Геометрия 7 класс (Колмогоров, Черкасов, Нагибин, Семенович) 1977 год - старые учебники

63.Хорды и касательные  38

64.Одно замечательное свойство окружности  41

65.Центральные углы и дуги 45

66.Дуги и хорды  48

67.Угловая величина дуги  50

68.Зависимость между расстоянием хорды от центра, ее длиной и угловой величиной стягиваемой ею дуги  53

Задачи на повторение к главе IV  56

Глава V. Векторы

69.Перемещения. Векторы испособыихзадания 59

70.Вектор как частный случай перемещения 63

71.Сложение векторов  65

72.Коллинеарные векторы 69

73.Сочетательность сложения векторов. Противоположный вектор. Вычитание векторов 71

74.Умножение вектора на число 73

75.Основные законы векторной алгебры  76

76*. Векторные величины в физике   80

77.Композиция произвольных перемещений  82

Задачи на повторение к главе V 88

Глава VI. Подобие

§ 1.Подобие и гомотетия

78.Подобные фигуры 90

79.Определение гомотетии 95

80.Основные свойства гомотетии 98

81.Пропорциональные отрезки 101

82.Построение гомотетичных фигур 104

83.Построение подобных фигур 103

84*. Преобразование подобия  108

§ 2.Подобные многоугольники

85.Признак подобия треугольников по трем сторонам 110

86.Признак подобия треугольников по двум углам  111

87.Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу113

88.Теорема Пифагора 116

89.Подобные многоугольники 120

90.Отношение площадей подобных фигур 123

91.«Метод подобия» при решении задач на построение 126

§ 3.Некоторые применения гомотетии и подобия

92.Пропорциональный циркуль  128

93.Поперечный масштаб 129

94.Определение высоты предмета 131

95.Определение расстояния до недоступной точки —

96.Мензульная съемка плана земельного участка132

97.Пантограф 135

Задачи на повторение к главе VI 138

Задачи на повторение к главам II—VI 141

Ответы 144

 Глава II.

МНОГОУГОЛЬНИКИ. (Продолжение)

46. Необходимые и достаточные условия

1. Мы должны познакомиться с двумя понятиями, которые представляют интерес не только для геометрии, но и для любого раздела математики. Первый пример возьмем из алгебры.

Рассмотрим два равенства

х = —у,(1)

х2 = у2.(2)

Если верно равенство (1), то верно и равенство (2). Обратного утверждать нельзя: в случае х = у = 1 равенство (2) верно, а равенство (1) ошибочно.

Говорят, что равенство (2) является необходимым условием равенства (1), а равенство (1) является достаточным условием равенства (2).

Вообще, если из истинности высказывания Q вытекает истинность высказывания Р, то Р называют необходимым условием Q, a Q — достаточным условием Р.

Рассмотрим геометрический пример. Мы знаем, что в параллелограмме ABCD (рис. 1)

| АВ | = | CD |,(1)

|BC|=|AD|(2)

(следствие 1 из п. 44). Каждое из равенств (1) и (2) является необходимым условием для того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом. Но ни gQ

одно из них, взятое отдельно, не яв- //

ляется достаточным для того, чтобы //

четырехугольник ABCD был парал- г• д

лелограммом. В самом деле, четы-Рис. 1

• •yCрехугольник (рис. 2) удовлетворяет

я\условию (1), не будучи параллелог-

/\раммом. Ясно, что подобный пример

/\ можно построить и для условия (2).

Д   ■■■ 2?2. Рассмотрим теперь условия (1)

Рис. 2и (2) совместно.

В четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны *>:

|АВ| = |СР| и |ВС| = | AD\.(3)

Мы знаем (следствие 1 из п. 44), что условие (3) необходимо для того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

Теорема 30 из п. 45 показывает, что условие (3) является в то же время достаточным. Соединяя эти два утверждения, получаем такую теорему:

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно конгруэнтны.

Приведем еще пример необходимого и достаточного условия. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы две противоположные стороны его были конгруэнтны и параллельны.

Для доказательства этой теоремы нужно доказать два взаимно обратных предложения:

1.Если четырехугольник — параллелограмм, то в нем две противоположные стороны конгруэнтны и параллельны (необходимое условие).

2.Если в четырехугольнике две противоположные стороны конгруэнтны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм (достаточное условие).

Мы знаем, что каждое из этих предложений верно (см. пункты 43—45). Значит, верно и предложение, сформулированное в нашем примере.

*) Здесь мы пользуемся установленным в п. 39 соглашением: длину стороны многоугольника можно называть для краткости его стороной, величину угла — углом. Длину диагонали многоугольника называют просто его диагональю и т. п.

Вопросы и задачи

1.Верны ли следующие высказывания: а) чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы две их стороны были противоположными лучами; б) чтобы треугольник был прямоугольным, достаточно, чтобы сумма двух его углов была равна 90°; в) чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы его диагонали делились в точке их пересечения пополам; г) чтобы два угла были конгруэнтны, достаточно, чтобы они были вертикальными?

2.Назовите несколько достаточных условий конгруэнтности двух треугольников.

3.а) Сформулируйте условие, достаточное для того, чтобы точка была равноудалена от сторон угла, б) * Проверьте, является ли найденное вами условие необходимым.

4.Назовите какое-нибудь условие, достаточное для того, чтобы площадь прямоугольника была равна 25 сл«2.

5.Назовите какое-нибудь условие, достаточное для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

6.Верны ли следующие высказывания: а) чтобы углы были смежными, необходимо, чтобы две их стороны были противоположными лучами; б) чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо, чтобы он имел два острых угла; в) чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы его диагонали были конгруэнтны; г) чтобы два угла были конгруэнтны, необходимо, чтобы они были вертикальными?

7.Назовите несколько условий, необходимых для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

8.Назовите какое-нибудь необходимое условие для того, чтобы две прямые были параллельны.

9.Назовите несколько условий, необходимых для того, чтобы два треугольника были конгруэнтны.

30. Назовите несколько условий, необходимых для того, чтобы треугольник был равносторонним.

11.Назовите какое-нибудь условие, необходимое для того, чтобы две прямые были перпендикулярны.

12.Сформулируйте необходимое и достаточное условие для того, чтобы некоторая точка плоскости была равноудалена от двух данных точек А и В.

13.Сформулируйте необходимое и достаточное условие для параллельности двух прямых.

14.Сформулируйте несколько известных вам теорем, пользуясь словами «достаточно» и «необходимо».

15.Какие из перечисленных ниже высказываний верны: а) чтобы треугольник был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы два угла его были конгруэнтны;

б) чтобы четырехугольник был параллелограммом, Необходимо и достаточно, чтобы его противоположные углы были конгруэнтны; в) чтобы точка равно отстояла от двух данных точек А и В, необходимо и достаточно, чтобы она делила отрезок АВ пополам?

16.Назовите несколько необходимых и достаточных условий для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.

17.Какие слова: «достаточно», «необходимо», «необходимо и достаточно» — нужно поставить вместо многоточия в следующих предложениях, чтобы получить верные высказывания: а) чтобы произведение двух чисел равнялось нулю ..., чтобы каждое из них равнялось нулю; б) чтобы сумма двух целых чисел была четным числом..., чтобы каждое из слагаемых было четным; в) чтобы четырехугольник был параллелограммом ..., чтобы две стороны его были параллельны; г) чтобы два четырехугольника были конгруэнтны ..., чтобы соответствующие сто-роны их были конгруэнтны?

18.Рассмотрите шесть условий:

(1)[АВ] || ССР];(3) 1 АВ | - | CD |;(5) А = С

(2)СВС] || САР];(4) | ВС | = | AD |;(6) В = Р.

Покажите, что:

а)каждое из этих условий необходимо для того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом;

б)ни одно из этих условий не является достаточным; в) объединяя их попарно, получим 9 необходимых и достаточных условий для того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

Примечание. Задача 18 рекомендуется для коллективного реше* ния, при котором каждый ученик (или группа учеников) рассматривает только один из поставленных в задаче вопросов. Найденные ответы обсуждаются всем классом.

47. Прямоугольник

Определение. Параллелограмм, у которого углы прямые, называется прямоугольником.

Так как прямоугольник есть параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами (пункт 44). Кроме того, прямо- 8

угольник обладает свойствами, указанными в следующей теореме и ее следствиях.

Теорема. Серединный перпендикуляр к стороне прямоугольника является его осью симметрии.

Дано:ABCD — прямоугольник

(рис. 3).

[АЛТ] [MP], (MN) ± [АР].

Рис. 3

Доказать: (MN) — ось симметрии прямоугольника ABCD.

Доказательство. Серединный перпендикуляр MN к отрезку АР является его осью симметрии. Поэтому точки А и Р симметричны относительно оси MN.

Теперь докажем, что точки В и С симметричны относительно оси MN, т. е.: 1) (MN) 1 [ВС]; 2) [B2V][#С].

Прямые АР и ВС параллельны, а прямая MN перпендикулярна прямой АР по условию. Значит, прямая MN перпендикулярна и прямой ВС. Соотношение 1) доказано.

Прямые АВ, MN, DC параллельны между собой, как перпендикуляры к одной и той же прямой АР. Отрезки АМ и MD конгруэнтны по условию. Тогда, по теореме Фалеса, отрезки BN и NC конгруэнтны. Доказано и соотношение 2).

Итак, вершинам А и В симметричны относительно оси MN вершины Р и С.

Поэтому при симметрии с осью MN четверка вершин нашего прямоугольника отображается сама на себя:

А Р, В -> С, С В, D -> А.

Отрезки АР и ВС переходят сами в себя, отрезки же АВ и PC отображаются друг на друга. Составленная из этих отрезков граница прямоугольника отображается на самое себя. Поэтому и весь прямоугольник отображается сам на себя. Значит, прямая MN есть ось симметрии прямоугольника ABCD.

Следствие 1. Прямоугольник имеет две оси сим

метрии.

Следствие 2. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.

Рис. 4

Доказательство. Точкам А и С симметричны относительно оси MN точки В и D (рис. 4). Значит, отрезку АС симметричен отрезок DB. Поэтому [AC] [DBJ.

Вопросы и задачи

1.Докажите, что: а) параллелограмм, у которого один из углов прямой, есть прямоугольник; б) четырехугольник, у которого три угла прямые, есть прямоугольник.

2.Постройте четырехугольник, не являющийся прямоугольником, диагонали которого были бы конгруэнтны между собой.

8.Докажите, что параллелограмм является прямоугольником, если диагонали его конгруэнтны между собой.

4*.У четырехугольника п прямых углов. При каких п данное условие является: а) необходимым; б) достаточным для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником?

5.Пересечением каких полос является прямоугольник?

6.Какими особыми свойствами обладает прямоугольник (по сравнению с параллелограммом, не являющимся прямоугольником)?

7.Дан прямоугольник (отличный от квадрата). Существует ли такая точка, которая была бы равноудалена: а) от всех вершин; б) от всех сторон его?

8.Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки в 4 еле и 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

9.Периметр прямоугольника равен 12 см. Найдите сумму расстояний произвольной внутренней точки этого прямоугольника от его сторон.

10.Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника (отличного от квадрата) являются вершинами прямоугольника.

11.Чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно ли, чтобы два его угла были прямыми? (Рассмотрите различные случаи расположения углов.)

12.Как проверить: а) является ли данный четырехугольник прямоугольником; б) является ли данный параллелограмм прямоугольником; в) имеет ли четырехугольный кусок материи форму прямоугольника?