ВВЕДЕНИЕ

Решение стереометрических задач на вычисление дает возможность учащимся более полно и совершенно познать пространственные формы и пространственные количественные отношения, которые изучаются в школьном курсе геометрии. Это решение требует применения изученных теоретических положений к конкретным частным случаям и приводит к развитию умений и навыков в математической обработке пространственных количественных отношений. Это решение развивает мышление, пространственные представления и воображение. В процессе решения учащиеся более совершенно овладевают применяемыми методами и приемами. Упражняясь в устном и письменном изложении решений, учащиеся совершенствуют умения и навыки точно, полно и кратко излагать свои мысли.

Очень часто в технике, производстве, строительном деле совместно и одновременно применяются многие математические дисциплины для решения одной и той же проблемы. Навыки комплексного применения математики имеют большое практическое значение. При решении вычислительных стереометрических задач учащиеся приобретают умения и навыки применять положения математических предметов комплексно.

Переход к политехническому обучению приводит к новым требованиям в отношении решения стереометрических задач на вычисление. При решении этих задач необходимо полнее и разностороннее применять наглядность, шире пользоваться демонстрациями, проводить лабораторные работы, применять конструирование моделей геометрических фигур, активизировать методы обучения. Необходимо ввести задачи, для решения которых учащиеся получают сами числовой материал путем непосредственных измерений величин по телам и моделям тел. Всякое измерение дает приближенное значение величины; введение задач, решение которых сопровождается измерениями, повлечет использование приближенных вычислений.

Переход к политехническому обучению требует повышения культуры изображения фигур трехмерного пространства на листе бумаги и расширения методов этого изображения. С этой целью уместно использовать изображение фигур путем ортогонального проектирования на две плоскости, полезно предлагать задачи, в которых числовые или буквенные данные зафиксированы на чертеже фигуры.

Следует увеличить число задач с доступными для учащихся техническими и практическими сюжетами, а также из механики, физики, астрономии.

Такая перестройка в обучении решению вычислительных стереометрических задач приводит к требованию нового типа задачников по геометрии и тригонометрии. Однако и при старых задачниках учитель может при наличии доброй воли сделать многое. Перестройку можно осуществить так, что не потребуется выхода за пределы действующей программы стереометрии.

При выполнении настоящей работы автор использовал существующую методическую и учебную литературу по стереометрии, особенно многие статьи из журнала „Математика в школе**. Кроме того, использован личный опыт автора.

I. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В 9-м КЛАССЕ

Первые уроки по стереометрии отводятся на изучение аксиом, непосредственных следствий из них, параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскостей. Материал не содержит предложений о метрических свойствах фигур, а, значит, нет связанных с ним задач на вычисление.

В этот период после изучения аксиоматики рекомендуется выполнять на уроках устные упражнения, направленные на развитие пространных представлений и воображения учащихся*. Упражнения не носят метрического характера; однако они, способствуя развитию пространственного воображения, представляют интерес и для последующего решения вычислительных задач. Поэтому уделим внимание опыту проведения упражнений.

1. Учитель, пользуясь классной обстановкой, указывает четыре точки (например, вершину угла стола, вершину угла классной комнаты, две точки на доске). Никакие три точки из этих четырех не лежат на одной прямой. Сколько всего различных прямых можно вообразить, чтобы каждая из них проходила через две точки из числа заданных?

Чтобы ответить на этот вопрос, ученик должен представить все прямые и установить число их. Возможность использования теории соединений исключается: учащиеся не знают ее.

2. Даны пять точек. (Точки задаются, как в предыдущем упражнении.) Никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько всего прямых можно вообразить, чтобы на каждой находились две точки из пяти заданных?

3. Даны четыре точки. (Указываются.) Они не лежат в одной плоскости. Сколько всего плоскостей можно вообразить, чтобы каждая из них содержала три точки из числа заданных?

* В этот период решаются и первые задачи на построение на неполном чертеже, развиваются навыки в изображении форм трехмерного пространства на плоскости.

4. Даны пять (шесть) точек. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Найти наибольшее число различных плоскостей, чтобы на каждой лежало по три точки из заданных.

5. Четыре луча имеют общее начало в точке О (отмечена на доске); лучи направлены в четыре вершины углов классной комнаты. (Указывается направление.) Никакие три луча не лежат в одной плоскости. Какое наибольшее число плоскостей определяют эти лучи, чтобы каждая плоскость содержала два луча?

6. Аналогичное предыдущему упражнению: задано 5 лучей, 6 лучей.

7. Даны три луча с общим началом, не лежащие в одной плоскости, и две точки, не принадлежащие этим лучам и не лежащие ни с одним из них в одной плоскости. (Указываются и лучи и точки.) Найти наибольшее число плоскостей, каждая из которых содержит один из данных лучей и одну из данных точек.

8. Упражнения, аналогичные предыдущему: заданы 4 луча и 2 точки: 2 луча и 4 точки.

9. Даны три плоскости. (Указываются.) Найти наибольшее число прямых, которые образуются пересечением плоскостей попарно.

10. Упражнения, аналогичные предыдущему: даны 5 плоскостей, 6 плоскостей.

11. Даны четыре параллельные прямые. Никакие три из них не лежат в одной плоскости. Найти число всех плоскостей, каждая из которых содержит две из данных прямых.

12. Упражнения, аналогичные предыдущему: даны 5 параллельных прямых, 6 параллельных прямых.

13. Дана прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Другая прямая, проходя через данную точку, передвигается так, что пересекает данную прямую. Какую поверхность образует подвижная прямая?

14. Даны две параллельные прямые. Третья прямая, пересекая эти параллельные, находится в движении. Какую поверхность образует третья прямая?

15. Даны две пересекающиеся прямые. Третья прямая, пересекая эти две, находится в движении. Какую поверхность образует при движении третья прямая?

16. Дана прямая; ее пересекает другая прямая, которая движется, оставаясь параллельной одному из своих положений. Какую поверхность образует вторая прямая?

В нашей практике эти и аналогичные им упражнения распределялись на ряд уроков (по 3—4 упражнения на каждом). Они способствуют прочному усвоению связей между основными понятиями стереометрии — точками, прямыми, плоскостями и содействуют развитию пространственного воображения учащихся.

После введения понятия о перпендикулярности прямой к плоскости, изучения теорем о двух и трех перпендикулярах уже возможно приступить к решению задач на вычисление.

Решение первых стереометрических задач на вычисление в 9-м классе вызывает затруднения. Иногда затрудняет представление фигуры, которая соответствует тексту задачи, и выполнение чертежа этой фигуры; иногда затрудняет чтение чертежа и выполнение дополнительных построений, если они нужны для решения: некоторые учащиеся не видят по чертежу то, что имеет оригинал, иногда видят то, чего нет в оригинале.

Для преодоления подобных затруднений первые задачи целесообразно решать фронтально, всем классом. Преподаватель широко использует демонстрации конструируемых на уроке моделей и организует работу класса так, чтобы каждый учащийся или, по крайней мере, каждая пара их конструировали модели из раздаточного материала.

Для моделирования целесообразно использовать следующий раздаточный материал: небольшие дощечки из мягкого дерева, железные спицы различной длины с заостренными концами, маленькие пробковые шарики или шарики из пластилина, куски чертежной бумаги или тонкого картона. Весь этот несложный материал подготовляют учащиеся по указаниям учителя заблаговременно во внеурочное время. На уроке каждый ученик или каждая пара учеников получает дощечку, достаточное число спиц и несколько пробковых шариков.

Для конструирования моделей, предназначенных для демонстраций, учитель может использовать тот же материал. Однако желательно иметь дощечку больших размеров, спицы окрасить масляной краской в 3—4 цвета; для обозначения точек, отрезков прямых и плоскостей иметь набор букв латинского алфавита, изображенных на картонных карточках, в которые вделаны проволочки, чтобы карточку было возможно прикрепить на модели, где необходимо. Для демонстраций преподаватель может использовать и другие целесообразные пособия конструктивного типа, однако указанный набор заслуживает предпочтения: он прост, общедоступен, а приготовление учителем на уроке модели облегчает конструирование аналогичных моделей учащимися.

Если задача точно определяет форму и размеры фигуры, то преподаватель и учащиеся делают модели, примерно, подобные тем фигурам, которые описаны в тексте задачи. Если задача дается в общем виде или содержание ее текста не позволяет точно представить размеры фигуры, то модели делаются произвольного вида.