Геометрия часть первая планиметрия для 6-9-го классов (Киселёв) 1962 год - старые учебники

Некоторые свойства равнобедренного треугольника . . .  23

Признаки равенства треугольников 25

Внешний угол треугольника и его свойство 27

Соотношения между сторонами и углами треугольника 28

Сравнительная длина прямолинейного отрезка и ломаной линии ... 30

Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных 32

Признаки равенства прямоугольных треугольников 33

Свойство перпендикуляра, проведённого к отрезку прямой через его середину, и свойство биссектрисы угла 34

IV. Основные задачи на построение 36

Упражнения ........................... 40

V. Параллельные прямые  41

Основные теоремы —

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами  46

Сумма углов треугольника и многоугольника 48

Центральная симметрия 50

VI. Параллелограммы и трапеции 52

Некоторые частные виды параллелограммов*, прямоугольник, ромб, квадрат 54

Некоторые теоремы, основанные на свойствах параллелограмма ... 56

Трапеции 57

Задачи на построение 58

Упражнения .......................... 59

Глава вторая. ОКРУЖНОСТЬ. I. Форма и положение окружности  63

II. Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра 65

111. Взаимное расположение прямой и окружности 67

IV. Взаимное расположение двух окружностей 69

V. Вписанные и некоторые другие углы. Построение касательной ... 72

Задачи на построение  78

Упражнения .......................... 80

VI. Вписанные и описанные многоугольники  83

VII. Четыре замечательные точки в треугольнике 86

Упражнения ......................... 87

Глава третья. ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ.

I. Понятие об измерении величин 90

II. Подобие треугольников 98

Три признака подобия треугольников 101

Признаки подобия прямоугольных треугольников  103

III. Подобие многоугольников 106

IV. Подобия фигур произвольного вида 111

Задачи на построение   115

V. Некоторые теоремы о пропорциональных отрезках 118

Свойство биссектрисы угла треугольника 119

VI. Метрические соотношения между элементами треугольника и некоторых других фигур 121

VII. Пропорциональные линии в круге 127

VIII. Тригонометрические функции острого угла  128

IX. Понятие о приложении алгебры к геометрии 134

Упражнения .......................... 137

Глава четвёртая. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ. I. Правильные многоугольники  141

Упражнения .......................... 149 11. Вычисление длины окружности и её частей —

Предел числовой последовательности   150

Длина окружности 154

Упражнения .......................... 160

Глава пятая. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.

I. Плошади многоугольников 161

Теорема Пифагора и основанные на ней задачи 170

Отношение площадей подобных фигур 172

II. Площадь круга и его частей 175

Упражнения .......................... 178

Таблица тригонометрических функций углов от 0 до 90° 181

 ПРЕДИСЛОВИЕ.

Учебник элементарной геометрии А. П. Киселёва был долгое время самым распространённым учебником геометрии. Его главные достоинства: простота и отчётливость языка и доступность для понимания учащимися средних школ.

В порядке переработки учебника и приспособления его к существующим программам средних школ внесены многочисленные изменения и дополнения с целью уточнить, а иногда и более широко осветить отдельные вопросы. В вопросах же принципиального характера мною сделаны в тексте автора изменения по существу. В издаваемой первой части книги (Планиметрия) наиболее важными изменениями являются следующие: при изложении вопроса об измерении отрезков введены бесконечные десятичные дроби; теория подобия поставлена в связь с общей задачей подобного преобразования; дано более строгое изложение вопроса об измерении длины окружности; уточнено и вместе с тем несколько упрощено изложение теории измерения площадей; указано значение отдельных теорем в об-щем курсе геометрии; даны дополнительные указания к решению некоторых наиболее трудных задач; методы решения задач на построение, данные автором в виде приложения в конце всей книги, размещены с надлежащими редакционными изменениями в соответствующих местах книги (чтобы учащийся мог познакомиться с ними и использовать их в процессе изучения предмета); сокращена часть задач на вычисление, именно: выпущены задачи, имеющие малую теоретическую и практическую ценность; вовсе опущена глава „об отношениях и пропорциях**, содержание которой с современной точки зрения является совершенно устарелым.

Кроме того, мною написаны следующие дополнения к первой части книги: 1) о симметрии фигур (осевой и центральной, § 37 и § 84—86); 2) о подобном преобразовании фигур, перспективном расположении многоугольников и подобии окружностей (§ 173—178); о пределе числовой последовательности и переменной величины (§ 227—231).

Во всей переработке учебника я старался дать более точное изложение предмета и более широкое освещение отдельных вопросов, а также выдвинуть на первый план основные геометрические идеи о движении, о симметрии, о подобии, как геометрическом преобразовании, в той мере, в какой это допускают рамки готового текста и самый размер книги. Кроме того, при переработке текста я старался избежать создания в книге разных стилей, что могло бы затруднить чтение книги учащимися.

Г. Верея, 20/П 1938 г. И. Глаголев.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Геометрические фигуры. Часть пространства, ограниченная со всех сторон, называется геометрическим телом.

Геометрическое тело отделяется от окружающего пространства

поверхностью.

Часть поверхности отделяется от смежной части линией.

Часть линии отделяется от смежной части точкой.

Геометрическое тело, поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при помощи отвлечения мы можем рассматривать поверхность независимо от геометрического тела, линию — независимо от поверхности и точку — независимо от линии. При этом поверхность мы должны представить себе не имеющей толщины, линию — не имеющей ни толщины, ни ширины и точку — не имеющей ни длины, ни ширины, ни толщины.

Совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве, называется вообще геометрической фигурой. Геометрические фигуры могут перемещаться в пространстве, не подвергаясь никаким изменениям. Две геометрические фигуры называются равными, если перемещением одной из них в пространстве её можно совместить со второй фигурой так, что обе фигуры совместятся во всех своих частях.

2. Геометрия. Наука, рассматривающая свойства геометрических фигур, называется геометрией, что в переводе с греческого языка означает землемерие. Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

Плоскость.

3. Плоскость. Из различных поверхностей наиболее знакомая нам есть плоская поверхность, или просто плоскость, представление о которой даёт нам, например, поверхность хорошего оконного стекла или поверхность спокойной воды в пруде и т. п.

Укажем следующее свойство плоскости:

Всякую часть плоскости можно наложить всеми её точками на другое место этой или другой плоскости, причём накладываемую часть можно предварительно перевернуть другой стороной.

Прямая линия.

4. Прямая линия. Самой простой линией является прямая. Представление о прямой линии, или просто о прямой, всем хорошо знакомо. Представление о ней даёт туго натянутая нить или луч света, выходящий

из малого отверстия. С этим представлением согласуется следующее основное свойство прямой:

Через всякие две точки пространства можно провести прямую и притом только одну.

Из этого свойства следует:

Если две прямые наложены одна на другую так, что какие- нибудь две точки одной прямой совпадают с двумя точками другой прямой, то эти прямые сливаются и во всех остальных точках (потому что в противном случае через две точки можно было бы провести две различные прямые, что невозможно).

По той же причине две прямые могут пересечься только в одной точке.

Прямая линия может лежать на плоскости. При этом плоскость обладает следующим свойством:

Если на плоскости взять какие-нибудь две точки и провести через них прямую линию, то все точки этой прямой будут находиться в этой плоскости.

А а В С Ъ Р

Черт. 1. Черт. 2.

5. Неограниченная прямая; луч; отрезок. Если прямую представ* ляют продолженной в обе стороны бесконечно, то её называют бесконечной (или неограниченной) прямой.

Прямую обозначают обыкновенно двумя большими буквами, постав* ленными у двух каких-либо её точек. Так, говорят: .прямая АВ“ или ,ВЛ“ (черт. 1).

Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, называется отрезком прямой; отрезок обыкновенно обозначается двумя буквами, поставленными у его концов (отрезок CD, черт. 2). Иногда прямую или отрезок прямой обозначают и одной буквой (малой); например, говорят: .прямая а, отрезок Ьа и т. п.

Для краткости вместо .отрезок прямой" мы будем часто говорить просто .отрезок".

Л Иногда рассматривают

q 3 прямую, ограниченную толь-

р * ко с одной стороны, напри

мер в точке А (черт. 3). О такой прямой говорят, что она исходит из точки А; её называют лучом (или полупрямой).

6. Равенство и неравенство отрезков. Два отрезка равны, если они могут быть наложены один на другой так, что их концы

А В С D

Черт. 4.

совпадут. Положим, например, что мы накладываем отрезок АВ на отрезок CD (черт. 4) так, чтобы точка А совпала с точкой С и чтобы

прямая АВ пошла по прямой CD, если при этом концы В и D сов* падут, то отрезки АВ и CD равны; в противном случае отрезки будут не равны, причём меньшим считается тот, который составит часть другого.

Чтобы на какой-нибудь прямой отложить отрезок, равный данному отрезку, употребляют циркуль — прибор, известный учащимся из опыта.

7. Сумма отрезков. Суммой нескольких данных отрезков АВ, СО, ЕЕ,... (черт. 5) называется такой отрезок, который получится следующим образом.

А 3 С D Е F

М N PQ

Черт. 5.

На какой-нибудь прямой берём произвольную точку 7И и откладываем от неё отрезок MN, равный АВ, затем от точки N в том же направлении откладываем отрезок NP, равный CD, и отрезок PQ, равный EF. Тогда отрезок MQ и будет суммой отрезков АВ, CD и ЕЕ (которые по отношению к этой сумме называются слагаемыми). Подобным образом можно получить сумму какого угодно числа отрезков.

Сумма отрезков обладает всеми свойствами суммы чисел; так, она не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и не изменяется, если некоторые слагаемые будут заменены их суммой (сочетательный закон). Так:

АВ CD -J- EF = АВ 4- EF 4~ CD = ЕЕ + CD + АВ =...

и

АВ 4- CD 4- АВ 4- (CD -{-EF) = CD-[-(AB-\-EF}...

8. Действия над отрезками. Из понятия о сумме выводятся понятия о разности отрезков, умножении и делении отрезков на отвлечённое число. Так, разность отрезков АВ и CD (если AB^>CD) есть такой третий отрезок, сумма которого с CD равна АВ; произведение отрезка АВ на число 3 есть сумма трёх отрезков, из которых каждый равен АВ; частное от деления отрезка АВ на число 3 есть третья часть АВ и т. п.

Если данные отрезки измерены какой-нибудь линейной единицей (например, сантиметром) и длины их выражены соответствующими числами, то длина суммы отрезков выразится суммой чисел, измеряющих эти отрезки, разность выразится разностью чисел и т. д.

Понятие об окружности.