• 16. Действия над дугами. 29
• 17. Измерение дуг в градусах 30
• 18. Угол <. 32
• 19. Сравнение углов. 33
• 20. Центральный угол. 34
• 21. Построение угла, равного данному. 35
• 22. Измерение углов. 36
• 23. Виды углов 41
• 24. Чертежный треугольник 43
• 25. Взаимно перпендикулярные прямые —
• 26. Расстояние от точки до прямой. 45
• 27. Эккер 46
• 28. Действия над углами. 47
• 29. Смежные углы. 49
• 30. Вертикальные углы 51
• 31. Понятие о теореме 52

Глава И. Треугольники

• 32. Элементы треугольника 59
• 33. Виды треугольников 61
• 34. Основные линии в треугольнике 63
• 35. Понятие о равенстве геометрических фигур. 65
• 36. Построение треугольников по одному или двум элементам 68
• 37. Первый признак равенства треугольников 69
• 38. Способ измерения расстояния между точками, разделенными препятствиями. 72
• 39. Первый признак равенства для прямоугольных и равнобедренных треугольников 73
• 40. Два свойства равнобедренного треугольника 74
• 41. Свойства срединного перпендикуляра к отрезку 76
• 42. Основные задачи на построение. —
• 43. Второй признак равенства треугольников 80
• 44. Второй способ измерения расстояния между точками, разделенными препятствием 84
• 45. Элементы, определяющие треугольник. —
• 46. Третий признак равенства треугольников 85
• 47. Жесткость контура треугольника 89

Глава 111. Параллельные прямые

• 48. Определение параллельных прямых. 94
• 49. Углы между двумя прямыми и их секущей 96
• 50. Второй признак параллельности прямых
• 51. Третий признак параллельности прямых 97
• 52. Аксиома Евклида о параллельных прямых 99
• 53. Понятие о доказательствах методом от противного 101
• 54. Свойство внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей 102
• 55. Понятие о взаимно обратных теоремах. —
• 56. Свойство соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей 104
• 57. Свойства углов с соответственно параллельными сторонами 105

Глава IV. Сумма углов треугольника

• 58. Сумма углов треугольника • 109
• 59. Следствия из теоремы о сумме углов треугольника 111
• 60. Обзор признаков равенства треугольников. 113
• 61. Расстояние между параллельными прямыми. 117
• 62. Соотношение между сторонами и углами треугольника 120
• 63. Проекция отрезка на прямую 121
• 64. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 125
• 65. Свойства биссектрисы угла. 127
• 66. Свойства углов с соответственно перпендикулярными сторонами 128

Глава V. Осевая симметрия

• 67. Лабораторная работа 131
• 68. Точки, симметричные относительно оси —
• 69. Фигуры, симметричные относительно оси. 132
• 70* Фигуры, имеющие ось симметрии • • 133

Глава VI. Четырехугольники

• 71. Общие свойства четырехугольников 139
• 72 < Построение четырехугольников. 140
• 73. Параллелограмм и его свойства 141
• 74. Признаки параллелограмма 144
• 75. Прямоугольник ». 147
• 76. Ромб 150
• 77. Квадрат. 151
• 78. Трапеция 153
• 79. Классификация четырехугольников 155
• 80. Общая схема решения задач на построение « ₄ , 156
• 81. Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла 160
• 82. Деление отрезка на равные части —
• 83. Средняя линия треугольника. 161
• 84. Средняя линия трапеции 163

Глава VII. Простейшие преобразования фигур

• 85. Понятие о преобразовании фигур 168
• 86. Центральная симметрия 170
• 87. Фигуры, имеющие центр симметрии 172
• 88. Параллельный перенос 174
• 89. Примеры применения параллельного переноса 176
• 90. Свойства медиан треугольника 178

Глава VIII. Площадь многоугольника

• 91. Понятия об измерении площадей 180
• 92. Площадь прямоугольника 182
• 93. Площадь квадрата. 185
• 94. Вычисление длины стороны квадрата по его площади 188
• 95. Равносоставленные и равновеликие фигуры. 189
• 96. Теорема Пифагора 191
• 97. Площадь параллелограмма 194
• 98. Площадь треугольника 197
• 99. Площадь трапеции 201
• 100. Площадь многоугольника. 203
• 101. Практические работы 204

Глава IX. Прямая призма

• 102. Куб 208
• 103. Взаимное расположение прямых в пространстве 210
• 104. Взаимное расположение плоскостей в пространстве 211
• 105. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 213
• 106. Прямая призма 215
• 107. Прямоугольный параллелепипед. 217
• 108. Площадь поверхности прямой призмы 218
• 109. Понятие об измерении объемов 220
• 110. Объем прямоугольного параллелепипеда —
• 111. Объем куба ’ 223
• 112. Объем прямой треугольной призмы. —
• 113. Объем прямой многоугольной призмы 225

Глава X. Окружность, круг, цилиндр

• 114. Число точек, определяющих окружность 227
• 115. Симметрия окружности 230
• 116. Зависимость между длиной хорды и ее расстоянием от центра 232
• 117. Взаимное расположение прямой и окружности 234
• 118. Построение касательной к окружности 236
• 119. Свойство касательных, проведенных к окружности из

одной точки 237

• 120. Взаимное расположение двух окружностей. 238
• 121. Углы, связанные с окружностью _. 241

I. Вписанный угол. —

II. Угол между касательной и хордой 243

III. Угол между касательными. —

• 122. Длина окружности. 246
• 123. Площадь круга и его частей * 250
• 124. Цилиндр 253

I. Образование цилиндра. —

11. Развертка цилиндра 254

III. Площадь поверхности цилиндра

IV. Объем цилиндра

Глава XI. Пропорциональность отрезков

• 125. Понятие об измерении отрезков 260
• 126. Отношение двух отрезков 262
• 127. Понятие о пропорциональных отрезках. 264
• 128. Основная теорема о пропорциональных отрезках 265
• 129. Теорема о прямой, параллельной стороне треугольника 266
• 130. Построение пропорциональных отрезков 268
• 131. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника 271

Глава XIL Подобные многоугольники

• 132. Подобные треугольники. 275
• 133. Основная теорема о подобных треугольниках 276
• 134. Первый признак подобия треугольников 279
• 135. Второй признак подобия треугольников. 280
• 136. Метрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника. 282
• 137. Теорема Пифагора 284
• 138. Пропорциональные отрезки в круге 285
• 139. Подобные многоугольники. 288
• 140. Свойства подобных многоугольников 291
• 141. Отношение площадей подобных фигур. 292
• 142. Некоторые практические применения гомотетии и подобия 295

I. Пропорциональный циркуль —

II. Поперечный масштаб 296

III. Определение высоты предмета. 298

IV. Определение расстояния до недоступной точки —

V. Мензульная съемка плана земельного участка 299

VI. Пантограф. 300

• 143. Применение подобия к решению задач на построение (метод подобия) 302

Глава XIII. Тригонометрические функции острого угла

• 144. Введение. 308
• 145. Определение тригонометрических функций острого угла 309
• 146. Построение острого угла по заданному значению одной из его тригонометрических функций 312
• 147* Изменение тригонометрических функций угла при изменении величины угла от 0° до 90° » 313
• 148. Угол прямой с плоскостью 316
• 149. Таблицы тригонометрических функций острого угла * 317
• 150. Тригонометрические функции дополнительных углов 320
• 151. Зависимость между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике * 321
• 152. Тригонометрический метод решения прямоугольных тре

угольников 321

• 153. Некоторые практические задачи. 325

Глава XIV. Вписанные и описанные многоугольники

• 154. Сумма углов выпуклого многоугольника. 33°
• 155. Вписанные и описанные треугольники 33
• 156. Вписанные четырехугольники 336
• 157. Описанные четырехугольники 339
• 158. Построение правильных многоугольников * 340
• 159. Вписанные и описанные правильные многоугольники 343
• 160. Выражение сторон правильных многоугольников через радиус описанной окружности. 344
• 161. Площадь правильного многоугольника 346

Глава XV. Площади поверхностей и объемы некоторых тел

• 162. Введение 351
• 163. Правильная. призма —
• 164. Пирамида 355
• 165. Поверхность правильной пирамиды. Объем пирамиды 357
• 166. Конус. 359
• 167. Шар. 363

Ответы и указания 369

От издательства

Все отзывы и пожелания по проверке данного учебника просим направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Программно-методическое управление Министерства просвещения РСФСР

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.

М. И. Калинин

История развития человеческого общества чрезвычайно поучительна: чем дальше развивалось общество, тем быстрее расширялся круг знаний человека и тем необходимее они становились для его жизни. Если каких-нибудь 200 лет назад математику изучали немногие, то в наше время каждый квалифицированный рабочий должен знать основы этой науки.

Все выдающиеся достижения современной техники — запуск искусственных спутников, строительство атомных электростанций, расчеты гигантских плотин и других сооружений—были бы невозможны без создания современных математических теорий.

Чтобы подняться к вершинам науки, надо начинать с ее основ, упорно и терпеливо изучая первоначальные, исходные факты. В этой книге излагаются сведения из геометрии — одного из разделов математики. Немало трудностей придется преодолеть, прежде чем вы встанете на такой уровень в этой науке, откуда будут хорошо видны разнообразные пути ее применения. Настойчиво преодолевайте трудности, смелее двигайтесь вперед!

Счастливой дороги в геометрию!

Глава I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ

• 1. ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ

Изучая окружающие нас предметы, легко заметить, что все они обладают разнообразными свойствами. Парта—деревянная, мяч — резиновый, круглый и легкий.

Различные свойства предметов изучают различные науки. Геометрия тоже изучает некоторые свойства предметов.

Всякий предмет имеет свою форму и свои размеры. При изготовлении какого-нибудь предмета человек придает ему такие размеры и форму, чтобы этим предметом было лучше пользоваться. Каждому понятно, например, что карандашом длиной в 1,5 м пользоваться было бы весьма неудобно. Форма и размеры железнодорожного моста, плотины гидроэлектростанции, ракеты и т. д. не случайны и соответствуют своему назначению.

Далее, всякий предмет занимает определенное положение среди других предметов. В практической деятельности человеку часто приходится определять расстояния между предметами и размещать их в определенном порядке. Правильная расстановка станков в заводском цехе или оборудования на стройке помогает повысить производительность труда. Целесообразное расположение отдельных деталей механизма делает его более удобным в употреблении.

Таким образом, изучение формы, размеров и взаимного расположения предметов имеет для человека большое значение.

Наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение предметов, называется геометрией.

Геометрия возникла в глубокой древности, за несколько тысяч лет до наших дней. Причинами ее возникновения являлись потребности человека в изготовлении орудий труда, в измерении расстояний, в определении размеров отдельных участков земли и т. д. Сама жизнь ставила перед человеком различные геометрические задачи. Вот одна из таких задач.

Плодородные земли в долине реки Нила ежегодно затоплялись, и каждый разлив огромной реки смывал границы участ-

ков, владельцы которых платили за землю большие налоги. Поэтому после спада воды требовалось с возможно большей точностью восстанавливать форму и размеры земельных участков, что было связано с измерительными работами на местности. При выполнении этих работ люди постепенно находили правила для вычисления расстояний на местности, площадей и т. п.

Развитие торговли, мореплавания и ремесел требовало умения измерять емкость сосудов, вычислять объемы различных тел и решать другие задачи, связанные с формой, размерами и взаимным расположением предметов. Это вызвало дальнейшее развитие геометрии.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид обобщил и собрал воедино разрозненные геометрические сведения и изложил их в тринадцати книгах, которые назвал «Начала».

Геометрия — слово греческое. Земля по-гречески «ге». «Мет- рейн» означает «измерять». Значит, в переводе на русский язык слово «геометрия» означает «землемерие». Такое название этой науки показывает, что ее создание было связано с потребностями землемерия.

В последующие века в связи с дальнейшим развитием общества продолжает развиваться и геометрия.

Громадной важности открытия в геометрии сделал замечательный русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792—1856).

Высокий уровень современной развивающейся техники ставит перед геометрией все новые и новые задачи, многие из которых успешно разрешаются учеными.

• 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО

Если вы хотите изготовить из досок ящик для упаковки велосипеда, то вам не обязательно знать, в какой цвет покрашен этот велосипед или из какого материала он сделан. Вам нужно будет знать лишь форму и размеры его.

В тех случаях, когда изучают лишь форму и размеры предмета, его называют геометрическим телом.

И дом, и парту, и яблоко вы можете назвать геометрическим телом, если будете принимать во внимание только форму и размеры.

Различные предметы могут быть одинаковыми геометрическими телами. Например, деревянный шарик и мыльный пузырь

Рис. 2 Рис, 3

одинаковых размеров являются одинаковыми геометрическими телами, так как они имеют одинаковые размеры и форму (другие свойства во внимание не принимаются). Поэтому эти тела в геометрии имеют одно название—шар (рис. 2).

Геометрические тела могут быть самых разнообразных форм и размеров (рис. 3).

В геометрии считают, что геометрическое тело при перемещении не изменяется. Это — основное свойство геометрического тела.

• 3. ПОВЕРХНОСТЬ

Всякий предмет отделяется от других предметов, от окружающей его среды своей поверхностью. Так, куб, стоящий на столе, отделяется от стола и окружающего воздуха поверхностью, которая состоит из шести квадратов.

Покажите, например, поверхности стола, книги или какого- нибудь другого предмета.

Поверхность тела ограничивает это тело. Значит, для изучения формы предмета важно изучить форму его поверхности. Говоря о поверхности, мы воображаем ее не имеющей толщины.

Но приходится ли в жизни рассматривать какие-нибудь предметы, не принимая во внимание их толщину? Да, иногда приходится.

Если вы хотите узнать площадь пола в классе, то измерьте его длину и ширину. Толщину пола вы не будете измерять, так как ее знать для решения этой практической задачи не обязательно.

Маляр, производящий побелку комнаты, не будет интересоваться толщиной ее стен.

Рассмотрим еще пример. Пусть мы хотим определить вместимость ведра.