Геометрия для IX класса средней школы (Болтянский, Яглом) 1964 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Геометрия для IX класса средней школы (Болтянский, Яглом) 1964

Назначение: Для IX класса средней школы

© "Просвещение" Москва 1964 

Авторство: Владимир Григорьевич Болтянский, Исаак Моисеевич Яглом

Формат: PDF Размер файла: 8.92 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Часть /. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Глава I. Осевая симметрия

§ 1. Определение осевой симметрии 3

§ 2. Самостоятельная работа 6

§ 3. Перегибание листа бумаги 7

§ 4. Самостоятельная работа 8

§ 5. Свойства осевой симметрии

§ 6. Примеры симметричных фигур 9

§ 7. Применение осевой симметрии к доказательству теорем 11

§ 8. Задачи 12

Глава II. Центральная симметрия

§ 9. Определение центральной симметрии 14

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

§ 10. Самостоятельная работа 16

§11. Центральная симметрия как поворот на 180°

§ 12. Самостоятельная работа 17

§ 13. Свойства центральной симметрии

§ 14. Центр симметрии параллелограмма 18

§ 15. Задачи 19

Глава Ш. Поворот

§ 16. Определение поворота 20

§ 17. Самостоятельная работа 22

§ 18. Свойства поворота

§ 19. Задачи 24

Глава IV. Параллельный перенос

§ 20. Вектор 26

§ 21. Определение параллельного переноса 28

§ 22. Самостоятельная работа 29

§ 23. Свойства параллельного переноса

§ 24. Задачи 30

Глава V. Гомотетия

§ 25. Определение гомотетии 33

§ 26. Самостоятельная работа 36

§ 27. Пантограф

§ 28. Свойства гомотетии 37

§ 29. Точка пересечения высот треугольника 41

§ 30. Задачи 42

§ 31. Общее понятие о подобии 44

Глава VI. Понятие о геометрическом преобразовании

§ 32. Что такое геометрическое преобразование? 46

§ 33. Сложение геометрических преобразований

§ 34. Движения 48

Часть //. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Глава 1. Сложение и вычитание векторов

§ 35. Сумма двух векторов 52

§ 36. Сумма двух параллельных переносов 53

§ 37. Нулевой вектор 54

§ 38. Коммутативность сложения векторов 55

§ 39. Ассоциативность сложения векторов 56

§ 40. Вычитание векторов 58

Глава II. Умножение вектора на число

§ 41. Определение умножения вектора на число 60

§ 42. Свойства операции умножения вектора на число 61

§ 43. Деление отрезка в данном отношении 62

§ 44. Следствия 64

§ 45. Задачи

Глава III. Проекции и координаты вектора

§ 46. Проекция вектора на ось 66

§ 47. Свойства проекции 67

§ 48. Координаты вектора 69

§ 49. Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число 70

§ 51. Связь проекций и координат вектора с тригонометрическими функциями 71

Глава IV. Скалярное умножение векторов

§ 52. Определение скалярного произведения 73

§ 53. Свойства скалярного произведения 74

§ 54. Вычисление скалярного произведения в координатах 76

§ 55. Вычисление длин и углов

§ 56. Задачи 78

Глава V. Метрические соотношения в треугольнике

§ 57. Теорема косинусов 79

§ 58. Вычисление площади треугольника по его элементам 80

§ 59. Теорема синусов 81

§ 60. Решение треугольников 82

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Часть I. Геометрические преобразования

Глава I. Осевая симметрия 84

Глава 11. Центральная симметрия 88

Глава 111. Поворот 91

Глава IV. Параллельный перенос 93

Глава V. Гомотетия 96

Глава VI. Понятие о геометрическом преобразовании 99

Часть II. Векторная алгебра

Глава I. Сложение и вычитание векторов 100

Глава II. Умножение вектора на число 103

Глава 111. Проекции и координаты векторов 108

Глава IV. Скалярное умножение векторов 111

Глава V. Метрические соотношения в треугольнике 114

Ответы и указания Н9 

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Геометрия для IX класса средней школы (Болтянский, Яглом) 1964 года

СКАЧАТЬ PDF

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 Часть I ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ГЛАВА I

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

§ 1. Определение осевой симметрии

Две фигуры, расположенные на рисунке 1 слева и справа от прямой I, симметричны друг другу относительно этой прямой. Изображения двух рыб (рис. 2) также симметричны друг другу относительно проведенной прямой I. Напротив, на рисунке 3 фигуры не симметричны.

 

Рис. 1.

Рис. 2.

Симметричные фигуры можно получить с помощью следующего приема. Проведем в плоскости чертежа некоторую прямую I и по одну сторону от нее начертим какую-либо фигуру. Приставим затем к прямой I край зеркала, перпендикулярного к плоскости чертежа (рис. 4). В зеркале мы увидим вторую фигуру, симметричную первой относительно прямой I.

Точное определение симметричных фигур будет дано ниже.

Точки, симметричные относительно прямой. Определение. Точки А и Д' называются симметричными относительно прямой I, если отрезок АД' перпендикулярен прямой I и делится этой прямой пополам (рис. 5).

Пусть на плоскости задана некоторая прямая I. Тогда для каждой точки А, не лежащей на прямой I, найдется единственная точка А', симметричная точке А относительно прямой I. Чтобы построить эту точку А', достаточно опустить из точки А на пря

 

мую I перпендикуляр АР и на его продолжении за точку Р отложить отрезок РА' = АР (рис. 5).

Если точка А' симметрична точке А относительно прямой I, то и, обратно, точка А симметрична точке А' относительно I. Именно поэтому можно сказать, что точки А и А' симмет-

\ ричныдругдругу (или просто с и м-

\ А метричны) относительно прямой /.

\ Если точка А лежит на прямой Z, то

V''"' точка, симметричная точке Л относительно пря- А \ мой Z, по определению, совпадает с точкой А.

а'" \ Фигуры, симметричные относительно пря-

\ мой. Предположим, что на плоскости, кроме

\ прямой I, задана некоторая фигура F, напри- \ мер отрезок, кривая линия, окружность,

\ треугольник, трапеция или какая-либо иная

\/ фигура. Возьмем произвольную точку А фи- Рис. 5. гуры F и найдем точку А', симметричную

точке А относительно прямой I (рис. 6). Затем возьмем точку В фигуры F и найдем симметричную ей точку В'; потом возьмем точку С фигуры F и симметричную ей точку С и т. д. Рассмотрим всевозможные точки А', В', С,..., симметричные точкам Л, В, С,... фигуры F, или, как говорят в математике, множество всех точек, симметричных точкам фигуры F относительно прямой I. Это множество, состоящее из точек А', В', С', .... представляет собой некоторую фигуру F'; на рисунке 6 фигура F' изображена пунктиром. Фигуру F' называют фигурой, симметричной фигуре F относительно прямой Z. Говорят также и иначе: фигуры F и F’ симметричны относительно прямой Z.

Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение. Фигура F', образованная всеми точками, симметричными точкам фигуры F относительно заданной прямой I, называется фигурой, симметричной фигу ре F относительно прямой I.

 

Для каждой фигуры F и каждой прямой I на плоскости найдется фигура F', симметричная фигуре F относительно /. Переход от фигуры F к симметричной ей фигуре F называется симметрией относительно прямой I или, как иногда говорят, осевой симметрией.

 

I

Рис. 7. Рис. 8.

Если фигура F симметрична фигуре F относительно прямой I, то и, обратно, фигура F симметрична фигуре F' относительно /. Таким образом, при осевой симметрии фигуры F и F’ меняются местами (т. е. каждая из них переходит во вторую фигуру).

Фигуры, обладающие осью симметрии. Фигура, изображенная на рисунке 7, разделена вертикальной прямой I на две части, причем правая и левая половины этой фигуры симметричны друг

другу относительно прямой Z. При симметрии относительно прямой I правая и левая половины фигуры меняются местами, а вся фигура в целом переходит при симметрии относительно прямой I в ту же самую фигуру. То же мы наблюдаем на рисунке 8. В этих случаях говорят, что фигура симметрична относительно прямой Z.

Определение. Фигура F называется симметричной относительно прямой I, если при симметрии относительно этой прямой фигура F переходит снова в ту же самую фигуру.

Если фигура F симметрична относительно прямой /, то эта прямая называется осью симметрии фигуры F.

§ 2. Самостоятельная работа

Построение симметричных фигур на миллиметровой бумаге. С помощью линейки проведите карандашом прямую Z, совпадающую с одной из жирных линий, намеченных на миллиметровой

 

Рис. 9.

бумаге. По одну сторону от проведенной прямой изобразите какую- либо фигуру, например замкнутую линию F (рис. 9). На линии F отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Для каждой из этих точек найдите симметричную ей точку относи- 6

тельно прямой I (это легко сделать, используя деления миллиметровой бумаги). Соедините между собой полученные точки; это даст линию F', симметричную линии F.

§ 3. Перегибание листа бумаги

Проведем на листе бумаги прямую линию I и возьмем какую- нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Перегнем лист бумаги по линии I до совмещения обеих половин листа. Тогда точка А совместится с некоторой точкой А' другой половины листа.

 

Рис. 10.

Отметим эту точку А’ и затем снова разогнем лист бумаги. Докажем, что точки А и А' симметричны относительно прямой I (рис. 10).

Соединим точки А и А' отрезком прямой. Так как при перегибании отмеченные на рисунке 10 углы 1 и 2 совмещаются один

с другим, то 1 = Z. 2. Но углы эти смежные; следовательно, оба они — прямые. Из совмещения точек А и А' при перегибании следует также, что изображенные на рисунке 10 отрезки /С4 и КА' равны между собой. Таким образом, отрезок АА' перпендикулярен прямой I и делится этой прямой пополам, т. е. точки А и А' симметричны относительно прямой /.

Верно и обратное: две точки А и А’, симметричные относительно прямой I, при перегибании чертежа по прямой I совмещаются. Действительно, из симметрии точек А и А' следует, что отрезки КА и КА' равны между собой и пер

 

пендикулярны прямой /. Поэтому при перегибании листа бумаги отрезок КА пойдет по КА' и точки А и А’ совпадут.

Таким способом можно получать и симметричные фигуры. Например, если по одну сторону от линии перегиба I изображена не застывшей еще краской некоторая фигура, то при перегибании чертежа мы получим на другой стороне листа симметричный отпечаток этой фигуры (рис. 11).

§ 4. Самостоятельная работа

Построение симметричных фигур с помощью листа кальки. Наложите кальку на лист миллиметровой бумаги с изображенными на нем симметричными относительно прямой I фигурами F и F' (§ 2).

С помощью линейки проведите на кальке прямую I и, кроме того, обведите на кальке фигуру F. Теперь снимите лист кальки с миллиметровой бумаги и перегните его по линии I так, чтобы начерченная фигура находилась на внешней стороне сложенного листа кальки. На второй стороне листа кальки обведите снова изображение фигуры F. Развернув теперь лист кальки, вы увидите по одну сторону линии / фигуру F, а по другую сторону — симметричную ей фигуру F'. Сравните полученный чертеж с чертежом, полученным при выполнении предыдущей работы.

§ 5. Свойства осевой симметрии

Следующие свойства осевой симметрии вытекают из связи осе

вой симметрии с перегибанием листа бумаги.

Теорема 1. Фигуры, симметричные относительно прямой I, равны между собой.

В самом деле, так как при перегибании листа бумаги по прямой I симметричные относительно / фигуры F и F' совмещаются,

 

Рис. 12.

то они равны между собой.

Частными случаями теоремы 1 являются следующие теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Фигура, симметричная отрезку АВ относительно прямой I, представляет собой отрезок А'В', равный отрезку АВ. Концы А' и В' отрезка А'В' симметричны концам А и В первоначального отрезка.

Теорема 3. Фигура, симметричная окружности радиуса г относительно прямой I, представляет со

бой окружность того же радиуса г. Центром этой окружности служит точка О', симметричная относительно I центру О первона

чальной окружности (рис. 12).

В самом деле, если А — произвольная точка исходной окружности, а А' — симметричная ей относительно I точка, то, в силу теоремы 2, О'А’ = ОА = г.

 

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика