Предисловие переводчика к русскому изданию.

За последние годы обучение геометрии у пас значительно изме­няется. С начала этого столетия в отдельных немногих школах, а затем и в целых группах учебных заведений (кадетских корпусах) вводится преподавание (подготовительного) пропедевтического курса геометрии. В других учебных заведениях (коммерческих училищах) введение этого курса предоставляется инициативе педагогических советов, а затем оп появляется уже в качестве обязательного учебного предмета. В программы 1919 г. входит уже начальный курс геометрии, проходящий через три старших класса I ступени. Здесь этот курс понимается уже не как подготовительный, а как начальный курс, имеющий самостоятельное значение. Наконец, программы 1921 г. вводят рассмотрение геометрических вопросов уже с 1-го года обучения и проводят изучение геометрии через восемь (!) лет обучения, которое дополняется в 9-м году изучением аналитической геометрии.

Авторы обеих последних программ (1919 и 1921 г.) система­тического курса пишут: «Считаясь с педагогическими требова­ниями, в начале систематического курса не следует резко поры­вать с индуктивными методами подготовительного курса: более науч­ные методы должны вводиться постепенно, в согласии с постепенным развитием мыслительной способности учащихся>. Обе программы начинают систематический курс первого класса II ступени таким образом. Один: точки, прямые, плоскости, аксиомы и теоремы сопря­жения и т. д.; другой: точка, прямая, отрезок, плоскость, угол и т. д.

Спрашивается, что можно делать с этой программой и можно ли что-нибудь проходить по ней с учащимися, усвоившими начальный курс, не вводя чисто научных методов? Я думаю, что сами авторы отсту­пают от намеченного ими постепенного перехода от одних методов к другим. Вероятно, у менее сведущих, у менее опытных преподава­телей ничего из этого не выходит, тем более, что сколько-нибудь опре­деленных указаний в программе не дано.

Если проводить в систематическом курсе все отделы, опуская только отдельные теоремы (как указано в программах 1921 года), то может быть, не без некоторого основания преподаватели в своих возра­жениях против начального курса (вообще неправильных) выскажут такое мнение: ведь, для учащихся систематический курс при суще­ствовании начального будет еще скучнее, чем раньше; в прежнее время ученики узнавали здесь новые истины, теперь же почти ничего нового не узнают, а только «строго» доказывают уже известное: как будто в нем кто-нибудь сомневается?

Поэтому, едва ли хорошо, при существовании начального курса, включать все отделы в систематический курс. Может быть лучше увеличивать постепенно строгость доказательств при переходе к после­дующим отделам и затем провести и показать построение научной системы на одном или двух отделах (например, одном, изученном уже, па другом, вновь изучаемом). Самое построение начального курса остается пока еще довольно неопределенным и вызывает часто спра­ведливые сомнения. В некоторых случаях учителя, думая, что этот курс отличается от систематического отсутствием доказательств, боятся ввести какие бы то ни было доказательные рассуждения. Часто еще начальный курс рассматривается как только пропедевтический (под­готовительный к систематическому) и поэтому в этом курсе избегают устанавливать те свойства, особенно метрические, которые выводятся на первых ступенях обычного курса, а направляют внимание исклю­чительно на развитие пространственных представлений изучением и преобразованием размера и форм. Между тем, несомненно, дети- практики (а ведь они почти все — практики) интересуются также и метрической стороной, тесно связанной с приложениями.

Ни в одном из начальных курсов, известных мне, не обращена большого внимания па приложения, которые очень интересны для детей. Между тем, теперь, когда очень многие дети проходят только начальный курс, когда школа стала народной, очень важно, чтобы он давал нечто законченное, нечто, имеющее самостоятельное значение; чтобы он был практически приложимым, а не имел характера только подготовительного. Поэтому появление на русском языке задачника- руководства Мартина и Шмидта кажется мне желательным. В этой книге не только обращено очень большое внимание на приложения, по предложен целый ряд упражнений и работ в духе наших началь­ных курсов, при чем не упущены также задачи, направленные на разви­тие пространственного воображения. Вся книга построена без всякого

разделения планиметрии и стереометрии; визионизм прошел здесь совершенно естественно, невидимому, без особо направленных на то усилий авторов. Вообще при построении книги, как это подробно указано в предисловии к немецкому изданию, исходной точкой были практические приложения. План и выбор задач гораздо ближе под­ходят к нашим подготовительным, чем к систематическим курсам.

При начальном обучении первая, и отчасти вторая часть этой книги оказались бы, может быть, вполне пригодными в качестве учеб­ной книги для учащихся. Здесь ее применимость для нашей школы кажется мне несомненной. Но п в других частях она имеет цепные качества и может оказать преподавателю существенную пользу. В этом руководстве очень искусно проведено постепенное увеличение строгости доказательств и оно может до некоторой степени показать, как должен и может совершаться переход от индуктивно-наблюдательного к дедук­тивно-логическому методу. В последних своих главах оно, вероятно, менее пригодно для наших школ, так как здесь паши учителя, в силу привычки, программы и изложения этих отделов в учебниках, пере­ходят к отвлеченному методу изучения геометрии. Но и тут это руководство может принести пользу, указывая преподавателю и учени­кам различные приложения изучаемой теоремы. Было бы чрезвычайно ценным построить начальный курс алгебры (или, по крайней мере, общей арифметики) на тех же самых практических вопросах, на которых здесь построен курс геометрии; кое-что в этом направлении сделано уже в предлагаемой книге: так, например, на стр. 78 и 79 указан вывод формулы для квадрата многочлена. Также очень легко и удобно при вычислении площадей дать формулы для произведений (a-j-e) с, (а—в) с, (а^в)² л (а-\-в) (а—в) (рис. 99 и 100), и для извлечения корня квадратного. Вычисление объема куба дает повод показать геометрически формулу для (a-f-в)³. При помощи теоремы Пифагора удобно сравнить (a-j-e)², а²-|-в², а²—в², (а—в)² для случая а> в^> 0. Все ученье о тождественных преобразованиях легко провести на гео­метрических примерах. Не представит, конечно, никаких затруднений подобрать вопросы, ведущие к решению уравнений как первой степени, так и второй степени. (Решение квадратных уравнений легко полу­чается, если на основании чертежа 109 а сначала на частных примерах, а потом в общей форме решить вопрос о том, чем надо дополнить x²-j-px, чтобы получить полный квадрат.) На примере террас и лестниц (стр. 112, 113 зад. 1 и 5) удобно ввести понятие об арифме­тической прогрессии.

Никаких практических примеров или вопросов сверх рассмотрен­ных самими авторами мною не введено, но для пояснения мною введены чертежи 20, 64, 65, 67, 87 с соответствующими вопросами.

Мне пришлось при переводе сократить эту книгу. Наименее суще­ственные части выделены мною в «дополнения». Так как из всей книги первые части больше всего подходят к программам наших школ (а именно к начальному курсу) и учителя I ступени больше всего нуждаются в ней, то первая часть сокращена очень незначи­тельно. Напротив того, последняя часть и в особенности дополнения сокращены больше всего: они, вероятно, будут давать учителям или учащимся главным образом интересные практические приложения изучаемого курса. Хотя вообще сокращать хорошую книгу — значит обыкновенно портить ее, по здесь условия особенные. С одной сто­роны я сам был вынужден к этому, с другой стороны, и авторы, выпу­стив книгу, через несколько лет выпустили еще и сокращенное изда­ние 2?, а затем даже еще более сокращенное издание С. По-видимому сами авторы признали, что в сокращенном виде книга окажется более применимой.

Из предисловий к немецкому изданию.

По нашему плану геометрические формы и образы изучаются на реальных вещах, практически знакомых учащемуся. Задача школы, по нашему мнению, изучить и оценить практическую сторону челове­ческой деятельности и выбрать из нее самые цепные в образователь­ном и воспитательном отношение моменты.

Поэтому геометрические вопросы выделены у нас из того соотно­шения, которое опп имеют друг с другом в систематическом курсе или в научном построении. Геометрический материал соединен нами вое­дино с другими представлениями: таким образом, он покоится на проч­ном и близком для ученика основании реальных представлений, ассоциируется с другими представлениями реалистического обучения и создает запас сведений, который по своему объему и содержанию, по своей прочности п внутренней целости отвечает самым высоким требованиям, которые могут быть поставлены средней школе.

Распределение материала, методические соображения, касающиеся проработки, психологический дух трактованья направлены к тому, чтобы сделать детей более восприимчивыми к пространственной стороне окружающего их, ознакомить их с зависимостью многих культурно- хозяйственных работ от пространственных свойств, привить детям живой интерес к геометрическим работам и использовать геометрический материал, кажущийся часто сухим и скучным, для воспитательных целей. Изучая и решая практические задачи, ребенок чувствует, какое большое значение имеют законы форм, меры и числа для работы человека, какие геометрические задачи человек встречает в своей работе и какие средства дает ему геометрия для их решения.

На твердом основании конкретного, ученик чувствует себя уве­ренно. Теория и практика, школа и жизнь сливаются в его сознании воедино. Обучение, исследование и работа становятся для пего потреб­ностью и радостью. Живой, деятельный интерес преодолевает все препятствия и трудности.

Кто на практике попытал, как интерес детей к геометрическим вопросам становится тем больше, чем больше они связываются с прак­тическими приложениями; кто на собственном преподавании убедился, как уверены и сильны делаются ученики в восприятии пространствен­ных соотношений, с каким усердием и успехом они самостоятельно добиваются решения задач в практической жизни, если школа сде­лала родные им представления, родную их жизнь и родную промыш­ленность началом, центром и целью их духовного развития,—тот не вернется к старым методам обучения.

Удивительно, что школьная геометрия, которая естественным обра­зом примыкает к практической жизни, так поздно осознала свое кон­кретное (вещное) основание и практическое значение. Между тем как во всех других областях все энергичнее склоняются к тому, чтобы удо­влетворить потребностям практической жизни, в геометрии педагоги часто еще придерживаются обычной отвлеченности в ослеплении перед фантомом формального развития. Не без основания в физике и химии выдвигают значение технологии. В истории придают все большее зна­чение истории культуры. Вместо физико-политической географии появляется география культуры. В арифметике подчеркиваются практи­ческие вычисления, в изучении родного языка—деловая переписка, деловое изложение, отчеты и т. п. Все предметы заняты такой пере­стройкой. изучаемого материала, которая удовлетворяла бы потребно­стям практической жизни. Геометрия не может остаться в стороне от этого движения, том более, что такое практическое направление образования вполне отвечает требованиям народной школы, как обще­образовательного учебного заведения.

В этом направлении мы хотели создать нашими работами реши­тельный поворот. Теоретические соображения привели нас к тому заклю­чению, что тесное слияние естествознания и учения о пространстве представляет собою просто следствие экономии мышления. Поэтому, практические вопросы не пристегнуты нами только в качестве при­ложений теоретического курса, но являются исходной точкой и цен­тром всего курса. От этого слияния геометрия выигрывает в инте­ресе и ясности, а естествознание—в предметном углублении. Ребенок извлекает большую пользу из этого слияния: всякое объединение актов сознания увеличивает духовную силу, работоспособность и силу воли.

Наша книга не ставит себе целью подготовить учащихся к опре­деленной профессии и не стремится сделать профессионального обра­зования ненужным; напротив того, она должна готовить людей всяких профессий, она, удовлетворяя потребностям школы, хочет служить делу общего образования человека.

Она не представляет собой методического руководства для учи­теля, но является книгой для геометрических ученических работ и упражнений, при помощи которой дети могут укрепить и упрочить, посредством самодеятельного повторения и упражнения, усвоение того материала, который учитель разрабатывает в классе. Поэтому в нашей книге кроме кратко формулированных выводов помещены только задачи.

Первая часть нашего «учения о пространстве» опирается на наи­более очевидные пространственные наблюдения окружающего. Психо­логически ребенку наиболее близки наблюдения форм его жилища. Во второй части мы ведем его к наблюдениям геометрических форм в поле и в лесу. Здесь он встречается с геометрическими предста­влениями, ранее приобретенными, от которых он переходит к изучению геометрических явлений, не замеченных им ранее. Здесь уже не только рассматриваемые предметы менее знакомы ребенку, но и наблюдения делаются труднее, задачи более сложными, а геометрическое исследо­вание строже и глубже. Наконец, третья часть берет материал из мастерских современной промышленной жизни, которые до сих пор мало привлекали внимание ученика.

Каждая часть дает относительно законченные геометрические све­дения. Первые две части дополняют друг друга до законченного эле­ментарного курса, построенного так, что различного рода геометриче­ские явления и законы выступают по несколько раз с последовательно возрастающим углублением. И третья часть дает в этом смысле повто­рение и расширение приведенного в первых двух частях: появляется новое в старом, старое в новом, оживленное интересом при­ложения к другим предметам и вещам. Например, теорема Пифагора намечена уже в первой части; во второй части она подвер­гается подробному рассмотрению. Несколько раз приводятся также важные соотношения, касающиеся круга, но закапчивается трактование их только в третьей части. Вычисления, относящиеся к усеченному конусу и пирамиде, производятся сначала по простым, но принятым в практической жизни, правилам. Точные математические способы приведены в последней части.

Каждая глава нашего руководства начинается с какого-нибудь предмета из окружающей действительности и возвращается в конце

концов снова к реальному предмету. Таким образом, мы осуществляем принцип: из жизни в школу, в школе для жизни.

Наблюдательные задачи, приведенные в тексте, направляют вни­мание на ознакомление с геометрической стороной вещей. Содержание каждой главы связано с непосредственным наблюдением некоторого предмета, а решение основной задачи каждой главы не позволяет вни­манию ученика отвлечься от него.

В самой книге указано, какие чертежные работы и работы по ручному труду могут быть связаны с изучением геометрии, при чем последняя может указать этим предметам целый ряд работ.

Хотя и очень нелегко было из множества геометрических прило­жений выбрать те, которые ближе всего детскому пониманию, наиболее интересны для детей и в то же время наиболее важны для общего образования п лучше всего уясняют геометрические явления, тем не менее мы думаем, что вообще мы сделали правильный выбор. По крайней мере, во время нашей работы мы все более убеждались в том, что все наше построение покоится па твердом основании, что в буду­щем преподавание геометрии претерпит глубокое изменение в наме­ченном нами направлении. Этот педагогический прогресс послужит не только увеличению интереса к изучению математики, но будет полезен и для техники, и, таким образом, немало будет способствовать хозяйственному преуспеянию.

Мы получили ряд сочувствующих отзывов как от педагогов, так и техников; по были отзывы и неодобрительные. Некоторым каза­лось, что в книге слишком много практики, другие находили, что она слишком мало считается с практикой. Такая участь постигнет, вероятно, всякую попытку получить образовательный материал для школы выбором его из окружающей ученика жизни. Одна из самых трудных задач современной педагогики—указать границу между теми требо­ваниями, которые ставятся школе, как общеобразовательному учре­ждению, и требованиями жизни, касающимися профессионального обра­зования. Мы думаем однако, что вообще мы провели эту границу правильно.

Суждение о том, насколько нам удалось удовлетворить запросам жизни п требованиям педагогической мысли, — мы должны предоставить справедливой критике.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.

Место жительства.

А. Жилой дом.

Строения нашего селения—жилые дома и постройки или обще­ственные здания (школа и т. д.).

Постройку дома начинают с того, что на отведенном месте отме­чают площадь, занимаемую домом.

Во всяком строении различают: фундамент, помещение этажей и чердак. Помещение этажей состоит из наружных и внутренних стен и перегородок, а чердачное помещение из потолка и крыши.

I. Комната.

(Пособия: отвес, уровень, мерная цепь, рулетка, модель двугранного угла.)

Основная задача. Рассмотрим, как построены стены этой комнаты.

1.     Стены, пол и потолок отделяют комнату от других помещений дома; это—ограничивающие ее плоскости. Число плоскостей? Мы назы­ваем эти плоскости передней, задней, правой, левой, нижней и верхней.

2.     Боковые плоскости построены по отвесу; оно отвесны, верти­кальны. Почему такое положение наиболее удобно?

Верхняя и нижняя плоскость имеют такое же положение, как поверхность воды. Такое положение называется горизонтальным. Коро­мысло весов в равновесии—также горизонтально.

3.     Некоторые из этих плоскостей доходят одна до другой, пере­секаются; некоторые же не пересекаются. Две боковые, не пересекаю­щиеся плоскости (грани), везде одинаково удалены друг от друга, как это видно по длине досок на полу или балок на потолке. Такие две плоскости одинаково направлены (параллельны).

Исследуй подобным же образом другие пары непересекающихся плоскостей комнаты.

4.     В том месте, где пересекаются две плоскости, образуется край (ребро). Сколько рёбер образуется при пересечении боковых плоскостей (стен) друг с другом? Сколько на границе стен и. потолка, стен и пола?

Назови все рёбра (например: переднее верхнее ребро, правое верхнее ребро и т. д.). Каждое ребро имеет свое название, слагаю­щееся из двух частей, например заднее нижнее.

Некоторые ребра—вертикальны, другие—горизонтальны. Какие?

5.     Четыре ребра направлены спереди назад, четыре ребра— справа налево и четыре ребра—сверху вниз. Какие? Укажи рёбра, пересекающие друг друга.

6.     Выбери две пересекающиеся плоскости и укажи их общее ребро. Эти две плоскости образуют угол; он составлен двумя гранями и называется двугранным. Комната имеет столько же двугранных углов, сколько и рёбер. Сколько именно?

7.     Укажи двугранный угол, одна грань которого вертикальна, а другая горизонтальна; это прямой двугранный угол; его грани вза­имно перпендикулярны.

Покажи теперь угол с двумя вертикальными гранями. Не изменяя взаимного положения граней, можно повернуть этот двугранный угол так, чтобы одна грань стала горизонтальной, а другая осталась вертикальной. Поэтому такой двугранный угол тоже прямой.

А существуют ли углы с двумя горизонтальными гранями?

8.     Таким же образом, как рассмотрено помещение комнаты, можно изучить помещение, ограниченное наружными стенами дома.

Выводы.

1.     Комната или другое жилое помещение есть замкнутое со всех сторон пространство или тело.

2.     Комната ограничена шестью плоскостями, а именно четырьмя боковыми гранями, плоскостью пола и плоскостью потолка. Первые вертикальны, а последние две горизонтальны.

3.     Всякие две противолежащие грани параллельны. Плоскости параллельны, если расстояние между ними везде одинаково. Предло­жение /.

4.     В тех местах, где грани пересекаются, образуются ребра. Рёбра представляют собою прямые линии.

5.     Комната имеет двенадцать рёбер: четыре горизонтальных рёбра на плоскости пола, четыре вертикальных ребра и четыре горизонтальных ребра на плоскости потолка.

6.     Рёбра имеют три основных направления', спереди назад, справа налево и сверху вниз.

7.            Две прилежащие грани образуют двугранный угол.

8.     Две грапи образуют прямой угол, они взаимно перпендику­лярны, если одна из них горизонтальна, а другая вертикальна, или если их можно привести в такое положение, не изменяя их взаим­ного расположения. Предложение 2.

Задачи.

1.     Какие грани образуют с передней (задней, правой, левой, верх­ней, нижней) гранью прямой угол?

2.     Выбери какую-нибудь грань комнаты и укажи две перпенди­кулярные к ней грапи: а) параллельные между собой, б) неспекающиеся.

3.     Приведи книгу в положение параллельное каждой из граней комнаты. Сколько различных положений возможно?

4.     Приведи карандаш в положение, параллельное каждому из рёбер комнаты. Сколько различных положений возможно?

5.     Укажи при помощи раскрытой книги положение каждого из двугранных углов комнаты, а при помощи двух (одинаковых) раскрытых книг—положения четырех граней комнаты.

6.     Установи посредством уровня и ватерпаса * *), какие предметы и плоскости в комнате горизонтальны и какие вертикальны?

7.     Определи на-глаз и затем измерь длину классной комнаты, окон, дверей, столов, парт и т. д.²)

8.     Определи па-глаз и измерь толщину стен. Где и какие степы наиболее толсты? Сравни толщину каменных стен с шириной кирпича.

9.     Сколько тесин шириною в 30 см (35 см, 40 см, 6 вершк., 8 вершк.) нужны для пола вашей классной комнаты, если длина каждой тесины равна длине комнаты?

10.    А сколько надо тесин шириною в 25 см (30 см, 35 см, 36 см, 5 вершк., 8 вершк.), если бы ширина комнаты была 5 метр, (6 м, 7,7 м, 8,4 м, 7‘/а арш., 8 арш.)?

II.         Основание (пол) комнаты. — Прямоугольник.

(Пособие: наугольник.)

Основная задача. Мы срисуем (начертим план) пола комнаты.

1.     Начерти план угла комнаты па доске (приняв метр за один дециметр или фут за один дюйм); начерти этот же план в тетради (принимая метр за один сантиметр или сажень за один дюйм).

Каждые две противоположные грани равны между собою. Так как мы не можем начертить рёбра в их натуральную величину, то мы

берем только сотую часть их: вместо метра—сантиметр (размер

*) Устрой сам отвес и ватерпас.

*) Упражняйся во время прогулок и экскурсий в определении па-глаз длины я размеров (ширина и длина дороги, межи, моста, вышина и обхват дерева и т. д.). Поверяй эти определения посредством измерений рулеткой, мерной цепью. Вообще привыкни перед измерением любого расстояния определять его на-глаз.

Начертим сначала переднее ребро. Оно пересекается с правым ребром, образуя угол (линейный угол, вершина, стороны). Это—прямой угол. Почему? (сравни I, выв. 8). Проверь это наугольником; отлежи прямой угол в конце начерченного отрезка и продолжи достаточно другую сторону.

Переднее ребро пересекается еще левым ребром, также под прямым углом. Начерти левое ребро, отложив в другом конце начерченного отрезка прямой угол, и отмерь на нем (левом ребре) нужную длину. Положение и длина четвертого ребра вполне определены конечными точками, отмеченными на правом и левом ребре.

Как основание комнаты ограничено рёбрами, так план его огра­ничен со всех сторон прямыми линиями, которые называются сторонами его. Измерь два остальные угла пола и плана.

2.      Назови четыре стороны начерченной фигуры (рис. 1) латин­скими большими буквами: (АВ или В А и т. д.).

_                                           Какие стороны равны между собою?

।                           । Отмерь их! Какие параллельны? Убедись,

что расстояние между параллельными сто­ронами везде одинаково.

_______________ 3. Начерти план своей комнаты (раз- ^{А     В} мер —т.-е. ?).

VV

4.      Начерти план школы (размер

Выводы.

1.      Основание комнаты ограничено четырьмя рёбрами; противо­лежащие рёбра имеют одинаковое направление (параллельны) и равны между собою. Пересекающиеся рёбра образуют прямые углы.

2.      Прямоугольником называется четырёхугольник с прямыми углами. Противолежащие стороны его равны и параллельны.

3.      Две пересекающиеся прямые линии образуют линейный угол. Стороны, вершина (сравни с двугранным углом, I, выв. 7). Предло­жение 5.

4.      Две прямые взаимно перпендикулярны, образуют прямой угол, если одна из них горизонтальна, а другая вертикальна, или если их можно привести в такое положение, не изменяя их взаимного располо­жения (сравни I, выв. 8). Предложение 4.

5.      Две прямые параллельны, если их взаимное расстояние везде одинаково (сравни I, выв. 3).

6.      Две прямые параллельны, если они перпендикулярны к одной прямой. Предложение 5.

7.             Прямая, ограниченная с двух концов, называется отрезком.

Задачи.

1.     Дана точка. Сколько прямых линий можно провести через нее?

2.     Заданы две точки. Сколько прямых, проходящих через обе точки, можно провести?

а)     Через две точки можно провести только одну прямую. Пред­ложение 6.

б)     Положение прямой и длина отрезка на пей вполне опреде­ляются двумя точками. Предложение 1.

в)           Одна точка не определяет положения прямой.

3.     Сколько рёбер проходит через каждый угол комнаты? Значит, сколько рёбер должно бы проходить через 8 углов (вершин)? Почему же в комнате только 12 рёбер?

4.     Сколько рёбер на каждой грани комнаты? Значит, па всех' шести гранях должно бы быть всего 24 ребра. Почему же их только 12?

5.     Укажи па гранях комнаты все те линейные углы, одна сто­рона которых вертикальна, а другая горизонтальна. Покажи их поло­жение двумя палочками (сделай их модели).

6.     У каких углов комнаты обе стороны горизонтальны? Изобрази их (сделай их модели). Поверни эти модели в такое положение, чтобы одна сторона была вертикальна, а другая горизонтальна.

7.     Существуют ли углы с двумя вертикальными сторонами?

8.     Начерти при помощи наугольника прямые углы в разных положениях и со сторонами разной длины. Назови каждый из углов буквой, поставленной при вершине.

а)     Величина угла не зависит от длины его сторон.

б)     Прямая, ограниченная с одной стороны, называется полупрямой (или лучом).

в)     Когда говорят «прямая», то разумеют неограниченную прямую линию.

9.     Через точку Р прямой MN проведи (восставь) перпендикуляр к ней. Сколько перпендикуляров к ЛЛУ можно провести через точку Р? Возьми прямую ЛЛУ в разных положениях.

10.    Из точки Р, не лежащей на прямой MN, проведи (опусти) перпендикуляр к ней. (Л/У в разных положениях!) Сколько таких перпендикуляров можно провести через точку Р?

11.    Восставь в точках Р и Q прямой MN перпендикуляры к пей. Каково взаимное положение их?

12.    Замени прямую ЛЛУ предыдущей задачи линейкой и проведи с помощью наугольника: а) две или несколько произвольных парал­лельных прямых, б) прямую, параллельную данной прямой, в) через заданную точку прямую, параллельную данной.

Через заданную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Предложение 8.