Skip to main content

Геометрия

Геометрические построения и приближения (Четверухин) 1935 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

Геометрические построения и приближения (Четверухин) 1935

Назначение: Для педагогических институтов и учителей средней школы

© Государственное учебно-педагогическое издательство Москва 1935

Авторство: ПРОФ. Н.Ф. Четверухин

Формат: PDF Размер файла: 5.94 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

Введение. О построениях циркулем и линейкой 5

Глава I. Задача Кастильо на и метод геометрических приближений.

  • 1. Задача Кастильона, ее историям решения 12
  • 2. Обобщение задачи Кастильона. Построение геометрических приближений 18
  • 3. Случай овала. 20
  • 4. Определение быстроты сходимости приближений. 22

Глава II. Приближения с квадратичной сходимостью и общая проблема Аполлония.

  • 5. Общий принцип построения приближений. 27
  • 6. Приближения касательных и нормалей. 29
  • 7. Теорема о касающемся круге 33
  • 8. Обобщение задачи Аполлония 36
  • 9. Число решений. Выбор начальных значений. Точность приближений- 38
  • 10. Артиллерийская задача (приложение метода геометрических приближений) 40
  • 11. Пример построения приближений Аполлониевой окружности 42
  • 12. Другая форма задачи о касающемся круге 44
  • 13. Задачи на построение третьей и четвертой степени. —

Глава Ш. Два принципа построения геометрических приближений с квадратичной сходимостью.

  • 14 Принцип касательных* 47
  • 15. Применение принципа касательных* к конструктивным задачам третьей и четвертой степени 49
  • 16. Геометрические приближения трисекции угла (с помощью гиперболы) 50
  • 17. Геометрические приближения трисекции угла при помощи улитки Паскаля 52
  • 18 Принцип точек прикосновения* (двойственный) 54
  • 19. Примеры применения принципа точек прикосновения* 56
  • 20. Задача Паппа и принцип касательных* 58
  • 21. Обобщения, допускающие применение принципа касательных* 59
  • 22. Задача Паппа и принцип точек прикосновения* 61
  • 28. Обобщения задачи, допускающие применение принципа точек прикосновения* 62

Глава IV. Алгебраический метод построения приближений. Задача об удвоении куба (Делийская проблема).

  • 24. Алгоритм последовательных приближений 64
  • 25. Применение метода к обобщенной задаче о кубе. 66

Глава V. Спрямление дуги окружности и сгибание отрезка.

  • 26. Спрямление дуги окружности. 73
  • 27. Сгибание отрезка в дугу окружности с данным центральным углом 77
  • 28. Быстрота сходимости полученных приближений 79

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник СССР - Геометрические построения и приближения (Четверухин) 1935

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Геометрические построения являются определенным и существенным фактором математического образования. Одной из наиболее ценных сторон в преподавании математики является стремление развить активность учащихся, пробудить их творческие силы, инициативу. Математические задачи и в частности задачи на построение особенно полезны в этом смысле. Нередко очень простая по виду задача на построение требует немало сообразительности и остроумия для ее решения. Тем большее удовлетворение доставляет полученное решение, а также его анализ в соответствии с данными задачи. Однако наша литература, посвященная геометрическим построениям, остается еще весьма бедной. В учебники элементарной геометрии (в том числе и в стабильный) вошли лишь те основные конструкции, которые необходимо встречаются в каждой геометрической задаче, в каждом чертеже.

Недавно появившаяся (и уже переизданная) небольшая книжка М. Ф. Берга Приемы решения геометрических задач на построение “ представляет собой введение к изучению геометрических построений и дает лишь самое элементарное знакомство с некоторыми методами геометрических построений. Затем имеются сборники задач Петерсена, Глаголева и Александрова.

Необходимо отметить двухтомную работу А. Орлова — „Руководство к геометрическому линейному черчению' (1877 г., Казань), ставшую, к сожалению, библиографической редкостью.

Наконец, надо назвать руководства более теоретического характера, каковы „Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии" Феликса Клейна (русск. изд., Казань, 1898 г.) и „Теория геометрических построений" Августа Адлера (русск. изд. „Mathesis", 1924 г.).

Среди обширной литературы на иностранных языках назовем книгу Энриквеса (нем. издание): F. Enriques, Fragen der Elemen- targeometrie, II Ttil: „Die geometrischen Aufgaben, ihre Losu-'g und LSsbarkeit", Leipz g,’ 1907 и книгу Th. Vahlen, Konstruktionen und Approximationen (Eine Erganzung der rdederen, eine Vorstufe zur hoheren Geometric), Leipzig, 1911.

В последней книге вся вторая часть посвящена приближенным построениям для тех задач, которые не могут быть разрешены 1* 3

точно циркулем и линейкой. Вопрос о „разрешимости" геометрических задач на построение является уже не элементарным и выпадает из преподавания в средней школе. Это создает особое положение для учащихся, когда они узнают о „неразрешимых" задачах (квадратура круга, трисекция угла, некоторые случаи правильных многоугольников и др.), но не получают в средней школе исчерпывающих объяснений по этим вопросам.

Помимо выяснения вопроса о возможности или невозможности решить задачу циркулем и линейкой в последнем случае желательно дать методы приближенного ее решения. В этом отношении в математической литературе имеется пробел, так как хотя Vahlen около половины своей книги уделил приближенным построениям, однако в ней общие методы отсутствуют и рассматриваются специальные приближенные построения для каждой отдельной задачи. О таких „решениях" еще С. Шатуновский в дополнениях к русскому изданию Адлера говорил, что мы не имеем здесь настоящего решения задачи, а лишь некоторое построение, заменяющее решение. Многочисленность приближенных построений такого рода имеет объяснение в практической стороне вопроса. В самом деле, на практике всякое построение приближенно. Чертежную ошибку при тщательном вычерчивании можно оценивать в 0,1 мм, а потому достаточно, чтобы теоретическая ошибка приближенного построения была меньше этой величины. С другой стороны, самая постановка задачи обыкновенно включает в себя требование определенной точности решения. Поэтому и с теоретической и с практической точек зрения желательно иметь методы построения последовательных приближений, сходящихся к решению задачи. Это дает возможность остановиться на таком приближении, которое требуется по условиям задачи, т. е. иметь приближенное решение ее с любой желательной точностью.

Предлагаемая вниманию читателя небольшая книга и посвящена методам геометрических приближений и их приложению к известным классическим задачам на построение (задача Кастильона, задача Аполлония, общая задача третьей и четвертой степени, трисекция угла, задача Паппа, задача об удвоении куба и др.). При этом изучение методов геометрических приближений открывает возможность их применения к задачам более общего характера, как это и показано в отношении задач Кастильона, Аполлония, Паппа и др.1). Вместе с тем в книге даны новые примеры задач, не разрешимых циркулем и линейкой и хорошо поддающихся методам геометрических приближений. 9

9 Часть помещенного здесь материала была опубликована автором ранее в журналах „Математическое образование" и „Физико-математический сборник”.

ВВЕДЕНИЕ.

О ПОСТРОЕНИЯХ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.

У древних греков построение часто являлось основной целью геометрической задачи. Циркуль и линейка были у греков единственными инструментами, которыми разрешено было пользоваться для геометрических построений. Поэтому лишь та задача считалась решенной, которую можно было фактически осуществить на чертеже циркулем и линейкой, т. е. произведя конечное число операций этими инструментами1).

Такая постановка неизбежно натолкнула греков на целый ряд „неразрешимых" задач. Среди них особенно выделялись знаменитые задачи: об удвоении куба, трисекции угла и о квадратуре круга. Мы знаем, сколько упорных вековых усилий было потрачено на решение этих задач, но лишь в более позднее время новые методы математического анализа выяснили этот вопрос. Теперь для нас понятно, почему были бесполезны попытки решить одну из этих задач: они являются действительно неразрешимыми, если придерживаться тех требований, которые ставились у древних греков. Легко убедиться, в самом деле, что область задач, требующих для своего решения лишь проведения прямых линий и окружностей, является ограниченной. Мы поясним это следующим образом.

Всякая задача на построение исходит из элементов данных (на чертеже) и приводит к элементам искомым.

Если построение производится циркулем и линейкой, то оно состоит из проведения прямых линий и окружностей.

В декартовых прямоугольных координатах эти операции выра жаются следующими уравнениями:

где (ар £4) и (а2, Ь2) — данные точки, определяющие прямую, (а, Р) — центр круга, г—радиус его.

<) См. ст. М. Zacharias, Eleinentargeometrie, Encyklopadic dcr math. Wissensch., Bd. Ill, H. 6 (III AB, 9), S. 1085, а также Адлер, Теория геометрических построений, стр. 160.

Посмотрим, какие точки мы можем получить из данных при помощи этих двух операций. Эти новые точки могут получиться:

1) от пересечения двух прямых,

2) от пересечения прямой и окружности,

3) от пересечения двух окружностей.

Оба первых случая сводятся к решению двух уравнений, которые образуют систему линейную или второй степени, и, следовательно, координаты новых точек, полученных таким путем, выразятся через координаты данных точек рационально или в квадратных радикалах.

Что же касается третьего случая, то, как легко видеть, он может быть приведен ко второму. В самом деле, две точки пересечения двух окружностей:

(х- а,)2 + (>- ?,)212.

(х-а2)2-|-^-?г)232,

являются в то же время точками пересечения одной из них с их радикальной осью):

2(а, -а,)х + 2(?, + «Ч’ +?,2 ~ Чг) - (’а2 + ₽,2 - V) = О,

а, следовательно, выражения координат этих точек не содержат других иррациональностей кроме квадратных радикалов. Очевидно, что и все дальнейшие построения циркулем и линейкой будут обладать тем же свойством. Таким образом, с помощью циркуля и линейки мы можем построить лишь такие точки, выражения координат которых через координаты данных точек не содержат других иррациональностей кроме извлечения квадратных корней.

Этот результат дает ответ на вопрос о разрешимости или неразрешимости задачи циркулем и линейкой.

Пусть задача выражается в аналитической форме некоторым алгебраическим уравнением, все коэффициенты которого могут быть построены циркулем и линейкой. Решение задачи состоит в построении корня (корней) этого уравнения. На основании предыдущего можем заключить, что задача будет разрешимой в том и только в том случае, если искомый корень (корни) представляет собой такое выражение коэффициентов, которое не содержит других иррациональностей, кроме квадратных радикалов.

Допустим, что уравнение задачи на построение неприводимо, т. е. степень его не может быть понижена, тогда достаточно убедиться в том, что корни его не могут быть выражены в квадратных радикалах, чтобы сказать, что данная задача не разрешима

<) См. об уравнении радикальной оси у Б. Млодзеевского, Курс аналитической геометрии на плоскости, Москва, 1922 г., стр. 189.

циркулем и линейкой. Здесь можно с успехом воспользоваться следующей теоремой:

Если степень неприводимого уравнения не равна 2й, то оно не может быть разрешено в квадратных радикалах.

Вывод ее имеется в лекциях Клейна).

Так, например, задача об удвоении куба выражается уравнением :

х3- 2 = 0.

Ясно, что это уравнение неприводимо, так как в противном случае оно распадалось бы на два множителя, один из которых был бы линейным, и тогда для х нашлось бы рациональное значение, что невозможно.

Так как степень этого уравнения равна 3^=2Й, то задача об удвоении куба не разрешима циркулем и линейкой.

Подобным же образом можно исследовать и уравнение трисекции угла:

х3—Зх— а —0

и убедиться в его неприводимости в общем случае 2), откуда вытекает невозможность трисекции произвольного угла с помощью циркуля и линейки.

Наконец, невозможность третьей проблемы — квадратуры круга— следует из доказанной Линдеманном в 1882 г. трансцендентности числа п3). Из теоремы Линдеманна не только ясно, что квадратура круга циркулем и линейкой невозможна, но также, что она невозможна при помощи любой алгебраической кривой.

Итак, область построений циркулем и линейкой (при конечном числе операций) ограничивается высказанным выше предложением. Сами эти инструменты, как оказывается, неравносильны. Еще в 1797 г. итальянец Маскерони) предложил производить геометрические построения, применяя лишь один циркуль. Позднее (в 1890 г.) А. Адлером было весьма изящно, при помощи инверсии доказано, что всякая задача на построение, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена и одним циркулем).

Таким образом, с этой точки зрения линейка ничего не прибавляет к циркулю. Обратное заключение было бы неправильным, так как с помощью одной линейки невозможно решить всякую

9 Клейн, Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии, стр. 15.

а) А. Адлер, Т. Г. П. стр. 285.

  • ) Lindemann, Ueber die Zahl я, Math. Ann," 20, 1882.

4) Mascheroni, La Geo met ia del compasso, Павия, 1797.

5) A. Adler, Zur Tneorie der Mas:heronischen Konstruktionen, Wiener Akad. Bd XVIX, Abt. Ila, 1890 (см. также Адлер, T. Г. П., стр. 109).

задачу, выполняемую циркулем. Наиболее точный ответ на вопрос о том, что именно следует добавить к линейке, чтобы достигнуть мощности циркуля, дает следующее предложение Poncelet — Steiner1).

Всякая геометрическая задача, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена и одной линейкой, если в плоскости чертежа дана постоянная окружность и ее центр).

Отсюда ясно, что для того, чтобы сделать линейку равносильной циркулю, достаточно однократное употребление циркуля.

Эта идея может получить дальнейшее развитие, если мы перейдем к области задач, не разрешимых циркулем и линейкой. Как уже было сказано, построения циркулем и линейкой охватывают область задач, решение которых сводится в конечном итоге к уравнениям линейным и квадратным. Будем называть их коротко задачами второй степени. Подобным же образом можем иметь задачи третьей, четвертой и т. д. степеней, смотря по наивысшей степени встречающихся при их решении уравнений. Эти задачи уже не разрешимы циркулем и линейкой. Так, задачи об удвоении куба и трисекции угла являются задачами третьей степени. В геометрической форме все задачи четвертой и третьей степени приводятся к следующим двум основным типам:

1) Построить четыре точки пересечения двух данных конических сечений (задача четвертой степени).

2) Построить три точки пересечения двух данных конических сечений, если дана четвертая точка пересечения (задачи третьей степени).

Эти задачи, равно как и двойственные им задачи о построении общих касательных двух данных конических сечений, являются, вообще говоря, не разрешимыми циркулем и линейкой, так как выражаются в аналитической форме неприводимыми уравнениями третьей и четвертой степени.

Мысль использовать конические сечения для решения задач третьей и четвертой степени встречается с древнейших времен. Достаточно напомнить, например, решение Менехма (около 300 лет до нашей эры) задачи об удвоении куба с помощью двух парабол 3), или трисекции угла при помощи гиперболы и круга у Паппа). У более поздних математиков все настойчивее появляется

О Poncelet, Tiaite des proprietes projectives des figures, 1, p. 351 — 357, 1822; Steiner, Die geometrlschen Konstruktionen, ausgefUhrt mittels der geraden Linie and eines festen Kieis es, 1833.

~) Так как центр окружности невозможно построить с помощью одной линейки. См. об этом статью Э. Л ей не к а, «Математическое образование', 1917 г., № 5—8.

3) Enriques, 1. с., стр. 195—197.

4) Там же, стр. 235—238.

стремление решать различные задачи на построение третьей и четвертой степени при одном и том же коническом сечении. Уже Ферма) решал общее уравнение третьей и четвертой степени при помощи круга и некоторой постоянной параболы. Но Декарт первый отметил то обстоятельство, что парабола не зависит от коэфициентов данного уравнения, и высказал предположение, что подобное решение можно было бы найти при каждом из трех типов конических сечений, не вычерчивая даже таковые полностью, а пользуясь лишь произвольно малой дугой его 2).

Эту проблему разрешили чисто геометрическим путем одновременно Kortum и Smith3 в сочинениях, увенчанных в 1868 г. Берлинской академией наук премией Штейнера. Позднее К. Th. Vahlen дал весьма простое доказательство того же предложения, пользуясь методом аналитической геометрии). Результаты всех этих работ можно резюмировать следующим образом:

Всякая задача на построение третьей или четвертой степени может быть решена циркулем и линейкой, если в плоскости чертежа дано начерченное (отличное от окружности) коническое сечение или даже какая-нибудь его часть.

Аналогия этого результата с теоремой Poncelei — Steiner для построения одной линейкой очевидна. Но еще более близким к этой теореме является предложение Ф. Лондона, которое можно рассматривать как непосредственное распространение идей Штейнера на задачи третьей и четвертой степени. Предложение Лондона состоит в следующем 5):

Всякая задача третьей или четвертой степени может быть решена с помощью одной линейки, если дана начерченная кривая третьего порядка и квадрат.

В частности, достаточно иметь, например, циссоиду и центр образующего ее круга, так как квадрат может быть тогда легко построен.

Еще раз напомним, что все построения, о которых выше шла речь, мы предполагали конечными, т. е. состоящими из конечного числа операций циркулем и линейкой. Однако возможна и другая постановка задачи, в корне отличная от классической постановки

9 F е г m a t, Ad locos pianos et solidos isagoge (Oeuvres).

2) Descartes, La Geometric, 1637.

3) Smith, Memoire sur quelques probldmes cubiques et biquadratiqncs (Annali di Math., 1868,3);

Kortum, Ueber geometrische Aufgab:n dritten und vierten Grades, Bonn, 1869.

*) K. Th. Vahlen, Ueber kubische Konstruktionm (Archiv der Math. u. Physik, 3, 1902).

в; F. London, Die geometrischen Konstruktionen dritten und vierten Grades, ausgefUhrt mittels der geraden Linie und einer festen Kurve dirtier Ordnung, „Zeitschrift d. Math. Phys'., Bd. 41, 1896.

древних геометров. При этом искомый элемент рассматривается уже как предельный для бесконечной последовательности повторений некоторого основного построения, выполняемого циркулем и линейкой. Указанная последовательность построений сходится к искомому элементу, и при достаточно большом числе повторений может быть достигнута любая наперед заданная точность. В предисловии мы уже говорили о теоретическом и практическом значении таких геометрических приближений. В этой постановке желательными качествами каждого метода геометрических приближений являются простота основного построения и быстрота сходимости последовательных приближений. С точки зрения этих критериев методы геометрических приближений, рассмотренные в настоящей работе, неравноценны. Так, в I главе (задача Кастильона) и V главе (спрямление дуги окружности) основное построение отличается особенной простотой (в первом случае выполняется одной линейкой), но сходимость этих приближений линейная, т. е. отношение ошибок двух последовательных приближений стремится к пределу, отличному от нуля и бесконечности. Наоборот, сходимость геометрических приближений, рассмотренных в главах II, III и IV, более высокого порядка, но основные построения в ряде случаев сложнее. Однако, как это видно из приведенных примеров (см., например, таблицу в главе IV), этим методом удается получить геометрические приближения, более простые и точные, чем даже специальные построения, приспособленные для замены решения его приближенным значением, имеющим лишь определенную постоянную точность.

В главах II и III дается метод построения геометрических приближений в случае общей задачи о пересечении двух конических сечений, к которой приводится всякая задача третьей и четвертой степени. Но „принцип касательных", а также и двойственный ему „принцип точек прикосновения" (см. гл. III) охватывают значительно более широкий класс задач.

Другой метод построения геометрических приближений с квадратичной сходимостью развивается на основе „способа последовательных приближений" преф. Бугаева) (см. гл. IV). В зависимости от характера проблемы оказывается предпочтительнее тот или другой метод геометрических приближений.

Что же касается точности геометрических приближений, то как уже было сказано, последовательное повторение построений позволяет получить любую наперед заданную точность. Эта последняя определяется условиями задачи. Практически мы всегда имеем данные для оценки ошибки в приближенном построении. Наиболее простым практическим приемом является следующий:

О Бугаев, Способ последовательных приближений, Москва, 1886.

построение приближений повторяется до тех пор, пока последующее построение не будет давать результат, „совпадающий" с предыдущим. Это означает, что теоретическая точность приближения превышает практически возможную при данных условиях построения, и дальнейшие повторения бесполезны. Следовательно вопрос сводится к тому, чтобы нужный результат был достигнут при сравнительно небольшом числе повторений, т. е. опять-таки к быстроте сходимости последовательных приближений.

Резюмируя сказанное о построениях с помощью циркуля и линейки, отметим следующие направления в развитии этого вопроса:

1) классическое, когда задача, не выполнимая циркулем и линейкой при конечном числе операций, считалась неразрешимой;

2) для усиления средств построения допускается задание на чертеже некоторой постоянной кривой (коническое сечение, кривая третьего порядка и т. д.);

3) ищется решение задачи, „неразрешимой" в классическом смысле, в виде бесконечной последовательности геометрических приближений, представляющих собой повторения (итерации) основного построения.

При этом средствами построения остаются циркуль и линейка. Мы и ставили своей задачей осветить вопрос о геометрических построениях при сохранении этого условия.

Как известно, можно итти и другим путем, усиливая самые инструменты построения, применяя, например, приборы, вычерчивающие алгебраические и трансцендентные кривые. Однако эти вопросы выходят за пределы нашей темы.

ГЕОМЕТРИЯ ЛИНЕЙКИ И ЦИРКУЛЯ - ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

Математика - ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ЕВКЛИДОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Автор-учебника - Четверухин Н.Ф., Педагогическое образование, Геометрия - Для Учителей, Геометрия линейки и циркуля - Геометрические построения, Евклидова геометрия

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - ГЕОМЕТРИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО ГЕОМЕТРИИ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика