Геометрия для IX класса средней школы (Болтянский, Яглом) 1964 год - старые учебники

Часть I ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ГЛАВА I

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

§ 1. Определение осевой симметрии

Две фигуры, расположенные на рисунке 1 слева и справа от прямой I, симметричны друг другу относительно этой прямой. Изображения двух рыб (рис. 2) также симметричны друг другу относительно проведенной прямой I. Напротив, на рисунке 3 фигуры не симметричны.

Рис. 1.

Рис. 2.

Симметричные фигуры можно получить с помощью следующего приема. Проведем в плоскости чертежа некоторую прямую I и по одну сторону от нее начертим какую-либо фигуру. Приставим затем к прямой I край зеркала, перпендикулярного к плоскости чертежа (рис. 4). В зеркале мы увидим вторую фигуру, симметричную первой относительно прямой I.

Точное определение симметричных фигур будет дано ниже.

Точки, симметричные относительно прямой. Определение. Точки А и Д' называются симметричными относительно прямой I, если отрезок АД' перпендикулярен прямой I и делится этой прямой пополам (рис. 5).

Пусть на плоскости задана некоторая прямая I. Тогда для каждой точки А, не лежащей на прямой I, найдется единственная точка А', симметричная точке А относительно прямой I. Чтобы построить эту точку А', достаточно опустить из точки А на пря

мую I перпендикуляр АР и на его продолжении за точку Р отложить отрезок РА' = АР (рис. 5).

Если точка А' симметрична точке А относительно прямой I, то и, обратно, точка А симметрична точке А' относительно I. Именно поэтому можно сказать, что точки А и А' симмет-

\ ричныдругдругу (или просто с и м-

\ А метричны) относительно прямой /.

\ Если точка А лежит на прямой Z, то

V''"' точка, симметричная точке Л относительно пря- А \ мой Z, по определению, совпадает с точкой А.

а'" \ Фигуры, симметричные относительно пря-

\ мой. Предположим, что на плоскости, кроме

\ прямой I, задана некоторая фигура F, напри- \ мер отрезок, кривая линия, окружность,

\ треугольник, трапеция или какая-либо иная

\/ фигура. Возьмем произвольную точку А фи- Рис. 5. гуры F и найдем точку А', симметричную

точке А относительно прямой I (рис. 6). Затем возьмем точку В фигуры F и найдем симметричную ей точку В'; потом возьмем точку С фигуры F и симметричную ей точку С и т. д. Рассмотрим всевозможные точки А', В', С,..., симметричные точкам Л, В, С,... фигуры F, или, как говорят в математике, множество всех точек, симметричных точкам фигуры F относительно прямой I. Это множество, состоящее из точек А', В', С', .... представляет собой некоторую фигуру F'; на рисунке 6 фигура F' изображена пунктиром. Фигуру F' называют фигурой, симметричной фигуре F относительно прямой Z. Говорят также и иначе: фигуры F и F’ симметричны относительно прямой Z.

Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение. Фигура F', образованная всеми точками, симметричными точкам фигуры F относительно заданной прямой I, называется фигурой, симметричной фигу ре F относительно прямой I.

Для каждой фигуры F и каждой прямой I на плоскости найдется фигура F', симметричная фигуре F относительно /. Переход от фигуры F к симметричной ей фигуре F называется симметрией относительно прямой I или, как иногда говорят, осевой симметрией.

I

Рис. 7. Рис. 8.

Если фигура F симметрична фигуре F относительно прямой I, то и, обратно, фигура F симметрична фигуре F' относительно /. Таким образом, при осевой симметрии фигуры F и F’ меняются местами (т. е. каждая из них переходит во вторую фигуру).

Фигуры, обладающие осью симметрии. Фигура, изображенная на рисунке 7, разделена вертикальной прямой I на две части, причем правая и левая половины этой фигуры симметричны друг

другу относительно прямой Z. При симметрии относительно прямой I правая и левая половины фигуры меняются местами, а вся фигура в целом переходит при симметрии относительно прямой I в ту же самую фигуру. То же мы наблюдаем на рисунке 8. В этих случаях говорят, что фигура симметрична относительно прямой Z.

Определение. Фигура F называется симметричной относительно прямой I, если при симметрии относительно этой прямой фигура F переходит снова в ту же самую фигуру.

Если фигура F симметрична относительно прямой /, то эта прямая называется осью симметрии фигуры F.

§ 2. Самостоятельная работа

Построение симметричных фигур на миллиметровой бумаге. С помощью линейки проведите карандашом прямую Z, совпадающую с одной из жирных линий, намеченных на миллиметровой

Рис. 9.

бумаге. По одну сторону от проведенной прямой изобразите какую- либо фигуру, например замкнутую линию F (рис. 9). На линии F отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Для каждой из этих точек найдите симметричную ей точку относи- 6

тельно прямой I (это легко сделать, используя деления миллиметровой бумаги). Соедините между собой полученные точки; это даст линию F', симметричную линии F.

§ 3. Перегибание листа бумаги

Проведем на листе бумаги прямую линию I и возьмем какую- нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Перегнем лист бумаги по линии I до совмещения обеих половин листа. Тогда точка А совместится с некоторой точкой А' другой половины листа.

Рис. 10.

Отметим эту точку А’ и затем снова разогнем лист бумаги. Докажем, что точки А и А' симметричны относительно прямой I (рис. 10).

Соединим точки А и А' отрезком прямой. Так как при перегибании отмеченные на рисунке 10 углы 1 и 2 совмещаются один

с другим, то 1 = Z. 2. Но углы эти смежные; следовательно, оба они — прямые. Из совмещения точек А и А' при перегибании следует также, что изображенные на рисунке 10 отрезки /С4 и КА' равны между собой. Таким образом, отрезок АА' перпендикулярен прямой I и делится этой прямой пополам, т. е. точки А и А' симметричны относительно прямой /.

Верно и обратное: две точки А и А’, симметричные относительно прямой I, при перегибании чертежа по прямой I совмещаются. Действительно, из симметрии точек А и А' следует, что отрезки КА и КА' равны между собой и пер

пендикулярны прямой /. Поэтому при перегибании листа бумаги отрезок КА пойдет по КА' и точки А и А’ совпадут.

Таким способом можно получать и симметричные фигуры. Например, если по одну сторону от линии перегиба I изображена не застывшей еще краской некоторая фигура, то при перегибании чертежа мы получим на другой стороне листа симметричный отпечаток этой фигуры (рис. 11).

§ 4. Самостоятельная работа

Построение симметричных фигур с помощью листа кальки. Наложите кальку на лист миллиметровой бумаги с изображенными на нем симметричными относительно прямой I фигурами F и F' (§ 2).

С помощью линейки проведите на кальке прямую I и, кроме того, обведите на кальке фигуру F. Теперь снимите лист кальки с миллиметровой бумаги и перегните его по линии I так, чтобы начерченная фигура находилась на внешней стороне сложенного листа кальки. На второй стороне листа кальки обведите снова изображение фигуры F. Развернув теперь лист кальки, вы увидите по одну сторону линии / фигуру F, а по другую сторону — симметричную ей фигуру F'. Сравните полученный чертеж с чертежом, полученным при выполнении предыдущей работы.

§ 5. Свойства осевой симметрии

Следующие свойства осевой симметрии вытекают из связи осе

вой симметрии с перегибанием листа бумаги.

Теорема 1. Фигуры, симметричные относительно прямой I, равны между собой.

В самом деле, так как при перегибании листа бумаги по прямой I симметричные относительно / фигуры F и F' совмещаются,

Рис. 12.

то они равны между собой.

Частными случаями теоремы 1 являются следующие теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Фигура, симметричная отрезку АВ относительно прямой I, представляет собой отрезок А'В', равный отрезку АВ. Концы А' и В' отрезка А'В' симметричны концам А и В первоначального отрезка.

Теорема 3. Фигура, симметричная окружности радиуса г относительно прямой I, представляет со

бой окружность того же радиуса г. Центром этой окружности служит точка О', симметричная относительно I центру О первона

чальной окружности (рис. 12).

В самом деле, если А — произвольная точка исходной окружности, а А' — симметричная ей относительно I точка, то, в силу теоремы 2, О'А’ = ОА = г.