10. Проекция вектора на ось. 32

• 11. Скалярное произведение. 34
• 12. Свойства скалярного произведения 35

Упражнения к главе /I, 37

Глава III. Решение косоугольных треугольников.

• 13. Теоремы косинусов. 38
• 14. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма 41
• 15. Площадь треугольника 43
• 16. Теорема синусов. 46
• 17. Решение треугольников. Вычисление с помощью счетной линейки 47
• 18. Решение треугольника по стороне и двум углам. 49
• 19. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними 52
• 20. Решение треугольника по трем сторонам. 54
• 21. Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них 56
• 22. Некоторые приложения тригонометрии к геометрии. 59

Упражнения к главе II/, 61

Г л а в а IV. Дополнительные сведения по планиметрии.

• 23. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника 63
• 24. Геометрические фигуры 64
• 25. Геометрические места точек. 66
• 26. Решение задач с помощью геометрических мест точек 69

Глава V. Основные понятия стереометрии. Параллельность в пространстве.

• 27. Определения, аксиомы, теоремы 71
• 28. Основные понятия стереометрии 74
• 29. Аксиомы плоскости 76
• 30. Простейшие задачи на построение в пространстве. 80
• 31. Взаимное положение прямых в пространстве 82
• 32. Параллельность прямой и плоскости. 84
• 33. Углы со взаимно параллельными сторонами. Угол между скрещивающимися прямыми '. 88
• 34. Параллельные плоскости 90
• 35. Изображение пространственных фигур на плоскости. Параллельная проекция точки, линии 93
• 36. Свойство параллельной. проекции 95
• 37. Кабинетная проекция. 98
• 38. Решение задач на проекционном чертеже. 101

Упражнения к главе V. 102

Глава VI. Перпендикулярность в пространстве. Двугранный и многогранный углы.

• 39. Прямая, перпендикулярная плоскости. 104
• 40. Построение плоскости, перпендикулярной прямой, и обратная задача 107
• 41. Параллельность прямых и плоскостей в связи с перпендикулярностью 109
• 42. Ортогональная проекция. 111
• 43. Сравнение длины перпендикуляра и наклонной. Расстояние от точки до плоскости 113
• 44. Сравнительная длина наклонных 116
• 45. Расстояние между скрещивающимися прямыми 118
• 46. Теорема о трех перпендикулярах 120
• 47. Угол между наклонной и плоскостью. 124
• 48. Двугранный угол 127
• 49. Зависимость между линейными и двугранными углами. Измерение двугранных углов 130
• 50. Перпендикулярные плоскости « 133
• 51. Многогранный угол. 137
• 52. Геометрические места точек пространства. 141
• 53. Вращение вокруг оси, Симметрия в'пространстве 143

Упражнения к главе VI. 144

Глава VII. Многогранники.

• 54. Многогранники 147
• 55. Призматическая поверхность. Призма. 150
• 56. Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипедов 156
• 57. Пирамида. Виды пирамид 161
• 58. Свойства параллельных сечений пирамиды 168
• 59. Усеченная пирамида 170
• 60. Правильные многогранники 174

Упражнения к главе VII. 177

Глава VIII. Круглые тела.

• 61. Цилиндрическая поверхность. Цилиндр 179
• 62. Комбинация цилиндра и призмы. Касательная плоскость 183
• 63. Коническая поверхность. Конус 186
• 64. Усеченный конус 191
• 65. Комбинация конуса и пирамиды. Касательная. плоскость 193
• 66. Сфера и шар 195
• 67. Сечение сферы и шара плоскостью. Линия пересечения сфер 198
• 68. Касательная плоскость. Касательная к сфере 201
• 69. Части шара и части сферы. 203
• 70. Комбинации шара с другими телами 206

Упражнения к главе VIII. 210

Глава IX. Площадь поверхности и объем многогранников.

• 71. Площадь боковой и полной поверхности призмы 212
• 72. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды 215
• 73. Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды 218
• 74. Объем многогранника. 220
• 75. Объем прямоугольного параллелепипеда. 222
• 67. Объем прямой призмы 226
• 77. Формула Симпсона 229
• 78. Объем наклонной призмы. Площадь проекции плоской фигуры 233
• 79. Объем пирамиды. 236
• 80. Объем усеченной пирамиды. 239

Упражнения к главе IX. 241

Глава X. Площадь поверхности и объем круглых тел.

$81. Площадь боковой и полной поверхности цилиндра

• 82. Площадь боковой и полной поверхности конуса.
• 83. Площадь боковой и полной поверхности усеченного конуса § 84. Площадь поверхности тел вращения.
• 85. Площадь поверхности сферы и ее частей.
• 86. Объем цилиндра. Применение формулы Симпсона для тел вращения § 87. Объем конуса
• 88. Объем усеченного конуса
• 89. Объем шара
• 90. Объем шарового сегмента
• 91. Объем шарового сектора

Упражнения к главе X.

Глава XI. Задачи на повторение.

I. Планиметрия. 273

II. Стереометрия. 276

Приложение. 284

Ответы. 289

Указания 297

ВВЕДЕНИЕ

1. Для учителя

Учебник написан по программам вечерней (сменной) средней общеобразовательной школы на 1965/66 учебный год. Сверх программы дано: 1) свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника; 2) формулы приведения для синуса и косинуса тупых углов. Как необязательный материал даны геометрические места точек на плоскости и площадь проекции фигуры.

Каждый параграф начинается с изложения теории. Главные определения в них выделены жирным шрифтом. Во второстепенных определениях выделен только термин. Часть теорем предлагается описательно, в конце формулируется рассмотренное свойство. В главных теоремах сначала дана формулировка, затем доказательство. Некоторые доказательства набраны петитом, учащиеся могут их не заучивать.

После каждого параграфа помещены упражнения, в основном нетрудные. В абстрактных задачах данные следует считать точными, в случае приближенного ответа степень точности произвольна, чаще всего определяется точностью вычислений на счетной линейке. В прикладных задачах все данные приближенные и ответы найдены по правилам приближенных вычислений. В конце главы приведены упражнения более сложные, чем в параграфах.

После текста имеются контрольные вопросы. Они предназначены для учащихся, пропустивших по тем или иным причинам уроки и вынужденных готовиться самостоятельно. Контрольные вопросы набраны петитом и на уроке не используются.

2. Для учащихся

Основные указания, что делать, как работать, дает учитель. Но есть неко торые общие правила работы с учебником, которые должен знать учащийся, работающий по книге самостоятельно.

Когда приступаешь к новому параграфу, надо внимательно прочесть его, затем перейти к деталям.

В большинстве случаев сначала вводится новое понятие и надо уяснить его признаки, т. е. то, что отличает его от других понятий. Например, признаки окружности: 1) замкнутая кривая; 2) плоская; 3) все точки ее равноудалены от одной точки. Затем надо запомнить название нового понятия (термин). Кроме того, следует выполнить чертеж, дать определение своими словами и сравнить его с книжным. Если эти определения сильно отличаются, то прочитать текст снова.

После определения нового понятия даны теоремы, в которых выражены свойства этого понятия. Теорему недостаточно прочесть, надо проверить, понята ли она. Для этого следует повторить текст теоремы, сделать чертеж пер вый раз с такими же буквами, как в книге, выделить по чертежу, что дано, что требуется доказать. В заключение попробовать дать доказательство само стоятельно. Доказательство следует разбить на шаги (см. пример в § 2). Чтобы проверить себя, хорошо ли понята теорема, надо изменить на чертеже буквы и вновь доказать ее.

Главные теоремы (в книге они отмечены вертикальной чертой) следует законспектировать, разбивая доказательство на шаги (образец см. § 2). Прежде чем переходить к решению упражнений, следует рассмотреть решение задач в тексте. После этого можно перейти к ответам на контрольные вопросы (с пропусками, которые надо заполнить). В конце их (перед упражнениями) даны ответы, заключенные в квадратные скобки. Если ответы и решения находятся на той же странице, следует ответы прикрыть бумагой. Не торопитесь заглядывать в решение.

Часть задач с пропусками напоминает упражнения, даваемые в учебнике по иностранному языку, в них достаточно вставить одно или несколько слов. В других —надо решить задачу, заполняя пропуски. Это будет напоминать решение задач у доски, когда учитель помогает классу наводящими вопросами.

Каждый шаг решения следует проверить. Если оно верно, то можно решать дальше, а если неверно, следует найти, в чем заключается ошибка.

Упражнения делают по рекомендации учителя. Они расположены по степени трудности. Упражнения, помещенные в конце главы, обычно сложнее тех, что расположены в конце параграфа. К трудным задачам даны указания.