Геометрические задачи с практическим содержанием (Бекбоев) 1962 - Скачать старые книги
Советская нехудожественная литература бесплатно
Описание: В предлагаемой читателю работе использован некоторый опыт работы учителей нашей республики, ряд задач был составлен самим автором в результате изучения справочно-технической литературы и наблюдений, в некоторых задачах учтен опыт других методических пособий (см. список литературы в конце книги). Почти всем задачам даны ответы.
В настоящей работе мы почти не дали задач, связанных с измерениями на местности, так как немало их имеется в учебно-методической литературе. Решению проблемы внедрения в курс математики средней школы задач и практических работ, связанных с измерением на местности, посвящен целый ряд статей, монографий и много других методических пособий.
Во многих местах мы считали нужным дать устные задачи, так как при устном решении задачи ученик вынужден не выпускать из поля своего внимания смысловое, чисто геометрическое, значение рассматриваемого вопроса, а поэтому он более полно устанавливает зависимость и соотношения в конкретных геометрических образах.
В настоящей работе даны задачи на вычисление, построение и частично на доказательство. Большинство из них имеют практическое содержание, другие — помогают более глубокому пониманию первых.
© Киргизское государственное учебно-педагогическое издательство Фрунзе 1962 КИРГИЗСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИКИ
Авторство: Исак Бекбоевич БЕКБОЕВ
Формат: PDF Размер файла: 7.39 MB
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Глава первая. Основные понятия 11
- 1. Прямая. Отрезок прямой 11
- 2. Углы. 12
Глава вторая. Треугольники. Параллельность 15
- 3. Задачи, связанные с вычислением линейных элементов и углов треугольника 15
- 4. Задачи на построение и доказательство 18
Глава третья. Четырехугольники 20
- 5. Четырехугольник. Параллелограмм 20
- 6. Прямоугольник • 21
- 7. Ромб и квадрат 22
- 8. Трапеция 25
Глава четвертая. Площадь прямолинейных фигур 23
- 9. Площадь прямоугольника и квадрата 26
- 10. Теорема Пифагора. 31
11. Площадь параллелограмма и треугольника 33
- 12. Площадь трапеции. Площадь многоугольника 36
- 13. Некоторые рассуждения и задачи о вычислении площадей геометрических фигур 41
Глава пятая. Поверхность и объем призмы 47
- 14. Взаимное расположение прямых и плоскостей в
пространстве 47
- 15. Прямая призма. Поверхность и объем прямой призмы 49
Глава шестая. Окружность. Круг. Цилиндр 52
. § 16. Длина окружности. Длина дуги 52
- 17. Площадь круга. 60
- 18. Цилиндр. Поверхность и объем цилиндра 64
Глава седьмая. Пропорциональность отрезков. Подобие фигур. 72
- 19. Пропорциональные отрезки 72
- 20. Подобие треугольников и многоугольников 77
Глава восьмая. Тригонометрические функции острого угла 84
- 21. Задачи, связанные с вычислением числовых значений тригонометрических функций 84
Глава девятая. Правильные многоугольники. 91
- 22. Задачи, связанные с вычислением линейных элементов и площадей правильных многоугольников 91
Глава десятая. Площади поверхностей и объемы геометрических тел 94
- 23. Пирамида. Усеченная пирамида 94
- 24. Конус. Усеченный конус 95
Литература 108
Скачать бесплатную книгу времен СССР - Геометрические задачи с практическим содержанием (Бекбоев) 1962 года
СКАЧАТЬ PDF
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
Решения XX—XXII съездов КПСС и Закон «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР», определив задачи советской школы в деле воспитания подрастающего поколения как неотъемлемую часть программы партии по построению коммунизма, требуют от учителей систематически вооружать учащихся знанием основ наук и прививать им умения и навыки, необходимые в их будущей практической деятельности. Для успешного претворения в жизнь этих требований необходимо пересмотреть не только содержание и объем каждого школьного предмета, но и методы его преподавания, добиться активности и самостоятельности учащихся, систематически изыскивать все более новые формы изложения теоретического материала и наиболее эффективные приемы практического применения изучаемого теоретического материала.
Задача построения материально-технической базы коммунизма в нашей стране путем оснащения промышленности и сельского хозяйства сложной современной техникой и автоматизации не только отдельных процессов производства, не только отдельных операций, но и автоматизации управления процессами управления требует от общеобразовательной школы подготовки людей, способных в короткий срок овладеть самыми совершенными механизмами и свободно ориентироваться в основных принципах устройства и действия наиболее широко распространенных автоматических механизмов. В связи с этим необходимым образом должно перестраиваться и преподавание математики, так как математические знания являются фундаментом политехнической подготовки учащихся; без них невозможно приобретение каких-либо технических знаний и тем более невозможно изучение основ современного производства.
Но математика, как известно, является для учащихся дисциплиной трудной, требующей строгого логического мышления и умения правильно переходить от конкретных фактов к абстрактным понятиям. Это обстоятельство еще больше усиливает ответственность учителя математики в деле обеспечения лучших результатов
в его работе. Успех работы учителя математики во многом зависит от того, сумеет ли он заинтересовать учащихся этой дисциплиной, вызвать у них желание и любовь к ее изучению. Они должны понимать, что в настоящее время нет ни одной области математики, не имеющей практического применения для блага человечества, что даже такая ее область, как математическая логика, долгое время считавшаяся «чистой наукой», не имеющей непосредственного практического применения,, послужила основой кибернетики, что в современных условиях нет никакой области знаний, где бы не применялась математика или не ставились опыты по применению математики, что математика — не чистая выдумка мудрецов, а большая, сложная, жизненно необходимая наука. Отвечая немецкому философу-идеалисту Дюрингу, считавшему, что математику можно вывести чисто умозрительно, не прибегая к опыту из внешнего мира, Фридрих Энгельс пишет:
«Что чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности, это, конечно, верно.
Но совершено неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения.
Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира»1.
Поскольку математика происходит из практики, то все ее выводы не могут противоречить практике.
Как указано в школьной программе по математике, одной из основных целей преподавания математики в школе является выработка у учащихся умений и навыков применения теоретических знаний на практике, содействие развитию логического мышления и пространственного воображения.
Эти требования особенно эффективно выполняются в процессе решения задач и упражнений. Поэтому следует отметить, что успех практической подготовки учащихся на уроках математики значительно зависит именно от содержания и тематики решаемых ими задач.
Великий русский математик и замечательный педагог П. Л. Чебышев указывал, что особую важность имеют те методы, которые «.необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как
1 Ф. Энгельс, Ант и-Д ю р и н г. Госполитиздат, 1948, стр. 37.
2 Программы средней школы на 1961—62 учебный год. Математика. VIII—X классы, Учпедгиз, 1961, стр. 5.
располагать средствами для достижения по возможности большой выгоды?»1.
Именно поэтому «.большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин. и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая? везде ищет самого лучшего, самого выгодного» 2.
Мы имеем в виду, чтобы геометрические задачи решались не просто ради решения задач вообще, а носили практический характеру чтобы, решая ту или иную задачу, учащиеся могли ответить на koh-i кретные вопросы, поставленные жизнью.
Ниже приводим некоторые примеры, отвечающие поставленным требованиям.
В VI классе после изучения свойства перпендикуляра, восставленного из середины данного отрезка, решается несколько задач, среди которых типичной является задача следующего содержания: «По одну сторону прямой АВ даны две точки М и Д/ Найти на прямой АВ точку С, равноудаленную от точек Ми N ».
Этой задаче можно придать хотя бы следующий практический смысл:
а) «На одном и том же берегу реки, на разных расстояниях от нее расположены колхозы А и В. Где построить мост через реку, чтобы он отстоял от каждого колхоза на одно и то же расстояние?» или
б) «По одну сторону реки находятся населенные пункты А и В. В каком месте (С) берега нужно посхроить пристань, чтобы сумма расстояний АС+ВС была наименьшей?»
На эту же тему в стабильном задачнике Н. Рыбкина дается такая задача: «Найти точку, равноудаленную от всех вершин треугольника. Всегда ли эта точка будет внутри треугольника?» (Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, § 3, № 32). Содержание этой задачи также следует конкретизировать разными возможными способами, исходя из местных условий. Например:
«Из трех соседних домов один расположен на углу квартала, а два других — по обе стороны от него. Расстояние от первого дома до второго 60 м, от второго до третьего — 80 м, а от третьего до первого—100 м. На каком расстоянии от углового дома нужно вырыть котлован для парового отопления, чтобы он находился на одинаковом расстоянии от всех трех домов?»
Учителю математики. необходимо учесть, что учащиеся и даже
1 П. Л. Чебышев. Избранные математические труды, стр. 100.
2 П. Л. Чебышев. Полное собрание сочинений, Издательство Академии наук СССР, 1951, т. V, стр. 157.
специалисты испытывают большие затруднения именно при переходе от абстрактных математических задач к важным практическим задачам.
Как показывает наше посещение школ, в IX классе при изучении темы «Правильные многоугольники» некоторые учащиеся даже устно отвечали на вопрос: «У каких правильных многоугольников внутренний угол содержится целое число раз в полном угле (4rf)» (Ответ: у правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника). Для учащихся не представляет особой трудности решение и следующей задачи: «Какой из данных трех правильных многоугольников (правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник) имеет наименьший периметр при равной площади?»
Но как только эти две задачи объединили в одну общую и сформулировали ее как практическую задачу:
«Какими одинаковыми плитками в форме правильных многоугольников можно вымостить паркет?
В каком из возможных вариантов будет наименьшая длина швов, если вымостить одну и ту же площадь одинаковым количеством плиток?», то ее не мог решить ни один из 40 девятиклассников — участников межрайонных математических олимпиад, проведенных в городах Фрунзе, Таласе и Пржевальске 5 января 1962 года.
Необходимо также отметить, что составление и решение задач с новой фабулой, по новой тематике положительно сказывается на процессе обучения, содействует расширению кругозора учащихся и повышению их интереса к математике. Решение задач практического содержания не только вызывает живой интерес к задаче, но и полнее содействует знакомству учащихся с основами различных производственных процессов, воспитывает у них любовь к труду и к определенной профессии.
Изучение опыта работы передовых учителей Киргизской республики показывает, что по сравнению с другими математическими учебными предметами на уроках геометрии учитель имеет наибольшие возможности осуществления связи обучения с жизнью, с производством, с практикой коммунистического строительства. Это объясняется в основном следующими двумя обстоятельствами.
Во-первых, с геометрией связаны многие важнейшие отрасли науки, составляющие основы современной техники. Например, в физике, химии, минералогии имеются целые разделы (механика, геометрическая оптика, стереохимия, кристаллография и др.), опирающиеся на геометрию. Существует прочная связь геометрии и с геодезией, черчением и астрономией.
Во-вторых, знание свойств пространственных форм нужно для решения целого ряда теоретических и практических вопросов, связан
ных с хозяйственными и культурными потребностями, которые имеют огромную роль в современной народнохозяйственной жизни страны. Например, немыслимо проведение таких подземных сооружений, как шахты, рудники, туннели, подземные кабельные и канализационные системы и т. п. без геометрии недр. Геометрия играет решающую роль в строительном деле: при сооружении зданий, мостов, каналов, прокладке дорог. Велика роль геометрии и в самой технике: при разработке технических конструкций, йри проектировании и сооружении станков, машин и двигателей. Геометрией пользуются и при раскрое тканей, кожи, листов металла и т. п. Поэтому при умелой организации преподавания теоретические вопросы школьного курса геометрии можно легко увязать с практической жизнью людей.
Учитель средней школы им. В. И. Ленина Ат-Башинского района Тянь-Шаньской области тов. Керимбаев А. на уроках геометрии часто решает с учащимися задачи, содержание которых тесно связано с процессами работы сельского промкомбината, РТС, сельской электростанции, строительства и других объектов района. Вопросы таких задач очень разнообразны: в одних из них требуемся определить количество отходов при раскрое материала, в других требуется определить количество досок определенных размеров, получаемых из данного бревна, в третьих — подсчет необходимого количества стройматериалов и т. п.
В деле составления и решения задач с практическим содержанием на уроках геометрии большой опыт имеет учитель Степнин- ской средней школы Калининского района тов. Саранди С. Н., который занимается этим вопросом с 1958 г. Данные для составления задач тов. Саранди С. Н. берет не только из материалов, проведенных математических экскурсий, но и из различной технической литературы. Хорошо использует он также опыт работы самих учащихся в учебных мастерских, в ученических производственных бригадах. Собирая необходимые материалы для задач из вышеуказанных источников в течение ряда лет, он составил картотеку задач, в настоящее время имеет большой набор их и систематически использует на уроках.
Одним из эффективных методов изучения геометрии и прочного усвоения теоретического материала тов. Саранди С. Н. считает именно самостоятельное составление и решение задач самими учащимися, их строгий анализ с точки зрения соблюдения всех дидактических принципов.
Мы целиком согласны с этим мнением тов. Саранди С. Н., так как решение задач практического содержания и особенно самостоятельное составление и решение самими учащимися с соответствующим анализом и выявлением ошибок (особенно практического характера) в полной мере способствует поставленной современностью задаче о
сближении школы с жизнью и с практикой подготовки подрастающего поколения к общественно полезному труду.
Изучение опыта работы учителей также показало, что многие практические задачи даже из стабильного задачника недоступны пониманию ученика, так как ему не приходилось в жизни видеть тот или иной объект, о котором идет речь в задаче. Учащийся очень часто затрудняется при решении такой задачи. Здесь нужно прибегать к задачам, самостоятельно составленным самим учителем, где речь будет идти об объекте, знакомом и, возможно, имеющем сходство с объектом, который описывается в задачнике. Это значит, что составление задач с практическим содержанием всегда остается обязательной частью работы учителя математики. Понятно, что составление более удачных задач, отвечающих всем дидактическим требованиям и требованиям практики, дело нелегкое. Очень часто предлагаемые учащимся практические задачи бедны математическим содержанием и оформлены так, что все решение сводится к подстановке данных в какую-нибудь формулу.
Большой интерес представляют такие практические задачи, в условиях которых описываются некоторые комбинации геометрических тел. Например: 1) бетономешалка, представляющая собой тело, состоящее из двух усеченных конусов и цилиндра, которое получается при вращении трапеции вокруг большого ее основания (вычисляется площадь поверхности для того, чтобы узнать, сколько листового металла потребуется на изготовление определенного количества бетономешалок) ; 2) сепаратор представляет собой комбинацию цилиндра и усеченного конуса (вычисляется его вместимость в литрах); 3) ковш молотковой дробилки ДТК-0,1, предназначенной для дробления различных кормов (зерновых продуктов, кукурузы в початках, минеральных кормовых примесей, сена и т. п.), представляет собой многогранник, состоящий из прямой треугольной призмы и двух равновеликих четырехугольных пирамид (вычисляется поверхность или объем); 4) бункер батареи для силосования кукурузы, состоящий из комбинации правильных шестиугольных призм и цилиндров (вычисляется объем); 5) юрта (киргизская), сочетающая шаровой пояс и сегментную поверхность (вычисляется площадь поверхности, чтобы узнать необходимое количество кошмы для сооружения одной юрты); 6) свекловичный кагат, имеющий форму неправильной призмы (вычисляется поверхность, чтобы узнать потребное количество камышовых матов для покрытия, или вычисляется объем, чтобы узнать вес сахарной свеклы, а следовательно и вес получаемого сахара) и т. д. Количество подобных примеров можно было бы значительно продолжить.
Ясно, что при решении таких задач, с одной стороны, требуется
применение определенных формул, с другой стороны, проверяется усвоение геометрического материала и умение разбивать данную фигуру на части, объемы или поверхности которых удобно найти по имеющимся данным.
Общепризнано значение практических задач, которые по своему математическому смыслу не только не уступают абстрактным, чисто геометрическим задачам, а содержат много полезных сведений и для изучения отвлененных математических закономерностей. Решение таких задач дает учащимся и практические навыки, которые станут пригодными для некоторых из них и после окончания школы.
Например, возьмем задачу :«Из трех досок одинаковой ширины нужно сделать желоб с поперечным сечением в форме: равнобедренной трапеции, меньшее основание которой равно боковой стороне.
При каком угле при большем основании трапеции площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?»
В процессе решения этой задачи прежде всего учащиеся устанавливают зависимость между тригонометрическими функциями искомого угла и большего основания трапеции, а также ее высоты, принимая ширину доски за постоянную величину. Затем вычисляется площадь трапеции и после упрощения полученного выражения (оно приводится к произведению трех сомножителей), они наталкиваются на мысль, что так как ширина доски — величина постоянная, то значит величина площади будет наибольшей только при наибольшем значении произведения (остальных двух сомножителей), каждый из которых является функцией от искомого угла. Наконец, они должны знать, что произведение двух множителей будет наибольшим только при равенстве этих множителей.
Следовательно, получается тригонометрическое уравнение, решение которого дает ответ на вопрос задачи (60°).
Отметим, что составлению и решению задач практического содержания с каждым годом уделяется все большее и большее внимание. Об этом ярко свидетельствует не только резкое увеличение количества практических задач в последнем издании стабильного задачника1, но и появление, хотя бы только за один 1961 год, нескольких книг, специально посвященных практическим задачам:
М. М. Лиман «Практические задачи по геометрии для восьмилетней школы», 1961,
И. П. Богуславский «Сборник практических задач и упражнений по геометрии», 1961 (на украинском языке),
И. М. Кипнис «Сборник прикладных задач на неравенства» и др.
В этой литературе (задачниках) учитель может найти практические задачи по каждой Основной теме школьного курса геометрии, в большинстве своем отличные от задач из стабильного задачника. Наличие этих дополнительных задачников, с одной стороны, безусловно облегчает работу учителя в выборе нужной ему практической задачи, с другой стороны, является своеобразным толчком по усовершенствованию стабильных задачников в каждом новом издании. Такую же скромную цель преследовали и мы, составляя настоящий сборник задач. В нем дается около 450 задач, некоторые из них снабжены краткими решениями; задачи расположены в порядке изучаемых тем школьной программы.
■Автор настоящей работы будет признателен лицам, которые пожелают указать на недостатки данной работы и меры дальнейшего ее улучшения.
Математика - Практикум - Практические-Лабораторные занятия

Геометрия - ЗАДАЧИ - РЕШЕНИЯ - УПРАЖНЕНИЯ

Математика - ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ОПЫТ - ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ

Геометрия - Для Учителей, Геометрия - Задачи - Решения - Упражнения, Геометрия - Педагогический опыт - из опыта работы, Геометрия - Практикум - Практические занятия, Автор - Бекбоев И.Б.