• 26. Основные свойства скалярного умножения векторов 59
• 27. Применение векторов к решению задач 60

Задачи на повторение к главе II 63

Глава ill. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

• 28. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 67
• 29. Проведение перпендикуляра к плоскости 69
• 30. Два перпендикуляра к плоскости. Ортогональное проектирование на плоскость 72
• 31. Осевая симметрия пространства 74
• 32. Симметрия относительно плоскости 76
• 33. Две плоскости, перпендикулярные прямой 78
• 34. Расстояние от точки до плоскости 79
• 35. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 81
• 36. Теорема о трех перпендикулярах 83
• 37. Угол между наклонной и плоскостью 85
• 38. Двугранный угол. Измерение двугранных углов 88
• 39. Признак перпендикулярности плоскостей 93
• 40. Многогранный угол. Трехгранный угол 95
• 41. Свойства плоских углов трехгранного и многогранного углов 96

Задачи на повторение к главе III 99

Задачи на повторение по курсу IX класса 101

Глава IV. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ

• 42. Координаты вектора. Правила действий над векторами, заданными своими координатами 105
• 43. Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами по их координатам 107
• 44. Прямоугольная система координат. Координаты точки 108
• 45. Уравнение плоскости 110
• 46. Координатные формулы преобразований. Гомотетия 113

Задачи на повторение к главе IV 115

Г л а в а V. МНОГОГРАННИКИ

• 47. Многогранная поверхность. Многогранник 117
• 48. Призма 119
• 49. Свойства параллелепипеда 122
• 50. Площадь ортогональной проекции многоугольника 125
• 51. Площадь поверхности призмы 127
• 52. Пирамида 128
• 53. Усеченная пирамида 131
• 54. Понятие о правильных многогранниках 133
• 55. Общие свойства объемов многогранников. Объем прямоугольного параллелепипеда 134
• 56. Объем прямой призмы 136
• 57. Объем наклонной призмы 138
• 58. Объем пирамиды 140

Задачи на повторение к главе V 142

Г л а в а VI. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ

• 59. Изображение окружности. Эллипс 147
• 60. Фигура вращения. Цилиндр 149
• 61. Конус. Усеченный конус 152
• 62. Сфера и шар 154
• 63. Сечение сферы. Изображение сферы 155
• 64. Плоскость, касательная к сфере 158
• 65. Обобщение задачи измерения объемов. Объем цилиндра 159
• 66. Объем фигуры, полученной при вращении криволинейной

трапеции 161

• 67. Объем конуса 163
• 68. Объем шара 164
• 69. Площадь сферы 165

Задачи на повторение к глазе VI 167

Вопросы для повторения 171

Задачи на повторение по курсу X класса 175

Исторический очерк 185

Краткая сводка сведений по курсу планиметрии 193

Формулы геометрии 217

Приложения

Теоремы о конгруэнтности фигур (к § 31) 220

Проекция вектора на ось (к § 26) 222

Теорема косинусов для трехгранного угла (к § 40) 223

Необходимое н достаточное условие существования трехграипого угла (к § 41) 224

Свойства плоских углов многогранного угла (к § 41) 225

Геометрическое тело (к гл. V и VI) 226

Обьем усеченного конуса, шарового сегмента и шарового сектора (к гл. VI) 228

Площадь поверхности цилиндра, конуса и шарового сегмента (к гл. VI) 230

Система аксиом геометрии, предложенная Г Вейлем 233

Ответы и указания 235

Предметный указатель 248

Указатель применяемых символов 251

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ понятия СТЕРЕОМЕТРИИ.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Курс геометрии включает планиметрию и стереометрию. На уроках геометрии в VI—VIII классах вы занимались преимущественно планиметрией. Объектами изучения в планиметрии являются фигуры, лежащие в одной и той же плоскости, например угол, треугольник, параллелограмм, окружность. Все точки каждой из этих фигур принадлежат плоскости. Поэтому такие фигуры называются плоскими.

В стереометрии изучаются фигуры, расположенные в пространстве. Они могут быть неплоскими (примерами таких фигур служат призма, пирамида, цилиндр, сфера) или плоскими. Поэтому сведения из планиметрии применяются и в стереометрии.

Изучая стереометрию, мы продолжим начатое в восьмилетней школе знакомство с аксиоматическим методом построения геометрии, с отображениями фигур, с операциями над векторами и применением векторов при доказательстве теорем и решении задач.

• 1.0 ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Систематический курс стереометрии строится по той же схеме, что и курс планиметрии:

1. П еречисляются основные понятия, которым не дают определений.

2. Ф ормулируются аксиомы, в которых выражены свойства основных понятий.

3. С помощью основных понятий формулируются определения других геометрических понятий.

4. Н а основе определений и аксиом доказываются теоремы.

Школьный курс стереометрии не полностью следует такой схеме. Чтобы упростить изложение, доказательства некоторых теорем опускаются. В других случаях теоремы формулируются в виде задач.

Основных понятий в стереометрии четыре: точка, прямая, плоскость и расстояние. Понятие «множество» также является основным (неопределяемым), причем не только в геометрии, но и во всех других разделах математики.