§ 1. О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Систематический курс стереометрии строится по той же схеме, что и курс планиметрии:

1. Перечисляются основные понятия, которым не дают определений.

2. Формулируются аксиомы, в которых выражены свойства основных понятий.

3. С помощью основных понятий формулируются определения других геометрических понятий.

4. На основе определений и аксиом доказываются теоремы.

Школьный курс стереометрии не полностью следует такой

схеме. Чтобы упростить изложение, доказательства некоторых теорем опускаются. В других случаях теоремы формулируются в виде задач.

Основных понятий в стереометрии четыре: точка, прямая,

плоскость и расстояние. Понятие «множество» также является основным (неопределяемым), причем не только в геометрии, но и во всех других разделах математики. Всякое множество точек в геометрии называют фигурой. Примерами фигур служат прямая и плоскость.

На рисунках плоскость будем изображать в виде параллелограмма или какой-нибудь другой плоской фигуры (рис. 1). Плоскости обозначают обычно буквами греческого алфавита а, (5, у и т. п. Для точек и прямых сохраним обозначения, принятые в планиметрии: точки Л, В, С, ... ; прямые а, 6, с, ... 9 а также

Если точка А принадлежит плоскости а, то говорят: «Плоскость а проходит (или проведена) через точку Л». Такие же термины применяются и по отношению к прямой а, которой принадлежит точка Л.

Множество U всех рассматриваемых в стереометрии точек называют пространством. Любая фигура Ф является подмножеством пространства: Ф cz U.

Перечислите основные понятия курса планиметрии.

Укажите, какие из приведенных ниже математических предложений являются аксиомами, теоремами или определениями курса планиметрии:

1) к данной прямой через данную точку можно провести только один перпендикуляр;

2) расстояние от Л до В равно расстоянию от В до Л;

3) длина ломаной больше расстояния между ее концами;

4) пересечение двух фигур есть фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат каждой из данных фигур;

5) перемещение — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния;

6) через любую точку можно провести прямую, параллельную данной прямой;

7) параллельный перенос есть перемещение;

8) через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну окружность;

9) конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;

10) поворот на 180° вокруг центра О есть центральная симметрия с центром О.

1 Знак «°» над номером задачи означает, что она рекомендуется для устного решения.

(ЛВ), (АС) и т. п.

Задачи

В аксиомах стереометрии выражены основные свойства неопределяемых понятий: точки, прямой, плоскости и расстояния.

В отвлеченной форме аксиомы стереометрии отражают свойства реального пространства. Именно это лежит в основе применения стереометрии к практике.

Первые пять аксиом связаны с понятием принадлежности.

Аксиома 1. Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.

Из аксиомы 1 следует, что для любой плоскости а существует не принадлежащая ей точка А (рис. 3). В этом случае говорят, что точка А взята вне плоскости а, и записывают: А $ а.

Точно так же верно утверждение, что для любой прямой существует точка, не принадлежащая этой прямой.

Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Согласно аксиоме 2 прямые а и Ь, имеющие две различные общие точки, совпадают: а = Ь.

Аксиома 3. Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Аксиома 3 позволяет объяснить смысл практического способа проверки того, является ли поверхность какого-либо предмета плоской. К поверхности в различных ее точках прикладывают ребро хорошо выверенной линейки и смотрят, нет ли просветов между линейкой и поверхностью.

Слова «прямая а лежит в плоскости а»

(рис. 4) означают на языке теории множеств, что прямая а является подмножеством плоскости а, то есть аса. Иначе говорят: «Прямая а содержится в плоскости а», а также «Плоскость а проходит (или проведена) через прямую а».

Прямая и плоскость могут иметь единственную общую точку. Докажем это.

Пусть дана плоскость а (рис. 5). По аксиоме 1 существуют точка А, принадлежащая плоскости а, и точка В, не принадлежащая этой плоскости. Через А и В приедем прямую а (аксиома 2). Предположим, что прямая а имеет с плоскостью а еще одну общую точку, отличную от А. Тогда, согласно гксжхме 3, ас а и точка В также принадлежит плоскости а.