Геометрия Пробный учебник для 6-8 классов средней школы (Атанасян, Позняк, Бутузов, Кадомцев) 1981 год - старые учебники

 Глава I. Параллельные прямые (128).

 Глава II. Четырехугольники (153).

 Глава III. Подобные треугольники. Теорема Пифагора (176).

 Глава IV. Окружность (206).

 Глава V. Перемещения. Равенство фигур (234).

 Глава VI. Площади многоугольников (258).

 8 КЛАСС.

 Глава I. Векторы (283).

 Глава II. Метод координат на плоскости (322).

 Глава III. Тригонометрические функции. Соотношения между сторонами и углами треугольника (347).

 Глава IV. Подобие фигур (380).

 Глава V. Правильные многоугольники (408).

 Приложения (440).

 Ответы и указания (445).

 Предметный указатель (470).

 6 класс

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия, как и другие разделы математики, своими корнями уходит в далекое прошлое. Слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие», в давние времена важной задачей было измерение площадей земельных участков.

Возникновение геометрических понятий связано с практической деятельностью человека и в первую очередь с необходимостью измерений на местности, проведением дорог, постройкой зданий и т. д. Наблюдения за предметами очень малых размеров привели к понятию точки. Лучи света, натянутые нити дают представление о прямых линиях. Отрезки — это части прямых линий, треугольники, четырехугольники — геометрические фигуры, составленные из отрезков (рис. 1).

Более сложным является понятие произвольной пространственной фигуры, или произвольной геометрической фигуры. Представление о геометрической фигуре возникает в нашем со

знании тогда, когда мы рассматриваем часть пространства, ко

торое занимает какое-либо физическое странства, занимаемая листом бумаги, на котором напечатана эта страница, дает нам представление о геометрической фигуре, ограниченной прямоугольником. Часть пространства, которое занимает книга (например, учебник по геометрии), дает представление о другой геометрической фигуре — параллелепипеде (рис. 2).

Понятия о геометрических фигурах создаются в нашем сознании и путем воображения. Например, плоскость можно представить себе как неограниченно продолженный во все стороны лист бумаги или поверхность стола бесконечных размеров. На плоскости могут быть расположены точки, прямые, отрезки, треугольники, прямоугольники и другие геометрические фигуры.

Среди окружающих нас предметов встречаются и такие, которые имеют форму круга, шара, цилиндра (рис. 3).

Таким образом, в нашем сознании в результате наблюдений и воображения возникают понятия геометрических фигур и их взаимного расположения. Например, мы отчетливо представляем себе, что означают выражения: «прямая проходит через точку» или «точка лежит на прямой».

В курсе геометрии средней школы изучаются свойства перечисленных выше простейших и более сложных фигур.

Школьный курс геометрии разделяется на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур могут служить отрезки, треугольники, прямоугольники и круги. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, например параллелепипеда, шара и др. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии.

Глава I

ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

В этой главе мы познакомимся с простейшими геометрическими фигурами и рассмотрим их взаимное расположение. К числу таких фигур относятся уже знакомые вам точки, прямые, отрезки, лучи и новая геометрическая фигура — полуплоскость. Введем понятие длины отрезка и выясним, как измеряются отрезки и расстояния между двумя точками.

§ 1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ

1. Точка и прямая. Точка — простейшая геометрическая фигура. Представление о точке связано с наблюдением предметов очень малых размеров. Изображение точки можно получить, прикасаясь к бумаге остро отточенным карандашом.

Представление о прямой дает натянутая нить или луч света, выходящий из малого отверстия. Прямую, как геометрическую фигуру, следует представлять себе продолженной бесконечно в обе стороны. Для изображения прямых на чертеже используют линейку (рис. 4).

Точки обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С, ..., а прямые — малыми латинскими буквами: а, Ь, р, ... (рис. 5).

2. Взаимное расположение точек и прямых. Если на плоскости дана прямая, то точки плоскости могут принадлежать этой прямой, а могут и не принадлежать ей. О точках, принадлежащих прямой, говорят, что они лежат на прямой. В этом случае говорят также, что прямая проходит через точки. На рисунке 5 точки М и N лежат на прямой b (прямая Ъ проходит через точки М и 2V), а точки Л, В и С не лежат на этой прямой (прямая b не проходит через точки А, В, С). Для краткости вместо предложения «Точка N принадлежит прямой 6» употребляют символическую запись: N € &, а вместо «Точка А не принадлежит прямой Ь» — запись А $ Ъ.

Отметим следующее свойство прямой.

I. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна*„

Поясним это свойство. Приложим линейку к двум данным точкам. Если мы несколько раз проведем карандашом по краю линейки, то увидим только одну прямую линию, проходящую

через эти две точки.

Свойство I называется аксиомой прямой. Аксиомы принимаются без доказательства. Они используются при доказательстве свойств геометрических фигур.

Отметим на прямой две точки. Согласно аксиоме прямой через эти точки проходит только данная прямая. Поэтому прямую можно задавать любыми двумя лежащими на ней точками. На-пример, прямую Ъ на рисунке 5 можно задать точками М и N, и поэтому ее можно назвать «прямой MN» (или «прямой»).

. Две прямые на плоскости могут не иметь общих точек или иметь одну общую точку. Они не могут иметь две и более общих точек, так как через две точки может проходить только одна прямая. Из этих рассуждений следует утверждение.

Две прямые либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку (рис. 6).

Прямые а и b не имеют общих точек.

Прямые р и q имеют только одну общую точку О

Рис. б

Если две прямые имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются, а если они не имеют ни одной общей точки, то говорят, что они не пересекаются. На рисунке 6 прямые р и q пересекаются, а прямые а и Ь не пересекаются.

♦ Здесь и в дальнейшем говоря «две точки», ♦три прямые» и т. д. будем считать, что рассмат-риваемые точки, прямые различны.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1. Начертите прямую, обозначьте ее через а и отметьте: а) точки А и В, лежащие на прямой а; б) точки Р, Q и В, не лежащие на этой прямой. Запишите в принятых обозначениях взаимное расположение точек А, В, Р, Q и R и прямой а.

2. Запишите в принятых обозначениях взаимное расположение точек и прямых, изображенных на рисунке 7.

3. Перечертите в тетрадь рисунок 8 и обозначьте буквами все прямые и точки. Запишите в принятых обозначениях

взаимное расположение точек и прямых.

4. Прочитайте следующие записи:

A i а. В € &, С i DE. F € АВ, Е Zb.

5. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и, пользуясь линейкой, проведите прямые, проходящие через пары точек А, В; В, С и С, А.

6. Перечертите рисунок 9 в тетрадь. С помощью линейки проведите все прямые, проходящие через пары этих точек, и обозначьте те из них, которые пересекают прямую а.

7. Начертите две прямые а и Ъ. пересекающиеся в точке С. Затем начертите прямую, пересекающую обе прямые. Рассмотрите возможные случаи.

8. Начертите три прямые а, Ь и с, проходящие через точку Е. Затем начертите прямую, пересекающую прямые а и Ь и не пересекающую прямую с.

9. Начертите три попарно пересекающиеся* прямые. Обозначьте все точки, которые получились в

* Под попарно пересекающимися прямыми *

понимаются такие прямые, каждые две из которых пересекаются. Рис. 9

результате пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите возможные случаи.

10. Начертите две прямые а и Ъ и отметьте три точки А, В, С на прямой а и три точки А19 В19 С\ на прямой Ъ (рис. 10). Пользуясь линейкой, убедитесь в том, что точки

пересечения прямых АВ± и АгВ\ АСг и АгС\ ВС± и ВХС лежат на одной прямой.

11* .Начертите четыре попарно пересекающиеся прямые и обозначьте все точки, которые получились в результате пересечения этих прямых. Каково число полученных точек? Рассмотрите возможные случаи*.

12. Отметьте четыре точки А, В, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на этой прямой. Проведите прямые, проходящие через каждую пару данных точек. Сколько таких прямых можно провести?

13. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Проведите прямые, проходящие через каждую пару этих точек. Сколько таких прямых можно провести?

14. Даны пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько можно провести прямых, содержащих попарно данные точки?

15. Даны две прямые АВ и АС, пересекающиеся в точке А. Имеется ли прямая, проходящая через три точки А, В и С? Дайте обоснование ответу.

§ 2. ОТРЕЗОК. ПОЛУПЛОСКОСТЬ

3. Отрезок. Отрезок — геометрическая фигура. Мы представляем себе отрезок как часть прямой, ограниченную двумя точками. Зти точки называются его концами. На рисунке 11 изображен отрезок прямой а с концами в точках А и В. Говорят также, что этот отрезок соединяет точки А и В.

♦ Здесь и да лез звездочкой отмечены более сложные задачи.

А В

а

Отметим следующее свойство (аксиома отрезка).

I II. Любые две точки задают один и только один отрезок с | концами в этих точках. Все точки отрезка лежат на прямой, проходящей через его концы.

Для краткости вместо слов «отрезок с концами в точках А и В» говорят «отрезок АВ» или «отрезок В А». Для обозначения отрезка АВ пользуются записью [АВ].

На рисунке 12 изображен отрезок АВ прямой а. Концы отрезка, т. е. точки А и В, принадлежат этому отрезку. Кроме точек А и В, на отрезке АВ имеются и другие точки, например точки М, N и Р. На прямой а имеются точки, не принадлежащие отрезку АВ, например точки X, У, Т, Z. Точки X и Y лежат по одну сторону от отрезка АВ, а точки Т и Z — по другую.

Л м у Р а а

z х Y

Точки М, N и Р — внутренние точки отрезка АВ. Точки X a Y лежат по одну сторону от отрезка АВ, а точки Т и Z — по другую

А М В

Точка М лежит между точками А и В

Рис. 13

Рис. 12

Точки отрезка, отличные от его концов, называются внутренними его точками. Если М — внутренняя точка отрезка АВ (рис. 13), то говорят, что точка М лежит между точками А и В (или между точками В и А). На рисунке 12 точки М, 2V, Р— внутренние точки отрезка АВ. Каждая из точек ЛГ, Л", Р лежит между точками А и В. Для краткости вместо слов: «точка М лежит между точками А и В» (или «точка М — внутренняя точка отрезка АВ») — будем писать А — М — В.

Пусть А, В и М — три точки, лежащие на прямой а. Из этих трех точек только одна точка лежит между двумя другими. На рисунке 13 точка М лежит между точками А и В; точка А не лежит между точками М и В и точка В не лежит между точками А и М. Сформулируем это свойство (аксиома трех точек прямой) следующим образом.

Ш. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Если отрезок АВ не расположен на прямой а, то возможны следующие случаи взаимного расположения этой прямой и

8)

Различные случаи расположения прямой а и отрезка АВ

Рис. 14

Провешивание прямой на местности с помощью вех

Рис. 15

прямой между точками

отрезка АВ: отрезок .АВ не имеет общих точек с прямой а (рис. 14, а); один конец отрезка принадлежит прямой* а, а другой не принадлежит прямой (рис. 14, б); одна и только одна внутренняя точка отрезка принадлежит прямой (рис. 14, а). В последнем случае мы будем говорить, что отрезок АВ пересекается с прямой а или прямая а пересекает отрезок АВ.

4. Провешивание прямой на местности. Для изображения отрезков прямых на бумаге пользуются линейкой. Для проведения прямых на местности существует несколько способов. Например, при постройке забора натягивают веревку между двумя колышками, вбитыми в землю. Для проведения более длинных отрезков прямых (при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или железной дорог, линий высоковольтных передач) применяется способ, называемый провешиванием, т. е. использованием вех. Вехи — это шесты, имеющие длину около 2 м, заостренные на одном конце для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Для проведения на местности прямой ставится ряд вех на некотором расстоянии друг от друга (рис. 15). Если нужно провести отрезок А и С, положение которых дано, то

сначала ставят вехи в этих точках, затем между ними — промежуточные вехи так, чтобы первая веха закрывала все следующие.

5. Полуплоскость. Рассмотрим на плоскости прямую а. Эта прямая разделяет плоскость на две части F и Q (рис. 16), каждая из которых называется полуплоскостью. Точки А, М и С принадлежат полуплоскости F, а точки В, N и Р — полу- * плоскости Q. Прямая а называется границей каждой из двух

полуплоскостей. Полуплоскости будем обозначать большими латинскими буквами F, Q, Н, К и др.

Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а, то этот отрезок пересекается с прямой а. Например, концы отрезков АВ, MB, MN, СВ и МР, изображенных на рисунке 16, принадлежат разным полуплоскостям с границей а, поэтому эти отрезки пересекаются с прямой а. Если же оба конца отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не имеет общих точек с границей полуплоскостей. Точки А и М принадлежат полуплоскости «F, и поэтому от

кость на две полуплоскости F и Q

Рис. 16

резок АМ не имеет общих точек с прямой а. Отрезки МС, PN, BN также не имеют общих точек с прямой а.

Итак, справедливо следующее свойство полуплоскостей с общей границей.

IV. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям с общей границей, то отрезок пересекается с границей полуплоскостей. Если же концы отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не имеет общих точек а границей полуплоскостей.

Это свойство мы примем без доказательства как аксиому.

Если F и Q — две полуплоскости с общей границей а (рис. 16), то любая точка плоскости, не лежащая на прямой а, принадлежит одной и только одной из полуплоскостей F или Q. Точки прямой а не принадлежат ни полуплоскости F, ни полуплоскости Q.

Для краткости иногда вместо предложения «Точка А принадлежит полуплоскости F» употребляют запись А € F, а вместо «Точка В не принадлежит полуплоскости F* — запись В $ F.

С помощью аксиомы полуплоскостей (аксиомы IV) можно получить и другие свойства, характеризующие расположение точек на плоскости. Рассмотрим пример. Пусть а—произвольная прямая плоскости, отрезок АВ не имеет общих точек с этой прямой (рис. 17, а). Как в этом случае расположены

точки А и В относительно полуплоскостей с общей границей а? Очевидно, они не могут принадлежать разным полуплоскостям, так как в этом случае по аксиоме полуплоскостей отрезок АВ пересекался бы с общей границей а. Следовательно, эти точки принадлежат одной из двух полуплоскостей с границей а. Итак, справедливо свойство. Если отрезок не имеет общих точек с прямой а, то его концы принадлежат одной из двух полуплоскостей с общей границей а (рис. 17, а).

Путем таких же рассуждений можно получить следующее свойство.

Если отрезок пересекается с прямой а, то его концы принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а (рис. 17, б, см. задачу 99).

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

16. Начертите прямую а и отрезок АВ этой прямой. Отметьте: а) точки М и 2V, принадлежащие отрезку АВ; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не принадлежащие отрезку АВ; в) точки R и S, не лежащие на прямой а.

17. Отметьте точки А, В и С, лежащие на одной прямой, и точку D, не лежащую на этой прямой: а) начертите все отрезки с концами в любых двух из данных точек и назовите их; б) обозначьте все прямые, каждая из которых проходит по крайней мере через две отмеченные точки.

18. Начертите прямую а и отметьте на ней две точки А и В: а) отметьте точку ЛГ, лежащую между точками А и В; б) отметьте точку Р такую, чтобы точка А лежала между точками Р и В, и точку Q такую, чтобы точка В лежала между точками А и Q.

19. Начертите прямую а и на ней отрезок АВ. На прямой а отметьте две точки М и N по разные стороны от отрезка АВ: а) назовите все отрезки с концами в любых двух из точек А, В, М и N; б) отметьте точку X, лежащую между точками А и М. Каким отрезкам принадлежит точка X?

20. Начертите прямую а и отрезки АВ, С2), Рф, если известно, что: а) отрезок АВ принадлежит прямой а; б) отрезок CD пересекается с прямой а; в) один конец отрезка PQ лежит на прямой а, а другой не лежит на этой прямой.

21. Начертите прямую а. Обозначьте каждую из полуплоскостей с границей а. Отметьте точки А, В, С, принадлежащие одной полуплоскости, точки ЛГ, N, Р — другой, точки X, У, Z, принадлежащие границе полуплоскостей.

22. Начертите прямую а и отметьте точку В, не лежащую на ней. Обозначьте через Н полуплоскость с границей а, содержащую точку В.

23. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Обозначьте через Н полуплоскость с границей ВС, содержащую точку А, и через Q — полуплоскость с границей АС, содержащую точку В. Отметьте две точки, принадлежащие полуплоскости Я, и другие две точки, при-надлежащие полуплоскости Q, и обозначьте их.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

24. Даны пять точек ЛГ, Р, Q и R. Назовите все отрезки с концами в любых двух из данных точек.

25. Для каких отрезков, изображенных на рисунке 18: а) точка С является внутренней точкой; б) точка С не является внутренней точкой?

26. Каким отрезкам, изображенным на рисунке 18: а) принадлежит точка С; б) не принадлежит точка В?

27*.Назовите все отрезки с концами в любых двух из точек А, В, С и D, изображенных на рисунке 18. Укажите пары отрезков, которые: а) не имеют ни одной общей точки; б) имеют только одну общую точку; в) имеют бесконечное множество общих точек.

28. Могут ли два отрезка иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) не иметь ни одной общей точки?

29. Запишите в принятых обозначениях, какие из точек, изображенных на рисунке 18, лежат между двумя другими.

30. Точка X лежит между точками

А и В. а) Лежат ли точки А, В и А С В D

X на одной прямой; б) лежит ли * г

точка А между точками В и XI Рис. 18

31. Пусть А — В — С. а) Является ли точка В внутренней точкой отрезка АС\ б) является ли точка С внутренней точкой отрезка АВ?

32. Пусть А — В — С и А — В — D. Лежат ли точки А, В, С и D на одной прямой?

33. Точка С лежит между точками А и В и между точками Е и D. Можно ли утверждать, что Е $ АВ, если D $ АВ?

34. На рисунке 19 изображены прямая а и отрезки АВ, CD, MN и МК. Какие из этих отрезков пе-ресекаются с прямой а?

35. Точки А, В принадлежат одной полуплоскости с грани

цей а, точка С принадлежит другой полуплоскости. Ка

кие из отрезков АВ, ВС, АС пересекаются с прямой а?

36. Точки А, В принадлежат одной полуплоскости с границей а, а точки D и Е —другой полуплоскости. Какие из отрезков AD, АЕ, АВ, BD, BE, DE: а) не имеют общих точек с прямой а; б) пересекаются с прямой а?

37. Прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости с общей границей а. Точки А, В и С принадлежат одной

полуплоскости, а точки D и Е — другой. Перечислите все отрезки с концами в данных точках, которые: а) пересекаются с прямой а; б) не имеют общих точек с прямой а.

88. Точки Ли В принадлежат разным полуплоскостям с общей границей, а точки В и С — одной из этих полуплоскостей. Какие из отрезков АВ, АС и ВС пересекаются с границей полуплоскостей?

89. Точки А и В принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а. Отрезок ВС не имеет общих точек с прямой а. Пересекается ли отрезок АС с прямой а?

40. Прямые а и АВ не пересекаются. Можно ли утверждать, что точки А и В принадлежат одной и той же полуплоскости с границей а? Дайте обоснование ответу.

41. Пусть А, В, С — точки, не лежащие на прямой а и расположенные так, что отрезок АВ не имеет общих точек