§ 10. Преобразование многоугольников в равновеликие фигуры .... 72

Глава V. Правильные многоугольники, длина окружности и площадь круга

§ 11. Правильные многоугольники 77

§ 12. Длина окружности и площадь круга 82

Приложение 90

ГЛАВА 1

ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ

§ 1. ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

1. Действия над отрезками

В начале курса геометрии VI класса мы познакомились с некоторыми действиями над отрезками. Напомним эти действия. Во- первых, можно складывать отрезки, т. е. по нескольким данным отрезкам находить их сумму. Во-вторых, можно посредством вычитания найти разность двух данных отрезков. Наконец, в-третьих, можно умножать отрезок на целое число. Это значит, мы должны данный отрезок повторить слагаемым столько раз, сколько единиц содержит данное целое число. Если, например, отрезок АВ нужно умножить на число 5, то мы должны найти отрезок AHV, удовлетворяющий равенству:

MN = АВ 4- АВ 4- АВ + АВ + АВ = 5АВ.

Позднее, уже в курсе VII класса, было показано, как разделить отрезок на несколько равных частей. Если при делении отрезка АВ на семь равных частей получился отрезок MN, то соотношение между этими отрезками записывается так:

MN=—, или MN АВ. —,—5

7 7 '

Посредством деления отрезка на । । । । । ।

равные части можно умножать его на Q О

дробь. При этом нужно поступать так же, как при умножении числа на Черт'

дробь в арифметике. Если, например, нам нужно умножить 21 на -у-, то мы делим 21 на 7 и полученное число 3 умножаем на 5. Подобным же образом мы поступаем и при умножении отрезка на дробное число.

Если нужно отрезок АВ (черт. 1) умножить на —, то делим его на семь равных частей и берём таких частей пять. В результате получим отрезок CD, удовлетворяющий равенству: CD = — АВ.

Итак, для того чтобы умножить отрезок на число — , нужно п

этот отрезок разделить на п равных частей и взять т таких частей.

2- Отношение отрезков

Если при умножении отрезка Ь на число k получился отрезок а, то число k называется отношением отрезка а к отрезку Ь. Отношение отрезков записывается так:

Например, отношение — = 5 показывает, что отрезок b со- b

держится в отрезке а пять раз, т. е. а — 5Ь.

Огношение == -у-(см. черт. 1) показывает, что одна седьмая часть отрезка АВ содержится в отрезке CD пять раз.

Огношение — = — показывает, что — часть отрезка b со- ь п п

держится в отрезке а т раз. В таком случае существует отрезок, который содержится целое число раз и в отрезке айв отрезке Ь.

Определение. Отрезок, который содержится в каждом и данных отрезков целое число раз, называется общей мерой этих отрезков.

Отрезки, имеющие общую меру, называются соизмеримыми.

Если общая мера содержится в отрезке а т раз, а в отрезке b— п раз, то отношение этих отрезков равно — , так как — часть OT- fl л

резка b содержится т раз в отрезке а.

3. Несоизмеримые отрезки

Не для всякой пары отрезков существует общая мера, т. е. не всегда отношение двух отрезков есть рациональное число. Оказывается. существуют такие отрезки, отношение которых не может быть выражено никаким рациональным числом. Такие отрезки не имеют общей меры и называются несоизмеримыми. Для доказательства существования несоизмеримых отрезков достаточно привести хотя бы один пример такой пары отрезков. Для этого докажем следующую теорему.

Теорема . Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Рассмотрим квадрат A BCD с диагоналями АС и BD (черт. 2), пересекающимися в точке О. Обозначим через а отрезок, равный стороне квадрата, а через с — отрезок, равный его диагонали. Пред- а т

положим, что отношение— равно числу —, где /пи п — взаимно- с п

простые числа. Тем самым мы допускаем, что существует общая ме

ра, которая откладывается т раз на стороне квадрата и п раз на его диагонали (на чертеже 2:т = 5, п = 7). Так как точка О делит диагонали пополам, то отрезок ВО

ВС: ВОявт или—=—; таково от-

2 ВО п ношение стороны квадрата к половине его диагонали. Проведём через точки деления (т. е. точки, которые получились при откладывании общей меры) на стороне ВС прямые, параллельные диагонали А С. Тогда отрезок ВО разделится на т равных частей. Если через точки деления на диагонали АС проведём прямые, параллельные стороне CD, то сторона AD разделится нал равных частей. Деления на отрезке ВО равны делениям на стороне AD. Это следует из того,

что дЛЛ1ДО=дВРр, так как у них острые углы содержат по 45е и гипотенузы равны между собой: АМ=ВР, так как по предположению каждый из этих отрезков равен общей мере диагонали и стороны.

Итак, AN = BQ и каждый из этих отрезков есть общая мера стороны квадрата AD и половины его диагонали, т. е. ВО. Но AD = ВС. Следовательно, — = —.

ВО т

Сравнивая это равенство с полученным ранее, находим:

2/71 /I о я 9

— «о — . или 2т2 = п2.

п т

Число 2/па — чётное. А так как квадрат всякого чётного числа есть число чётное, а квадрат нечётного числа — нечётное, то мы заключаем отсюда, что п есть тоже число чётное: п = 2k. Значит, 2ma = 4k1, или т1 — 2k1. Но отсюда следует, что и т — число чётное. А это противоречит тому, что числа тип — взаимно-простые. Полученное противоречие показывает, что отношение —

С не есть рациональное число, отрезки с и а не имеют общей меры и, значит, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной*).

Несоизмеримость двух отрезков, доказанная на примере диагонали квадрата и его стороны, не является исключительным случаем.

Можно привести многочисленные примеры несоизмеримых отрезков. Несоизмеримыми являются: сторона равносторон-

*) Открытие несоизмеримых величин представляет собой одно из величайших открытий древних математиков. Полагают, что это открытие сделано учениками греческого математика Пифагора примерно в V в. до н. э.

него треугольника с его высотой, боковая сторона равнобедренного треугольника с его основанием, если угол при вершине содержит целое число градусов, не равное 60; катеты прямоугольного треугольника несоизмеримы с гипотенузой, если отношение катетов есть целое число и т. д.

4. Иррациональные числа

В предыдущем пункте было установлено, что существуют такие пары отрезков, отношения которых не могут быть выражены никаким рациональным числом.

Чтобы выразить отношение между несоизмеримыми отрезками, пришлось расширить понятие числа и ввести новые числа, называемые иррациональными, в противоположность ранее известным — рациональным числам.

Как определяется иррациональное число, будет видно из следующего примера. Рассмотрим отношение диагонали с квадрата к его стороне а. Так как в треугольнике гипотенуза больше катета, но меньше суммы двух катетов, то из треугольника ЛВС получим неравенства: а < с < 2а, откуда следует: 1 < — < 2.

Можно получить более точные неравенства*), дающие соотношения между стороной и диагональю квадрата. Эти неравенства следующие:

1,4 <—< 1,5 (с точностью до 0,1); а

1,41 < —< 1,42 (с точностью до 0,01); а

1,414 <—<1,415 (с точностью до 0,001); а

1,4142 < —<1,4143 (с точностью до 0,0001); а

1,41421 <—<1,41422 (с точностью до 0,00001); а

1,414213<—£-<1,414214 (с точностью до 0,000001);

Ряд этих неравенств не может закончиться, так как отношение —- а не выражается никаким рациональным числом.

Рассмотрим две полученные последовательности чисел:

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; ...

2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; 1,414214; ...

*) Способ получения этих неравенств показав в приложении, помечёвчоы в конце книги.

6

Сравним эти последовательности с теми, которые получаются при обращении в десятичную дробь обыкновенных дробей и 3

5 „

1— . При этом тоже получаются бесконечные последовательности:

0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; 0,33333; ...

0,4; 0.34; 0,334; 0,3334; 0,33334;. . .

и

1,7 ; 1,71; 1,714; 1,7142; 1,71428; 1,714285; 1,7142857; ...

1,8 ; 1,72; 1,715; 1,7143; 1,71429; 1,714286; 1,7142858; ...

Нетрудно убедиться в том, что все эти пары последовательностей обладают следующими свойствами:

1) Каждое число первой последовательности меньше любого числа второй.

2) Числа первой последовательности возрастают, числа второй убывают.

3) Разности между числом второй последовательности и соответствующим числом первой уменьшаются так, что всегда можно найти разность меньшую любого данного положительного числа.

В двух последних случаях для каждой пары последовательностей существует единственное рациональное число, которое больше любого числа первой последовательности и меньше любого числа второй. На. пример, — больше чисел 0,3; 0,33; 0,333; ... и меньше чисел 0,4;

3 к

0,34; 0,334; 1— больше чисел 1,7; 1,71; 1,714; ... и меньше чисел

1,8; 1,72; 1,715; ...

В этом случае говорят, что данные бесконечные последовательности определяют рациональное число (в наших примерах 1 . 5 \

— И 1 .

з 7 /

В том же случае, когда последовательности являются десятичными приближениями, получающимися при определении отношения двух несоизмеримых отрезков, такого рационального числа не существует. Тогда говорят, что эти последовательности определяют иррациональное число. Принимают, что это ирра-циональное число больше любого числа первой последовательности н меньше любого числа второй.

Например, отношение— диагонали квадрата к его стороне боль- а

ше чисел 1; 1,4; 1,41; 1,414; ... и меньше чисел 2; 1,5; 1,42; 1,415;. ..

Рациональные и иррациональные числа вместе называются действительными (или ве шественными) числами.

Обычно последовательности, определяющие иррациональное чясло, записываются в виде одной десятичной дроби, которая явля

ется бесконечной и непериодической. Например, мы можем отношение диагонали квадрата к стороне записать так: — = 1,4142135...

От

Многоточие в конце указывает на то, что дробь не заканчивается последней цифрой. Сохраняя в этом числе только две цифры после запятой, получим 1,41 — приближённое значение по недостатку, а увеличивая на единицу последнюю из оставленных цифр, получим 1,42 — приближённое значение по избытку. Разность между приближённым значением по избытку и по недостатку, т. е. 1.42—1,41 — 0,01 определяет степень точности.

Бесконечность дроби мы понимаем в том смысле, что за каждой цифрой этой дроби можно найти следующую цифру.

5. Отыскание отношения двух отрезков

При отыскании отношения двух отрезков пользуются следующей аксиомой.

Аксиома Архимеда*). Если даны два неравных отрезка а и Ь, причём а > Ь,то всегда существует такое целое число п, при котором nb > а.

Другими словами, как бы ни был А В велик отрезок а и как бы мал ни был

1 1 1 |ш||||1н| отрезок Ь, всегда можно повторить

слагаемым меньший отрезок доста- ।! r, г 111, (। точно большое число раз и полу

чить отрезок, превосходящий а. Черт. 3. Пусть даны отрезки АВ и CD

(черт. 3). Отложим отрезок CD на отрезке АВ. По аксиоме Архимеда при этом всегда можно получить отрезок, больший АВ. Положим, например, что 3CL) < АВ,

a 4CD > АВ, т. е. 3CD < АВ < 4CD, следовательно, 3 < < 4.

Разделим CD на 10 равных частей и CD на остатке. Пусть, например, CD

будем откладывать отложится четыре

раза с остатком, получим: 3,4CD<AB<3,5C£), следовательно:

3,4< —<3,5. CD

Продолжая дальше, делим — CD опять на 10 частей, ана- 10

AR логично получим: 3,42 < — <3,43.

CD

•) Архимед Сиракузский (287—212 гг. до н. э.) — величайший математик древности. Жил и работал в Сиракузах на о. Сицилия. Им открыты законы рычага, законы равновесия тел в жидкости, найдены формулы для вычисления поверхностей и объёмов различных геометрических тел, дан спосоо вычисления отношения длины окружности к длине диаметра и т. д. Убит римскими воинами при взятии ими Сиракуз.

Такое построение можно продолжать до тех пор, пока мы имеем возможность делить полученные отрезки. Однако несовершенство наших инструментов заставляет окончить построение на втором или третьем десятичном знаке. Таким образом, это построение даёт приближённое значение отношения с той степенью точности, какую допускают наши инструменты. Числа 3,42 и 3,43 назы-

- АВ

ваются десятичными приближенными значениями отношения — .

6. Умножение отрезка на бесконечную десятичную дробь

Пусть данный отрезок а (черт. 4) нужно умножить на бесконечную десятичную дробь 2,236068 ... Возьмём луч с вершиной О и отложим отрезок ОЛ1 — 2а и отрезок OBi — За. Потом отложим

Черт. 4.

отрезок ОАз = 2,2а и ОВз = 2,3а. Далее, отложим ОАз= •-=2,23а и ОВз = 2,24а и т. д. Каждый раз мы берём приближённое значение числа по недостатку и приближённое значение по избытку. Получается бесконечная последовательность отрезков: Л1В», АзВз, АзВз, ... Эта последовательность обладает следующими свойствами:

1) Каждый последующий отрезок, находится внутри предыдущего.

2) В этой последовательности всегда можно найти отрезок, меньший любого данного отрезка.

Такая последовательность отрезков называется системой вложенных стягивающихся отрезков.

Примем следующую аксиому*):

Существует единственная точка, принадлежащая одновременно всем вложенным стягивающимся отрезкам.

Пусть на чертеже 4 такой точкой будет точка М, которая определяет конец искомого отрезка ОМ.

На практике приближённое положение этой точки находится очень быстро с достаточной точностью, так как отрезки получаются настолько маленькими, что мы не в состоянии отличить друг от друга их концы. Например, на чертеже 4 черта, которая опре

*) Эта аксиома называется аксиомой Кантора. Георг Кантор (1845—1918)— известный немецкий математик — основоположник современной теории беско-нечных множеств.

деляет точку М, покрывает отрезок Л<В< и все последующие отрезки Д5В5, ЛвВв и т. д.

Если мы будем находить отношение отрезка ОМ к отрезку а тем построением, каким мы пользовались в предыдущем пункте, то, очевидно, получим то же самое число 2,236068...

$ 2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

7. Длина отрезка

Определение. Измерить отрезок — это значит найти его отношение к некоторому постоянному отрезку, принимаемому за единицу длины.

Число, полученное в результате измерения, называется длиной отрезка.

Если через а обозначить измеряемый отрезок, через е—единицу длины, через а — отношение данного отрезка к единичному, то получим: а=ае*).

Так, например, в результате измерения получаем: длина тетради равна 20,5 см, ширина реки равна 78 м, расстояние от Москвы до Подольска равно 35 км и т. д. Знаками см, м, км обозначены единицы длины, а числа 20,5; 78; 35 обозначают отношения соответствующих отрезков к единичным, они являются множителями (коэффициентами) при единичных отрезках.

8. Связь между длиной отрезков и их отношением

Теорема. Отношение отрезков равно отношению ах длин (при условии, что отрезки измерены одной и той же- единицей).

Положим, что отрезки а и b измерены одной и той же единицей е, в результате чего получились числа а и Ь. Итак,

а = ае и b = be.

Пусть отношение отрезков а и Ь равно числу k, т. е.—— = k, или а = кЬ. Отсюда следует: ае = kbe.

Так как при умножении отрезка е на числа а и kb получились равные отрезки, то, значит, а = kb или k = —, т. е. — = —, Ь b ь

что и требовалось доказать.

*) Чтобы отличить обозначение отрезка от обозначения его длины, в первой и второй главах отрезки обозначены полужирным курсивом, их длины — той же буквой, но светлым курсивом. При записи на доске или в тетради обозначения отрезков нужно подчёркивать.