Тема десятая — Определение центра окружности одной линейкой, если на окружности даны определённым образом расположенные точки или если в плоскости чертежа дана дополнительная фигура . 56

Тема одиннадцатая — Построения, произведенные одной линейкой, когда дан отрезок, разделенный в данном рациональном отношении 60

Глава II 63

Тема двенадцатая — Решение задач одной линейкой, если в плоскости чертежа дан круг с отмеченным центром . . —

Тема тринадцатая — Построение одной линейкой правильных многоугольников, вписанных в круг с данным центром 67

Тема четырнадцатая — Построение при помощи одной линейки различных прямых в треугольнике, если дан круг, описанный около треугольника, и известен его центр . . 69

Тема пятнадцатая — Обоснование построений, производимых одной линейкой, если в плоскости чертежа дан круг с отмеченным центром 71

Тема шестнадцатая — Обоснование построений, производимых одной линейкой, если в плоскости чертежа дан неподвижный круг и его центр. (Продолжение.) 75

Тема семнадцатая — Построения, производимые линейкой и циркулем постоянного раствора. 80

Тема восемнадцатая — Построения, производимые линейкой и циркулем постоянного раствора. (Продолжение*.) . . 85

Тема девятнадцатая — Построение при помощи линейки и эталона длины. 91

Тема двадцатая — Построения при помощи двусторонней линейки 93

Часть II

ГЕОМЕТРИЯ ЦИРКУЛЯ

Глава III. 98

Тема двадцать первая — Понятие о геометрии циркуля . —

Тема двадцать вторая — Построение параллельных и перпендикулярных прямых одним циркулем. 103

Тема двадцать третья — Деление окружности на равные части, построение правильных многоугольников и приближённое выпрямление окружности 108

Тема двадцать четвёртая — Сложение, вычитание, умножение и деление отрезков 113

Тема двадцать пятая — Построение центра окружности . 115

Тема двадцать шестая — Умножение и деление углов, построение пропорциональных отрезков. Обоснование возможности решения задач одним циркулем 119

Тема двадцать седьмая — Построения Мора . . . 123

Часть III

ДОПОЛНЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ ЛИНЕЙКИ

Глава IV. 126

Тема двадцать восьмая — Гармонические четвёрки и их свойства —

Тема Двадцать девятая — Полный четырёхугольник. Построение четвёртого элемента гармонической четвёрки одной линейкой 135

Тема тридцатая — Применение полного четырёхугольника к решению задач одной линейкой. 142

Тема тридцать первая — Решение при помощи линейки задач с недоступными элементами 146

Тема тридцать вторая — Поляра точки относительно окружности. Построение одной линейкой касательной к окружности 150

ДОПОЛНЕНИЕ

Тема тридцать третья — Приближённое деление окружности на равные части. 156

Использованная литература 159

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В первой части рассмотрены задачи на построение, решаемые одной линейкой (проведением лишь прямых линий), когда в плоскости чертежа дана неподвижная вспомогательная фигура.

В первой главе такой вспомогательной фигурой является: в одних задачах окружность, центр которой не предполагается известным, в других — отрезок с данной серединой, в третьих — параллелограмм, квадрат. Заканчивается первая глава задачами об отыскании центра окружности одной линейкой при данной вспомогательной фигуре; такой фигурой является параллелограмм или равнобедренная трапеция, или правильный многоугольник при некотором дополнительном условии и т. д.

В задачах второй главы вспомогательной фигурой является окружность с отмеченным центром. В пятнадцатой и шестнадцатой темах второй главы доказана возможность решения задач второй степени (задач, решаемых циркулем и линейкой) одной линейкой при данном круге с известным центром. В семнадцатой и восемнадцатой темах рассматривается построение линейкой и циркулем при постоянном растворе. В девятнадцатой теме рассматриваются построения при помощи линейки и эталона длины. В этой теме показано, что не всякая задача второй степени может быть решена при помощи линейки и эталона длины.

Вторая часть книжки состоит из одной главы, посвященной геометрии циркуля. Возникновение построений, производимых одним циркулем для решения задач второй степени, объясняется главным образом тем, что циркуль является более совершенным инструментом, чем линейка. Потребности технического черчения (особенно при тонкой резьбе на металлических пластинках) способствовали появлению интереса к построению одним циркулем. Известное доказательство положения, что всякая задача второй степени может быть решена одним циркулем, дано в двадцать шестой теме.

Третья часть книжки состоит из одной главы и содержит материал, дополняющий первую часть. Здесь подробно рассматриваются свойства гармонических четвёрок и даётся применение гармонических четвёрок к решению задач одной линейкой. Заканчивается глава рассмотрением полюса и поляры относительно круга. Последняя часть, таким образом, содержит элементы проективной геометрии. Понятие гармонической сопряженности дано метрически. Автору не удалось дать современного изложения элементов проективной геометрии, доступного для учащихся восьмых классов, на которых главным образом рассчитана эта книга.

Каждая часть книжки может быть изучена отдельно от двух других. Третья часть несколько труднее первых двух и рассчитана на более сильных учащихся, но может быть изучена совершенно отдельно от двух других частей. Внутри каждой части темы связаны между собой и должны изучаться последовательно.

Таково содержание рассматриваемой книжки. В ней собрано 140 задач на построение. Большинство задач приводится с решением. Часто даётся только построение, читатель должен сам произвести анализ, доказательство и исследование. Отсюда видно, что приводимые решения задач не освобождают читателя от самостоятельной работы.

Приведём некоторые задачи геометрии линейки и геометрии циркуля, которые могут найти место на уроках геометрии. Например, после изучения теоремы о точке пересечения высот треугольника следует показать учащимся, что эта теорема позволяет при помощи одной линейки опустить перпендикуляр на диаметр круга, центр которого не дан. Учитель, показав решение этой задачи для точки, лежащей вне или внутри круга, может предложить учащимся решить эту же задачу для точки, лежащей на окружности,

Теорема о средней линии треугольника позволяет решить одной линейкой ряд интересных задач (тема четвертая). Часть этих задач может быть рассмотрена на уроках, часть дана для домашней работы. Пользуясь подобием треугольников, учащиеся могут легко решить одной линейкой следующую интересную задачу: даны три параллельные прямые и три точки, не лежащие на этих прямых; построить треугольник так, чтобы его вершины лежали на далных параллельных прямых, а стороны или их продолжения проходили через данные точки. Эта задача подробно решается в прилагаемом введении.

Красиво решается задача: в треугольнике дана средняя линия; пользуясь одной линейкой, построить треугольник из медиан данного треугольника (задача № 11 темы пятой). Имея элементарные сведения о подобии треугольников, уча- 1 щиеся могут усвоить изящное построение — отрезка при наличии прямой, параллельной той прямой, на которой расположен отрезок. Полезно ознакомить учащихся с Делением отрезка на равные части линейкой и циркулем постоянного раствора (тема семнадцатая). Интересна задача об отыскании центра круга одной линейкой при наличии дополнительных данных (тема десятая). В книге имеется несколько задач, посвященных геометрическим преобразованиям (симметрия относительно оси, сжатие к оси, сдвиг относительно оси, родство). Для решения приведённых задач следует ознакомить учащихся с геометрическими преобразованиями. Лучше всего для этого использовать статью П. С. Моденова „Геометрические преобразования" („Математика в школе", № 6 за 1948 г.).

Переходим к решению задач одним циркулем. Просто решается задача, выясняющая возможность построения окружности около данного четырёхугольника (задача № 5 темы двадцать первой).

В задаче № 2 темы двадцать первой приводится способ построения перпендикуляра к прямой. Этот способ имеет практическое значение ₍при составлении перпендикуляра в конце отрезка, когда отрезок не может быть продолжен за точку, в которой должен быть восставлен перпендикуляр. При изучении вопроса об относительном положении окружностей полезно решить задачи:

I) при помощи одного циркуля узнать, проходит ли прямая, заданная двумя своими точками, через центр данной окружности (задача № I темы двадцать третьей);

2) найти точки пересечения прямой, заданной двумя своими точками, с заданной окружностью (задача № 2 той же темы):

3) при помощи циркуля (не пользуясь линейкой) найти точки касания касательных, проведённых из внешней точки данной окружности (задача № 3 той же темы).

Из этого далеко неполного перечисления задач видно, что геометрия линейки и геометрия циркуля дают интересный материал для школьного преподавания.

Мы полагаем, что учитель может найти для многих теорем планиметрии интересные задачи геометрии линейки и геометрии циркуля. Решение таких задач способствует лучшему пониманию и усвоению курса. Эти задачи оживят преподавание геометрии и дадут интересный материал для домашней работы учащихся. Рассматриваемые задачи можно рекомендовать при повторении курса планиметрии.

Попутно обращаем внимание читателей на простой способ построения циркулем и линейкой геометрического места точек, разность квадратов расстояний которых до двух данных точек постоянна (это геометрическое место необходимо для обоснования построений одной линейкой). Обычно предлагаемые построения этого геометрического места сложнее построения, данного нами в теме шестнадцатой.

Учитывая, что в школьном курсе геометрии мало уделяется внимания таким понятиям, как „степень точки", „радикальная ось", мы несколько подробнее остановились на вопросе о радикальной оси.

В теме двадцать пятой вводится понятие об инверсии, и в этой же теме инверсия применяется для отыскания центра круга при помощи циркуля.

Геометрия линейки и геометрия циркуля могут быть предметом факультативного курса в педвузах. Автор этих строк провёл такой курс в Московском городском педагогическом институте имени В. П. Потёмкина.

Главное назначение книжки —дать материал для кружковой работы учеников восьмых классов средней школы. Важность работы школьных математических кружков ясна каждому. Если для математических кружков IX и X классов можно указать интересную тематику (задачи на построение по стереометрии, введение в проективную геометрию, понятие о неевклидовой геометрии, элементы номографии), то для кружков VIII класса такая тематика почти отсутствует. Изучение в школьных кружках VIII класса геометрии линейки 6

и геометрии циркуля вполне доступно учащимся и может их заинтересовать.

Руководя кружком, учитель, сообразуясь с силами докладчиков и участников кружка, может в некоторых точках исключить часть задач, оставив наиболее подходящие.

Мы полагаем, что учитель и участники кружка составят ряд новых задач, легко решаемых одной линейкой или одним циркулем.

С целью сделать книжку удобной для кружковой работы мы сгруппировали все задачи в тридцать четыре отдельных раздела (считая введение). Каждый раздел представляет тему одного доклада в кружке и, как нам кажется, вполне по силам среднему учащемуся VIII класса. Некоторые трудности могут возникнуть лишь при изучении шестнадцатой и семнадцатой тем и двух последних тем второй части. Учитель, руководя работами кружка, поможет докладчикам преодолеть трудности и этих тем. Для сильных учащихся не представят затруднения и темы третьей части.

Построение части задач каждой темы следует доводить до конца, используя одну линейку или один циркуль. Желательно применение цветных карандашей для выделения искомых величин. Для большинства задач каждой темы достаточно указать способ решения, не осуществляя ограниченными средствами (только линейкой или только циркулем) построение на бумаге до конца.

Изучение геометрии линейки вызовет у учащихся интерес к проективной геометрии. Решение задач на построение ограниченными средствами подготовит учащихся к решению интересных „стереометрических задач на проекционном чертеже*.

В заключение приведем некоторые исторические справки, которые могут быть полезны учителю при изложении геометрии линейки и геометрии циркуля.

Построения линейкой и циркулем при постоянном растворе были известны в глубокой древности. Такие построения встречались у индусов и у арабов. Ими пользовался Леонардо да Винчи. Возможность решения задач второй степени одним циркулем была показана Маскерони в 1797 г. Новейшие исследования показали, что более чем за сто лет до Маскерони геометром Мором в 1672 г. было дано полное исследование вопроса о решении задач на построение одним циркулем. Математиком Штейнером в 1833 г. была доказана теорема, что при пользовании произвольно начерченным кругом (вместе с его центром) каждую задачу второй, степени можно решить, проводя лишь одни прямые линии.

Современный советский математик проф. Д. Д. Мордухай- Болтовский показал, что наличие окружности в теореме Штейнера не является необходимым. Д. Д. Мордухай-Бол- товский показал, что для решения задач второй степени одной линейкой достаточно иметь в плоскости чертежа какую угодно малую дугу окружности (а не всю окружность) с данным центром. Н. В. Наумович продолжила работы Д. Д. Мордухая-Болтовского и показала, что дуга окружности может быть заменена какой угодно малой дугой конического сечения вместе с его центром и одним из фокусов (для дуги параболы — вершина и фокус). Д. Д. Мордухай- Болтовский показал возможность построений одной линейкой на сфере. Проф. С. О. Шатуновский интересовался вопросами методологии геометрических построений. В введении к русскому переводу книги А. Адлера „Теория геометрических построений" и позже, в специальной книге под заглавием „Об измерении прямолинейных отрезков и построении циркулем и линейкой", С. О. Шатуновский ввел новые „постулаты", позволившие представить каждую задачу на построение как абстрактно геометрическую операцию.

Вопросам методологии геометрических построений посвящены работы проф. Н. Ф. Четверухина. В своей книге „Теория геометрических построений" проф. Н. Ф. Четверухин выражает в абстрактной форме свойства инструментов, применяемых при построении. Далее им вводится понятие конструктивных элементов, т. е. таких точек прямых, окружностей, которые либо даны, либо данным инструментом могут быть построены. Введение этого понятия и выражение в абстрактной форме свойств инструментов вносят полную ясность в вопросы решения задач на построение при помощи разных инструментов (линейки, угольника и т. д.). В статье „Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии" проф. Н. Ф. Четверухин уточняет высказанные им ранее положения и даёт принципы методики построения в пространстве.

Часть задач настоящего сборника является оригинальной. Значительное число задач заимствовано из журналов „Вестник опытной физики и элементарной математики", „Математическое образование", „Математическое просвещение", „Математика в школе".

Автор приносит благодарность действительному члену АПН проф. Н. Ф. Четверухину и проф. В. А. Ефремовичу, давшим ряд ценных указаний при рецензировании книжки.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание значительно переработано. Тщательно просмотрены все темы, приведённые в первом издании. Некоторые задачи как слишком лёгкие исключены. Добавление многих новых задач вызвало необходимость увеличения числа тем. Добавлено десять новых тем. Укажем их краткое содержание. Учитывая большое значение геометрических преобразований, мы выделили задачи на эти преобразования в отдельные три темы (вторая, шестая и девятая темы). Уже во второй теме читатель встретится с преобразованием: „равномерное сжатие к оси".

Сдвигу относительно оси и родственному соответствию посвящены шестая и девятая темы. В трёх темах, посвящённых геометрическим преобразованиям, даны 32 задачи, среди которых несколько задач с недоступными элементами. Такие задачи, к тому же решаемые одной линейкой, могут заинтересовать учащихся и оживить преподавание планиметрии.

Свойства геометрических преобразований приводятся без доказательств. Читателю, желающему подробно ознакомиться с геометрическими преобразованиями, можно рекомендовать две книги И. М. Яглома „Геометрические преобразования". В этих книгах читатель, главным образом учитель, найдет много полезного и интересного.

К темам о геометрических преобразованиях подходит и тема третья, в которой замаскировано дано преобразование инверсии. Нам казалось, что в самом начале книжки ещё рано знакомить читателя с преобразованием инверсии. Рассматриваемые в этой теме задачи о построении одной линейкой некоторых четырёхугольников решены при помощи одной теоремы, вполне доступной учащимся VIII класса, на которых главным образом рассчитана книжка.

Значительно увеличено число задач, решаемых линейкой и циркулем постоянного раствора, в связи с чем этим задачам отведены две темы (в первом издании им была

посвящена одна тема). Во второй теме, посвящённой этим построениям (тема восемнадцатая), даётся приближённое выпрямление окружности, производимое линейкой и циркулем постоянного раствора.

Приближённому делению окружности отведена последняя, тридцать третья тема. Приводимые здесь построения могут иметь и практическое значение. Достоинством этих построений является простой переход от приближённого построения стороны правильного n-угольника к приближённому построению стороны правильного (п-|- 1)-угольника.

Построения по индукции, которым в нашей литературе уделено мало внимания, встречаются в книжке довольно часто (четвёртая, седьмая, одиннадцатая, тридцатая, тридцать третья темы). Следует отметить, что эти построения при определённых условиях просто производятся одной линейкой и не требуют никаких других чертёжных инструментов.

В темах одиннадцатой и тридцатой рассматриваются построения, производимые одной линейкой, когда в плоскости чертежа дан отрезок, разделённый в данном рациональном отношении; эти построения, важные в теоретическом отношении, в первом издании не были помещены. Проще всего эти построения следуют из гармонических свойств полного четырёхугольника (тема тридцатая).

В одиннадцатой теме этот вопрос решается сложнее (читатель ещё не знаком с полным четырёхугольником) на основании одной теоремы о трапеции.

Учитывая, что построения двусторонней линейкой находят некоторое применение, мы ввели и эти построения (тема двадцатая). В геометрии циркуля добавлена только одна тема — построения Мора.

Некоторые темы первого издания подверглись значительной переработке (например, введение, седьмая, тридцать вторая и другие темы).

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность т. Н. Истоминой, давшей развёрнутую рецензию на первое издание книжки, т. Е. Д. Шульгейферу, В. Евгенову, Г. А. Сталькову и особенно проф. Я. С. Дубнову, просмотревшим рукопись второго издания и сделавшим ряд ценных замечаний и указаний, которые автор принял во внимание.

С.И. Зетель