Skip to main content

Геометрия часть вторая - стереометрия для 9-10 классов Фетисов 1957 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

Геометрия часть вторая - стереометрия для 9-10 классов Фетисов 1957

Назначение: Пробный учебник для 9—10 классов средней школы

© "Учпедгиз" Москва 1957 

Авторство: А.И. Фетисов

Формат: PDF Размер файла: 8.31 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

§ 1. Основные понятия и аксиомы

Глаза I. Параллельность в пространстве

§ 2. Параллельность прямых 6

Задачи на доказательство 10

Вопросы

Задачи на отыскание геометрических мест 11

§ 3. Параллельность прямой и плоскости

Задачи на доказательство 12

Задачи на отыскание геометрических мест

§ 4. Параллельность плоскостей

Задачи на доказательство 15

📜  ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ....

Задачи на отыскание геометрических мест  —

§ 5. Свойства параллельной проекции   —

Позиционные задачи на построение  28

Метрические задачи на построение   —

Глава II. Перпендикулярность в пространстве § 6. Перпендикулярность прямой и плоскости  29

Вопросы и упражнения  34

Задачи на доказательство   —

Задачи на отыскание геометрических мест  35

§ 7. Перпендикуляр и наклонные  —

Вопросы и упражнения  40

Задачи на доказательство  —

Задачи на отыскание геометрических мест  41

Задачи на построение   —

Глава III. Двугранные и многогранные углы § 8. Двугранные углы  —

Вопросы и упражнения  45

Задачи на доказательство   —

Задачи на отыскание геометрических мест   —

Задачи на построение   46

§ 9. Многогранные углы  —

Задачи на доказательство   49

Задачи на отыскание геометрических мест   50

Задачи на построение   —

Глава IV. Многогранники § 10. Призмы  —

Вопросы и упражнения  61

Задачи на доказательство  61

Задачи на построение   —

§11 . Пирамиды  —

Вопросы и упражнения  69

Задачи на доказательство  —

Задачи на построение   —

Задачи на вычисление объёмов   70

§ 12. Правильные многогранники  —

Задачи на доказательство  75

Задачи на построение   —

Глава 4 Цилиндр, конус и шар 

§ 13. Цилиндр и конус   76

Вопросы и упражнения  86

Задачи на доказательство  —

Задачи на построение   —

Задачи на вычисление объёмов  87

§ 14. Сфера и шар  —

Вопросы и упражнения  98

Задачи на доказательство  99

Задачи на определение объёмов  —

Задачи на построение   100

Задачи на отыскание геометрических мест   —

Обзор пройденного курса 101

Указания к решению задач  109 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник  СССР - Геометрия часть вторая - стереометрия для 9-10 классов Фетисов 1957 года

СКАЧАТЬ PDF

📜  ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Основные понятия и аксиомы

1. В первой части геометрии — планиметрии — мы изучали свойства геометрических фигур, расположенных в одной и той же

плоскости.

Во второй части геометрии — стереометрии — мы будем изучать свойства таких фигур, не все точки которых принадлежат одной и той же плоскости. Такие фигуры называются пространственными, а стереометрия называется также геометрией в пространстве.

Основными элементами геометрии в пространстве являются:

1) точки, которые мы будем обозначать большими латинскими буквами (А, В, С,... М, N, Р,...);

2) прямые, которые мы будем обозначать малыми латинскими буквами (а, Ь, с,... т, п, р,...).

Прямую мы будем обозначать также двумя большими латинскими буквами, соответствующими каким-нибудь двум точкам этой прямой: прямая АВ, MN, PQ,..

3) плоскости, которые мы будем обозначать малыми греческими буквами (а, р, ?,...).

Для того чтобы изображать пространственные фигуры на плоскости, приходится пользоваться рисунками, на которых некоторые части фигуры изображены не такими, каковы они в действительности. Так, например, на изображении прямоугольного стола на чертеже 1 верхняя поверхность стола представляется нам в виде косоугольного параллелограмма, хотя на самом деле этот параллелограмм — прямоугольник.

Плоскость не имеет границ, поэтому при изображении её на чертеже приходится пользоваться условными фигурами, изображающими часть плоскости. Иногда плоскость изображается в виде прямоугольной её части (плоскость а на чертеже 2). В других случаях

Черт. 2

Указанным в этой аксиоме

плоскость изображают в виде куска её неопределённой формы (плоскость р на чертеже 2).

2. Важнейшие свойства плоско

сти, которыми определяются ее соотношения с другими элементами пространства, даются следующими тремя аксиомами.

Аксиома 1. Существует одна и только одна плоскость, проходящая через три точки, не принадлежащие одной и той же прямой.

свойством плоскости мы постоянно

пользуемся на практике. Например, запертую на замок дверь нельзя открыть потому, что в ней имеются три неподвижные точки: две петли и замок.

Плоскость, определяемую точками А, В и С, мы иногда будем обозначать: плоскость АВС.

Аксиома 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то через эту точку проходит единственная прямая, являющаяся геометрическим местом точек, общих для обеих плоскостей.

Две плоскости, имеющие только одну общую прямую, называются пересекающимися, а общая прямая называется линией

пересечения этих плоскостей.

Аксиома 3. Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Каждая прямая, принадлежащая плоскости, разделяет эту плоскость на две области, которые называются полуплоскостями.

Соотношение между прямой и плоскостью, указанное в аксиоме 3, имеет большое практическое значение. Если, например, мы хотим проверить, является ли плоской данная поверхность, то мы прикладываем к ней линейку в различных направлениях и смотрим, совпадает ли линейка с

 

Черт. 3

поверхностью всеми своими точками.

Если прямая имеет с плоскостью только одну общую точку, то говорят, что эта прямая пересекает плоскость в этой точке. Например, на чертеже 3 прямая а пересекает плоскость а в точке А.

В дальнейшем для сокращения записи мы будем пользоваться следующими условными знаками:

1) знак принадлежности с; А<^а обозначает: точка А принадлежит прямой a; A сс а — точка А принадлежит плоскости а; оса — прямая а принадлежит плоскости а;

2) знак тождества =; a=MN — прямая а тождественна с прямой MN\

3) знак пересечения X; X— прямая а пересекает прямую а Xа — прямая а пересекает плоскость а; а X Р — плоскость а пересекает плоскость р.

3. Непосредственно из аксиом мы выводим ряд следствий.

Следствие 1. Существует единственная плоскость, проходящая ■ через данную прямую и точку, не принадлежащую этой прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим прямую а и не принадлежащую ей точку А (черт. 4). Возьмём на прямой а две произвольные несовпадающие точки М и N.

 

Действительно, если

Тогда мы будем иметь три точки — 7И, 7V и А, не лежащие на одной и той же прямой. Согласно аксиоме 1, существует плоскость (а на чертеже 4), проходящая через эти три точки. На основании аксиомы 3 прямая а принадлежит плоскости а. Эта плоскость будет единственной, независимо от выбора точек ЛГ и V на прямой, мы допустим, что через прямую а и

точку А проходит другая плоскость а', то этой плоскости должны принадлежать и точки М и N. Но по аксиоме 1 через три точки Af, Af и А проходит единственная плоскость, следовательно, а' = а.

Следствие 2. Существует единственная плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые.

Пусть мы имеем прямые т (черт. 5). На прямой т возьмём прямой п — точку N — тоже отличную от А. Точки М, N и А не принадлежат одной и той же прямой, и, согласно аксиоме 1, существует плоскость, проходящая через эти точки (плоскость а на чертеже 5).

Прямые т и п, согласно аксиоме 3, будут принадлежать плоскости а. Эта плоскость будет

и п, пересекающиеся в точке А

М, отличную от А, а на

точку

 

точек М и Л/ на данных

единственной, независимо от выбора

прямых. Действительно, если мы допустим, что существует другая плоскость а', проходящая через те же прямые т и п, то

этой плоскости принадлежат и точки и 7V, лежащие на этих прямых. Но через три точки М, N и А по аксиоме 1 может проходить только одна плоскость. Поэтому а' = а.

Следствие 3. Существует единственная плоскость, проходящая через две параллельные между собой прямые.

По самому определению параллельные прямые должны принадлежать одной и той же плоскости.

Поэтому, если мы возьмём две точки на одной из этих параллельных, а третью точку — на другой, то этими точками по аксиоме 1 определится та же самая плоскость, которой принадлежат эти параллельные.

В связи с этим мы можем утверждать, что аксиома параллельности, которой мы пользовались в планиметрии, остаётся в силе и для стереометрии. Действительно, если в пространстве дана прямая а и вне её точка А, то, как было доказано, существует единственная плоскость а, проходящая через точку А и прямую а. Согласно же аксиоме параллельности, через точку А к прямой а можно провести одну и только одну параллельную.

Итак, мы для пространства доказали предложение:

Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно к этой прямой провести одну и только одну параллельную.

Глава I

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 2. Параллельность прямых

4. Две различные прямые в пространстве могут занимать по отношению друг к другу следующие возможные положения.

1) Обе прямые принадлежат одной и той же плоскости. Если при этом они умеют одну и только одну общую точку, то они называются пересекающимися.

Если же они, будучи в одной и той же плоскости, не имеют ни одной общей точки, то они называются параллельными.

2) Прямые не принадлежат одной и той же плоскости.

В этом случае прямые называются скрещивающимися.

Чтобы доказать существование скрещивающихся прямых, возьмём три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же прямой (черт. 6), и точку D— вне плоскости АВС. Прямая АВ принадлежит плоскости АВС, а прямая CD не может ей принадлежать, так как точка D плоскости АВС не принадлежит. Итак, АВ и CD — скрещивающиеся прямые.

Примером может служить диагональ любой грани куба, которая является скрещивающейся со всеми рёбрами противоположной грани.

5. Для того чтобы изучить свойства расположения двух па-

раллельных прямых, необходимо знать признак

е. такую их особенность,

т.

которая отличала бы их взаимное положение от взаимного положения скрещивающихся или пересекающихся прямых.

В качестве такого признака нельзя взять отсутствие общих точек, так как и скрещивающиеся прямые не имеют общих точек.

Признаком, отличающим пару параллельных прямых от пары скрещивающихся или пары пересекающихся прямых, является то, что если одну из параллельных пересечь какой-нибудь плоскостью, то эта плоскость непременно пересечёт и

параллельности.

 

Черт. 6

 

другую. Если же взять пару скрещивающихся или пересекающихся прямых, то всегда можно найти такую плоскость, которая одну из них пересекает, а через другую проходит. Это свойство параллельных прямых доказывается в следующей теореме.

Теорема 1. Для того что- бы две данные прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы каждая плоскость, пересекающая одну из них, пересекала и дру-гую.

Признак является необходимым. Это значит, что каждая пара параллельных прямых обладает этим свойством, т. е. что любая плоскость, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

Действительно, пусть мы имеем пару параллельных прямых а и Ь, которые, по определению параллельных, лежат в одной и той же плоскости у (черт. 7).

Положим, что некоторая плоскость 8 пересекает прямую а в точке А. Плоскости т и 8 имеют общую точку А, значит, они имеют и общую прямую, которую обозначим через I. Прямая /, пересекающая прямую а, пересекает и параллельную ей прямую Ь (это

доказано в планиметрии). Точка В, в которой прямая I пересекает прямую Ь, есть в то же время точка, в которой плоскость 8 пересекает прямую Ь. Итак, плоскость, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

Признак является достаточным. Это значит, что этим свойством обладают только параллельные прямые, а непараллельные прямые этим свойством не обладают. Действительно, если, например, АВ и CD (черт. 6) — скрещивающиеся прямые, то через прямую АВ и точку С, лежащую на другой прямой, можно провести плоскость АВС, которая пересекает прямую CD и проходит через прямую АВ.

Если а и I — пересекающиеся прямые (черт. 7), то можно через прямую / провести плоскость 3, пересекающую прямую а.

Итак, для скрещивающихся и пересекающихся прямых всегда можно найти плоскость, пересекающую одну из них и проходящую через другую.

Понятие о необходимых и достаточных признаках (или условиях) играет очень большую роль в математике. Такие условия выполняются всегда, когда одновременно истинны и прямая и обратная теоремы. Например, мы имеем две теоремы: «Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны" и „Если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный". Эти две теоремы можно соединить в одну, указав на необходимое и достаточное условие: „Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы углы при его основании были равны". Условие необходимо, так как у каждого равнобедренного треугольника углы при

основании равны. Условие достаточно, так как треугольник с равными углами при основании равнобедренный.

Приведём ещё примеры. „Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо, чтобы они лежали в одной и той же плоскости" — условие это необходимо, но не достаточно, так как прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть и пересекающимися.

Для того чтобы сумма двух углов равня-

 

лась 180°, достаточно, смежными. Условие это димым, так как такую несмежные углы.

Вообще можно дать

чтобы эти углы были не является необхо- сумму могут дать и

такие определения:

Необходимым мы называем такое условие, без выполнения которого данное пред-ложение безусловно неверно.

Например, без равенства двух углов треугольник не может быть равнобедренным; прямые не могут быть параллельными, если они не лежат в одной плоскости.

Достаточным мы называем такое условие, при выполнении которого данное пред-ложение безусловно верно.

Например, при равенстве двух углов треугольник обязательно будет равнобедренным.

6. Теорема 2. Две прямые, параллельные одной и той же третьей прямой, параллельны и между собой. Дано: а |р, с |р.

Доказать: а |р (черт. 8).

Для доказательства пересечём прямую а произвольной плоскостью 8. По теореме 1 эта плоскость пересечёт и прямую Ь. Но тогда по той же теореме эта плоскость пересечёт и прямую с.

Итак, всякая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает и прямую с. Это означает, что а к с параллельны.

Теорема 3. Если у двух углов, расположенных в пространстве, стороны соответственно параллельны и одинаково направлены, то такие углы равны между собой. д

Пусть даны в пространстве два

угла: первый с вершиной О и сто- /\

ронами а и Ь, второй с вершиной О' I \ b

и сторонами а' и Ь', причём а || a' gy Г*"

и b |Р' и направления каждой пары \ у у . параллельных сторон одинаковы1 \ \

(черт. 9). \

Отложим на сторонах а и а' от- \ ,

резки О А = О' А', а на сторонах b и tf*—'

Ь' отрезки ОВ = О'В' и проведём от- ®

резки АВ и А'В'. Так как отрезки Черт. 9

ОА и О’А' одновременно равны и параллельны, то четырёхугольник ОАА'СУ—параллелограмм и, значит, А А' || ОО' и АА' = ОО'. Точно так же отрезки ОВ и О’В' равны и параллельны, и поэтому четырёхугольник ОВВ’О' — тоже параллелограмм, следовательно, и ВВ' || ОО'; ВВ' = ОО'. На основании теоремы 2 получим, что А А' || В В', а ввиду равенства этих отрезков одному и то- му же отрезку ОО' будем иметь, / что АА’ = ВВ’. Итак, четырёхугольник

/ b г А А'В'В — тоже параллелограмм, и, зна-

/ чит, АВ = А'В'.

. Мы видим, что три стороны тре-

/ угольника АОВ соответственно равны

Xх , S трём сторонам треугольника Д'О'В', л</—-—Л/ поэтому треугольники равны между / собой: △ АОВ = △ А'О'В'. Отсюда за- ключаем, что Z АОВ = Z. А'О'В'.

(j п* ** 7. На основании этой теоремы мы

Черт. 10 можем определить угол между двумя скрещивающимися прямыми. Поло-жим, что даны скрещивающиеся прямые а и Ь, как показано на чертеже 10. Выберем на прямых а и b определённые направления и из произвольной точки О проведём лучи т и п, соответственно параллельные и одинаково направленные с прямыми

1 Два параллельных луча считаются одинаково направленными, если они находятся в одной и той же полуплоскости по отношению к прямой, проходящей через их начальные точки.

а и b. В результате мы получим угол с вершиной О и сторонами т и п. Величина этого угла не зависит от выбора произвольной точки О. Действительно, если мы возьмём какую-нибудь другую точку О' и проведём из этой точки О' лучи т' и п', соответ

ственно параллельные и одинаково направленные с прямыми а и Ь, то получим угол, равный углу при вершине О, так как т || а и т' || а, а значит, т || rri, п || b и я' || Ь, значит, п || ri и, следовательно, на основании предыдущей теоремы 2. тОп = Z. rriO’ri.

Определение. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя лучами с общим

 

началом, которые соответственно параллельны и одинаково направлены с данными прямыми.

Если угол между скрещивающимися прямыми прямой, то такие прямые называются перпендикулярными.

Следствие. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой.

Дано: а || b; 11_а (черт. 11).

Доказать: /_1_д.

Черт. 11 Для доказательства найдём вели

чину угла между прямыми 1нЬ.

Из произвольной точки О проведём лучи: т || b и п || /. Согласно определению, угол между прямыми b и / равен углу тОп.

Так как прямые т и а параллельны одной и той же прямой Ь, то т || а. Но тогда угол тОп определяет величину угла между прямыми а и /, а так как a I Z, то и т I п. Но угол тОп определяет и величину угла между прямыми/ид. Следовательно, и/_|_д.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Доказать, что если у двух углов со взаимно-параллельными сторонами направления в обеих парах сторон противоположны друг другу, то такие углы равны между собой.

2) Доказать, что если у двух углов со взаимно-параллельными сторонами направления в одной паре сторон одинаковы, а в другой противоположны, то такие углы дают в сумме 180°.

3) Положим, что плоскость р пересекается с плоскостью 7 по прямой а, плоскость 7 пересекается с плоскостью а по прямой Ь, плоскость а пересекается с плоскостью Э по прямой с. Доказать, что если а х Ь, то через точку их пересечения проходит и прямая с. Если же а || Ь, то и с || а.

Вопросы

4) Когда открывают крышку рояля, то её подпирают в одной точке. Какое свойство плоскости при этом применяется?

5) Когда центры трёх планет лежат в одной и той же плоскости?

6) На модели куба указать параллельные, пересекающиеся и скрещиваю

щиеся прямые. Указать такие же прямые в комнате, рассматривая линии пересечения стен, пола и потолка.

7) В пространстве дано п точек, причём известно, что каждые 4 из них лежат в одной и той же плоскости. Доказать, что все п точек лежат в одной и той же плоскости.

8) Точки Д, В, С и D не принадлежат одной и той же плоскости. Доказать, что середины отрезков ДВ, ВС, CD и DA являются вершинами параллелограмма.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

9) Найти геометрическое место точек, принадлежащих отрезкам, соединяющим точки одной из двух пересекающихся прямых с точками другой.

10) Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, пересекающим две данные параллельные прямые.

11) Дана прямая / и вне её точка Р. Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через точку Р и пересекающим прямую I, а также принадлежащих прямой, проходящей через точку Р и параллельной /.

§ 3. Параллельность прямой и плоскости

8. Прямая и плоскость в пространстве могут занимать следующие возможные положения по отношению друг к другу:

1) Прямая принадлежит, плоскости.

2) Прямая пересекает плоскость, т. е. имеет с ней одну и только одну общую точку.

3) Прямая не имеет с плоскостью общих точек.

Определение. Прямая, не имеющая общих точек с плоскостью, называется параллельной этой плоскости.

Если прямая / параллельна плоскости а, то это записывается так:

11| а или, что всё равно, а || I.

 

Существование прямой, параллельной плоскости, доказывается следующей теоремой, которая даёт также признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Дано: 11| a, асса, ZqLa1 (черт. 12).

Доказать: 11| а.

Допустим обратное: положим, что Z X <*• Но тогда, согласно теореме 1 предыдущего параграфа, мы получим, что a X ’> а это противоречит условию теоремы (аса). Итак, мы получаем, что 11| а.

★Все➙Учебники 9 класс, ★Все➙ Учебники 10 класс 11 класс, Все - Для учащихся старших классов

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО ГЕОМЕТРИИ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - ГЕОМЕТРИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО ГЕОМЕТРИИ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика