• 15. Понятие о построениях при помощи одной линейки 45
• 16. Построения при помощи двусторонней линейки 47
• 17. О методах решения задач на построение. 49
• 18. «Метод геометрических мест». 53

Глава III.

Движения на плоскости

• 19. Общие свойства движений 56
• 20. Отражение от прямой. 58
• 21. Движение произвольного вида на плоскости 60
• 22. Векторы 62
• 23. Переносы на плоскости. 64
• 24. Ориентированные углы 67
• 25. Повороты на плоскости. 71
• 26. Скользящее отражение. 75
• 27. Классификация движений на плоскости 78
• 28. Применение движений к геометрическим построениям 79

Глава IV.

Измерение отрезков

• 29. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки 83
• 30. Арифметизированный луч 86
• 31. Измерение отрезков. 90
• 32. Переход от одной единицы измерения к другой. Отношение отрезков 94
• 33. Задача, обратная задаче измерения отрезков 97
• 34. Пропорциональные отрезки. 99

Глава V.

Гомотетия и подобие

• 35. Определение и свойства гомотетии 102
• 36. Различные способы задания гомотетии 107
• 37. Гомотетия окружностей. ПО
• 38. Произведение гомотетий 111
• 39. Преобразование подобия на плоскости 115
• 40. Подобие фигур на плоскости 118
• 41. Метод подобия. 121

Глава VI.

Элементы геометрии окружностей

• 42. Степень точки относительно окружности J23
• 43. Радикальная ось. 125
• 44. Радикальный центр 128
• 45. Окружность Аполлония 131
• 46. Инверсия 135
• 47. Инверсия прямой и окружности 140
• 48. Основное свойство инверсии 144
• 49. Задача Аполлония 147

Глава VII.

Построения на плоскости (продолжение)

• 50. Алгебраический метод решения задач на построение 149
• 51. Точки, построение которых осуществимо циркулем и линейкой 156
• 52. Неразрешимость некоторых задач на построение циркулем и линейкой
• 53. Построения одним циркулем. 166

Глава VIII. Длина окружности

• 54. Деление окружности на равные части 169
• 55. Правильные многоугольники 176
• 56. Длина окружности 179
• 57, Спрямление окружности. Длина дуги. 183

Глава IX. Площади

• 58. Равносоставленные многоугольники. 186
• 59. Измерение площадей многоугольников 192
• 60, Площадь круга. 196

Глава X. Движение в пространстве

• 61. Отражение от плоскости. 198
• 62. Повороты в пространстве 201
• 63. Переносы в пространстве 205
• 64. Движение с неподвижной точкой. 208
• 65. Движение произвольного вида в пространстве 209
• 66. Отражение от точки в пространстве. 212

Глава XI. Многогранники

• 67. Общие свойства многогранников 214
• 68. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников 219
• 69. Правильные многогранники 223
• 70. Построение правильных многогранников 224
• 71. Симметрия правильных многогранников 231
• 72. Подобие многогранников 233

Глава XII. Объем многогранников

• 73. Равносоставленные многогранники 235
• 74. Объем многогранников 237
• 75. Объем пирамиды 240
• 76. Объем призматоида 245

Глава ХШ.

Фигуры вращения

• 77. Цилиндр, конус и усеченный конус 249
• 78. Площади поверхностей вращения 256
• 79. Объем тел вращения 262

ПРЕДИСЛОВИЕ

Изучение курса элементарной геометрии в педагогическом институте должно сочетаться с углубленным повторением школьного курса. Преподавание геометрии в школе, особенно в младших классах, в очень большой степени опирается на наглядность и интуицию учащихся и в целом далеко от научной строгости. Будущий учитель должен иметь ясное представление о естественных пробелах школьного курса. Сравнение изложения отдельных вопросов в данном пособии и в школьных учебниках является поэтому необходимым элементом работы студента. В то же время изложение значительной части геометрического материала в школьном курсе проведено вполне строго и не вызывает у нас возражений. Этот материал мы будем считать хорошо известным изучающему данный курс. Это означает, что он должен быть своевременно и тщательно повторен.

Помимо усвоения теоретического материала, будущий учитель должен получить хорошие навыки в решении различного рода геометрических задач. С этой целью мы рекомендуем в первую очередь воспользоваться различными сборниками задач, изданными как пособия для учителя средней школы. Хороший подбор задач повышенной трудности д' в «Сборнике задач по специальному курсу элементарной математики» П. С. Моденова.

Данном курсе мы опираемся на некоторый материал, с которым студенты знакомятся при изучении в институте других математических дисциплин. В главе «Измерение отрезков мы будем считать известной теорию действительного числа, с которой начинается изучение курса математического анализа. При решении вопроса о неразрешимости задач на построение циркулем и линейкой потребуются некоторые сведения из курса высшей алгебры (понятие числового поля, расширение поля, решение алгебраического уравнения в квадратных радикалах). Кроме того, мы будем пользоваться числовыми последовательностями и теоремами об пределах. Этот материал должен быть известным студенту.

При создании данного пособия автор воспользовался многими ценными указаниями покойного Я. С. Дубнова, о котором он вспоминает с большой признательностью.

Автор весьма благодарен В. П. Иваницкой, редактору данной книги, проделавшей большую работу по улучшению ее. Автор считает также своей приятной обязанностью выразить благодарность Н. Г. Федину, Ю. И. Соркину и В. А. Атанасян, советами которых он воспользовался.

Н. И. Шоластер

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ понятия

• 1. Введение

Несколько тысячелетий назад в государствах Древнего Востока были уже известны некоторые геометрические сведения. Материальные потребности древних египтян заставили их производить простейшие землемерные работы (обмер участков, вычисление их площадей) и гидротехнические сооружения (оросительные каналы). Во время опустошительных весенних разливов Нила смывались границы между земельными участками. Чтобы быстро и правильно их восстанавливать, требовалось значительное умение производить измерительные работы на местности. Для удовлетворения этих важных жизненных потребностей египтян^ *ыра- ботали ряд правил, основанных на опытных данных и не всегда правильных. Так появились первые геометрические предложения. Древние греки заимствовали эти начальные геометрические сведения и постепенно пополнили новыми. Само слово «геометрия» — греческое и означает в буквальном переводе «землемерие».

Важную роль в возникновении и развитии геометрии играла астрономия, развитие которой в свою очередь б’, то вызвано потребностями измерения времени и ориентации на суше и на море.

Энгельс по вопросу о происхождении математики говорит: «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики»¹).

Э Фридрих Энгельс, Анти-Дюринг. ОГИЗ, 1948, стр. 37.

3

Древние греки, постепенно накапливая геометрический материал и систематизируя его, установили связь между отдельными фактами. Изменился подход к изучению геометрических фигур. Древние геометры заметили, что одни из свойств фигур могут быть выведены из других путем рас- суждений.

Такие свойства стали формулироваться в виде предложений, истинность которых доказывалась. Было обращено большое внимание на методы доказательств геометрических теорем и решения задач. Например, трудами древнегреческих ученых разработан метод доказательства «от противного», метод геометрических мест точек при решении задач на построение и т. д.

Геометрия из собрания эмпирических правил стала превращаться в науку.

Впоследствии перед древними геометрами возникла проблема построения геометрии по следующему плану: вначале дать определения геометрических понятий и высказать относительно их без доказательства ряд утверждений (аксиомы и постулаты), которые должны являться отправным пунктом последующих рассуждений; все же остальные предложения геометрии (теоремы) — в определенной системе изложить одно за другим и доказать. Справедливость каждой теоремы должна быть установлена на основании ранее доказанных теорем и принятых без доказательства утверждений. Такого плана придерживался более 2000 лет назад знаменитый древнегреческий математик Евклид в своем замечательном труде «Начала», где было дано систематическое изложение основного материала элементарной геометрии.

Предметом геометрии, как и всякой другой науки, является изучение реального мира. Когда окружающие нас предметы мы изучаем с точки зрения их формы и взаимного расположения, то мы изучаем их геометрические свойства. При этом, естественно, мы должны считать другие свойства этих предметов (вес, окраска и т. д.) несущественными, безразличными для нас. Так возникают геометрические понятия.

Приведем выдержку из классического труда Ф. Энгельса «Анти-Дюринг», в которой предельно ясно сказано о происхождении геометрических понятий¹):

¹) Фридрих Энгельс, Анти-Дюринг, ОГИЗ, 1948, стр 37.

«Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало- быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины.»

В основе геометрии, как и в основе других наук, лежит опыт. Опытным путем были установлены геометрические свойства реальных тел. Путем абстракции от реальных тел мы перешли к геометрическим фигурам, а геометрические свойства реальных тел перенесли на созданные геометрические понятия. Одни из этих свойств оказалось возможным путем логических рассуждений вывести из других. Однако очевидно, что какой-то минимум указанных свойств мы должны принять без доказательства в качестве отправного пункта всех наших последующих выводов.

В результате абстракции реальных предметов возникли основные понятия геометрии. Отправляясь от основных понятий, мы строим новые производные геометрические понятия при помощи логических определений. При этом новые понятия выделяются из более общих понятий (родовое понятие) путем указания характерных для них свойств (видовое отличие). Пример: прямоугольник есть параллелограмм (родовое понятие), углы которого прямые (видовое отличие).

Каковы же основные понятия геометрии? Отправляясь от реальных предметов, путем абстракции мы приходим к понятию геометрического тела. Отправляясь далее от геометрических тел, мы приходим к понятию поверхности как границы между ними. Изучая свойства поверхности, мы забываем о самом геометрическом теле. Поверхность представляется существующей отдельно от тела. Далее, мы приходим к понятию линий как границ поверхностей

5

и к понятию точки, линии получаются при пересечении поверхностей, а точки — при пересечении линий. Линии и точки мы также представляем в качестве самостоятельных объектов.

Точки, линии, поверхности — это абстракции, но абстракции реального мира и потому имеющие реальное содержание. Для построения геометрии мы пользуемся простейшей линией — прямой и простейшей поверхностью — плоскостью.

Точки, прямые и плоскости являются основными понятиями геометрии. Свойства этих основных понятий, которыми мы пользуемся, в дальнейшем определяются в аксиомах, т. е. в утверждениях, принимаемых без доказательства. Аксиомы, как отмечено выше, имеют опытное происхождение.

Аксиомами определяются понятия принадлежности (точка лежит на прямой, прямая проходит через точку и т. д.), порядка (точка лежит между другими точками) и движения (наложение одного треугольника на другой и т. д.). Эти понятия являются также основными в геометрии. К ним мы приходим путем абстракции соответствующих отношений реальных предметов.

В аксиомах геометрии указываются свойства основных понятий геометрии. Мы можем сказать, что аксиомы геометрии этим самым определяют основные понятия этой науки в их совокупности.

В качестве дополнения к курсу элементарной геометрии в учебниках для средней школы А. П. Киселева и Н. А. Глаголева дается список аксиом, который является основой для логического построения курса геометрии. Это значит, что каждое геометрическое предложение, которого нет в списке аксиом и которое называется теоремой, может быть выведено чисто логическим путем из указанных аксиом, ранее доказанных теорем и принятых определений.

В этом списке имеются известные уже нам аксиомы, которыми мы пользовались в школьном курсе при доказательстве теорем. К ним, например, относится предложение: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. В то же время при первом знакомстве с некоторыми другими аксиомами у нас может возникнуть недоумение. Так, в одной из аксиом утверждается, что на каждой прямой лежит не менее двух точек.