10. Понятие о теореме  27

11. Перпендикуляр и наклонная  29

12. Расстояние от точки до фигуры  31

13. Касательная к окружности  34

14. Свойство биссектрисы угла  36

15. Задачи на построение  38

16. Знак общности  40

17. Структура теоремы  42

Глава III. Центральная симметрия  44

18. Поворот

19. Параллельность центрально-симметричных прямых  47

20. Накрест лежащие углы  49

21. Обратная теорема  51

22. Признак параллельности двух прямых ... 52

23. Сумма величин углов выпуклого много¬угольника   54

24. Параллелограмм  57

25. Свойства параллелограмма  59

26. Признаки параллелограмма  60

27. Необходимые и достаточные условия ... 63

28. Ромб  65

29. Прямоугольник. Квадрат  67

7 класс

Глава IV. Измерение длин  70

30. Предикат

31. Знак существования  72

32. Средняя линия треугольника  74

33. Средняя линия трапеции  76

34. Измерение длины отрезка  79

35. Действия с длинами отрезков  82

36. Отношение длин отрезков  84

37. Теорема о пересечении двух прямых параллельными прямыми 86

38. Следствие из теоремы о пересечении двух прямых параллельными  88

39. Измерение величин вписанных углов  91

Глава V. Измерение площадей  94

40. Отрицание

41. Контрпример   97

42. Измерение площади фигуры  100

43. Действия с площадями фигур  103

44. Формула площади параллелограмма  105

45. Формула площади треугольника 108

46. Формула площади трапеции  111

47. Площадь произвольного многоугольника

Глава VI. 

Векторы и параллельный перенос 116

48. Композиция движений

49. Свойства композиции движений  119

50. Вектор  121

51. Сумма векторов  125

52. Композиция параллельных переносов 129

53. Свойства суммы векторов  133

54. Сходство в действиях над векторами и числами  136

55. Доказательство от противного  139

56. Противоположная теорема  141

57. Группа отображений плоскости  143

58. Группа самосовмещений фигуры  146

Глава VII. Гомотетия и подобие  149

59. Гомотетия

60. Свойства произведения вектора на число . . 152

61. Свойства гомотетии  154

62. Применение векторов к решению задач . . 157

63. Центр тяжести треугольника  160

64. Отображения, сохраняющие и меняющие ориентацию   162

65. Подобие  166

66. Подобие как композиция гомотетии и движения   169

67. Отношение площадей подобных фигур ... 171

8 класс

Глава VIII. Координаты векторов  174

68. Логические союзы «и», «или»

69. Определение  177

70. Линейная комбинация векторов  179

71. Координатная запись действий над векторами 183

72. Косинус и синус  186

73. Формулы приведения  189

74. Отрицание в теоремах и определениях 192

Глава IX. Скалярное произведение векторов  195

75. Определение скалярного произведения 

76. Свойства скалярного произведения 198

77. Применение скалярного произведения к ре¬шению задач  201

78. Вычисление скалярного произведения в ко¬ординатах    203

79. Вектор, перпендикулярный прямой .... 205

80. Теорема косинусов  208

81. Теорема синусов  211

82. Решение треугольников  213

Глава X. Понятие об аксиоматическом методе . . . 216

83. Аксиомы Евклида  

84. Противоречивость  219

85. Непротиворечивость и понятие модели... 221

86. Н. И. Лобачевский и его геометрия .... 223

87. Завершение аксиоматизации геометрии. . . 226

88. Понятие метрического пространства .... 229

89. Эрлангенская программа Ф. Клейна .... 232

Дополнительные задачи  234

Задачи с практическим содержанием 265

Приложения (косинусы и синусы)  268 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дорогие шестиклассники!

Уже пять лет вы изучаете в школе математику. С этого года у вас будут два различных математических предмета: геометрия и алгебра. Геометрия изучает предметы окружающего мира с точки зрения их размеров, формы и взаимного расположения,— отвлекаясь от их цвета, температуры, полезности и других «негеометрических» свойств.

Некоторые первоначальные сведения, относящиеся к геометрии, вы уже имеете. Например, вам знакомы различные геометрические фигуры: треугольник, круг, прямая линия, угол и другие. Вы можете измерить длину отрезка и величину угла, знаете, что во всяком треугольнике сумма величин углов равна 180°, умеете строить параллельные и перпендикулярные прямые и т. п. Теперь эти знания нужно углубить и пополнить новыми фактами. В этой книге, предназначенной для изучения в VI, VII и VIII классах, речь будет идти не о пространственных предметах, а лишь о фигурах, расположенных в плоскости.

Геометрия (как, впрочем, и любая другая наука) очень интересна. Но интерес не приходит сам по себе, он завоевывается в труде. Решайте задачи, возвращайтесь (без напоминания учителя) к тому, что было пройдено вчера, на прошлой неделе, месяц назад, проверяйте, все ли помните, все ли понятно. И чем меньше непонятного, неясного будет оставаться, тем большее влечение вы будете чувствовать к математике, тем более привлекательной и интересной она будет казаться.

Изучая геометрию, вы получите представление о том, как нужно рассуждать при решении задач, как делать правильные умозаключения, или, как говорят, логически мыслить. Навыки логического мышления нужны всем—и не только на уроках математики, а в самых различных случаях жизни: они помогают сделать верный вывод, найти выход из затруднительного положения, убедить других в правильности найденного решения и т. д.

Ответов к задачам вы в конце книги не найдете. Ведь мы хотим, чтобы вы научились верно рассуждать, были уверены в правильности логических доводов, в разумности найденного пути решения. Мы хотим, чтобы вы смогли применять свои геометрические и логические знания в жизни, в вашей будущей работе,— а ведь жизнь не дает ответов на те вопросы, легкие и трудные, которые она ставит. Поэтому привыкайте решать задачи без «подглядывания» в ответ. А если иногда решение ваше окажется не совсем правильным, неточным,— вас поправят товарищи и учитель.

Математика — и, в частности, геометрия — нужна и полезна буквально всем: инженерам и космонавтам, врачам и спортсменам, строителям и геологам. Уже сейчас, в двадцатом столетии, математика все более прочно завоевывает позиции в различных областях—даже в медицине, живописи, музыке,— не говоря уже о технике. А ведь вам придется жить и работать, быть участниками коммунистического строительства не только в 20-м, но и в 21-м столетии, когда роль математики еще более возрастет. И хотя нравится математика не всем одинаково—одним больше, другим меньше,—но изучать и хорошо знать ее нужно всем.

Желаем вам успехов!

Авторы