Геометрия - часть первая - Планиметрия (Воронец) 1924 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Настоящее пособие является первым опытом изложения процесса проработки систематического курса геометрии самодеятельно-лабораторным методом и имеет целью реализовать возможность преподавания геометрии означенным методом в широком масштабе. До сих пор замена дедуктивного метода в систематическом курсе геометрии исследовательским только декларировалась, но, хотя встречала сочувственное отношение учительства, не могла осуществиться именно вследствие отсутствия соответственного печатного пособия.

Предлагаемые здесь упражнения ведут к тому, чтобы учащиеся самодеятельно переоткрывали геометрические истины или проверяли их опытом; доказательства вообще отсутствуют, но под конец курса элемент доказательности неизбежно появляется сам собою, хотя и в довольно ограниченном размере. Центр тяжести изучения геометрии переносится на активное познавание важных в практическом отношении истин, поэтому истины, не имеющие самодовлеющего значения и называемые леммами, здесь опущены. Благодаря этому курс геометрии значительно сокращен, но отнюдь не ради самого сокращения; тем не менее не следует думать, что таким образом получается большая экономия учебного времени. Процесс активного исследования гораздо более длителен, чем пассивное запоминание доказательств. Мой личный опыт показал, что излагаемый здесь курс вполне укла-дывается в течение двух учебных лет при 2^2 уроках в неделю; таким образом курс планиметрии может быть пройден в 2 и 3 группах школ II ступени, а это соответствует действующим учебным программам. Тот же мой опыт выяснил и другое обстоятельство: учащиеся,

кроме явно дефективных, оказываются поголовно способными к изучению геометрии, занимаются ею с увлечением и усваивают пройденный материал чрезвычайно прочно, так как сами открывают новые для них истины. Необходимо отметить, что трактуемый метод значительно выигрывает в классном применении, потому что в этом случае мы имеем дело с массовым опытом. Действительно, например, если один учащийся, измерив транспортиром углы начерченного треугольника, получит в сумме 180°, то это может показаться ему случайностью; но если из 40 человек в классе подавляющее большинство получит 180°, а лишь немногие найдут другое число, то эффект поразительный, и те, у которых ответ отличается от 180°, сейчас же по собственному почину будут искать ошибку или в измерении или в сложении. Существенно важно, чтобы учащий, при каждом упражнении, оглашал все добытые результаты; тогда учащиеся легко приходят к определенному выводу.

Из задач на построение здесь приведены лишь наиболее существенные, безусловно необходимые. Точно так же задачи на вычисление даны в самом ограниченном количестве. Для производства самих вычислений рекомендую учащимся составленный мною и напечатанный Государственным Издательством „Справочник по математике для школ II ступени"; в этой книге имеется все необходимое. Если учащие пожелают дать больше задач на вычисление, то хорошим пособием может служить книга Я. И. Перельмана „Новый задачник к краткому курсу геометрии". Но я полагаю, что практические применения знаний по геометрии учащиеся должны получить главным образом по незаменимой книге С. В. Орлова „Первые работы по измерению земли".

А. Воронец.

17 сентября 1923 года.

УКАЗАНИЯ ДЛЯ УЧАЩИХ И УЧАЩИХСЯ.

Для изучения предлагаемого курса геометрии учащийся должен иметь в своем распоряжении следующие предметы:

1) тетрадь из нелинованной бумаги, запасные листы нелинованной и разлинованной в клетку бумаги;

2) плоскую линейку с делениями на центиметры и миллиметры;

3) плоский угольник, желательно тоже с делениями на центиметры и миллиметры;

4) карандаш;

5) циркульную ножку, надеваемую на карандаш;

6) транспортир;

7) перочинный нож и ножницы;

8) мягкую резинку.

Все чертежи должны выполняться со всею возможною тщательностью. Точно также измерения и вычисления должны производиться тщательно.

Чертежи и записи можно делать карандашом, но все записи следует вести аккуратно, разборчиво, я бы даже сказал—нарядно.

Беспорядочная запись есть источник разного рода ошибок, недоумений и путаницы. Каллиграфически написанные выкладки, формулы и заметки позволяют быстрее найти ошибку или найти в записях нужную справку. Не следует чрезмерно экономить бумагу: необходимо делать чертеж в стороне от записей; важные формулы, выводы выделять в особые строки. Выводы из упражнений, формулируемые связными фразами, полезно писать крупным шрифтом и подчер-кивать. При соблюдении указанных условий тетрадь с изложением предлагаемых упражнений останется для учащегося справочником по геометрии.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ.

1. Отметить произвольную точку А.

Принято обозначать точку, для отличения на чертеже одной точки от другой, прописною буквою французского (латинского) алфавита.

Сколько разных прямых линий можно провести через точку А? Проведите несколько прямых.

Подобрать жизненные примеры прямых линий, пересекающихся в одной точке.

2. Отметить две произвольные точки А и В. Сколько разных прямых линий можно провести через них?

Принято обозначать прямую линию двумя буквами, отмечающими какие-либо точки, лежащие на прямой.

АВ, AC, AD, ВС, ВВ и СВ обозначают одну и ту же прямую, но АВ, АС, АВ, ВС, BD и СВ суть разные отрезки одной и той же прямой.

3. Начертить произвольную прямую и на ней отметить 5 произвольных точек. Сколько разных отрезков получится на чертеже?

4. Построить отрезок: 1) равный сумме двух данных отрезков; 2) равный сумме трех данных отрезков; 3) равный разности двух данных отрезков; 4) в 2 раза больший данного отрезка; 5) в 3 раза больший данного отрезка.

5. Можно ли провести прямую линию через 3 произвольно взятые точки? Можно ли через 3 такие точки провести ломаную или кривую линию? Провести через 3 произвольно взятые точки несколько ломаных и кривых линий.

Подобрать жизненные примеры ломаных и кривых линий.

Кривая линия, проводимая с помощью циркуля, называется окружностью. Получится ли окружность, если

пишущий конец меняет свое расстояние от острия? Каким свойством обладают все точки окружности? Как определить, что такое центр окружности?

Расстояние любой точки окружности от центра называется радиусом. Расстояние между двумя противоположными точками окружности (провести прямую линию через центр) называется диаметром или поперечником окружности.

Начертить окружность, радиус которой равен: 1) 4 ст\ 2) 35 тт; 3) 5,2 ст.

6. Отметить 5 произвольных точек. Через каждые две из них провести прямую. Сколько разных прямых линий получится?

7. Фигура, образованная двумя прямыми, выходящими из одной точки, называется углом.

Начертить 4 прямые линии, выходящие из одной точки. Сколько разных углов получится на чертеже? Каждый из этих углов прочесть и записать по указанному выше способу, употребив возможно меньшее число букв.

8. Линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными, а одна из них называется перпендикуляром к другой. Слова В «прямой угол» принято запи

сывать французскою буквою d.

Слово «перпендикулярный» принято записывать с значком j_. Записи:

А 

Черт. 3. ВАС = d и В А 1 АС

обозначают одно и то же, а именно: угол, изображенный на чертеже, прямой, или изображенные на чертеже линии взаимно перпендикулярны.

Начертить прямой угол: 1) с помощью линейки и угольника; 2) с помощью линейки и транспортира.

Подобрать жизненные примеры взаимно перпендикулярных линий.

9. Начертить произвольную прямую АВ и вне ее отме-

тить произвольную точку С. Опустить из точки С перпендикуляр на линию АВ, продолжить перпендикуляр по другую сторону прямой АВ и отложить отрезок ED, равный отрезку СЕ.

Точки С и D наз> тельно прямой АВ. д  с - X?

>1ваю тся 1

1

с и м Е

Черт. 4.

м е т р и ч н ы м и ОТНОСИ-

Повторить чертеж на отдельном листке и перегнуть чертеж по линии АВ. Совместятся ли точки С и D?

Подобрать жизненные примеры симметричных точек.

10. Начертить две произвольные прямые АВ и CD. Начертить прямые линии: 1) EF, симметричную линии АВ относительно линии CD и 2) GH, симметричную линии CD относительно линии АВ.

Подобрать жизненные примеры симметричных прямых.

11. Отметить две произвольные точки. Измерить кратчайшее расстояние между ними.

12. Начертить произвольную прямую АВ и вне ее отметить произвольную точку С. Найти и измерить кратчайшее расстояние от точки С до линии АВ.

13. Начертить произвольный отрезок АВ. Раздвиньте ножки циркуля так, чтобы расстояние между ними было менее АВ, но более половины (по глазомеру) отрезка АВ. Поставьте острие циркуля в точку А, а пишущим концом проведите дугу. Не меняя расстояния между ножками циркуля, проведите встречную дугу из точки В. Соединить точки С и D (точки пересечения дуг).