• 12. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей 19
• 13. Углы в круге 20
• 14. Вписанные и описанные многоугольники 22

Глава вторая. Подобие треугольников и многоугольников 23

• 15. Свойства отношений и пропорций 23
• 16. Пропорциональные отрезки 25
• 17. Задачи на построение пропорциональных отрезков 29
• 18. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника 30
• 19. Подобные треугольники 33
• 20. Признаки подобия треугольников. 35
• 21. Свойства высот в подобных треугольниках. 38
• 22. Подобные многоугольники. 39
• 23. Отношение периметров подобных многоугольников 41

Задач и ко второй главе 41

Глава третья. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и в круге. 47

• 24 Свойства катетов прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. 47
• 25. Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу. 49
• 26 Свойство отрезков пересекающихся хорд 50
• 27. Свойство касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки 51
• 28 Деление отрезка в крайнем и среднем отношении 52

Задачи к третьей главе 53

Глава четвертая. Решение прямоугольных треугольников 59

• 29 Тригонометрические функции острого угла. 59
• 30. Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла. 61
• 31 Основные случаи решения прямоугольных треугольников 62
• 32 Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету 63
• 33 Решение прямоугольного треугольника по двум катетам 64
• 34. Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и одному из острых углов 65
• 35. Решение прямоугольного треугольника по катету и одному из острых углов 65
• 36 Другие типы задач на решение прямоугольных треугольников 66
• 37. Применение тригонометрии к решению задач планиметрии 68

Задачи к четвертой главе 70

Глава пятая. Соотношения между элементами произвольного треугольника. Решение косоугольных треугольников 73

• 38 Теорема синусов и формула тангенсов. 73
• 39 Формула косинусов 75
• 40 Выражение тангенса половинного угла через стороны треугольника и радиус вписанного круга 80
• 41 Основные случаи решения косоугольных треугольников 82
• 42. Решение треугольника по трем сторонам 82
• 43. Решение треугольника по двум сторонам и углу, заключенному между ними 85
• 44. Решение треугольника по стороне и двум прилежащим углам 87
• 45 , Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них 88
• 46. Некоторые другие типы задач на решение косоугольных треугольников 90
• 47. Применение тригонометрии к измерениям на местности 91
• 48. Применение тригонометрии к решению задач планиметрии и физики. 94

Задачи к пятой главе 99

Глава шестая. Площадь прямолинейных фигур. Длина окружности и площадь круга. 101

• 49. Понятие об измерении площадей 101
• 50. Площадь прямоугольника. 104
• 51. Площадь параллелограмма и треугольника 105
• 52. Выражение площади треугольника через его стороны (формула Герона) 109

- § 53. Определение радиусов описанного и вписанного кругов ПО

• 54 Площадь трапеции. 112
• 55. Площадь произвольного четырехугольника. Площадь ромба и квадрата 114
• 56 Площадь многоугольника. 115
• 57. Отношение площадей подобных треугольников и многоугольников 117
• 58. Свойства периметров правильных вписанных и описанных многоугольников 120
• 59 Длина окружности 122
• 60 Длина дуги окружности. Радианное измерение дуг и углов 123
• 61 Площадь круга и его частей 124

Задачи к шестой главе. 126

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Глава седьмая. Прямые и плоскости 132

• 62. Предварительные замечания. 132
• 63. Плоскость. Основные свойства плоскости 131
• 64 Взаимное расположение двух прямых в пространстве, плоскости и прямой в пространстве « 134
• 65 Прямая и плоскость, параллельные между собой 135
• 66 Параллельные плоскости. 136
• 67 Перпендикуляр к плоскости. 139
• 68 Наклонная и проекция наклонной на плоскость 141
• 69 Теорема о трех перпендикулярах. 143
• 70 Угол между прямой и плоскостью. 145
• 71 Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей 147
• 72 Расстояние между скрещивающимися прямыми 149

Задачи к седьмой главе 150

Глава восьмая. Двугранные углы, перпендикулярные плоскости и многогранные углы. 153

• 73 Двугранные углы 153
• 74 Измерение двугранных углов. 154
• 75 Перпендикулярные плоскости 156
• 76 Определение проекции. 158
• 77 Площадь проекции плоского многоугольника 159
• 78 Площадь проекции произвольной фигуры. 162
• 79 Трехгранный угол. 163
• 80 Многогранный угол 166

Задачи к восьмой главе 168

Глава девятая. Многогранники. Цилиндрические тела.

Конусы. 170

• 81 Понятие о многограннике. 170
• 82 Понятие о правильных многогранниках. 170
• 83 Цилиндрическая поверхность. 173
• 84 Цилиндрическое тело. 174
• 85 Призма. 175
• 86 Параллелепипед. 177
• 87 Прямой круговой цилиндр 180
• 88 Коническая поверхность. 181
• 89 Конус 182
• 90 Пирамида 183
• 91 Круговой конус. 186
• 92. Свойства сечений конуса плоскостью, параллельной основанию 188
• 93 Усеченный конус 190

Задачи к девятой главе 192

Глава десятая. Площадь поверхности. 198

• 94. Площадь поверхности многогранника 198
• 95. Площадь поверхности. призмы 198
• 96. Площадь поверхности. пирамиды 200
• 97. Площадь поверхности усеченной пирамиды 203
• 98. Площадь боковой и полной поверхности прямого кругового цилиндра 205
• 99 Развертка цилиндра 206
• 100. Площадь боковой и полной поверхности прямого кругового конуса 207
• 101. Развертка прямого кругового конуса 208
• 102. Площадь боковой и полной поверхности прямого

кругового усеченного конуса 209

• 103 Развертка прямого кругового усеченного конуса 211

Задачи к десятой главе 212

Глава одиннадцатая. Объемы многогранников, цилиндрических тел и конусов. 217

• 104. Определение объема геометрического тела. 217
• 105. Объем прямоугольного параллелепипеда 219
• 106. Объем. прямого цилиндрического тела 222
• 107. Объем наклонного цилиндрического тела 225
• 108. Объем. конуса 228
• 109. Объем усеченного конуса. 233

Задачи к одиннадцатой главе 236

Глава двенадцатая. Шар. 244

• 110. Определения 244
• 111 Сечения сферы плоскостью 244
• 112 Касательная плоскость. 246
• 113. Понятие о сферическом треугольнике 247
• 114 Площадь поверхности шара, шарового сегмента и шарового слоя 249
• 115 Объем шарового сегмента, шара и шарового сектора 252 Задачи к двенадцатой главе. 261

Глава тринадцатая. Применение тригонометрии к решению задач стереометрии. 264

• 116 Прямые и плоскости в пространстве. Двугранные и многогранные углы 264
• 117. Многогранники. 269
• 118 Площади поверхностей и объемы. 274
• 119 Площадь поверхности и объем тела вращения 279
• 120. Задачи на комбинации пространственных тел 283

Задачи к тринадцатой главе 292

Ответы 296

ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ

В седьмое издание внесены значительные дополнения и изменения.

Исключена глава «Геометрические преобразования», так как этот раздел из программы изъят. Вместо этого даны новые главы, посвященные подобию, метрическим соотношениям и измерению площадей плоских фигур. Чтобы помочь читателю по мере надобности вспомнить пройденный материал без обращения к другой литературе, добавлен открывающий изложение «Обзор начальных сведений из планиметрии» (глава первая).

Небольшому изменению подверглись главы (четвертая и пятая) о решении треугольников. К ним добавлено, в частности, большое число упражнений. Изменен порядок теорем в главе седьмой.

Заново написаны главы о многогранниках, цилиндрах, конусах и измерении их объемов. Предлагаемое изложение этих разделов нам представляется наиболее целесообразным, особенно в техникумах, где к моменту изучения объемов учащиеся владеют аппаратом интегрального исчисления.

Частично изменено изложение глав (десятой) «Площадь поверхности» и (двенадцатой) «Шар».

В последней главе рассмотрены постановки основных типовых задач и методы их решений.

В заключение приношу самую глубокую благодарность Р. С. Гутеру, очень внимательно прочитавшему рукопись этого издания и сделавшему много полезных замечаний.

Э. Шувалова

ПЛАНИМЕТРИЯ

Глава первая

ОБЗОР НАЧАЛЬНЫХ СВЕДЕНИЙ ИЗ ПЛАНИМЕТРИИ

• 1. Точка и прямая. Фигуры. Основными понятиями геометрии на плоскости, планиметрии, служат точка и прямая.

Прямая линия характеризуется следующими свойствами:

1. Она бесконечна.

2. Через две точки можно провести прямую линию, и притом только одну.

Следовательно, две прямые линии на плоскости либо не имеют ни одной общей точки (параллельные прямые), либо имеют только одну общую точку (пересекающиеся прямые), либо полностью совпадают.

Часть прямой линии, ограниченная с одной стороны, называется лучом.

Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

Линия, состоящая из нескольких отрезков, причем никакие соседние отрезки не лежат на одной прямой, называется ломаной., Каждый из отрезков, составляющих ломаную, называется ее звеном.

Ломаная называется замкнутой, если ее концы совпадают.

Точки и линии образуют фигуры. Две фигуры называются равными, если они при наложении полностью совмещаются.

В планиметрии рассматривают следующие фигуры:

1. У г о л. Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Каждый луч называется стороной угла, их общая точка — вершиной угла.

2. Многоугольник. Многоугольником называется фигура, ограниченная, замкнутой ломаной. Каждое звено ломаной называется стороной многоугольника.

зависимости от числа сторон многоугольники разделяются на треугольники, четырехугольники и т. д.

Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от любой своей стороны, неограниченно продолженной. В нашем курсе мы будем рассматривать лишь выпуклые многоугольники.

Многоугольник называется правильным, если равны между собой все его стороны и все его углы.

3. Окружность. Окружностью называется линия, состоящая из всех точек, равноудаленных от одной, называемой центром.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

• 2. Углы. Каждый угол делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю область угла. Обычно указывают, какая из этих двух частей является внутренней областью.

Угол, у которого две стороны составляют одну прямую, называется развернутым углом. Угол, равный половине развернутого, называется прямым углом. Величина прямого угла обозначается буквой d; следовательно, развернутый угол равен 2d.

Мы будем измерять углы в градусах, радианах (см. § 60) и долях d.

Развернутый угол равен 180°, а прямой угол равен 90° (рис. 1).

Угол, меньший прямого, называется острым, а больший прямого (но меньший развернутого) — тупым.

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла (рис. 2). Пара углов 1 и 3, а также пара углов 2 и 4 называются вертикальными углами. Стороны одного из вертикальных углов являются продолжением сторон другого.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными. На рис. 2 смежными будут следующие пары углов: 1) и Z_2‘, 2) Z.2 и ;L3\ 3) А.З и Х_4\ 4) Z.4 и ZJ.

Смежные углы в сумме составляют развернутый угол, поэтому их сумма равна 180° (или 2d); вертикальные углы равны.

Две прямые, образующие между собой прямые углы, называются взаимно перпендикулярными.

• 8. Четырехугольники. В планиметрии изучаются следующие четырехугольники: параллелограмм и его частные случаи (прямоугольник, ромб, квадрат), трапеция.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Параллелограмм обладает следующими свойствами:

1) Его противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 2d (180°).

2) Его противоположные стороны равны между собой.

3) Диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Поэтому прямоугольник обладает всеми свойствами 1), 2), 3) параллелограмма, и, кроме того:

4) Диагонали прямоугольника равны между собой.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб обладает свойствами 1), 2), 3) параллелограмма, и, кроме того:

4) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Квадрат — частный случай ромба (ромб с прямыми углами) и частный случай прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами). Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника: его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам (как у прямоугольника), взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов (как у ромба).

Свойства, которые определяют вид четырехугольника, называются его признаками. Отметим некоторые из них.

I. Четырехугольник является параллелограммом, если у него 1) две противоположные стороны равны и параллельны, или 2) противоположные стороны попарно равны, или 3) диагонали в точке пересечения делятся пополам.

II. Четырехугольник, диагонали которого равны и в точке пересечения делятся пополам, является прямоугольником.

III. Четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, является ромбом.

IV. Четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны и в точке пересечения делятся пополам, является квадратом.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции.