ВВЕДЕНИЕ.

Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии. Однако эта сторона преподавания геометрии не всегда еще пользуемся должным вниманием учителя. Одной из причин такого положения вещей является, как нам кажется, недостаточная разработка этого вопроса в нашей методической литературе. Настоящая работа не ставит своей целью научить читателя решению геометрических задач на построение и не излагает методов ич решения. Она обращается к читателю, уже владеющему этим материалом, хотя бы в минимальном объеме. Мы поставили Себе задачей рассмотреть здесь основные методические вопросы, связанные с данной темой: вопрос о роли геометрических построений и их месте в систематическом курсе геометрии, вопрос о содержании того материала, который должен быть сообщен учащимся в этой области, о распределении этого материала в пределах курса геометрии, о характере и типах тех задач, которые должны предлагаться учащимся в различных местах курса, об основных трудностях, встречающихся при изучении соответствующих разделов. Вопросы собственно теории геометрических построений затронуты здесь в самом минимальном объеме, лишь постольку, поскольку это казалось нам безусловно необходимым для правильного решения рассматриваемых нами вопросов. Изложение же собственно теории геометрических построений представляв!* собой особую задачу, выходящую за рамки настоящей работы.

Исходя из тех целей, которые мы перед собой ставили, мы сосредоточили свое внимание лишь на основных вопросах темы, оставив в стороне те методы, которые, хотя и рассматриваются обычно в школе, но не играют там большой роли. Так, мы совершенно не останавливались, скажем, на применении симметрии, параллельного перенесения, на построении правильных многоугольников и некоторых других вопросах.

Иногда приходится слышать пожелания о выработке некоторого стандартного, стабильного списка задач на построение, обязательных для средней школы. Наша основная установка идет до известной степени в разрез с такого рода устремлениями. Мы полагаем, что изучение тех или иных геометрических задач на построение не должно становиться самоцелью, что геометрические посiроения должны быть не столько объектом изучения в геометрии (к чему могло бы повести установление какого-либо списка), сколько методом изучения самих геометрических фактов. С этой точки зрения следует говорить (за отдельными исключениями) не об отдельных задачах как таковочх, а только о типах задач, наиболее подходящих в том или ином месте курса, а также о выборе из числа имеющчхся или о составлении вновь соответствующих задач. Пытаться же фиксировать список решаемых задач — с нашей точки зрения почти то же, что пытаться, скажем, фиксировать перечень задач на составление квадратных уравнений с одним неизвестным. Дело не в том, чтобы учащийся умел решить ту или дру<ую определенную задачу, а в том, чтобы он научился решать типичные задачи на построение надлежащей степени трудности.

Настоящая работа состоит из трех глав. Первая глава охватывает общие вопросы темы геометрические инструменты и их роль, общая логическая схема решения задачи на построение), вторая глава целиком отведена понятию геометрического места и его применению, третья—тем построениям, которые так или иначе связаны с учением о пропорциональности отрезков (метод подоб 1я, алгебраический метод). Мы старались сделать эти три главы по возможности самостоятельными, не боясь иногда даже некоторых небольших повторений.

Приложенный к работе список литературы не ставит своей целью ни перечислить всю литературу, которую имел в своем распоряжении автор, ни тем более дать сколько-нибудь исчерпывающую библиографию. Здесь приведены лишь важнейшие книги и журнальные статьи на русском языке, вышедшие за последние годы.

Глава I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.

• 1 Геометрические задачи иа построение, их вначение и место в курсе геометрии.

Большое значение геометрических построений в изучении геометрии является, как нам кажется, общепризнанным. Попытаемся кратко охарактеризовать, в чем же заключается это значение. Ценность вопросов, связанных с геометрическими построениями, заключается прежде всего в том, что выполнение тех или иных построений позволяет конкретизировать в сознаьии учащегося отдельные геометрические факты, заставляет учащегося перенести свое внимание со словесной формулировки геометрического предложения на те реальные геометрические соотношения, которые за этим предложением скрываются. Так, например, положение „радиус, перпендикулярный к хорде, делит хорду пополам несомненно будет яснее представляться сознанию ученика, если всл^гд за изучением доказательства он выполнит самое простое относящееся сюда упражнение: „через данную внутри окружности точку провести хорду, которая делилась бы этой точкой пополам**. Здесь нельзя просто повторить, что „радиус, перпендикуляр нь й а надо ясно осознать, что и хорда при этом перпендикулярна к радиусу. Итак, первая ценная сторона геометрических построений заключается, на наш взгляд, в том, что они являются важным средством создания у учащихся конкретных геометрических представлений, важным орудием борьбы с чисто словесным запоминанием тех или иных положений геометрии.

Вторая, также немаловажная, сторона геометрических построений состоит в том, что они дают материал для приложения изученных теорем к каким-то проблемам, задачам и т. д. При этом они применимы почти во всех разделах курса геометрии, в частности там, где нет возможности решать задачи других типов. Вместе с тем решение задач на построение всегда требует от ученика в той или иной мере инициативы, самостоятельности, дает ему позможяость попробовать свои силы. Итак, второй ценной стороной геометрических построений является то, что они дают материал для упражнений почти по всем разделам курса элементарной геометрии.

Далее, изучение геометрических построений играет значи- тельную роль и как теоретическая основа для курса черчения. На уроках черчения учащийся применяет те или иные способы построений очень часто в готовом, законченном виде. Дело преподавателя математики—дать своевременно ученикам необходимый геометрический материал. Но этим дело не ограничивается, Преподаватель м.тематики должен связать изучаемы 1 им геометрический материал с постановкой соответствующих задач в курсе черчения. Поясним эту последнюю мысль примером. На уроке черчения в VII классе выполняется сопряжение двух наклоненных одна к другой прямых дугой окружности данного радиуса. В параллель с этим (а по времени даже раньше этого) на уроке геометрии следует разобрать задачу „построить окружность данного радиуса, касающуюся двух данных пересекающихся прямых*. Но следует не только разобрать эту задачу—надо на самом уроке геометрии показать, какое практическое значение имеет эта задача. Надо, скажем, и на чертеже, выполняемом в геометрической тетради ученика, выделить так или иначе сопрягающую дугу и сопрягаемые ею части (лучи) данных прямых. Конечно, для осуществления в возможно большей мере.этой цели—использования геометрических построений в занятиях по черчению — необходима согласованная работа преподавателей обоих предметов, в частности, взаимное ознакомление их с рабочими планами. Само собой разумеется, что многое в этом вопросе зависит и от построения программ по геометрии и по черчению. Возможно, что полной согласованности достичь и нельзя. Так, например, построение правильных многоу. оль* ников является сравнительно простой задачей в смысле чертежной техники; в то же время изуч ниэ этих вопросов в курсе геометрии относится естественным образом в конец курса планиметрии.

Наконец, четвертой и последней в нашем перечне (но не последней по ее важности) ценной стороной задач на построение является применение в них ряда довольно сложных форм логического мышления. Это находит свое конкретное выражение в тех терминах, которыми мы характеризуем отдельные этапы решения задач на построение — „анализ", „исследование".

Какое же место должны занять геометрические построения в школьном курсе геометрии? На учение о геометрических построениях можно было бы смотреть, как на один из разделов, одну из частей этого курса. Такой взгляд подтверждается традицией, по которой в очень многих курсах и руководствах по геометрии, особенно более старых, выделяются достаточно обособленные главы, посвященные геометрическим построениям. Это положение, оправдываемое отчасти соображениями систематичности, удобства отыскания нужного материала и т. п., нельзя признать правильным при прохождении геометрии в школе. Мы полагаем, что сформулированные выше положения о ценных сторонах изучен я геометрических построений приводят к следующему выводу. Геометрические построения не являются просто частью курса геометрии. Они являются, напротив, одним из методов элементарной геометрии, применимым почти ко всем ее вопросам. Исходя из этого положения, м л считали бы необходимым стремиться к возможно более тесному слиянию задач на построение с другими частями курса. Каждое разбираемое построение, каждое геометрическое место и т. д. должно быть поставлено возможно ближе к тем теоремам курса, на которых оно основывается. Не следует создавать, скажем, сколько-нибудь длительных промежутков, сплошь занимаемых геометрическими построениями. Это наше общее положение мы стремимся конкретизировать в дальнейших частях настоящей работы. Из него мы исходим в своих предложениях о расположении отдельных вопросов в школьном курсе геометрии.

• 2. Сущность решения геометрической задачи на построение. Геометрические инструменты.

Во всякой геометрической задаче на яостроение требуется по тем или иным данным найти некоторые геометрические элементы (точку, прямую, окружность, треугольник и т. д.), удовлетворяющие тем или иным условиям. Однако сущность геометрической задачи на построение не исчерпывается ука а- нием данных и формулировкой того, что требуется найти. Столь же важное значение имеет и указание (формулируемое явно или, большей частью, подразумевающееся) на те средства, с помощью которых задача должна быть решена, на те инструменты, при помощи которых построение должно быть выполнено. В зависимости от того, какие инструменты имеются в виду, смысл одной и той же задачи коренным образом меняется. Приведем хотя бы два примера:

Пример 1. Построить, треугольник по двум сторонам а и Ь, зная, что угол, заключённый между ними, равен 72°.

Если предположить, что в числе допустимых инструментов имеется транспортир, то задача разрешается весьма просто. Если же потребовать, как это обычно делается, чтобы построен ние было выполнено с помощью циркуля и линей и, то мы получим достаточно сложную задачу: построение угла в 72^е связано с построением правильного десятиугольника.

Пример 2. Построить при данной точке от данной прямой угол в 20°.

Задача, весьма просто разрешаемая с помощью транспортира оказывается неразрешимой с помощью циркуля и линейки; доказано совершенно строго, что угол в 20° не может быть построен с помощью циркуля и линейки.

Как известно, мы всегда предполагаем в школе, что требуемые построения должны быть выполнены с помощью циркуля и линейки. Необходимо прежде всего отдать себе ясный отчёт в том, что значит решить задачу с помощью циркуля и линейки. Это выражение не обозначает, конечно, физического использования соответственных инструментов, так как задачу можно решать с помощью циркуля и линейки, например, „в уме" или делая чертеж „от руки". С другой стороны, не всякое выполнение чертежа на бумаге, при котором мы употребляем только циркуль и линейку, будет и „построением с помощью циркуля и линейки". Так, построение с помощью ряда последовательных попыток правильного семиугольника, вписанного в данную окружность, можно осуществить на практике, пользуясь циркулем и линейкой, технически весьма удачно. Но это все же не будет построением с помощью циркуля и линейки*, действительно, здесь никогда нельзя быть уверенным, что мы получим точное построение, и для получения ©того точного решения никакого пути не указывается. Здесь, после некоторого числа попыток (какого именно, также не определяется), получается некоторый вписанный многоугольник, который мы без заметной погрешности можем принять за правильный семиугольник.

Итак, что же значит в геометрии „решить задачу с помощью циркуля и линейки?" Проще всего ответить на этот вопрос следующим образом. Решить задачу с помощью циркуля и линейки — значит свести ее к выполнению точно определенного конечного числа следующих построений:

а) проведение прямой линии через две известные точки;

Ь) определение тзчки пересечения двух известных прямых;

с) проведение окружности с известным центром и известным радиусом;

Наконец, в качестве более сложной задачи, рекомендуется задача о делении отрезка в крайнем к среднем отношении. Эта задача имеет, как известно, большое общеобразовательное значение (золотое деление).

БИБЛИОГРАФИЯ.

1. Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений, М., 1938.

2. Александров И. И, Геометрические задачи на построение и методы их решения, М, 1934 (Предыдущие издания под заглавием „Сборник задач па построение”.)

3 Адлер А., Теория геометрических построений, М, 1940 (Есть и более ранние издания )

4. Браун И., Задачи на построение в средней школеМатематика и физика в школе", 1936, № 4.

5. Майергойа Д., Алгебраический метод решения задач на построение, „Математика в школе", 1939, № 5 и № 6. ^{б. * *}

б. Фурсенко В. Б Лексикографическое изложение конструктивных задач геометрии Tpeyi ольнчка, „Математика в школе, 1937, № 5

и № 6 (содержит подробную библиографию).