10. Аффинная теорема Дезарга (26). 11. Обратная теорема Дезарга (29). 12. Гармоническая поляра (30). 13. Полярно сопряженные треугольники (31). 14. Ортологические треугольники (32). 15. Центр аффинного преобразования плоскости (33).

• 5. Барицентрические координаты 34

16. Определение барицентрических координат точек плоскости (34). 17. Аффинный и метрический смысл барицентрических координат (36).

• 6. Прямые и. Точка Лемуана. 36

18. Прямые п. Симедианы (36). 19. Точка Лемуана (37)

• 7. Прямая Эйлера. Окружность девяти точек 38

20. Вектор ортоцентра треугольника (38). 21. Прямая Эйлера (39). 22. Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон и относительно середин сторон треугольника (39).

23. Окружность девяти точек (39)

• 8. Теорема Паскаля 41

24. Векторное уравнение кривой второго порядка, заданной пятью точками (41). 25. Аффинная теорема Паскаля (42). 26. Треугольник и две точки (43).

• 9. Треугольник с двумя совпавшими вершинами. 44

27. Определение (44). 28. Центроид и ортоцентр (44).

29. Прямая Симсона. Замечательные окружности (46).

• 10. Треугольник с тремя совпавшими вершинами 48

30. Определение и свойства (48) .

Задачи 49

Глава 2. ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ

• 11. Основные соотношения между элементами трехгранного угла 52 31. Векторные выражения тригонометрических функций плоских и двугранных углов трехгранного угла (52). 32. Синус Штаудта триэдра (52). 33. Взаимно полярные триэдры (54). 34. Синус

второго рода триэдра (55). 35. Теоремы синусов и косинусов (56). 36. Прямая, проходящая через вершину триэдра (58).

• 12. Неравенства для плоских и двугранных углов триэдра . 58 37. Сумма всех плоских углов триэдра (58).

38. Сумма двух плоских углов триэдра (59).

39. Сумма двугранных углов триэдра (59).

• 13 Замечательные прямые 60

40. Биссектриса триэдра (ось вписанного конуса) (60).

41. Внешние биссектрисы (62). 42. Оси описанного и вне- описанных конусов (62). 43. Ортоось (64). 44. Свойство высотных плоскостей (65). 45. Медианные плоскости триэдра (66).

• 14. Замечательные плоскости, проходящие через вершину триэдра 67

46. Плоскости, образующие равные углы с ребрами триэдра (67). 47. Плоскости, равнонаклоненные к граням триэдра (67). 48. Другие замечательные плоскости (68).

• 15. Теоремы Менелая и Чевы 70

49. Теорема Менелая (70). 50. Теорема Чевы (70).

51. Вписанная в триэдр сфера (71).

• 16. Ортологические триэдры 52. (72). 72
• 17 Связь геометрии трехгранного угла с геометрией на сфере . 73 53. (73) Задачи

Глава 3. КОСОЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

• 18 Центроид косого четырехугольника . 75

54. Определения. Радиус-вектор центроида (76).

55. Теорема Лейбница (76).

• 19. Барицентрические координаты в пространстве 77 56. Определение барицентрических координат в пространстве (77). 57. Аффинный и метрический смысл барицентрических координат в пространстве (77). 58. Теорема Жергона (78).
• 20 Теоремы Менелая и Чевы . 78

59. Теорема Менелая (78). 60. Теорема Чевы (80).

• 21. Обобщение теоремы Гаусса . 80

61.— (80)

• 22. Гиперболические четверки прямых и тетраэдры Мебиуса 82 62. Теорема Шаля (82). 63. Тетраэдры Мебиуса (83).
• 23 Плоскости п косого четырехугольника 85

64. Определение плоскости п (85). 65. Свойства плоскости 0 и- плоскости 1 (85). 66. Построение плоскости n + 1 (87).

• 24. Ортологические косые четырехугольники 67. (88) . 88
• 25. Косой четырехугольник и точка 68. (89) 89
• 26. О сумме углов косого четырехугольника 69. (90) . 90
• 27. Зависимость между сторонами и диагоналями косого четырехугольника . 90

70. Антипараллельные сечения (90). 71. Зависимость между сторонами и диагоналями косого четырехугольника (91).

• 28. Косой параллелограмм. 92

72. Зависимость между сторонами и углами косого параллелограмма (92). 73. Свойство общего перпендикуляра диагоналей косого параллелограмма (94). 74. Признаки косого параллелограмма (95).

Задачи . 96

Глава 4. ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ ТЕТРАЭДРА

• 29. Гомологичные тетраэдры . .98

75. Теорема Понселе (98). 76. Дезаргова тетраэдральная конфигурация (99). 77. Полюсы и поляры относительно тетраэдра (99). 78. Гармонически ассоциированные группы точек (100). 79. Уравнение полярной плоскости данной точки (Ю1)

• 30 Десмические тетраэдры 102

80. Десмические тетраэдры (102). 81. Десмическая тройка тетраэдров (102).

• 31 Гиперболоидальные тетраэдры 103

82. Теорема Шаля (103). 83. Полярно сопряженные тетраэдры (104).

• 32 Тетраэдр и квадрика 104

84. Обобщение теоремы Паскаля (104). 85. Двенадцать точек на одной квадрике (106).

• 33. Тетраэдр и прямая 106

86. (106)

Задачи 107

Глава 5. АФФИННАЯ ТЕОРИЯ ТЕТРАЭДРА

• 34 Центроид, медианы, бимедианы тетраэдра 108

87. Необходимый и достаточный признак центроида (108). 88. Свойства центроида, связанные с объемом тетраэдра (108). 89. Плоскость, проходящая через бимедиану тетраэдра (109). 90. Одно свойство медиан тетраэдра (НО).

• 35. Центроид системы точек . 111

91. (111)

• 36. Тетраэдр и точка 113

92. Теорема Чевы (113). 93. Обобщение теоремы Ван-Обеля (114). 94. Специальные четверки прямых двух связок (114).

95. Два гомологичных тетраэдра (115).

• 37. Тетраэдр и плоскость 116

96. Теорема Менелая (116). 97. Изотомические плоскости (116). 98. Прямые Гаусса в гранях тетраэдра (116).

• 38. Параллельные прямые, проходящие через вершины тетраэдра 118 99. (118). 100. (119)
• 39. Центр аффинного преобразования пространства . . . . 119 101. (119)

Задачи 120

Глава 6. МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА

• 40. Ортологические тетраэдры 122

102. Теорема Штейнера (122). 103. Косо ортологические тетраэдры (123).

• 41 Гиперболические четверки прямых 124

104. Гиперболоид высот (124). 105. Другие гиперболические четверки прямых (125).

• 42 Точка Монжа 126

106. Теорема Монжа (126). 107. Свойства точки Монжа (127).

• 43. Расстояние между двумя точками, заданными относительно тетраэдра . 128

108. Лемма (128). 109. Расстояние между двумя точками

(128). 110. Расстояние между замечательными точками (129). 111. Зависимость между десятью отрезками, соединяющими попарно пять точек (130). . .

• 44. Описанная сфера

112. Уравнение описанной сферы в барицентрических координатах (131). 113. Зависимость между десятью отрезками, соединяющими попарно пять точек одной сферы (131). 114. Выражение радиуса описанной сферы через длины ребер тетраэдра (132).

• 45. Объем тетраэдра

115. Формула Штаудта (133). 116. Формула Монжа (134). 117. Формула Сервуа (134). 118. (135). 119. Выражение объема тетраэдра через длины его ребер (136).

120. Выражение объема тетраэдра через радиус описанной сферы и ребра (137). 121. Формула двенадцати величин (139).

• 46. Теоремы синусов и косинусов

122. Теоремы синусов для тетраэдра (140). 123. Теорема косинусов (141). 124. Формула проекций (142). 125. Зависимость между двугранными углами тетраэдра (143).

• 47. Другие метрические соотношения между элементами тетраэдра

126. Косинусы углов скрещивающихся ребер (143). 127. Соотношение Бретшнейдера (145). 128. Длина бивысоты (145). 129. Зависимость между высотами и бивысотами тетраэдра (146). 130. Необходимые и достаточные условия равенства бивысот (147). 131. Зависимость между высотами и двугранными углами (147).

• 48. Описанный параллелепипед

132. Определение (147). 133. Свойства описанного параллелепипеда (148).

• 49. Точка Люилье

134. Одна задача на экстремум (148). 135. Барицентрические координаты точки Люилье (150). 136. Аналог теоремы Шлемильха (150). 137. Точка Люилье и бивысоты (152). 138. Точка Люилье — центроид ее педального тетраэдра (152).

• 50. Сферы, касающиеся плоскостей граней тетраэдра

139. Число сфер, касающихся граней тетраэдра (153). 140. Взаимное расположение центров вписанных сфер (156). 141. Расположение точек касания (157). 142. Радиусы вписанных сфер (159).

Задачи

Г л а в а 7. ОРТОЦЕНТРИЧЕСКИЙ ТЕТРАЭДР

• 51. Характеристические свойства ортоцентрического тетраэдра 162 143. Ортогональность противоположных ребер (162).

144. Суммы квадратов длин противоположных ребер (164).

145. Произведения косинусов противоположных двугранных углов (165). 146. Равенство бимедиан (166). 147. Основания высот (166). 148. Перпендикуляры к граням в их центроидах (166).

• 52. Положение ортоцентра 167

149. Зависимость вида граней ортоцентрического тетраэдра от положения его ортоцентра (167).

• 53. Замечательные сферы ортоцентрического тетраэдра . . 168

150. Первая сфера Эйлера (168). 151. Вторая сфера Эйлера

(168) . 152. Расположение центров сфер Эйлера (169). 153. Третья замечательная сфера (170).

• 54. Другие метрические соотношения в ортоцентрическом тетраэд

ре . 171

154. Ортоцентр и описанная сфера (171). 155. Деление ортоцентром высот и бивысот (171). 156. Три следствия из формул произвольного тетраэдра (172).

• 55. Вырожденный ортоцентрический тетраэдр . 172

157. Задание и элементы вырожденного ортоцентричес- кого тетраэдра (172). 158. Высоты и ортоцентр (173).

Задачи 176

Глава 8. РАВНОГРАННЫЙ И КВАЗИОПИСАННЫЙ ТЕТРАЭДРЫ

• 56. Основные свойства равногранного тетраэдра 177

159. Определение и первые следствия (177). 160. Бимедианы и бивысоты равногранного тетраэдра (178). 161. Один признак равногранного тетраэдра (179).

• 57. Замечательные точки равногранного тетраэдра 179 162. Совпадение пяти замечательных точек (179). 163. Некоторые признаки равногранного тетраэдра (179).
• 58. Формулы для равногранного тетраэдра. 181

164. Следствия из формул для произвольного тетраэдра (181).

• 59. Замечательные сферы 182

165. Лемма (182). 166. Сфера двенадцати точек (182). 167. Вневписанные сферы (183).

• 60. Квазиописанный тетраэдр 185

168. Признак существования сферы, касающейся ребер тетраэдра (185). 169. Свойства квазиописанного тетраэдра (186).

170. Формулы для квазиописанного тетраэдра (187) . . .

• 61. Квазивневписанные сферы . 188

171. Условие существования (188). 172. Число квазивневпи- санных сфер (189).

Задачи . 190

Г л а в а 9. ИЗОДИНАМИЧЕСКИЙ И ИЗОГОНАЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДРЫ

• 62. Определение и признаки изодинамического тетраэдра . . 191 173. Определение и характеристические соотношения (191).

174. Четверки прямых, пересекающихся в одной точке (191).

• 63. Связь изодинамического тетраэдра с его тангенциальным тетраэдром 192

175. (192)

• 64. Свойства точки Лемуана 194

176. Центр гомологии изодинамического тетраэдра и его тангенциального (194). 177. Барицентрические координаты точки Лемуана (195).

• 65. Построение изодинамического тетраэдра. Антипараллельные

сечения . 195

178. Построение изодинамического тетраэдра (195).

179. Антипараллельные сечения изодинамического тетраэдра (196)

• 66. Сферы Аполлония 197

180. Множество всех точек, каждая из которых вместе с тремя данными образует изодинамический тетраэдр (197). 181. Сферы Аполлония изодинамического тетраэдра (198).

182. Расположение центров сфер Аполлония изодинамического тетраэдра (198). 183. Взаимное расположение описанной сферы и сфер Аполлония (199).

• 67 Сферы Теккера и сферы Лемуана 200

184. Сферы Теккера (200). 185. Сферы Лемуана (202).

• 68. Другие свойства изодинамического тетраэдра 202

186. Четыре шестерки углов по 60° (202). 187. Основания высот изодинамического тетраэдра (203).

• 69 Изогональный тетраэдр 203

188. Соотношение между двугранными углами изогонального тетраэдра (203). 189. Свойство точек касания вписанной сферы (204). 190. Треугольники с общей вершиной в центре вписанной сферы (205). 191. Тетраэдры, изогональные относительно вневписанных сфер (206).

Задачи 207

Глава 10. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ И ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДРЫ

• 70. Основные метрические соотношения в прямоугольном тетраэдре 208 192. Теорема Пифагора для прямоугольного тетраэдра и ее следствия (208). 193. Объем прямоугольного тетраэдра (209).
• 71. Сферы прямоугольного тетраэдра . 209

194. Взаимное расположение описанной сферы и первой сферы Эйлера (209). 195. Свойство плоскости, проходящей через центр описанной сферы (210). 196. Радиусы вписанной и вневписанных сфер (211).

• 72. Тетраэдрометрические функции 211

197. Тетраэдрометрические функции первого и второго рода (211). 198. Соотношения между тетраэдрометрическими функциями трехгранных углов прямоугольного тетраэдра (212). 199. Теоремы синусов, тангенсов и котангенсов для прямоугольного тетраэдра (213).

• 73 Об одном замечательном множестве точек 213

200. Вектор высоты прямоугольного тетраэдра (213). 201. Одно замечательное множество точек (214). 202. Постоянные,

связанные с пересечением сферы и прямого триэдра (216).

• 74. Правильный тетраэдр 217

203. Определение и признаки правильного тетраэдра (217).

204. Основные формулы (218). 205. Свойство середин высот правильного тетраэдра (219). 206. Группа правильного тетраэдра и ее подгруппы (219).

• 75 Несколько задач на максимум и минимум 221

207. Прямоугольный тетраэдр минимального объема (221).

208. Тетраэдр минимальной поверхности с данной высотой и данным основанием (221).

209. Экстремальные свойства правильного тетраэдра (222).

• 76. Ортогональная проекция прямоугольного равнобедренного тетраэдра (223). 223

210. Теорема Гаусса (223). 211. Построение ортогональной проекции вершины прямоугольного равнобедренного тетраэдра по заданным проекциям трех остальных вершин (225)

Задачи . 227

Задачи смешанного содержания 228

Литература 231

Предметный указатель . 232

ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение многих задач элементарной геометрии сводится к выяснению свойств одного или нескольких тетраэдров. Например, задача о разбиении поверхности сферы на четыре равных сферических треугольника приводит к изучению равногранного тетраэдра. Полярные преобразования относительно сферы связаны с автополярными тетраэдрами этих преобразований, являющимися ортоцентрическими, т. е. такими, в которых высоты пересекаются в одной точке. Построение ортогональных аксонометрических проекций связано с рассмотрением свойств прямоугольного тетраэдра. Представляет интерес задача о числе точек, каждая из которых равноудалена от четырех плоскостей. Другие вопросы встают в аффинной геометрии: центроид тетраэдра, описанный около тетраэдра параллелепипед, барицентрические координаты, определяемые тетраэдром, построение неподвижной точки аффинного преобразования, задаваемого двумя тетраэдрами. В классической проективной геометрии рассматриваются перспективные тетраэдры, гиперболоидально расположенные тетраэдры, тетраэдры Мебиуса, связанные с нуль-системой, тетраэдральный комплекс прямых, тетраэдральные кубические преобразования и различные конфигурационные теоремы (Мебиуса, Стефаноса, Рейе).

По этим и многим другим вопросам на русском языке нет книг или обзоров ни советских авторов, ни в переводе. На иностранных языках есть некоторые книги и статьи, указанные в прилагаемом списке литературы. Однако в них материал излагается архаично, без учета классификации свойств на теоретико-групповой основе. Методы изложения изобилуют большой пестротой. Глубокие, содержательные вопросы соседствуют с малозначительными фактами.

В предлагаемой нами книге по геометрии тетраэдра мы стремились освободиться от указанных недостатков. Естественно, многие вопросы остались в стороне либо как второстепенные, либо как требующие отдельного систематического изложения (геометрия тетраэдра в неевклидовых пространствах, геометрия симплекса в многомерных пространствах). Чтобы не увеличивать объем книги и не сделать ее материал чересчур дробным, отдельные детали сформулированы в виде задач и помещены в конце каждой главы. Степень трудности этих

задач различна, но мы надеемся, что читатель самостоятельно справится с их решением.

Большая часть материала излагается на основе векторной алгебры и лишь в задачах проективного характера используется координатно-синтетический метод.

Имея в виду читателя, который, быть может, мало знаком с геометрией треугольника, трехгранного угла и косого четырехугольника, являющихся элементами тетраэдра, мы предпослали основному материалу вводную главу, где указанные вопросы получили необходимое для дальнейшего изложения освещение. Эти разделы не отличаются полнотой, но вместе с тем они содержат отдельные вопросы, не встречающиеся в известной литературе. Читателя, желающего более детально ознакомиться с геометрией треугольника, мы отсылаем к интересной книге Д. Ефремова «Новая геометрия треугольника» (1903) и к известной книге С. И. Зетеля с тем же названием (1962), а также к работе А. Н. Хованского «Аналитическая геометрия треугольника» (1965). Много фактов по геометрии треугольника и частично тетраэдра содержится в курсах элементарной геометрии Ж. Адамара, Д. И. Перепелкина и в ряде книг И. М. Яглома.

Последующие три главы охватывают материал, касающийся общих свойств тетраэдра в проективном, аффинном и евклидовом пространствах. Последние четыре главы объединяют свойства наиболее распространенных тетраэдров частного вида: ортоцентрического, равногранного, изодинамического и изогонального, прямоугольного и правильного.

Выражаем благодарность Б. А. Розенфельду и О. В. Мантурову за просмотр рукописи и ценные советы, направленные на улучшение ее содержания. Неоценимую помощь в работе над книгой оказало нам многолетнее тесное общение с А. М. Лопшицем, вложившим немало усилий в разработку векторных методов и внедрение их в преподавание геометрии.

Авторы

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Метод векторной алгебры весьма эффективен при исследовании разнообразных вопросов геометрии. Особенно ценен этот метод при решении геометрических задач аффинного и метрического характера в пространстве, когда традиционные синтетические доказательства становятся громоздкими, а иногда и не приводят к цели. Кроме того, алгебраический подход позволяет обнаружить дополнительные свойства изучаемых фигур, ускользающие при их наглядно-геометрическом рассмотрении.

Вопросы геометрии тетраэдра и его элементов — треугольников, трехгранных углов, косых четырехугольников — излагаются преимущественно на векторной основе, что позволяет охватить обширный материал в компактной форме. При этом геометрически наглядная сторона изучаемых фактов практически не теряется, как это нередко имеет место при использовании координатного метода.

Для удобства пользования книгой приводятся ниже основные определения, теоремы и формулы из векторной алгебры.

НАПРАВЛЕНИЯ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА

1°. Если два луча лежат на одной прямой, то говорят, что они сонаправлены, если один из них содержится в другом, и что они противоположно направлены, если ни один из них не содержится в другом. Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то говорят, что они сонаправлены, если они лежат в одной полуплоскости, ограниченной прямой, которая проходит через начала лучей, и что лучи противоположно направлены, если они лежат в разных полуплоскостях, определяемых указанной прямой.

Отношение сонаправленности лучей обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т. е. является отношением эквивалентности, определенным на множестве всех лучей (на прямой, на плоскости, в пространстве). Поэтому множество всех лучей можно разбить на классы эквивалентности по отношению сонаправлен ности Каждый класс сонаправленных лучей называется направлением (на прямой, на плоскости, в пространстве).