую работу, чтобы придать решению вид, подходящий к стилю настоящей книги в целом. Во многих случаях составитель даже и не мог бы сказать сейчас с полной уверенностью, было ли данное решение найдено им самостоятельно или заимствовано из литературы. Наконец, библиографические указания принесли бы в данном случае небольшую пользу и читателю, желающему расширить свои позпання, так как соответствующая литература (за исключением нескольких общеизвестных книг) разбросана и, как правило, мало доступна.

Рукопись настоящей книги была полностью прочитана доцентом Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина М. А. Ю к и н ы м: составитель обязан ему рядом ценных замечаний, устраняющих те или иные пробелы в решениях, выделяющих исключительные случаи, и т. д. Доц. Н. Т. Зерченинов и Е. Д. ’Загоскина, также ознакомившиеся с рукописью, поделились с составителем своими соображениями по поводу методической стороны в редакции решений ряда задач, особенно к первым главам книги. Идея решения задачи 121а была сообщена составителю И. А. В и л ьп ером. Ряд ценных указаний автор получил также от рецензентов | проф. В. Н. Депутатова| и доц. С. И. Зе те ля. Редактор издательства канд. наук Т. Л. Козьмина своим внимательным отношением к рукописи способствовала улучшению изложения ряда решений. Всем перечисленным товарищам составитель выражает здесь свою искреннюю признательность.

Принимая во внимание, что именно в решениях задач особенно легко можно осуществить дальнейшее улучшение путём указания более простых или более изящных решений, составитель обращается ко всем читателям с просьбой сообщать ему (по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, редакция математики) свои замечания и предложения, за которые он будет весьма благодарен.

Москва, февраль, 1Э47.

Д. Перепелкин.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

При составлении настоящего курса геометрии я всё время имел в виду то особое место, которое эта наука занимает в элементарной математике. В самом деле, будучи отним из первых математических предметов, с которым встречается учащийся, геометрия представляет собой наиболее простую и доступную форму математического рассуждения. Сила её методов и их плодотворность непосредственно более ощутимы, чем в случае относительно абстрактных арифметических и алгебраических теорий. Поэтому геометрия оказывается в состоянии оказывать бесспорное влияние на развитие активного мышления. Я в первую очередь стремился усилить это влияние, пробуждая инициативу учащегося и всячески ей содействуя.

Вот почему мне казалось необходимым увеличить число упражнений, насколько это позволяли рамки настоящего труда. Эта необходимость большого числа упражнений была для меня, так сказать, единственным принципом, руководившим мною в части подбора задач. Я считал необходимым поместить задачи различной степени трудности и притом в порядке возрастания этой трудности: в то время как упражнения, помещённые в конце каждой главы, в особенности первые из них, очень просты, упражнения, помещённые в конце каждой книги, уже не решаются так просто и непосредственно; наконец, я отнёс в конец тома относительно трудные задачи. Содержание некоторых задач заимствовано из тех или других важных теорий; отметим в частности задачи, относящиеся к теории инверсии и систем окружностей, многие из которых заимствованы из ме- муара Дарбу: wSur les relations entre Ies groupes de points, de cercles et de spheres dans le plan et dans I’espace"1/; другие задачи имеют единственной целью приучить мысль учащегося к проведению рассуждений. Столь же разнообразны были и те источники, из которых я заимствовал содержание упражнений: наряду с классическими задачами, представляющими собой наиболее непосредственное приложение теории, которые было бы почти странным не поместить в данной кише, имеются задачи, заимствованные у различных авторов и из различных периодических изданий как французских, так и иностранных, а также довольно большое число оригинальных задач.

С другой стороны, я поместил в конце тома особое Прибавление, в котором я имел в виду вкратце изложить основные идеи математических методов — идеи, которыми учащиеся должны были бы проникнуться с первого года обучения, но которые очень часто забываются даже учащимися наших высших учебных заведений. Следует признать, что та догматическая (Ьорма изложения, которую я здесь избрал, не является наиболее подходящей для данного случая: вопросы такого рода должны изучаться путём соответствующих бесед, причём каждое правило должно появляться лишь в тот момент, когда в нём возникает надобность. Я всё же счёл себя обязанным сделать попытку такого рода изложения, надеясь, что читатель отнесётся снисходительно к её неизбежному несовершенству. Быть может

*) Annales scientifiques de TEcole Normaie Sup6rieure (2), 1, 18"2. — Содержание задачи 401 (построение окружностей, касательных к трем данным) сообщено мне преподавателем лицея имени Ампера Жераром (Сёгагё).

эта попытка, какова бы она ни была, принесёт некоторую пользу и будет содействовать внедрению в преподавание тех идей, о важности которых нет надобности распространяться.

Другие прибавления, помещённые в конце тома, носят более специальный характер. В Прибавлении В рассмотрен вопрос о постулате Эвклида. Взгляды современных геометров на этот вопрос приняли настолько ясную и определённую форму, что представляется необходимым и полезным дать их краткое изложение даже в курсе, носящем элементарный характер.

Прибавление С относится к задаче о касании окружностей. Как было отмечено Кёнигсом1), известное решение Жергонда, если даже его дополнить соответствующим доказательством, отсутствующим у его автора, всё же обладает некоторым недостатком. Этот пробел я и имел в виду восполнит ь.

Наконец, Прибавление D посвящено понятию площади. Обычное учение о площадях обладает, как известно, серьёзным логическим недостатком. Оно a priori предполагает, что эта величина определена и обладает известными основными свойствами. Теория, которую я излагаю в данном Прибавлении, обходится без этого предположения и потому заслуживает предпочтения, особенно если учесть, что она переносится без значительных изменений и на пространство.

В самом тексте книги оказалось возможным внести в классические рассуждения некоторые изменения, представляющие преимущества либо с точки зрения строгости, либо с точки зрения простоты; к их числу принадлежит, например, помещённое в самом начале первой книги доказательство существования перпендикуляра, восставленного к прямой линии в какой-либо из её точек; соображения, основанные на непрерывности, которыми здесь обычно пользуются, пришлось оставить, поскольку в другом месте мы допускаем без доказательства возможность разделить отрезок или угол пополам. Рассмотрение направления углов позволило мне внести в предложение второй кни« и, а также в ряд предложений последующих книг полную чёткость и общность без того, чтобы сделать их менее простыми или менее элементарными.

В дополнениях к третьей книге изложены те вопросы, которые хотя и не относятся к элементам геометрии в смысле Эвклида, тем не менее завоевали определённое место в преподавании. Я ограничился изложением элементов соответствующих теорий и последовательно опускал всё то, что не является дейс1ви1ельио существенным. Впрочем, курс составлен таким образом, что эти дополнения, а также те разделы текста, которые напечатаны мелким шрифтом, могут быть опущены при первом чтении без нарушения связное 1 и остальной части текста.

Проф. Д а р б у, который оказал мне большую честь, поручив составление настоящего курса, чрезвычайно облегчил мою задачу теми ценными советами, которые он постоянно давал мне при его составлении. Заканчивая настоящее предисловие, я хотел бы выразить ему здесь свою почтительную признательность.

Ж. Ада мар.

1) „Lemons de Pagination ctassique de MathCiDatiques*', Paris, 1892, стр. 92.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

За время, истёкшее с момента выхода в свет первого издания, обучение математике и в частности геометрии претерпело глубокие изменения не только в отдельных деталях, но и в самом своём характере, изменения, которых давно ждали и которых все добивались. В основу обучения м*зте- матике, в начальной его стадии, стремятся положить соображения практического и наглядного характера вместо логическою метода Эвклида, пользу которого начинающие не в состоянии оценить.

Напротив, к эвклидовскому методу приходится, конечно, возвращаться, когда речь идёт о пересмотре* и о пополнении первоначальных сведений. Наш курс и соответствует этой именно второй стадии обучения, и потому нам не пришлось менять его характера.

Однако даже с точки зрения строгой логики классическое изложение обладало ненужной ‘ сложностью и схоластичностью в его первой главе, посвящённой учению об углах. Условие не пользоваться в первой книге понятием окружности, остававшееся неприкосновенным до настоящего времени, чрезвычайно затемняло здесь веши, сами по себе очень простые и естественные. Изложение этих вопросов оказалось возможным значительно упростить, вводя с самого начала наряду с понятием об угле и понятие о дуге окружности. Мы уже раньше отказались здесь от традиционного использования непрерывности, на которой обычно основывали существование перпендикуляра; теперь оказался излишним и тот простой искусственный приём, которым мы раньше заменили соображения, основанные па непрерывности.

В то же время измерение центральных углов оказывается при этом естественным образом сближенным с учением об углах и занимает своё настоящее логическое место в курсе.

Не меньше выигрывает от этой перестановки и вторая книга. В самом деле, основное свойство вписанного угла отделяется при этом от вопроса об измерении углов, а прежнее соединение этих двух вопросов могло дать самое неправильное представление об этом свойстве вписанного угла и об его значении.

За исключением этого пункта план курса в целом остался неизменным. С другой стороны, те дополнения, которые были внесены в программу 1902 г., уже раньше нашли себе место в первом издании курса. Программа 1905 г., которая скорее снизила роль этих дополнений, тем самым не потребовала от нас никаких существенных изменений. Она содержит только одно добавление — инверсор Поселье. Единственная дополнительная глава, которая остаётся в программе, по крайней мере в области геометрии на плоскости 1;, — инверсия и её приложения — соответствует главам V—VII наших дополнений.

’) Надо ли говорить по этому поводу, что я вовсе не стремился к слиянию геометрии на плоскости с геометрией в пространстве. Я охотно признаю, что такое слияние заслуживает предпочтения с точки зре<ия чисто логической. Однако с точки зрения педагогической следует стремиться, мне кажется, к разделению встречающихся трудностей. Уменье „видеть в пространстве" само по себе представляет собою серьёзную трудность, и я не думаю, чтобы эту трудность следовало присоединить к другим трудностям с самого начала обучения.

•2 Элементарная геометрия

За последние годы в преподавательской среде наметилась и другая тенденция, которой нельзя не одобрить. Теперь очень часто говорят об эвристическом метоле, и я надек сь, что кое-где его применяют на практике. Прибавление, которое я поместил в первом издании настоящего курса (Прибавление Л), как раз и имело своей целью показать, как следует понимать этот метод, столь существенный с моей точки зрения, по крайней мере, как его следует понимать сточки зрения теоретической, так как для его применения на практике необходимо наличие двух лиц. Мне хотелось бы, чтобы это Прибавление могло принести теперь некоторую пользу, указывая по крайней мере те принципы, которые следует применять в этом случае.

Я уже указывал (см. предисловие к геометрии в пространстве), что изложенный в Прибавлении С метод решения задачи о касании окружностей в действительности принадлежит Ф у ш е (Fouche) или даже П о н с е л е (Poncelet) и что Жерару (Gerard) принадлежит решение вопроса о площади плоской фигуры, правда отличное от того, которое я дал в Прибавлении D. Пользуюсь случаем отметить, что Ф о н т е н е (Fontene; было высказано одно возражение, касающееся теории двугранных углов, и им же оно было устранено.

Ж. Адамар.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ.

Настоящее издание не представляет, по сравнению с предыдущими, существенных изменений. Однако следует отметить, что наши взгляды на постулат Эвклида существенно изменились в связи с успехами физики: я должен был изменить конец Прибавления В (пп. 308, 308а), чтобы принять во внимание эту эволюцию научной мысли.

Некоторые изменения были также внесены в настоящее издание с целью уделить большее внимание свойствам наиболее простых шарнирных систем.

Ж. Аоамар.

ВВЕДЕНИЕ.

1Телом называется часть пространства, ограниченная со всех сторон.

Поверхностью называется общая часть двух смежных областей пространства. Лист бумаги может дать нам приблизительное представление о поверхности. В самом деле, он ограничивает две области пространства, которые расположены по обе стороны от листа. Но лист бумаги не будет, строго говоря, поверхностью: эти две области разделяются целой промежуточной областью, так как лист бумаги имеет толщину. Мы пришли бы к понятию поверхности, рассматривая лист бумаги, толщина которого бесконечно уменьшается.

Линией называется общая часть двух смежных областей поверхности. Это определение, очевидно, эквивалентно такому определению: линия есть пересечение двух поверхностей.

Линии, которые мы проводим, дают на.м представление о геометрических линиях и притом неточное представление, так как, как бы они тонки ни были, они всегда имеют толщину, в то время как геометрические линии толщины не имеют.

Наконец, точкой называется то общее, что имеют две смежные части одной линии, или, иначе, пересечение двух встречающихся линий. Точка не имеет никакого измерения.

Любая совокупность точек, линий, поверхностей и тел называется фигурой.

1а. Всякая линия содержит бесчисленное множество точек.

Её можно рассматривать как след перемещающейся по ней точки. Это имеет место, когда мы проводим линию на бумаге остриём карандаша или пера (получающиеся при этом точки мы уподобляем геометрическим точкам, когда они достаточно тонки). Точно так же поверхность может быть образована перемещающейся линией.

Фигура, вообще говоря линия или поверхность, образованная совокупностью бесчисленного множества положений, которые может занимать некоторая точка, называется геометрическим местом точек.

Точно так же мы можем рассматривать поверхность как геометрическое место линии, которая перемещается.

2.Геометрия изучает свойства фигур и их взаимоотношения. Результаты этого изучения формулируются в виде предложений.

Предложение состоит из двух частей: первая, называемая коротко условием, указывает на совокупность всех имеющихся налицо условий; 2*

вторая — заключение—выражает тот факт, который в силу этих условий неизбежно имеет место.

Так, в следующем предложении: „Два количества А и В, равные одному и тому же третьему С, равны между собой*, условием является следующая часть предложения: количества А и В порознь равны С; заключением — эти два количества А и В между собою равны.

Среди предложений имеются такие, которые принимаются как очевидные без доказательства. Их называют аксиомами. Таким, например, является предложение, которое было приведено выше: „Две величины, равные третьей, равны между собой“. Все другие предложения называются теоремами и должны быть доказаны при помощи особого рассуждения. Чтобы провести это рассуждение, надо, ос-новываясь на условии теоремы и предполагая, что это условие выполнено вывести из него факты, указанные в заключении.

Согласно с этим мы должны допустить, что некоторое обстоятельство имеет место:

1)если оно является частью условия;

2)если оно является частью определения одного из элементов, о которых идёт речь1);

3)если оно вытекает из аксиомы;

4)если оно вытекает из одного из предыдущих доказательств.

В геометрических рассуждениях ни одно положение не должно считаться верным иначе, как в силу одной из этих четырёх причин.

2а. Предложением, обратным данному предложению, называется другое предложение, в котором заключение Полностью или частично совпадает с условием первого предложения, и обратно.

Следствием называется предложение, непосредственно вытекающее из теоремы.

Леммой называется, напротив, подготовительное предложение, вводимое для того, чтобы облегчить доказательство последующего предложения.

3.Всякая фигура может быть перемещена в пространстве бесчисленным множеством способов без изменения своего вида совершенно так же, как это может быть сделано с обыкновенными твёрдыми телами. Равными фигурами называются такие две фигуры, которые можно совместить одну с другой так. чтобы они в точности совпадали во всех своих частях; одним словом, две равные фигуры представляют собою одну и ту же фигуру, расположенную в двух различных местах.

Фигура, которая подвергается только перемещениям и при этом не деформируется, называется неизменяемой фигурой.

Часто случается, что в процессе доказательства вводят в фигуру вспомогательные элементы. Некоторое положение может быть при этом верным в силу определения этих новых элементов. В таком случае говорится, что оно верно по построению.

4-Простейшая из линий — прямая линия* представление о ней даёт нам натянутая нить. Понятие прямой линии очевидно само по себе; чтобы иметь возможность пользоваться этим понятием в наших рассуждениях, будем рассматривать прямую линию, как определяемую её очевидными свойствами и в частности следующими двумя:

1°. Всякая фигура, равная прямой линии, есть прямая линия; и обратно, каждая бесконечная прямая линия может быть совмещена со всякой другой и притом таким образом, что какая- либо одна точка первой совмещается с любой точкой второй.

2°. Через две точки можно провести прямую линию и притом только одну.

Таким образом, можно говорить о той прямой линии, которая проходит через точки А п В (или короче: о прямой АВ).

Из . определения непосредственно вытекает, что две различные прямые могут встретиться только в одной точке, потому что, если бы они имели две общие точки, они не были бы различными*

Ломаной линией называется линия, состоящая из частей прямых линий. Другие линии, которые не являются ни прямыми, ни ломаными, называются кривыми линиями.

5-Часть прямой линии, заключающаяся между двумя точками А и В, называется отрезком прямой АВ.

Можно также рассматривать часть прямой, не ограниченную с одной стороны и ограниченную с другой стороны точкой. Такая часть называется полупрямой. Две произвольные полупрямые являются на основании предыдущего равными фигурами.

х/ в сс е

Черт. 1.Черт. 2.

Отрезок АВ называется равным отрезку А*В', если первый отрезок можно наложить на второй отрезок таким образом, чтобы точка А совпала бы с точкой А' и точка В — с точкой В'.

При этих условиях два отрезка совпадут во всех своих точках на основании двух предложений, которые служат определением прямой линии. Следовательно, определение равных отрезков вполне согласуется с данным выше общим определением равных фигур.

Совмещение двух равных отрезков АВ и А'В' может быть осуществлено двумя различными способами, а именно: точка А может совпасть с точкой А и точка В — с В', или обратно. Это равносильно тому, что отрезок АВ можно повернуть таким образом, чтобы после поворота каждая из двух точек Д, В заняла бы место другой из этих точек.

Если два отрезка АВ и ВС расположены на одной и той же прямой линии и представляют собой продолжение один другого (черт. 1), то отрезок АС называется суммой двух первых отрезков. Сумма двух,

а следовательно, и нескольких отрезков не зависит от порядка слагаемых частей

Чтобы сравнить два отрезка, их переносят на одну и ту же прямую линию так, чтобы они выходили из одной и той же точки и были направлены в одну и ту же сторону, например АВ и АС (черт. 1 и 2). Если при этом точки следуют в порядке Д, В, С (черт. 1), то отрезок АС равен сумме АВ и другого отрезка ВС; в этом случае он больше* чем ДВ, а этот последний меньше* чем ДС; если, напротив, порядок следующий: Д, С, В (черт. 2), то отрезок АВ больше ДС. В обоих случаях третий отрезок ВС, который при сложении с одним из двух данных отрезков даёт второй, называется разностью этих двух отрезков. Наконец, точки В и С могут совпасть. В этом случае, как мы знаем, данные отрезки равны.

На каждом отрезке прямой АВ существует точка М — середина АВ* одинаково удалённая от Д и В; всякая точка прямой, лежащая между Л1 и Д, очевидно, ближе к Д, чем к В, и обратное имеет ме<;то для всякой точки, расположенной между Д4 и В.

- Вообще отрезок прямой АВ может быть разделён на какое угодно число равных между собой частей* 2).

6.Плоскостью называется такая безграничная поверхность, что всякая прямая, соединяющая две её точки, лежит на ней целиком.

Мы допускаем, что через всякие три точки пространства проходит плоскость. Прямая линия, проведённая на плоскости, делит её па две области, каждая из которых расположена по одну сторону от прямой линии и называется полуплоскостью. Нельзя перейти из одной области в другую по непрерывному пути, н^ выходя из плоскости и не пересекая прямой линии. Эти две области можно сов-местить одну с другой, заставляя одну из них вращаться около данной прямой линии, как около оси.

Мы будем заниматься прежде всего фигурами, расположенными на плоскости; изучение их составляет предмет плоской геометрии (планиметрии).

7.Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки этой плоскости 3) (О* черт. 3); эта точка называется центром окружности.

*) Для двух отрезков это следует непосредственно из предыдущего абзаца.4

2) Мы понимаем под этим, что на АВ существуют точки, которые делят этот отрезок на равные части. Вопрос о том, можно ли найти эти точки фактически с помощью имеющихся у нас инструментов, будет рассмотрен нами позднее (книга III).

3) Геометрическое место точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки, лежащей вне плоскости* равным образом есть окружность /если такие точки вообще существуют); это мы докажем в геометрии пространства.

Геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки пространства, представляет некоторую поверхность — сферу.

Отрезок прямой линии, который соединяет центр с какой-нибудь точкой окружности, называется радиусом. Следовательно, все радиусы между собою равны. Это имеет место для спиц колеса, так как оно имеет форму окружности.

На основании предыдущего определения, чтобы доказать, что точка плоскости лежит на окружности, расположенной в этой плоскости, достаточно показать, что её расстояние до

центра равно радиусу. 'S

Всякая окружность делит плоскость, в ко-/\

торой она лежит, на две области: одну внеш-/\

нюю, безграничную, образуемую точками, рас-II

стояния которых до центра больше радиуса;\/

другую — внутреннюю^ ограниченную со всех\/

сторон, образованную такими точками, рас- стояния которых до центра меньше радиуса. Эта последняя область называется кругом.

Ясно, что окружность вполне определена, когда даны плоскость, в которой она лежит, её центр и радиус.

Окружность часто обозначают (когда это не может дать повода к недоразумениям) той же буквой, как её центр, или двумя буквами, которые обозначают один из её радиусов, причём на первом месте ставят ту, которая обозначает центр. Таким образом, окружность, представленная на чертеже 4, обозначается через О или (если приходится рассматривать несколько окружностей с центром в О) через ОМ.

Две окружности одного радиуса представляют собою равные фигуры,', ясно, что они совмещаются, коль скоро мы совместим их центры.

Две равные окружности могут быть наложены друг на друга бесчисленным множеством способов: их можно наложить одну на другую так, чтобы некоторая точка М' второй окружности совместилась бы с данной точкой М первой окружности (черт. 4). Для этого достаточно совместить два радиуса ОМ и О'М'* что возможно, так как эти два прямолинейных отрезка равны.

8-Дугой называется часть окружности (ЛрВ, черт. 5).

Из того обстоятельства, что две равные окружности MOI ут быть наложены друг на друга бесчисленным множеством способов, следует

возможность сравнивать ду!И, принадлежащие одной и той же окружности или двум равным окружностям, так же, как мы сравниваем отрезки прямой. Для этого перенесём эти две дуги таким образом, чтобы они имели один и тот же центр, один общий конец и были расположены по одну сторону от этого общего конца. Пусть АВ и АС — две дуги, расположенные таким образом; мы скажем, что первая больше второй, если, перемещаясь из точки А по дуге ДВ1), мы встречаем точку С раньше точки В (черт. 6). Мы скажем, что первая дуга меньше второй, если порядок будет обратный: Д, В, С (черт. 5).

8а. Точно так же можно определить сумму двух дуг АВ, ВС (черт. 5), принадлежащих одной и той же окружности (или двум рав

ным окружностям), располагая эти ..две -дуги так, чтобы конец одной совпал с концом другой и дуги были направлены в разные стороны от их общего конца.

Дуга АВ может быть, так же как отрезок прямой, разделена на две или несколько равных частей* 2). Она делится своей средней точкой 1 на две дуги, из которых одна состоит* из точек М, таких, что дуга АМ больше, че^ дуга МВ, другая — из таких точек, что дуга АМ меньше, чем дуга МВ.

9.Две точки окружности называются диаметрально противоположными (А, В, черТ. 7), если отрезок, который их соединяет, проходит через центр. Этот отрезок называется диаметром. Ясно, что длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Окружность, очевидно, определена, коль скоро дан один из её диаметров. В таком случае её центром будет середина диаметра.

1) Здесь очень важно точно определить направление, в котором происходят перемещения (что было не нужно в случае прямой), потому что точки А, В делят окружность на две дуги, и порядок, в котором мы встретим точки В, С, не будет одним и тем же, если мы будем перемещаться из точки А по той или другой из этих дуг.

2) То же замечание, которое ранее сделано (стр. 22, сноска 2) для отрезков прямой.

Диаметр АВ делит окружность на две дуги, которые представляют собой части окружности, расположенные соответственно в твух полуплоскостях, определяемых прямой АВ.

Эти две части равны между собой: их можно совместить, наложив полуплоскости, о которых идёт речь, одну на другую (п. 6). Мы имеем, таким образом, две полуокружности.

Точно так же круг делится диаметром на две равные части, которые совмещаются друг с другом при совмещении двух полуокружностей.

Автор - Адамар Ж., ★ВСЕ➙Элементарное, Геометрия - Элементарное

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - ГЕОМЕТРИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО ГЕОМЕТРИИ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика