Многоугольники и окружности

§ 32. Хорды и касательные.

Задачи к § 32

§ 33. Многоугольники

Задачи к § 33

§ 34. Правильные многоугольники

Задачи к § 34

§ 35. Длина окружности.

Задачи к § 3578

§ 36. Площадь круга 82

Задачи к § 3686

Выводы89

Глава VIII

Перемещения и подобия.91

§ 37. Перемещения и равенство

фигур —

Задачи к § 3797

§ 38. Виды перемещений.98

Задачи к § 38106

§ 39. Симметрия фигур 111

§ 40. Подобие 116

Задачи к § 40123

Выводы127

Заключение .129

§41. Основания планиметрии—

Дополнения 139

Дополнительные задачи169

Ответы 190

Предметный указатель.191

Вектор 3

Вписанный многоугольник 56

—угол 48

Выпуклый многоугольник 55 Вычитание векторов 4

Гомотетия 117

Градусная мера дуги окружности 48

Диагональ многоугольника 55 Длина кривой линии 72

—окружности 74

Единичный вектор 6

Касание прямой и окружности 46 Координаты вектора 9

Ломаная, вписанная в кривую 73

Масштаб 120 Метод координат 36 Многоугольник 54 Множество точек 34

Описанный многоугольник 59 Осевая симметрия 100 Отражение в прямой 100

Параллельный перенос (перенос) 99 Площадь фигуры 82

— круга 84 Поворот 103 Подобие 117 Подобные фигуры 118 Правильный многоугольник 66 Преобразование фигур 91 Проекция вектора на ось 6 Простой многоугольник 54

Равенство фигур 96 Радиус-вектор 13

Симметрия 111

—относительно прямой (осевая) 100

—относительно точки (центральная) 102

Скалярное произведение векторов 22 Скалярный квадрат вектора 22 Скользящее отражение 99 Сложение векторов 4 Сторона многоугольника 54

Угол многоугольника 54 Умножение вектора на число 5 Уравнение окружности 28

—прямой ЗГ

—фигуры 29

Центр правильного многоугольника 68 Центральная симметрия 102 Центральный угол 46

Дополнительные задачи к § 39

1.Равносторонний треугольник определим как треугольник с тремя осями симметрии, равнобедренный — как треугольник с одной осью симметрии, равнобедренную трапецию — как трапецию с одной осью симметрии. Выведите отсюда известные свойства этих фигур.

2.Определим параллелограмм как четырехугольник с центром симметрии; ромб как параллелограмм, у которого диагонали являются осями симметрии; прямоугольник как параллелограмм, у которого средние линии являются осями симметрии. Выведите из такого определения известные свойства этих фигур. Дайте аналогичное определение квадрату. Подумайте, можно ли в этом определении ромба и прямоугольника не указывать, что это параллелограмм.

5.Дан правильный пятиугольник. В нем проведены все диагонали. Найдите среди полученных точек пересечения вершины правильного пятиугольника. Обобщите этот результат.

6.Укажите множество симметрий таких фигур: а) отрезок;

б)прямая; в) два параллельных и равных отрезка; г) две пересекающиеся прямые; д) две параллельные прямые; е) полоса; ж) равнобедренный треугольник; з) ромб; и) прямоугольник; к) равнобедренная трапеция.

7.Какими перемещениями само совмещается: а) окружность с выколотой точкой; б) окружность с двумя выколотыми точками;

в)окружность с тремя выколотыми точками; г) два равносторонних треугольника с общей вершиной; д) два равносторонних треугольника с общей стороной; е) два равносторонних треугольника с общим центром?

8.Разделите на две равные части, желательно большим числом способов: а) квадрат; б) круг.

Дополнительные задачи к § 40

1.а) Средняя Линия прямоугольника отсекла от него прямоугольник, подобный данному. Какой зависимостью связаны его стороны? б) Одна средняя линия отсекла от прямоугольника подобный ему прямоугольник. Будет ли другая средняя линия обладать таким же свойством?

2.Первая система стандартизации в книгоиздательстве исходила из двух принципов. Первый принцип — геометрическое подо

бие. Согласно ему формат бумаги и его части должны быть подобны при делении их пополам. Второй принцип — площадь основного листа должна быть равна 1 м2. Исходя из этих принципов были получены размеры основного формата в форме прямоугольника. Каковы его размеры?

3.Нарисуйте параллелограмм. Через внутреннюю точку его диагонали проведите прямые, параллельные его сторонам. Есть ли на полученном рисунке подобные параллелограммы?

4.Нарисуйте трапецию. Проведите прямую, параллельную основаниям, так, чтобы она рассекла ее на две подобные трапеции. Пусть известны стороны трапеции. Как найти длину отрезка этой прямой, лежащего внутри трапеции?

5.Вы смотрите в бинокль на некоторый объект. Подобны ли объект и то, что вы видите?

6.Постройте треугольник по двум углам и: а) высоте из вершины третьего угла; б) медиане из вершины третьего угла; в) биссектрисе из вершины третьего угла; г) периметру; д) радиусу описанной окружности; е) радиусу вписанной окружности.

7.Постройте: а) квадрат наибольшей площади, расположенный в данном равностороннем треугольнике; б) равносторонний треугольник наибольшей площади, расположенный в данном равнобедренном треугольнике. Найдите отношение площадей построенной фигуры и данной

8.Используя гомотетию, докажите, что: а) средняя линия параллельна стороне треугольника и равна ее половине; б) три медианы треугольника пересекаются в одной точке; в) точка пересечения диагоналей трапеции лежит на средней линии ее оснований; г) точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежит на продолжении средней линии оснований; д) точка пересечения диагоналей трапеции лежит на прямой, соединяющей точки касания, вписанной в эту трапецию окружности, лежащие на ее боковых сторонах.