Геометрия в 11 классе - Методические рекомендации к преподаванию курса геометрии по учебному пособию А. В. Погорелова (Земляков) 1991 год - старые учебники

Общие методические замечания . —

6.1. Цилиндр 64

6.2. Конус ... 94

6.3. Усеченный конус .... 100

6.4. Шар и сфера. Сечения. Касание 107

6.5. Симметричность шара и сферы. Вписанные и описанные сферы  115

6.6. Уравнение сферы. Пересечение сфер. Решение задач . 123

6.7. Контрольная работа № 3 . 130

Тема 7. Объемы и площади поверхностей . 133

Общие методические замечания . —

7.1. Объемы параллелепипедов . 135

7.2. Объемы призм 150

7.3. Объемы пирамид  158

7.4. Объемы усеченных пирамид. Решение задач . . 166

7.5. Контрольная работа № 4 . 173

7.6. Объемы цилиндров и конусов .... 176

7.7. Площади поверхностей цилиндров и конусов . 182

7.8. Объемы шара и его частей . . 188

7.9. Площади сферы и ее сегмента . 198

7.10. Контрольная работа № 5 . 205

Задачи повышенной трудности . 208

Материалы для повторения . . . 221

Общие методические замечания . —

IX класс . . . 225

X класс . ... . . . . 238

Указатель решений упражнений . 250

Этимологический словарик . ..... 254 

ПРЕДИСЛОВИЕ

В данной книге мы следуем той же концепции преподавания курса геометрии по учебному пособию А. В. Погорелова, которая была положена в основу методического пособия по изучению курса IX класса. Эта концепция состоит в постоянном следовании двум принципам:

1) направленности на формирование логического мышления, пространственного воображения и представлений о практических приложениях и методах геометрии;

2) равноценности теоретического материала и задач в учебном процессе.

В соответствии с этим сохранена структура методических рекомендаций:

— книга разделена на занятия: содержательно-методические блоки, отвечающие двум урокам геометрии в неделю;

— изложение занятия начинается его краткой характеристикой с указанием привлекаемого из курсов VI—IX классов материала;

— основной текст занятия разбит на логически и методически завершенные части (фрагменты), обозначаемые цифрами в рамках;

— в основной текст включен цитатами (выделенными линией по полю) текст учебного пособия (по изданию 1986—1988 гг.) с не-обходимыми комментариями; этот материал чередуется с относя-щимися к нему рекомендациями по решению задач (для удобства условия задач из учебного пособия также воспроизводится полностью и выделены двумя линиями по полю);

— после основного текста в необходимых случаях даны вопросы для закрепления, дополняющие вопросы для повторения из учебного пособия;

— изложение занятия заканчивается формулировкой домашнего задания, причем сразу приведены условия домашних задач, а затем решения и комментарии;

— в занятиях, обозначенных как «Контрольные работы», дается тематика задач контрольной работы и два варианта подготовительной работы (с решениями).

В каждой теме курса и в занятиях внутри темы теоретический материал и задачи (с комментариями и решениями) изложены в методически целесообразном порядке, который иногда не соответствует порядку следования материала и задач в учебном пособии.

В X классе на повторение курса стереометрии можно отвести целиком IV четверть. Таким образом, на изучение нового материала дается 26 недель: 16 недель в I полугодии — темы 5 и 6 — и 10 недель во II полугодии — тема 7.

Видимо, большинству учителей методические разработки, особенно по темам 5 и 7, покажутся чересчур насыщенными. В этой связи напомним, что данные методические рекомендации носят только рекомендательный, но не обязательный характер. Изложение мате-риала в методическом пособии предназначено для учителя и, как правило, дано на высоком уровне логической строгости, полноты и детальности. Им охвачены практически все задачи из учебного пособия, не исключая трудных.

Учитель, ознакомившись с помощью данного пособия с курсом X класса в целом, сориентировавшись в нем, скорректирует предлагаемое планирование, уровень изложения в соответствии со своим опытом, с возможностями класса (выполняя при этом, конечно, требования программы по математике). Часть приводимого в пособии материала, равно как и ряд задач, не являются обязательными — на это указано либо в самом тексте, либо в общих методических замечаниях по темам. Необязательные (а также опорные, основные) задачи отмечены в планировании.

Материал § 20 и 21 учебного пособия объединен в данных методических рекомендациях в одну тему 7. Это сделано с целью высвобождения времени на итоговое повторение, а также для облегчения понимания учащимися материала, касающегося объема шара и площадей поверхностей тел вращения. В связи с этим проведена перестановка некоторых вопросов из § 20 и 21, о чем подробно сказано в «Общих методических замечаниях» к теме 7.

♦ * *

При подготовке данного издания в основной текст книги внесены изменения в соответствии с новой редакцией учебного пособия А. В. Погорелова (1986—1988 гг. издания). Наиболее существенны здесь коррективы, относящиеся к определениям призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, а также к выводу формулы для объема треугольной пирамиды и к введению понятия объема для тел вращения.

Кроме того, в книгу включены не вошедшие в первое издание разделы: «Задачи повышенной трудности», «Материалы для повторения» и «Этимологический словарик».

Поскольку данная книга является продолжением пособия «Геометрия в 9 классе», изданного в 1988 г.,нумерацию классов не меняли.

Черноголовка

17 сентября 1987 г. 

Тема 5, МНОГОГРАННИКИ (§ 18; 18 ч)

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

На протяжении почти всего курса IX класса изучались «бесконечно-протяженные» и в силу этого весьма абстрактные геометрические фигуры: прямые и плоскости (вернее сказать, их взаимное расположение в пространстве). В X классе, напротив, изучаются как бы «не основные» с точки зрения логического (дедуктивного) построения курса стереометрии, но зато вполне зримые, «конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в первую очередь многогранники. Многогранник (точнее, модель многогранника) можно изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже «разрезать» — посмотреть на сечение. В данной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использовать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное внимание и построению проекционных чертежей).

Понятие многогранника вводится на первом занятии (5.1). Можно указать на такие две проводимые далее методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изу-чение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматриваются простые характеристики — численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей,— и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики — это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные многогранники (пять «платоновых тел» — см. занятие 5.8), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго определяются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая (по современной терминологии — «комбинаторно-топологическая») классификация по числу углов — призмы и пирамиды бывают п-уголь- ными, где п=3, 4, 5, ... . Более детальная классификация — по взаимному расположению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно «разветвленная» (см. схему).

Первая задача учителя — добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при прохождении данной темы может возникнуть

вполне естественный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников— параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три:

1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов);

2) они обладают симметрией, как многие формы природы и тво-рения рук человеческих (скажем, архитектурные формы);

3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

Последнее преимущество обусловлено свойствами симметричности; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избранным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и наполовину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). Поэтому вторая задача учителя — добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами).

Третья по счету, но первоочередная для учителя задача — научить школьников решать задачи. Практически все задачи (упражнения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем раскрываются большие возможности в продолжении линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач (см. «Общие методические замечания» к теме 3 курса IX класса). В задачах находят отражение и главные методологические идеи решения задач из курса IX класса — аналогия стереометрии с планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим. Вторая идея получает в данной теме определенную методическую завершенность — мы приходим уже к некоторому «методу сечений».

Как уже отмечалось в предисловии, занятия данной темы в раз-работках предельно загружены (кроме занятий 5.4 и 5.9). Учитель должен найти нужную пропорцию, дозировку материала, степень детализации при его изучении. Разгрузка может быть произведена за счет изъятия из учебного процесса ряда задач, а также некоторых деталей при доказательстве теорем и при обосновании решений задач. Ориентиром здесь должны служить задачи, указанные как типовые перед проведением контрольных работ, и требования программы по математике.

Особое внимание учителю нужно обратить на первое занятие. Предлагается за первую неделю пройти с учащимися большой по объему материал — от двугранных углов до правильных призм, с множеством связанных с основными подчиненных понятий. Цель такого быстрого продвижения двоякая: не давать времени на так называемую раскачку (X класс!) и сразу перейти к делу — к решению задач; вместе с тем приступить к повторению на содержательной основе. Изложение занятия 5.1 полное и последовательное, в соответствии с изложением материала в учебном пособии. Во фраг-мент 2 включен не входящий в действующую программу материал, касающийся трехгранных и многогранных углов. На уроках его можно опустить (вместе с задачами 3 и 4 этой тематики) или же, как и общее понятие многогранника, дать попроще, без деталей. Текст фрагментов 2—4 в полном его объеме предназначен для учителя. Внимание же учеников следует сосредоточить на понимании того, что такое двугранный угол и его линейные углы, призма и ее основание, боковые ребра и грани, высота, диагонали, диагональные сечения.

5.1. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. МНОГОГРАННИКИ. ПРИЗМЫ

На занятии: рассмотреть понятия двугранного угла, трехгранного угла, многогранного угла (кратко) и многогранника, а также связанные с ними понятия (ребро, грани, линейные углы, мера; вершины, ребра, грани, двугранные углы при ребрах, плоские углы при вершинах); выполнить № 1, 3; рассмотреть понятие призмы (прямой, наклонной, правильной) и подчиненные понятия (основания, боковые ребра, боковые грани, высота, диагонали, диагональные сечения); выполнить № 8, 13.

Привлекаются : из планиметрии — теоремы Пифагора и косинусов, определение параллелограмма, формулы для площади треугольника ;

из курса IX класса — свойства движений и параллельного переноса (§ 17; занятие 4.2), доказательство корректности определения угла между плоскостями (§ 17) и способы построения такого угла (занятие 4.4), признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 16.2), теорема о трех перпендикулярах (16.7), теоремы о пересечении двух параллельных плоскостей с третьей и с параллельными между собой прямыми (15.6 и 15.7), теоремы о перпендикулярных плоскостях (16.6 и 16.7), понятия расстояний между параллельными плоскостями и прямыми (занятие 3.2) и между двумя скрещивающимися прямыми (конец § 16; занятие 3.9).

Уже на первом занятии в X классе повторяется множество фактов и понятий из пройденного ранее. Список всех этих теорем, формул и т. д. помещен в начале совер-шенно сознательно, для того чтобы учитель проникся мыслью: по ходу X класса придется повторить все (почти все), пройденное в предыдущих классах, поэтому повторение нужно начать сразу же. Разумеется, соответствующим образом учитель должен сориентировать своих учеников.

1| В курсе IX класса рассматривалось взаимное расположение (параллельность, перпендикулярность, расстояния, углы) основных фигур в пространстве: точек, прямых, плоскостей. Теперь перейдем к изучению более сложных пространственных фигур, составленных из частей основных (аналогично тому, как в планиметрии рассматривались углы — фигуры, составленные из двух полупрямых; тре-угольники — составленные из трех отрезков прямых; многоугольники и т. д.).

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 1). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла. Чтобы обосновать возможность совмещения двух линейных углов параллельным переносом, нужно практически дословно повторить рассуждение из § 17, в котором доказывается корректность определения угла между двумя плоскостями (с. 216—217; занятие 4.4). Разница будет только в том, что вместо прямых придется рассматривать полупрямые (см. рис. 256а, с. 217).

Рис. 2

При решении задач с двугранными углами (данными в условии или, наоборот, искомыми) строятся соответствующие линейные углы. Кроме построения, указанного в самом определении линейного угла, как и при рассмотрении углов между плоскостями (занятие 4.4), используются еще два:

1. На ребре угла выбирается точка; через нее в гранях проводятся две полупрямые, перпендикулярные ребру. Угол, образованной этими лучами (см. рис. 1), и будет нужным линейным углом (для обоснования надо сослаться на признак перпендикулярности прямой и плоскости).

2. В одной из граней угла берется точка Л и из нее опускаются перпендикуляры АВ на плоскость другой грани и АС на ребро угла. Тогда либо угол АСВ, либо смежный с ним угол (рис. 2) и является линейным углом рассматриваемого двугранного угла (это следует из теоремы о трех перпендикулярах). Однако указанный способ не-применим, если двугранный угол — прямой: в этом случае перпендикуляры АВ и АС совпадут.

В конкретных ситуациях способ построения линейного угла, а также точка на ребре (построение 1) или грани (построение 2) двугранного угла выбираются так, чтобы получить удобную конфигурацию, хороший чертеж. Примеров в дальнейшем будет предостаточно. Сами способы построения линейных углов можно разобрать не сразу, а последовательно, в ходе решения задач: способ 1 — при разборе № 1, способ 2 — при разборе № 3.

Переходя к задачам, еще раз обратим внимание на использование не только готовых моделей, но и на показ примитивнейших, но зато подвижных моделей. Двугранный угол можно увидеть между обложками книги или классного журнала. Чтобы показать трехгранный угол, можно два его ребра нарисовать на доске, а в качестве третьего использовать просто указку.

Этот фрагмент занятия завершается разбором задачи 1.

Задача (1).Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры AAi и ВВ| на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если AAi=a, BBi=b, А\В\ = с и двугранный угол равен а (рис. 3).

Конечно, не следует сразу давать готовый чертеж, хотя на него и указано в условии; чертеж нужно строить постепенно, подетально,

отыскивая хороший ракурс. Совместный разбор задачи можно начать с вопросов:

— Как можно найти длину отрезка Л В? — Из какого-нибудь треугольника — Какой треугольник можно рассмотреть? — Нужно сделать дополнительное построение так, чтобы ввести в конфигурацию задачи линейный угол данного двугранного угла. Условие AAi_LAiBi (или ВВ|_1_Л|В1) под

сказывает построение с помощью способа 1: проведение перпендикуляра Л}С_1_Л]В1 (или В|Р_1_Л|В1). В близкой по формулировке задаче 54 (1, 5) к § 16 было достаточно соединить точку Л( с точкой В — см. занятие 3.8; в данном случае, если а =#90°, это построение ничего не даст, ибо мы не знаем величину угла АА\В. Следующее наводящее соображение: нужно как-то связать точку В с углом AAiC — приводит к уже далеко не очевидному дополнительному построению — проведению прямой ВС, параллельной Л|ВЬ с последующим построением отрезка ЛС.

Решение (I). Проведем прямые ЛiС||ВВ| и ВС||Л(В1. Прямая A\Bi перпендикулярна плоскости треугольника ЛЛ]С, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости АА\ и СЛь Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник ЛВС прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов .

АС2 = АА1А~А[С2 — 2-ЛЛ1-ЛIC-COS a = a2-|-fe2 — 2аЬ cos а.

По теореме Пифагора

А В = -\lAC2 + BC^ = -\/а2 + 62 — 2ab cos а + с2.

Вопросы к решению: какие теоремы и определения (кроме опре-деления линейного угла и теорем Пифагора и косинусов) использованы в решении? Существенно ли для решения, что на рисунке 3 угол а острый? Ответ: несущественно. Полезно обратить внимание учащихся на уже упоминавшийся частный случай: а = 90°. Тогда cosa = 0 и получается формула

AB2=AA24-BBI4-AIBI,

по сути, предваряющая теорему 18.4 о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

21 Перейдем к многогранным — n-гранным, где п^З,— углам. Начнем с трехгранных углов. (Обратите внимание на правописание названий углов.) 

Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских    углов: (аб), (Ьс) и (ас) (рис. 4). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Последнее предложение — определение двугранных углов трехгранного угла — Требует пояснения. Пусть две плоские фигуры (в данном случае плоские углы) граничат по части какой-то прямой I (по лучу, как в данном случае, или по отрезку, что встретится нам при рассмотрении многогранников), причем каждая из них лежит в своей плоскости по одну сторону от прямой Z, т. е. целиком лежит в соответствующей полуплоскости, ограниченной прямой I. Угол между этими полуплоскостями и называется двугранным углом между рассматриваемыми фигурами (или «образованным» ими). На рисунке 5 изображен двугранный угол между треугольниками АВС и DBC с общей стороной ВС.

Следующая разобранная в учебном пособии задача 3, как и парная к ней задача 4 (она включена в домашнее задание), заведомо повышенной трудности, и к тому же обе они относятся к не-обязательной части курса. Поэтому при их решении можно ограничиться заданием: «Как ввести (построить) данные и искомые углы на чертеже?». Мы приведем полные решения задач 3 и 4 (в исходной формулировке).

|| Задача (3). У трехгранного угла один плоский угол равен

I у (у<л), а прилежащие к нему двугранные углы равны <р (<р< I <л/2)Л Найдите два других плоских угла а и угол 0, который об- I разует плоскость угла у с противолежащим ребром.

В условие задачи заложена дополнительная информация: о равенстве двух других плоских углов между собой. По существу в приводимом ниже решении это равенство обосновывается.

Нарисовав трехгранный угол OBCS (рис. 6, но без дополнительных линий), зададимся сначала вопросом: как увидеть на чертеже двугранные углы при ребрах ОВ и ОС, как построить соответствующие им линейные углы? Здесь удобно воспользоваться способом 2 из фрагмента 1: из точки S ребра, противолежащего плоскому углу у, провести перпендикуляры SC-LOC, SB.LOB и 5Л±(ОВС) (см. рис. 6). Тем самым искомые углы аи₽ включены в прямоугольные треугольники SOC (или SOB) и 5ОЛ. Методы отыскания углов в геометрии описаны в методическом пособии к курсу IX класса (занятие 4.3 и 4.4). Простейшие из них сводятся к выражению каких-то двух линейных элементов прямоугольных треугольников, включающих искомые углы, через один и тот же отрезок.

Решение (3). Опустим из произвольной точки S ребра, противолежащего углу у, перпендикуляр $Л на плоскость угла у и перпендикуляры SB и SC на его стороны (рис. 6). По теореме о трех перпендикулярах отрезки АВ и АС перпендикулярны сторонам угла у. Прямоугольные треугольники SCA и SBA равны по катету и противолежащему углу. Поэтому ЛВ=ЛС. Прямоугольные треугольники АОВ и АОС равны по катету и гипотенузе. Поэтому

Имеем:

Z_AOC=Z-AOB=%- .

■ sc=

OA = 

Отсюда 

Вопросы к решению. Существенно ли в нем, что Ф<Л/2? Где это использовано? Ответ: использовано это неравенство при заключении, что Z_SC4 = ==Z.SB4 = q>: если ф>л/2, то Z-SCA = Z.SBA = л— ф (см. рис, 2). Однако, оказывается» формулы для tg а и tg р остается справедливыми и в этом случае. В случае же ф=л/2, когда формулы теряют смысл, ответ такой: а = р = л/2.

В пособии А. В. Погорелова рассматриваются и многогранные углы с числом граней (или, что то же самое, с числом ребер) п>3. В дальнейшем они фигурируют как углы при вершинах пирамид и двух (из пяти) правильных многогранников (октаэдра и икосаэдра), но практически не используются. Поэтому ознакомление учащихся с такими n-гранными углами может быть совсем кратким.

Аналогично* определяется понятие многогранного угла (а\а2аз...ап) как фигуры, составленной из плоских углов (а^), (а2аз)9 (аза4), (anai). Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла (рис. 7).

Нужно только уточнить: здесь имеются в виду двугранные углы между двумя соседними, граничащими по общему ребру гранями. Эти углы также называют двугранными углами при ребрах (многогранного угла).

3 Перейдем от углов к пространственным аналогам многоугольников — к многогранникам. Дать определение многогранника (и многогранной поверхности), которое сочетало бы в себе строгость и простоту в его понимании и использовании, совсем непросто. В раз-личных учебниках, книгах, монографиях можно найти совсем разные определения. В большинстве своем строгие определения являются громоздкими и трудны не только для применения, но и для понимания. (Обзор возникающих трудностей дан в статье: Александров А. Д. Что такое многогранник?//Математика в школе.— 1981.— № 1—2.) В пособии А. В. Погорелова дается следующее определение:

q Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 8).

В нем фигурируют пока не определенные понятия тела и его поверхности. Эти понятия рассматриваются далее, в завершающем § 19 пункте 109 учебного пособия «О понятии тела и его поверхности в геометрии». Очевидно, приводимый там материал можно дать как ознакомительно-обобщающий, именно после изучения всех «школьных» пространственных тел. При определении понятия многогранника придется довольствоваться интуитивным представ-лением о том, что такое тело и его поверхность. Во всяком случае, не следует «застревать» на общем определении многогранника, ибо конкретные многогранники будут определены вполне точно и этого достаточно для достижения основных целей курса.

Можно сразу отметить, что поверхность многогранника составлена из его граней. В учебном пособии ради полной определенности грани вводятся только для выпуклых многогранников.

Тому» как было определено понятие трехгранного угла.