Глава II. Геометрические места точек

• 1. Понятие о геометрическом месте точек 48
• 2. Обзор простейших геометрических мест. 52
• 3. Разыскание геометрических мест 53
• 4. Окружность Аполлония. 61
• 5. Примеры разыскания геометрических мест методами аналитической геометрии. • 63
• 6. Решение задач на построение методом геометрических

мест 66

• 7. Радикальная ось и радикальный центр. 72
• 8. Пучки окружностей 80

Вопросы для повторения. 86

Задачи —

Глава III. Движения на плоскости и их применения к геометрическим построениям

• 1. Общее понятие о точечных преобразованиях фигур . 89
• 2. Параллельный перенос . 93
• 3. Осевая симметрия 99
• 4. Вращение около точки 104
• 5. Замечание о решении неопределённых задач . 112
• 6. Понятие о группе преобразований 113

Вопросы для повторения. 114

Задачи. 115

Глава IV. Гомотетия

• 1. Определение гомотетии 118
• 2. Основные свойства гомотетии 120
• 3. Гомотетия окружностей 124
• 4. Построение гомотетичных фигур 130
• 5. Решение задач на построение методом подобия. 134
• 6. Пантограф 138

Вопросы для повторения.  139

Задачи. 140

Глава V. Инверсия

• 1. Определение инверсии. Построение инверсных точек 142
• 2. Лемма об антипараллельных прямых. 145
• 3. Инверсия окружности, проходящей через центр инверсии 147
• 4. Инверсия окружности, не проходящей через центр инверсии 149
• 5. Преобразование прямой при инверсии. 150
• 6. Инвариантные окружности. 151
• 7. Сохранение углов при инверсии. 154
• 8. Решение задач на построение методом инверсии 155
• 9. Задача Аполлония. 161
• 10. Инверсия и осевая симметрия. 165
• 11. Инверсор. 167

Вопросы для повторения 169

Задачи. 170

Глава VI. Алгебраический метод

• 1. Постановка задачи о построении отрезка, заданного формулой 172
• 2. Построение отрезков, заданных простейшими формулами 173
• 3. Построение корней квадратных уравнений 178
• 4. Понятие об однородных функциях. 180
• 5. О построении некоторых однородных выражений циркулем и линейкой. 181
• 6. Характеристическое свойство функции, определяющей длину одного и того же отрезка при любом выборе единицы измерения • . 185
• 7. Построение выражений, не являющихся однородными функциями 1-го измерения от длин данных отрезков 187
• 8. Признак возможности построения отрезка, являющегося заданной функцией данных отрезков, с помощью циркуля и линейки 189
• 9. Решение задач на построение методом алгебраического

анализа 196

• 10. Построение тригонометрических выражений. 200

Вопросы для повторения. 201

Задачи —

Глава VII. Некоторые задачи, не разрешимые циркулем и линейкой

• 1. Предварительные замечания 204
• 2. Спрямление окружности и квадратура круга. 206
• 3. О построении корней кубического уравнения. 210
• 4. Задача удвоения куба. 213
• 5. Задача о трисекции угла. 21 4
• 6. Построение правильных многоугольников 218

Вопросы для повторения 226

Глава VIII. Геометрические построения при различных ограничениях

• 1. Построения одним циркулем. 228
• 2. Теорема Мора — Маскерони. 231
• 3. Построения одной линейкой. 238
• 4. Теорема Штейнера 241
• 5. Построения с недоступными точками 246
• 6. О геометрических построениях с другими средствами 252

Вопросы для повторения . •. • 260

Задачи —

Литература. 262

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга составлена на основе опыта чтения авторами обязательных и факультативных курсов элементарной геометрии в педагогических институтах и предназначена служить учебным пособием для студентов физико- математических факультетов при изучении ими специального курса элементарной математики. Этим определяется объём данной работы и характер изложения.

Глава I посвящена вопросам обоснования конструктивной геометрии. Здесь выясняется содержание основных понятий, даётся аксиоматика этого раздела геометрии, излагается методика решения геометрической задачи на построение.

Главы II—VI посвящены изложению основных методов геометрических построений. Эти методы опираются на изучение геометрических мест точек, простейших геометрических преобразований и на применение алгебры. Несколько полнее, чем это обычно делается, рассмотрен в главе VI вопрос о возможности построения алгебраического выражения.

В главе VII рассматриваются некоторые задачи, не разрешимые циркулем и линейкой, приводятся различные способы решения классических задач средствами, отличными от циркуля и линейки, а также некоторые способы приближённого решения этих задач.

В главе VIII рассматривается вопрос о геометрических построениях при различных ограничениях. Приводятся доказательства теорем Мора-Маскерони и Штейнера. Заключительные параграфы этой главы посвящены геометрическим построениям с различными инструментами (двусторонняя линейка, угол, циркуль и линейка ограниченных размеров), а также построениям с недоступными точками.

В конце каждой главы приводятся вопросы для повторения и задачи для практических занятий.

В конце книги помещён список литературы, на которую делаются ссылки в тексте.

Основному тексту предпосылается краткий исторический обзор.

Авторы выражают признательность Л. С. Атанасяну и Е. Г. Шульгейферу, которые просмотрели эту работу в рукописи и помогли авторам своими замечаниями.

Авторы 22 февраля 1955 г.

Смоленск

ОТ АВТОРОВ

В настоящем втором издании исправлены замеченные нами опечатки и погрешности. Внесены также некоторые дополнения в соответствии с новой программой для педагогических институтов.

ВВЕДЕНИЕ

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI—V вв. до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики, Гиппократ (V в. до н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III в. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и многие другие.

Математики из школы Пифагора уже сумели справиться с такой сравнительно сложной задачей, как построение правильного пятиугольника. В V в. до н. э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла (см. гл. VII). Эти задачи, которые, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки, в течение многих веков вызывали живейший интерес различных исследователей. В IV в. до н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ — построение — доказательство — исследование), которой мы пользуемся и поныне.

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н. э., ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. „От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию", „Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать", „Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг" —эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали „истинно геометрическими" лишь построения, производимые циркулем и линейкой, не признавая „законным" использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Эта традиция до сих пор сказывается в школьном курсе геометрии. С другой стороны, именно греки первые стали привлекать для геометрических построений другие средства, отличные от циркуля и линейки. Так, например, Платон около 400 г. до н. э. решал задачу об удвоении куба с помощью двух прямых углов. Архимед дал решение задачи о трисекции угла с помощью линейки с двумя пометками. Ту же задачу решали с помощью различных кривых Никомед (с помощью конхоиды), Диоклес (с помощью циссоиды), Папп и другие.

Древнегреческие геометры успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки. Так, например, Аполлоний Пергский решил известную задачу, носящую его имя: „Построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей". Некоторые вопросы алгебры связывались в то время учёными с решением конструктивных задач. Например, решение уравнений первой и второй степени греки давали в геометрической форме. При этом корни уравнений находились с помощью определённых геометрических построений.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени. Достаточно сказать, что некоторые задачи, решённые древнегреческими математиками, оказались не под силу математикам первых полутора тысячелетий нашей эры. Так, например, задача Аполлония, решение которой было утрачено, была снова решена только в XVI в. (её решил известный французский математик Франсуа Виет).

Только в новое время (XVII—XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с созданием новых разделов математики. С другой стороны, и вопросы конструктивной геометрии наряду с другими стимулами способствовали созданию новых математических теорий и методов. В тесной связи с геометрическими построениями оказались аналитическая геометрия, проективная геометрия, начертательная геометрия, теория алгебраи- 6

Ческих уравнений (в частности, вопросы приводимости уравнений), теория алгебраических и трансцендентных чисел, теория аналитических функций.

Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс и другие. Так, например, Декарт и Ньютон решали задачу о трисекции угла с помощью конических сечений. Независимо от Виета Декарт, Ньютон, Эйлер дали свои решения задачи Аполлония, а Ферма решил аналогичную задачу для пространства. Декарт, создатель аналитической геометрии, успешно применял метод координат к решению задач на построение.

В XVII—XIX вв. разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Уже Леонардо да Винчи (1452—1519) рассматривал построения с помощью линейки и циркуля постоянного размаха. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой. К не менее интересным выводам приходят основоположники проективной геометрии Штейнер (1833) и П о н- селе (1822), исследовавшие геометрические построения, выполняемые линейкой при наличии начерченной окружности с отмеченным центром.

После работ этих авторов появляется ряд исследований о построениях с помощью двусторонней линейки (с параллельными краями), с помощью угольника и других инструментов. Один из крупнейших геометров конца XIX и начала XX в. Д. Гильберт в своей классической книге „Основания геометрии® рассматривает построения с помощью линейки и эталона длины.

Ещё в XVIII в. (1774) швейцарец Ламберт рассматривал некоторые задачи на построение на ограниченном куске плоскости. Этот же вопрос о построениях „с недоступными элементами" неоднократно изучался впоследствии, так как он представляет большой интерес для практики чертёжника и геодезиста.

Многовековые неудачные попытки решить классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла навели на мысль, что эти задачи вовсе не разрешимы циркулем и линейкой (такое предположение относительно задачи о квадратуре круга высказал ещё в XV в. Леонардо

да Винчи, а позднее — Штифсль и изобретатель известного измерительного прибора Нониус). В связи с этим возникла необходимость выяснить, какие задачи разрешимы циркулем и линейкой. Этот вопрос оказался тесно связанным с алгебраической проблемой разрешимости уравнений в радикалах (в частности, в квадратных радикалах). Замечательные исследования, проведённые в этой области К. Г ау с с ом (1777—1855), позволили ему в 1796 г. полностью решить одну из наиболее трудных проблем конструктивной геометрии: каким должно быть натуральное число п, чтобы правильный п-угольник можно было построить циркулем и линейкой? Задача о квадратуре круга привела к глубоким исследованиям в области теории чисел, связанным с изучением свойств числа к. Эти исследования, которые были закончены лишь во второй половине XIX в., позволили доказать, что задача о квадратуре круга не разрешима циркулем и линейкой.

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX в. появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений,— работы Ф. Клейна и Энриквеса, „Теория геометрических построений* А. Адлера и др. К работам такого рода относятся также недавно опубликованные книги Лебега [34], Бибербаха [33]*. Принципиальным вопросам теории геометрических построений посвящены глубокие исследования С. О. Шатуновского [28], [29]. Всеобщую известность получила превосходная книга И. И. Александрова „Методы решения геометрических задач на построение", впервые вышедшая в 1881 г.; до сих пор она остаётся одним из лучших пособий по конструктивной геометрии.

Ряд интересных работ по теории и методике геометрических построений напечатан советскими учёными Н. Ф. Четверухиным, Д. Д. М о р д у х а й-Б о л т о в с к и м и другими.

Геометрические построения в евклидовой плоскости, которые изучались древними и преимущественно изучаются и поныне, существенно зависят от аксиом евклидовой геометрии. В геометрии, созданной гениальным русским учёным Н. И. Лобачевским, имеет место иная система аксиом, а поэтому и теория геометрических построений во многом иная. Решение ряда важнейших задач на построение в неевклидовой плоскости было дано ещё в 1832 г. замечательным

* См, указатель литературы в конце книги.

венгерским математиком Я. Боя и (1802—1860). Фундаментальные исследования в этой области принадлежат советским учёным — Д. Д. М о р д у х а й-Б о л т о в с к о м у и его ученикам, а также А. С. Смогоржевскому (см. об этом в [18]).

Большой практический интерес представляют приближённые способы решения геометрических задач на построение. Часто оказывается, что приближённый способ решения с точки зрения чертёжной практики значительно выгоднее и проще теоретически точного способа построения. В течение многовековой истории конструктивной геометрии были даны многие интересные приближённые способы решения знаменитых классических задач, а также и многих других задач. Ещё Архимед дал приближённый способ построения правильного семиугольника; из его же исследований можно вывести приближённый способ решения задачи о квадратуре круга. Приближённые методы геометрических построений составляют в настоящее время важную часть теории геометрических построений.

Практический и теоретический интерес представляют также исследования относительно критериев точности и сравнительной простоты различных способов решения той или иной задачи теми или иными средствами (так называемая геометрография).

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

Изложение многих геометрических вопросов опирается на геометрические построения. Это особенно характерно для „доказательств существования": существование центра окружности, вписанной в треугольник, существование подобных треугольников, существование параллельных прямых и др. доказывается с помощью построений.

Основные этапы решения геометрической задачи на построение характерны для плана решения любой содержательной математической задачи: анализ, синтез, доказательство и исследование являются его необходимыми элементами.

Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертёжные приёмы опираются на решения геометрических задач на построение.

* * *

Геометрические построения могут сыграть серьёзную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не даёт, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертёжных навыков.

Глава I

ОСНОВАНИЯ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

• 1. Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовём основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Призерами фигур могут служить: точка; пара точек; прямая (рассматриваемая как совокупность принадлежащих ей точек); пара параллельных прямых; отрезок (фигура, состоящая из двух точек и всех точек прямой, лежащих между ними); интервал, или открытый отрезок (совокупность всех точек, лежащих между двумя данными точками прямой); луч (фигура, состоящая из некоторой точки прямой и всех точек этой прямой, расположенных по одну сторону от этой точки); окружность (совокупность всех точек плоскости отстоящих на данное расстояние от некоторой данной точки этой плоскости); круг (совокупность всех точек плоскости, расстояния которых от данной в этой плоскости точки не превышают длины данного отрезка) и др.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Соединение фигур Ф, и Ф₉ обозначают так: Ф_х-|-Ф₂ или Ф_х U Ф₂.

Пример. Соединение двух лучей Ат и Вп одной прямой может представлять собой: а) всю прямую (рис. 1,а); б) луч этой прямой (рис. 1,6); в) прямую без интервала (рис. 1,в).

Понятием соединения можно воспользоваться для определения некоторых фигур. Например, если Л_х, А₂ А_п — п

а) ------------------- £---------------- 2_

б) —2L-----------

^В л

б) —---------------- £__________ 2L

в

точек, то соединение отрезков A_tA₂, Л₂Л₃, ., Л_П__ХЛ_П, Л_ПЛ_Х называется п-уголь- ником.

Пересечением, или общей частью двух или нескольких фигур, называется

р_ис ] совокупность всех точек,

которые являются общими для этих фигур. Пересечение двух фигур Ф_х и Ф₂ обозначают так: Ф_х • Ф₂ или Ф_х f| Ф₂.

Пример. Если расстояние прямой от центра окружности

меньше радиуса этой окружности, то пересечение прямой с окружностью представляет пару точек. Если расстояние прямой от центра окружности равно радиусу окружности (случай касания), то пересечением будет одна точка (точка касания).

Разностью двух фигур Ф_х и Ф₂ называется совокупность всех таких точек фигуры Ф_х, которые не принадлежат фигуре Ф₂. Разность фигур Ф₁ и Ф₂ обозначается так: Ф_Х\Ф₂. Например, разность между прямой и лежащим на ней интервалом есть совокупность двух лучей, принадлежащих этой прямой.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек. Так, пересечение прямой с окружностью будет пустым множеством, если расстояние прямой от центра окружности окажется больше радиуса этой окружности. Разность между интервалом прямой и всей пря

мой есть пустое множество.

Ясно, что если фигура Ф_х есть часть фигуры Ф₂, то разность Ф_Х\Ф₂ . есть пустое множество. Нетрудно показать (способом от противного) и обратное: если разность Ф_х\ Ф₂ — пустое множество, то фигура Ф_х есть часть фигуры Ф₂.

Я* *

*

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основ-

иым понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Мы примем это понятие без определения. Конкретный его смысл известен из практики, где оно означает то же, что „начертить", „провести" (линию), „отметить" (точку) и т, п. В интересах логической строгости изложения необходимо чётко формулировать те основные требования (постулаты), которыми характеризуется это понятие. Эти требования обычно не формулируются в условиях школьного курса элементарной геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собой разумеющееся. Основные требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертёжной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой конструктивной геометрии. Перейдём к рассмотрению этих основных положений (аксиом) теории геометрических построений.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т. е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

1. Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия „данная фигура" и „фигура, заданная (или определённая) такими-то данными её элементами". В последнем случае дана не сама фигура, а лишь некоторые её элементы, которые определяют положение этой фигуры. Например, если даны две точки прямой, то существует единственная прямая, соединяющая эти точки, т. е. эта прямая определена двумя точками, но это не означает, что прямая эта построена (начерчена). Точно так же центр О и точка А на окружности определяют эту окружность по величине и положению, но если сказано только, что даны точки О и А, то ещё не следует считать (в том смысле, как это понимается в конструктивной геометрии), что дана сама окружность.

Представим себе, что построена полуокружность АтВ (рис. 2), а также построена и полуокружность АпВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АтВпА. Точно так же, если построен луч АМ некоторой прямой (рис. 3), а затем луч ВЛ/ той же прямой