Предисловие 3

Введение 5

Глава I. Общие определения 7

• 1. Множества. Функции 7
• 2. Отображения. 9
• 3. Группа преобразований 13

Глава II. Ортогональные преобразования 18

• 4. Ортогональные отображения 19
• 5. Свойства ортогональных отображений 20
• 6. Ориентация. 25
• 7. Ортогональные преобразования первого и второго

рода 31

• 8. Основные виды ортогональных преобразований (перенос, симметрия, поворот) 34

п. 1. Перенос 34

п. 2. Симметрия относительно прямой 35

п. 3. Симметрия относительно точки 37

п. 4. Поворот 38

• 9. Представление ортогональных преобразований в виде произведения основных ортогональных преобразований: переноса, симметрии и поворота 42
• 10. Ортогональные преобразования плоскости в координатах 47

п. 1. Перенос. 47

п. 2. Симметрия относительно прямой 48

п. 3. Симметрия относительно точки 48

п. 4. Поворот. 49

п. 5. Общий случай 50

• 11. Ортогональные преобразования пространства 51

п. 1. Перенос. 52

п. 2. Симметрия относительно плоскости 53

п. 3. Симметрия относительно прямой 53

п. 4. Поворот. 54

п. 5. Симметрия относительно точки 55

• 12. Представление ортогональных преобразований пространства в виде произведения основных ортогональных преобразований 55
• 13. Ортогональные преобразования пространства в координатах 65

Глава 1П. Подобные преобразования. 69

• 14. Отображение подобия 69
• 15. Свойства подобных преобразований 70
• 16. Гомотетия 72
• 17. Представление подобного преобразования в виде произведения гомотетии на ортогональное преобразование 76
• 18. Подобные преобразования плоскости в координатах ; 82

п. 1. Гомотетия 82

п. 2. Подобное преобразование (общий случай) 83

• 19. Подобные преобразования пространства » 84

Г лава IV. Аффинные преобразования 87

• 20. Определение аффинных отображений и преобразований плоскости 87
• 21. Примеры аффинных преобразований и отображений плоскости 89

п. 1 Косая симметрия. 89

п. 2. Сжатие. 90

п. 3. Косое сжатие. 93

п. 4. Гиперболический поворот. 94

п. 5. Эллиптический поворот. 95

п. 6. Сдвиг -. 96

п. 7. Параллельное проектирование. Родство 98

п. 8. Ортогональное проектирование 100

• 22. Свойства аффинных отображений. 100
• 23. Лемма Дарбу и ее следствия 102
• 24. Инвариантность простого отношения при аффинном отображении 105
• 25. Дальнейшие свойства аффинных отображений 107
• 26. Представление произвольного аффинного преобразования в виде произведения простейших аффинных преобразований ПО
• 27. Изменение отрезков при аффинном отображении 113
• 28. Изменение площадей при аффинном отображении плоскости на плоскость 113
• 29. Применение аффинных преобразований к исследованию свойств эллипса 114
• 30. Аффинное преобразование в координатах » 119
• 31. Аффинная классификация линий второго порядка 122
• 32. Аффинные преобразования пространства 125

Глава V. Проективные преобразования 130

• 33. Понятие о проективной плоскости. _; 130

п. 1. Первая модель проективной плоскости 132

п. 2. Однородные координаты. 134

п. 3. Вторая модель проективной плоскости 138

п. 4. Проективные координаты 139

я. 5. Связь проективных координат в первой и второй модели проективной плоскости 140

п. 6. Замечания ' 141

• 34. Определение проективного отображения 143
• 35. Две основные теоремы о проективных преобразованиях 144

п. 1. Первая основная теорема 144

п. 2. Вторая основная теорема 148

п. 3, Приложения к аэрофотосъемке 152

• 36. Двойное отношение. 154

п. 1. Двойное отношение четырех точек, лежащих на одной прямой 154

п. 2. Двойное отношение четырех прямых, принадлежащих одному пучку 155

п. 3. Двойное отношение во второй модели • 160

п. 4. Инвариантность двойного отношения при проективном отображении 162

• 37. Гармонизм 162

п. 1. Определения и примеры. 162

п. 2. Способы построения четвертой гармонической к трем данным точкам 167

п. 3. Полный четырехсторонник и полный четырехвершинник 168

• 38. Примеры проективных преобразований 171

п. 1. Гиперболическая. гомология 171

п. 2. Параболическая гомология '. 177

п. 3. Гиперболическая и параболическая гомологии во второй модели 179

а) Гиперболическая гомология. 179

б) Параболическая гомология 180

п. 4. Частные случаи гиперболической и параболической гомологии (первая модель). 181

п. 5. Инволюционное преобразование проективной плоскости 183

• 39. Проективное преобразование в координатах 185

п. 1. Основная теорема 185

п. 2. Неподвижные точци проективного преобразования 187

п. 3. Гомологические преобразования в координатах 189

• 40. Линии второго порядка на проективной плоскости 190

п. 1. Линии второго порядка в первой модели 190

п. 2. Линии второго порядка во второй модели 192

п. 3. Проективная классификация линий второго порядка 193

п. 4. Внутренние и внешние точки овальной линии второго порядка 194

• 41. Проективные преобразования пространства 194

п. 1. Проективное пространство. 194

п. 2. Принцип двойственности , 197

п. 3. Однородные координаты. 199

п. 4. Проективные преобразования пространства 200

п. 5. Проективные преобразования в координатах 201

п. 6. Поверхности второго порядка 201

Дополнение к главе V

Топология проективной плоскости 202

Г лава VI. Инверсия. 218

• 42. Степень точки относительно окружности 218
• 43. Определение инверсии 219
• 44. Свойства инверсии. 220
• 45. Круговые преобразования. Основная теорема 223

• 42. СТЕПЕНЬ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ

Степенью точки О относительно окружности С называется число

о = ОЛ ОВ,

где А и В — точки пересечения окружности С с любой прямой, проходящей через точку О (и пересекающей окружность С).

Из этого определения следует, что степень точки О относительно окружности С положительная, если точка О лежит вне окружности С (так как тогда векторы ОА и ОВ имеют одинаковое направление); степень точки О относительно окружности С отрицательна, если точка О лежит внутри окружности С (так как в этом случае векторы ОА и ОВ имеют противоположное направление). Наконец, степень точки О относительно окружности С равна нулю, если точка О лежит на окружности С.

Заметим, что степень точки О относительно окружности С в том случае, когда точка О лежит вне окружности С, равна квадрату длины отрезка касательной, проведенной из точки О к окружности С (произведение секущей на внешнюю ее часть равно квадрату касательной).

Степень точки О относительно окружности С может быть определена и соотношением

a = d² — R²,

где d — расстояние от точки О до центра окружности С, а R — радиус этой окружности.

В самом деле, если точка О лежит вне окружности С, то, как мы уже указали выше, ее степень относительно окружности С равна квадрату длины отрезка касательной, проведенной из точки О к окружности С; квадрат же указанного отрезка касательной равен d²—R².

Если точка О лежит внутри окружности С, то проведем через нее и через центр окружности С прямую; пусть эта прямая пересечет окружность С в точках А и В. Тогда, обозначая через S центр окружности С, будем иметь

а - ОА OB = (OS + S4) (OS 4- SB) = (OS - AS) (OS + SB)-

~ (OS — AS) (OS 4- AS) = OS² — AS² = d² — R²

(этот вывод верен и для того случая, когда точка О лежит вне окружности С).

Наконец, если точка О лежит на окружности С, то d=R_t значит d²—R²=0, но в этом случае и о=0.

• 43. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВЕРСИИ

Фиксируем на плоскости точку О и фиксируем число k (£=#0). Поставим в соответствие каждой точке М плоскости (отличной от О) точку А4', лежащую на прямой ОМ и такую, что ОМ ' ОМ'=k.

Такое преобразование называется инверсией. Точка О называется полюсом, или центром, инверсии, число k — степенью инверсии. Если £>0, инверсия называется положительной, если 6<0, — отрицательной. Инверсию / с полюсом О и степенью k будем обозначать так: (О, k).

Отметим, что если в инверсии / точке М соответствует точка М', то точке М' соответствует точка М; иначе говоря — инверсия есть инволюционное преобразование: квадрат инверсии есть тождественное преобразование: 1²=Е.

Если инверсия (О, k) положительная (k > 0), то все точки окружности К радиуса j/ZFc центром О неподвижны, так как если М — любая точка этой окружности, то

ОМ ОМ = (уТ)² = k.

Образ М' точки М в положительной инверсии (О, k) строится так:

1) если точка М лежит вне окружности с центром О и радиусом k, то проводим из точки М касательную МТ к этой

окружности (Т — точка прикосновения); проекция ЛГ точки Т на ОМ и есть образ точки М;

2) если точка М лежит внутри окружности с центром О и радиусом то через точку М проводим прямую, перпендикулярную ОМ; пусть Т — одна из точек пересечения этого перпендикуляра с окружностью К; тогда касательная к окружности К в точке Т пересечет ОМ в точке ЛГ, являющейся образом М в инверсии (О, k).

В самом деле: в обоих случаях

0M-6M'=(yky = k.

Отсюда следует, что все уточки, лежащие вне окружности с центром О и радиусом Ук перейдут при инверсии (О, k) внутрь этой окружности, а все точки, лежащие внутри ука' занной окружности, перейдут во внешние ее точки (точки самой окружности, как указывалось, будут неподвижными).

• 44. СВОЙСТВА ИНВЕРСИИ

Теорема 1. При инверсии всякие четыре точки, лежащие на окружности, не проходящей через полюс инверсии, переходят в четыре точки, также лежащие на окружности, не проходящей через полюс инверсии.

Доказательство. Рассмотрим инверсию {О, k). Пусть А, В, С, D — какие-нибудь четыре точки, лежащие на окружности S, не проходящей через полюс О инверсии.

Обозначим через А', В', С', D' образы точек А, В, С, D при инверсии /; тогда

ОД-ОД' - ОВ-ОВ' = ОС-ОС' = ODOD' - k. (1)

Обозначим через А?, В_о, Со, D_o вторые точки пересечения прямых ОА, ОВ, ОС, OD с окружностью S; эти точки До, Bq, Со, Dq существуют, так как точки А, В, С, D лежат на окружности 5, а если прямая имеет с окружностью одну общую точку М, то она имеет с ней еще одну общую точку М_о (в частности, совпадающую с М, если рассматриваемая прямая касается окружности S).

Обозначим через о степень точки О относительно окружности S. Тогда

ОД ОД, = ОВ ОВ₀= ОС бс_о = бЬ бЬ₀ = а. (2)

Из соотношений (1) и (2) находим

ОА' ОВ' ОС' _ OD' _ k

—► —*■ —► -► >

ОА₀ ОВ₀ ОС₀ OD₀ °

т. е. А', В', С', D' являются соответственно образами точек Ло k Bq, Со, Do при гомотетии у с центром О и коэффициентом—, а потому так же, как и точки А_о, В_о, Со, Do, лежат на одной окружности S'. Окружность S' получается из окружности S при гомотетии у.

Следствие 1. При инверсии всякая окружность S, не проводящая через центр инверсии, отображается взаимнооднозначно на некоторую окружность S', также не проходящую через центр инверсии.

В самом деле: пусть S — произвольная окружность, не проходящая через центр О инверсии (О, k), a S' — образ S k при гомотетии у с центром О и коэффициентом— Как было а доказано:

1) любой точке М окружности 5 при инверсии (О, k) соответствует точка М', лежащая на окружности S' (точка М' получается из точки * М_о при гомотетии у);

2) любая точка М' окружности S' имеет при инверсии (О, k) прообраз М, лежащий на окружности 5 (который является прообразом Мо'** в гомотетии у);

3) наконец, двум различным точкам Mi и М₂ окружности S соответствуют (в силу определения инверсии) две различные точки Mi' и М₂'.

Следствие 2. Если R — радиус окружности S, R' — радиус окружности S' при инверсии (О, k), а о — степень полюса О инверсии относительно окружности S, то

R' _ k R о Теорема 2. При инверсии всякие четыре точки, лежащие на окружности, проходящей через полюс инверсии, переходят в четыре точки, лежащие на одной прямой, не проходящей через полюс инверсии (мы пока предполагаем, что ни одна из рассматриваемых точек не совпадает с центром инверсии).

Доказательство. Пусть А, В, С, D — четыре точки, лежащие на одной окружности S, проходящей через полюс О инверсии (О, k) (причем ни одна из точек А, В, С, D не совпадает с О). Пусть Е — точка, диаметрально противополож

* Мо — вторая точка пересечения прямой ОМ с окружностью S.

** Mq' — вторая точка пересечения прямой ОМ' с окружностью S'.

ная точке О на окружности S. Обозначим через Е' образ точки Е при инверсии (О, k). Проведем через точку Е' прямую I, перпендикулярную ОЕ, и обозначим через А', В', С', D' точки пересечения прямых ОА, ОВ, ОС, OD с прямой /« Если точка А совпадает с Е, то ее образ А' при инверсии (О, k) совпадает с образом Е' точки Е при той же инверсии, т. е. точка А' лежит на прямой /. Если же точка А не совпадает с Е, то ОАЕ — прямоугольный треугольник с прямым уг« лом А (ОЕ—диаметр окружности 5). С другой стороны, А'Е' | ОЕ'. Отсюда следует, что вокруг четырехугольника АА'Е'Е можно описать окружность (углы А и Е'—прямые), а потому ОА • ОА'=ОЕ • OE'=k, т. е. А' — образ А при инверсии (О, k). Аналогично доказывается, что точки В', С', D' пересечения прямых ОВ, ОС, OD с прямой / являются образами точек В, С, D при инверсии (О, k).

Следствие 1. Всякая окружность S, проходящая через полюс инверсии, отображается взаимнооднозначно на пр я- мую, не проходящую через полюс инверсии.

Следствие 2. При инверсии любая прямая, не проходящая через полюс инверсии, отображается взаимнооднозначно на некоторую окружность, проходящую через полюс инверсии.

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Теорема 3. При инверсии любые четыре точки, лежащие на одной прямой, проходящей через полюс инверсии, переходят в четыре точки, лежащие на той же прямой (мы сейчас предполагаем, что ни одна из рассмотренных четырех точек не совпадает с центром инверсии).

Теорема 4. Угол между двумя пересекающимися окружностями, угол между окружностью и пересекающей ее прямой и угол между двумя пересекающимися прямыми сохраняется при преобразовании инверсии *.

Доказательство. Сначала заметим, что при инверсии сохраняется касание окружностей и касание окружности с прямой. Рассмотрим две пересекающиеся окружности С\ и С₂. Пусть М — одна из точек пересечения окружностей Ci и С₂, отличная от полюса О инверсии, a Z₍ и Z₂ — касательные к окружностям Ci и С₂ в точке М их пересечения; тогда угол между /1 и /₂ и будет (по определению) углом между пересе

• Углом между двумя пересекающимися окружностями называется угол между касательными к этим окружностям в их общей точке. Углом между окружностью и пересекающей ее прямой называется угол между этой прямой и касательной к окружности в точке их пересечения.

кающимися окружностями Cr и С₂. Если прямые 1\ и 1₂ не проходят через полюс О инверсии, то их образами будут окружности 1\ и //, диаметры которых, проходящие через О, будут перпендикулярны 1\ и /₂, а потому угол между касательными к окружностям 1\ и 1₂ в точке О будет равен углу между /1 и /₂. Но в силу сохранения касания при инверсии угол между // и // будет равен углу между образами С/ и С₂' окружностей * Ci и С₂.

Если одна из прямых /1 и /₂, например /1, проходит через полюс инверсии, то в преобразовании инверсии она перейдет в себя; прямая /₂ перейдет в окружность /₂', диаметр которой, проходящий через О, будет перпендикулярен к /₂ и значит касательная к 1₂ в точке О будет параллельна /₂; угол между 1\ и 1₂ будет опять равен углу между /1 и /₂. Наконец, если обе прямые 1\ и /₂ проходят через полюс инверсии, т. е. пересекаются в полюсе О инверсии, то точка О лежит на обеих окружностях Ci и С₂, эти окружности перейдут в прямые С/ и С₂, параллельные li и 1₂.

Замечание. Можно было бы показать, что при инверсии сохраняются углы между всякими двумя пересекающимися кривыми, имеющими касательные в каждой своей точке. Преобразования, при которых сохраняются углы между кривыми, называются конформными. Таким образом, инверсия является конформным преобразованием.

• 45. КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Рассмотренное выше преобразование инверсии не является взаимнооднозначным, так как полюсу О инверсии не соответствует при инверсии (О, k) ни одна точка плоскости.

Чтобы сделать это преобразование взаимнооднозначным, добавим к эвклидовой плоскости одну бесконечноудаленную точку.

Эвклидову плоскость, пополненную одной бесконечноудаленной точкой, будем называть конформной плоскостью. Любую точку этой плоскости, отличную от бесконечноудаленной, будем называть собственной.

Условимся, что эта бесконечноудаленная точка лежит на любой прямой эвклидовой плоскости и не лежит ни на одной из окружностей эвклидовой плоскости. Две параллельные прямые имеют одну общую точку — бесконечноудаленную.

Две пересекающиеся прямые на конформной плоскости (как и две пересекающиеся окружности) имеют две общие

• Заметим, что С/ или С/ могут быть прямыми линиями.

точки — одну «на конечном расстоянии», другую — «бесконечноудаленную».

Две параллельные прямые имеют на конформной плоскости общую (бесконечноудаленную) точку; мы будем говорить тогда, что они касаются друг друга в этой точке.

Условимся при инверсии (О, k) точке О ставить в соответствие бесконечноудаленную точку, а бесконечноудаленной точке — точку О. Теперь можно высказать следующие два положения:

1) инверсия конформной плоскости есть взаимнооднозначное преобразование;

2) при инверсии сохраняется касание окружностей и прямых.

Условимся прямую конформной плоскости называть окружностью «бесконечнобольшого радиуса».

Будем называть круговым преобразованием конформной плоскости всякое взаимнооднозначное преобразование этой плоскости, при котором любые четыре точки, лежащие на одной окружности, переходят в четыре точки, также лежащие на одной окружности (понимая под окружностью, в частности, и прямую — окружность бесконечно большого радиуса).

Теорема 1. (Основная теорема). Всякое круговое преобразование К есть или подобие, или инверсия, или может быть представлено в виде произведения подобия на инверсию.

Доказательство. Случай 1. Круговое преобразование К оставляет на месте бесконечноудаленную точку.

В этом случае любые три собственные точки плоскости, лежащие на одной прямой, переходят в три собственные точки, также лежащие на одной прямой. В самом деле: прямая, на которой лежат рассматриваемые три точки, проходит че-< рез бесконечноудаленную точку. Эта прямая должна перейти или в прямую, или в окружность; но в окружность она перейти не может, так как бесконечноудаленная точка неподвижна. Таким образом, К есть аффинное преобразование обыкновенной плоскости.

Но преобразование К окружность переводит в окружность и потому это аффинное преобразование является подобием. В самом деле: всякое аффинное преобразование плоскости есть произведение ортогонального преобразования на два сжатия к двум взаимно-перпендикулярным прямым; коэффициенты этих сжатий равны между собой, так как при преобразовании К окружность переходит в окружность. Произведение же ортогонального преобразования на два сжатия к двум

взаимно-перпендикулярным прямым с одинаковыми коэффициентами сжатий есть подобие.

Итак: круговое преобразование конформной плоскости, оставляющее на месте бесконечноудаленную точку, есть подобие.

Случай II, Круговое преобразование К конформной плоскости переводит бесконечноудаленную точку в собственную точку О.

Рассмотрим инверсию I с полюсом О. Инверсия / есть круговое преобразование. Поэтому произведение К/ есть также круговое преобразование; это круговое преобразование оставляет на месте бесконечноудаленную точку и потому является подобием:

К1 = П.

Отсюда

(К/)/ = П/, или /<(//) = П/.

Но I² = Е — единичное преобразование, значит

К = п/.

Замечание. Инверсия / так же, как и данное круговое преобразование К, бесконечноудаленную точку переводит в собственную точку О, а потому (в силу К = П/) подобие II оставляет точку О на месте. Значит, подобие П есть произведение некоторой гомотетии с центром О на поворот вокруг точки О или произведение гомотетии с центром О на симметрию относительно прямой, проходящей через точку О.

Теорема 2. Если круговое преобразование К не является подобием, то его можно представить в виде произведения К = QI ортогонального преобразования й, имеющего неподвижную точку О, на положительную инверсию I с центром в этой точке О. Это представление К единственно, причем й/ = /й.

Доказательство. Так как преобразование К не является подобием, то бесконечноудаленная точка переходит при этом преобразовании в собственную точку О.

Пусть М — произвольная собственная точка плоскости, отличная от О, а М'— ее образ при преобразовании /С.

Возьмем за центр инверсии / точку О, а за коэффициент инверсии число k=OM • ОМ' (инверсия / будет тогда положительной). Пусть Р — образ точки М при инверсии 7; тогда точка Р лежит на луче ОМ и при этом

ОР-ОМ = ОМ-ОМ',

откуда OP = ОМ'. Мы видим, что инверсия / с центром О и коэффициентом k = ОМ • ОМ' переводит точку М в точку Р, находящуюся от О на том же расстоянии, на каком находит* ся от точки О образ М' точки М в преобразовании К. Значит подобие П в формуле К = П/ сводится или к повороту й вокруг О, или к симметрии относительно прямой, проходящей через точку О:

к = ш.

Остается доказать единственность такого представления К. Предположим, что

К =

где /1 — положительная инверсия с центром О, а Й1 — поворот вокруг О. Из равенства

й/ = ЙЛ

следует

ЙГ*Й = 71/.

Так как множество ортогональных преобразований образует группу, то Й1~^:Й есть ортогональное преобразование. Но /1/ = Й1^-1Й, значит /J есть ортогональное преобразование. Но произведение двух положительных инверсий с коэффициентами k и k\ и с одним и тем же центром О есть положительная гомотетия с центром О. В самом деле: пусть М — произвольная собственная точка конформной плоскости, М' — ее образ в положительной инверсии / (с коэффициентом k и центром О), a Af" — образ М' в инверсии Л (с коэффиентом k_x и тем же центром О). Тогда все точки М, М', М" лежат на одном луче ОМ и при этом ОМ • ОМ' = k, ОМ' • ОМ" = k\, значит Однако положительная

ОМ k

гомотетия может быть ортогональным преобразованием тогда и только тогда, когда ее коэффициент равен 4-1, т. е. когда она представляет собой тождественное преобразование Е. Итак, /1/ = Е, откуда 1\ = /. Теперь из равенства й/ ^в =« Й1/1 следует й = й_ь

Следствие 1. Всякое круговое преобразование К отображает любую окружность взаимнооднозначно также на окружность.

В самом деле: этим свойством обладают преобразования подобия и инверсии.

Следствие 2. Множество всех круговых преобразований плоскости образует группу.

В самом деле: 1) произведение двух круговых преобразований есть круговое преобразование;

2) преобразование, обратное круговому преобразованию, есть снова круговое.

Действительно: пусть К — произвольное круговое преобразование. Его по доказанному можно представить в виде К = П/, где / — инверсия с центром О, а П — подобие, оставляющее на месте точку О. Отсюда Л^-1=/^-1 П^-1 =/П^-1— круговое преобразование, так как / и ,П^-1—круговые преобразования.

Теорема 3. Если при круговом преобразовании К три точки А, В, С остаются неподвижными, то К есть или тождественное преобразование, или инверсия относительно окружности, проходящей через эти три точки (в частности, если точки А, В, С лежат на одной прямой, инверсия вырождается в симметрию относительно этой прямой).

Доказательство. Пусть А, В, С — три точки конформной плоскости, неподвижные при круговом преобразовании К. Если К— подобие, не меняющее ориентации, то оно должно быть тождественным, ибо две из трех точек А, В, С непременно собственные, а подобие, не меняющее ориентации и оставляющее на месте две собственные точки, есть тождественное преобразование.

Если К является инверсией, то кругом инверсии должен быть круг, проходящий через точки А, В, С (если точки А, В, С лежат на одной прямой, то этот круг вырождается в прямую АВС, а инверсия — в симметрию относительно этой прямой).

Если К = й/, где / — положительная инверсия с центром О, а й— ортогональное преобразование с неподвижной точкой О, то в силу неподвижности точек А, В, С эти точки должны лежать на круге инверсии (так как в противном случае ОА' =k ОА и ортогональным преобразованием й точка А' не может быть совмещена с Л), а так как /—положительная инверсия, то й — тождественное преобразование. Итак, К — и в этом случае есть инверсия относительно окружности, проходящей через точки А, В, С. Наконец, К не может быть подобием, меняющим ориентацию (или ортогональным преобразованием второго рода), если точки А, В, С не лежат на одной прямой. Если же точки А, В, С лежат на одной прямой, а К— подобие, меняющее ориентацию (или ортогональное преобразование второго рода) и оставляющее их на месте, то

К — есть симметрия относительно прямой, проходящей через эти точки.

Теорема 4. Существует и притом только два круговых преобразования, которые переводят три любые точки А, В, С конформной плоскости соответственно в три любые точки А', В', С' той же конформной плоскости.

Доказательство. Пусть Л — инверсия с центром А, Л — инверсия с центром А'. Пусть В\ и Ci— образы точек В и С в инверсии /_ь а В\ и С/ — образы течек В' и С' в инверсии /₂.

Пусть, наконец, П —подобие, переводящее отрезок в Bj'Cj'. Тогда круговое преобразование К = ЛПЛ переводит точки А, В, С соответственно в точки Д', В', С'.

Пусть Ki и /(г — круговые преобразования, каждое из которых точки А, В, С переводит соответственно в точки Д', В', С'. Тогда круговое преобразование Л'”¹ Кг точки А, В, С оставляет неподвижными, и значит либо К^^{Кг=Е, где Е — тождественное преобразование, откуда К\ = Кг, либо Kf * Кг—К где / — положительная инверсия относительно окружности, проходящей через точки А, В, С, или симметрия относительно прямой АВС, если точки лежат на одной прямой. Из последнего соотношения следует, что Кг = К\1.

Итак, если К\— круговое преобразование, которое точки А, В, С переводит соответственно в точки Д', В', С', то всякое круговое преобразование Кг, осуществляющее это же преобразование, либо совпадает с Ki, либо равно KJ, где / — инверсия относительно окружности, проходящей через точки А, В, С, или симметрия относительно прямой АВС, если эти точки лежат на одной прямой.