• 20. Сфера и шар. 54

Глава ///. Объемы многоугольников и

• 27. Тело 68
• 28. Понятие об объеме тела 70,
• 29. Объем прямой призмы 72
• 30. Вычисление объемов с помощью интегралов 74
• 31. Объем цилиндра. 77
• 32. Объем призмы 78
• 33. Объем пирамиды. 79»

Глава IV. Повторение

I. Планиметрия 100

II. Стереометрия 103

• 8. Площадь поверхности призмы 23
• 9. Пирамида 25
• 10. Правильная пирамида 27
• 11. Свойства пирамиды 30
• 12. Площадь поверхности пирамиды 33
• 13. Усеченная пирамида 35
• 14. Площадь поверхности усеченной пирамиды 37

Упражнения к главе I 38

• 21. Сечение сферы и шара плоскостью 56
• 22. Взаимное положение сфер (шаров) 58
• 23. Части сферы и шара " 59
• 24. Касательная плоскость. Касательная к сфере 61
• 25. Вписанные и описанные шары и многогранники 62
• 26. Вписанные и описанные шары, конусы, цилиндры 65

Упражнения к главе II 66

тел вращения

• 34. Объем конуса 83
• 35. Объем шара и шарового сегмента 85
• 36. Объем шарового сектора 88
• 37. Площадь поверхности цилиндра 89
• 38. Площадь поверхности конуса 91
• 39. Площадь сферы и ее частей 94

Упражнения к главе III 97

III. Формулы 113

Ответы 115

Методические указания 124

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Следует отметить, что термин „ограниченная фигура*1 толкуется по-современ- ному в смысле ограниченности расстояний между точками фигуры.

Для площадей поверхностей тел вращения дана теория, которая не отличается большой строгостью, но показывает связь между производной и площадью границы тела.

В упражнениях, как и в IX классе, задана и норма оценок (без звездочки на оценку „3“, со звездочкой на „4“ и „5й).

В учебнике IX класса были введены векторы. В X классе они должны применяться для решения задач. В некоторых установочных задачах, условие подскажет, что надо применить векторы. В других задачах придется самому учителю или ученику установить эту возможность. Полезно сказать ученикам, что векторы применяются: 1) для доказательства параллельности векторов (прямых, их несущих); 2) для нахождения отношения отрезков; 3) при доказательстве совпадения точек. А с помощью скалярного произведения можно: 1) установить перпендикулярность векторов (прямых, их несущих); 2) найти длину отрезка, угол между прямыми.

• 1. До изложения содержания этого параграфа следует проверить, что знают ученики о множествах, их пересечении и объединении из прошлых курсов по математике. При необходимости следует употребить некоторое время на ознакомле-ние их с этими понятиями. Можно изложить этот материал, пользуясь пробным учебником геометрии для VI класса под редакцией А. Н. Колмогорова.

Тему следует начать с понятия пространства как множества всех точек. Учащиеся в первую очередь должны усвоить, что объединение плоских углов многогранного угла разбивает множество не принадлежащих им точек пространства па два подмножества; усвоить особенность этих подмножеств.

• 2, 3. Доказательство свойств трехгранного и многогранного углов можно опустить, но рекомендовать ученикам прочитать этот материал дома. Он будет нужен в основном для определения числа видов правильных многогранников, а этой темы в новой программе нет. Свойства многогранных углов встретятся и при решении задач. Например, если в треугольной пирамиде плоские углы при вершине а, а, Р, то они связаны условием 2а 4-р < 360° и 0 < Р < 2а. Основное внимание в теме обращено на понимание определений, свойств и на решение задач, а не на доказательства свойств многогранных углов.

В дальнейшем неоднократно потребуется использовать свойство проекции ребра трехгранного угла на противоположную грань, если прилежащие к ребру плоские углы острые и равны.

• 4. Общее определение многогранника, опирающееся на определение много-гранной поверхности, очень сложное и длинное, дать его в школе трудно. К тому 124

же во всех учебниках средней школы практически речь идет о выпуклых много-гранниках. Давать же определение многогранника, опираясь на распространенное в учебной литературе определение „тело—часть пространства, ограниченная со всех сторон", не хочется из-за неопределенности термина „ограниченный". Под это оп-ределение подходит круг, он тоже ограниченная часть пространства. В учебнике нет общего определения поверхности, определены только поверхность вращения и поверхность многогранников.

Поэтому в учебнике дано определение только выпуклых многогранников. В определении встретится термин „ограниченный". Следует обратить свое внимание и привлечь к этому внимание учеников, что ограниченность понимается не в смысле наличия „границы", а в смысле ограниченности размеров фигуры; это значит,что расстояние между двумя точками не может превысить некоторого заданного числа.

Следует привести различные примеры. Так, в планиметрии угол имеет границу—стороны, но он не ограничен. Всегда найдется точка, удаленная от его вершины на расстояние, превышающее любое число. Круг же ограничен не потому, что его граница—окружность, а потому, что расстояния между его точками не могут превысить диаметра круга.

Невыпуклые многогранники могут встретиться в курсе, но представление о них остается на уровне интуиции.

Чтобы легче понять пересечение полупространств, в учебнике приводится мо-дель—комната, в которой сидит ученик. Ориентируясь на себя, ученик легче представит все шесть полупространств. Условие, по которому пересечение полупространств содержит три некомпланарные точки, исключает случаи, когда пересечение—точка, прямая, отрезок, многоугольник.

• 5. Призма рассматривается только выпуклая. Призматическая поверхность дана не традиционно, с помощью движения прямой, параллельной данной прямой, так как в этом случае надо доказывать, что множество таких прямых, пересекающих отрезок, —полоса. В решении задачи № 19 надо использовать вектсры.
• 6. Для усиления наглядности доказательства свойств правильной призмы полезно изготовить модель. На листе картона чертят шестиугольник ABCDEF, проводят радиусы, отмечают центр О. Затем из картона, а лучше из плексигласа вырезают такой же шестиугольник и накладывают на картон, совмещая их одно-именные вершины. Через их центры пропускают ось (из проволоки). Тогда при повороте на углы, кратные 60°, верхняя модель шестиугольника совмещается с нижним шестиугольником.

В параграфе встретится новый метод—координатный. Его можно применять в случаях, когда легко установить систему координат.

Относительно изображения призм следует помнить, что, соблюдая правила параллельного проектирования, всякое эскизное изображение призмы окажется сделанным в некоторой произвольной проекции с какими-то направлениями и коэффициентами искажения.

• 7. В этом параграфе при доказательстве встретится перенос. Следует напомнить ученикам, что перенос преобразует плоскость в параллельную плоскость, а фигуру в равную ей.

В решении многих задач этого параграфа хорошо применить векторы и координатный метод (№ 41—45, 54, 55).

• 8. При доказательстве теоремы о площади боковой поверхности призмы можно взять случай, когда перпендикулярное сечение существует, затем перейти к случаю, когда плоскость не пересекает всех боковых ребер призмы.

В задаче № 62 требуется найти минимум. Примем высоту канала за х, тог- 4 5 4 5

да ширина перпендикулярного сечения — , а смоченный периметр у=2х-\——

X X

Для у находят минимум уже известным ученикам способом.

• 9. Пирамида рассматривается как пересечение полупространств. При реше

нии задачи № 72 лучше применить векторы. Для этого вводят AD=a, АВ=Ь, ■ > ■ ■> ЛС = с, затем выражают через них DG (G— центр тяжести ДЛВС), находят DG2 и длину DG. Можно использовать векторы и при решении задачи № 77.

• 10. При объяснении свойств правильной пирамиды полезно использовать модель, примененную в § 6.
• 11. Для дальнейшего изучения очень важны свойства 1 и 2. Свойство 3 нужно в первую очередь для определения усеченной пирамиды, затем при изучении гомотетии в пространстве.

Основную часть времени следует отвести на решение задач.

• 12, 13, 14. Материал изложен традиционно.
• 15. Определение „тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг компланарной с ней прямой44 опирается только на наглядное представление. В учебнике дано точное определение, его доступность для ученика выяснит экспе-римент. Содержание материала темы по сравнению с традиционным сужено, рас-сматриваются только поверхности и тела вращения.

Лабораторную работу № 163 следует проводить только при наличии условий. Вертикальный стержень должен быть достаточно жестким, чтобы стержень не от-клонился под действием центробежной силы.

• 16. Главное внимание обращено на решение задач о вписанных и описанных многогранниках и цилиндрах.
• 17. Из конусов рассматривается только конус вращения. При решении задач на развертки можно использовать формулу а=360°»-у-.
• 18. Изложение ведется так же, как в § 16.
• 19. Основное в этом параграфе—решение задач.
• 20. Сфера и шар определяются как поверхность и тело вращения. Это облегчит некоторые доказательства. В книге почти все чертежи точные (полюс не лежит на абрисе). Но на уроке, добившись принципиального понимания этого вопроса, выгодно применять эскизные чертежи с небольшим наклоном оси. Вообще (черт. 84)

ос

пусть КОР=а, тогда видимое отклонение РК —г—г cos а=2r sin® -у , длина же диаметра изображения CD=2rsina. При малом угле наклона оси a sin а мал. Порядок малости CD=2r sin а первый, порядок PK=2rsin® второй. Применяя эскизное изображение сферы, мы пренебрегаем малыми второго порядка.

• 21. Значение теоремы о сечении шара плоскостью в том, что после нее можно сказать о бесконечности множества осей вращения шара.
• 22. Определение сферы (шара) как поверхности (тела) вращения облегчает доказательства некоторых теорем. Это находит подтверждение в данном параграфе. Можно сделать модель для демонстрации связи между взаимным положением ок-ружностей на плоскости и сфер в пространстве. Для этого берут жесткую ось и к ней прикрепляют соответствующие окружности. При вращении на центробежной машине они образуют видимые сферы.
• 23, 24, 25, 26. Материал изложен традиционно.
• 27. В параграфе дается понятие тела популярно, а петитом приведено более строгое определение. В результате эксперимента хотелось бы получить ответ на вопрос, доступно ли строгое определение понятия тела для учеников.

При строгом определении тела встретится термин „замкнутая область". Похожий термин встречался в планиметрии „замкнутая ломаная". Если ученики спросят об их общности, то следует сказать, что между понятием „замкнутая область" и понятием „замкнутая ломаная" геометрически ничего общего нет. Надо дать больше примеров. Например, на плоскости угол и треугольник—замкнутые области (каждая из этих фигур—объединение внутренней области и граничных точек), но угол—неограниченная фигура, а треугольник—ограниченная. Также и в стереометрии. Например, полупространство и шар по определению—замкнутые области, но шар радиуса т ограничен (расстояние между его точками не превысит 2г), а полупространство, очевидно, не ограничено.

В параграфе много упражнений на равенство тел, которые демонстрируют при-менение геометрических преобразований. Например, в № 279: 1) используется по-

~~ >

ворот на 180°; 2) перенос на вектор AKi (длиной 4); 3) перенос и поворот. В № 282

может быть два случая: 1) достаточно переноса на ААг и поворота на 90°; 2) к переносу и повороту следует добавить симметрию относительно плоскости.

• 28. Согласно программе для вычисления объемов тел надо применить оп-ределенный интеграл. До выхода учебников алгебры неясен характер изложения темы в геометрии. В частности, если в учебниках алгебры будет дано понятие верхней грани, то это сильно изменит изложение темы в геометрии. На данном этапе, вероятно, нет смысла давать понятие объема по Жордану, применяя про-странственные сетки кубов, если сразу после объема прямой призмы дается фор- ь

мула V = S (х) dx без доказательства. Поэтому введен и объем прямоугольного а

параллелепипеда как аксиома (аналогично у Гильберта в основаниях геометрии вво-дится как аксиома площадь треугольника после доказательства, что в ДЛВС aha = bhb = chc). На уроке, подводя к этой аксиоме, следует показать аналогию с площадью прямоугольника. Так, площадь его S=ab однозначно определяет S; кроме того, выражение ab имеет второе измерение. Выражение abc—третьего измерения и тоже однозначно определяет V,

• 29. Доказательство равенства призм с помощью поворота на 180° более наглядно, чем применение центральной симметрии относительно точки пересечения диагоналей.
• 30. Как уже говорилось, до выхода учебников алгебры нет ясности, в каком объеме можно использовать аппарат интегрального исчисления в приложе- ь

нии к геометрии. В учебнике основная формула У=^ S(x)dx приведена без дока- а

зательства, рассмотрен только один частный пример. В данный момент важнее показать учащимся возможности применения интегрального исчисления, чем фор-мальное дедуктивное построение курса. Ученикам можно сказать, что формула доказывается только в университетских курсах.

• 31— 36. За исключением применения интегралов для вывода формул объема тел, материал традиционен. Ранее рассматривались многогранники в основном выпуклые. В практике приходится вычислять объемы деталей, имеющих форму невыпуклых многогранников. В этом случае деталь (не геометрическое тело, а физический предмет) разделяют на части, находят их объемы и суммируют.
• 37— 39. Вычисление площадей поверхностей вращения отличается от тради-ционного. В изложении нет той строгости, которой отличаются современные теории поверхности. Но метод Минковского приводит к длинным вычислениям, а методы дифференциальной геометрии недоступны. Предлагаемый прием вычисления площадей поверхностей вращения единообразен, сравнительно прост и показывает связь между производной и границей тела. Этот метод ясен в случае вычисления площади поверхности цилиндра и сферы. Слой толщиной Дг воспринимается легко. Толкование слоя толщиной Д/n для конуса сложнее. В учебнике приведены два способа вычисления площади поверхности конуса. На чертеже 138 следует расстояние т обозначить через ОМ. Тогда £К0М=а. Следует обратить внимание на то, что во втором случае нельзя говорить о приращении ДУ. Первый способ грубее, менее близок к естественному пониманию „слоя толщиной Длг*‘, по сути отличается от второго только тем, что во втором при вычислении учитываются бесконечно малые порядка выше первого. (На чертеже 140 выпала буква В,)

Примерное распределение уроков: многогранники—18 ч, поверхности и тела вращения — 15 ч, объемы тел—17 ч, повторение — 20 ч.

В конце каждой темы проводится контрольная работа на 1 урок.

Целесообразно дать диагностические работы на 25—30 минут после § 7, 19, 33.

При необходимости можно часов 5—6 взять из времени, отведенного на повторение. При желании можно дать контрольных работ больше на повторение. Например, одну при повторении планиметрии и две при повторении стереометрии.